一类非线性偏微分方程弱解的存在性
一类非线性发展方程整体弱解的存在性
Ｙａ ｇＬｉ ｎ ，Ｘｉ ｎ ｑｎ ｅＹｏ ｇ ｉ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｄＣ ｍｐ ｔ ｇＳｉｎｅ ｈ ｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｈ ｇｈ １０ ６ ｈｎ Ｓ ｈｏ ｈ ｍａｃ ｏ ｕ ｎ ｃ ｃ ，Ｃ ａ ｓａ ｉ ｅｓｙｏ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ，Ｃ ａ ｓａ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓｅ ａ ｎ ４ ａ）
第 ２卷 第 １ ４ 期
２ １年 １ ００ 月
湖 南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ Ｎｏ １ １ ． ２ Ｊｎ ０ ０ ａ ．２ ｌ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
ｗｈｃ ｅｎ ｎｉ ｅ ｒｔｒ ａ ｓ ｅ ｒｔｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｗｔ ． ｎ ｋ ｅ ｇ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｎｔ ｅｆｎ ｉｇｓ ｆ ｉｈ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｓ ｔ ｆ ｓｃ ｉ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｏ ｈ Ａ ｄ ｍａ ｓａｌ ｅｉ ｈ ｅ ｉｉ ｉ ｌ ｉ ｉ ｇ ｒ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｄｎ ｏ ｈ ｉ ｏ
ｕ一 ｕ一 ｕ Ａ ． Ａ ＝ｆ．
收稿 日期 ：２０ —０ １ ０ ９ １— ２
巧 ，证 明方程 （ ）一（ 的整体弱解的存 在性 ，并得 １ ３） 到其解 是唯一 性 连续 的 ，且 依赖 于初始 值 。
ｕｘ０ ＝Ｕ（） ， ，） ｌ ） （，） ｏ ， （ ０ ＝Ｕ（ ， 甜
∈．。
（ ３）
其 中， ， ，１ 具有适当光滑边界ａ ． ３ －ｃＲ ２ 的有界
一类非线性偏微分方程弱解的存在性
定 理２（ 弱解 存 在性 定理 ） 若ｈ ∈ Ｅ（ ｕ１ ， 则方程 （ ２ ） 存在 唯 一 弱解 。
非线性性， 从 而直 接 对 方 程 （ １ ） 的解 的 存在
性 进 行 讨 论 是 一 件很 困 难 的 事 ， 但是， 下 面 方 程 ｗ
方程 （ １ ） 存在 一个 弱 解 。
证 明 ：令 （ ） ＝ ／ （ ） 一 ａ （ ｘ ） ｂ （ Ｄ ｕ ），考 虑 ｗ 满 足方程 （ ２）。显 然 若 “∈Ｈ￣ ｏ （ Ｕ）， 有ｈ ∈ （ ） ， 则弱解 存在性定理保证 （ ２ ） 由此 ， 我们看到 ， 形如 （ １ ） 的 二 阶 非 线
，
ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｏ ｆ ｔ ｅ ｎ ｄ ｉ ｆ ｆ ｉ ｃ ｕｌ ｔ ｔ ｏ ｒ ｅ ａ ｃ ｈ， ｓ ｏ ｗｅ ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｅ ｌ ｅ ｓ ｓ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｗｈｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｅ ａ ｓ ｉ ｅ ｒ ｔ ｏ ｄ ｅ ｃ ｉ ｄ ｅ ． Ｔｈ ｅ ｎ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ａ ｐ ｒ ｉ ｏ ｒ ｉ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｗ ｅ ｃ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｉ ｔ ｓ ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ ． Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ｔ ｈ ｅ ａ ｕ ｔ ｈ ｏ ｒ ｗ ｉ ｌ ｌ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．
一类p—laplace方程边值问题解的存在性
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
一类非线性弹性梁方程弱解存在的唯一性
第３卷
理
工
大
学
学
２０ ０ ７年 １ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ＵＮ１ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨ Ｎ０Ｉ ０ＧＹ
在 本 报 文 ㈨
中
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １３ ． Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０ ７
和初 始 条 件 下 ， 明 了一 类 具 非 线 性 本 构 关 系 的 弹 性 粱 方 程 弱 解 的 存 在 性 ； 此 弹 性 梁 方 程 弱 解 存 证 在
在 的条 件 下 ， 明 了上述 方程 弱解 的唯一性 。 证 关 键 词 ： 线 性 弹 性 梁 方 程 ； ｌｒ ｉ 法 ｝ 解 ； 在 唯 一 性 非 Ｇａｅ ｋｎ 弱 存 中图分 类号 ： ７． ７ ｏ１ ５ ２ 文献标 识码 ： Ａ
一
文 章 编 号 ： ０ ７ ９ ３ （ ０ ７ ０ ０ 卜０ １ ０ － ４ ２ ２ ０ ） 卜０ ９ ４
舫 便．
起 一
Ｉ ｌ
一
记 ； 的唯一性 ～ 三 巩 类非线性弹 性梁方程弱解存在
闫 思青 ， 建 文 张
（ 太原 理 工 大 学 理 学 院 ， 西 太 原 ０ ０ ２ ） 山 ３ ０ ４
初始 条件 ：
ｕ ｘ， ）一 “ （ ） （ Ｏ ０ ，ｕ（ Ｏ ｘ， ）一 “ （ ． ｌ ） （） ２
边界 条件 ：
ｕ Ｏｆ （ ，）： Ｕ（ ，） 一 Ｕ （ ｆ ＝ ｆ￡ Ｏ，） ‘ （ ，）： ０ １￡ ＝ ． ＝ （） ３
２ 弱解 的存在性
首先证明初边值问题（） 式～（） 弱解的 ３式的 存
显然 ｘ 中 的范 数与 Ｈ ｎ） 的范数 相 同。 （ 中
具强阻尼非线性弹性梁方程弱解的存在唯一性
α,β为常数 。在本文中我们将要研究一类比上述方 程更具一般性的非线性弹性梁方程 ¨ u+ u
( 4) l ( 1)
引理 2 [4 ] ( Poincare 不等式 ) 设 f ∈H1 (Ω) , 且 设对某个ξ∈ Ω � ,有 f ( ξ ) = 0 ,则 ‖f ‖ ≤ 1 ‖f ( 1) ‖. 2 引理 3[ 2 ] ( Gronwall 不等 式 ) 设 f ∈L ∞ ( 0 ,
梁是工程建筑的基本构件之一 , 对于梁方程的 研究 ,有着非常重大的理论意义和实际意义 。非线 性弹性梁方程在数学上是由四阶偏微分方程来描述 的 。近年来 , 关于弹性梁方程的研究已经取得了不 少成果 [1 ] 。Ball 研究了两端固定的弹性梁方程 [ 2] ( ) ¨ u +α u4 l
1 预备知识
2 弱解的存在性
( s ) 下方有界 , 即存在常 定理 1 设σ( s) ∈C1 ,σ ′
2 数 c0 , 使σ ′ (s) ≥c0 , u 0 ( x) ∈X , u1 ( x) ∈L (Ω ) , 则问
题 (1 ) - ( 3 ) 存在弱解 u = u ( x , t) , 对于任意 的φ∈
和边界条件
u ( 0 , t) = u( l , t) = u u
(2) ( 2)
f ( t) ≤ c0 + k ( 0 , t) = (3) ( l , t) = 0
∫f ( s) d s ,
0
则
f ( t) ≤ c0 e kt .
下的初边值问 题。其中 u �(2) 为强阻尼 ,σ( u ( 1) ) (1) 为 非 线 性 项 。我 们 以 Sobolev 空 间 为 工 具 , 采 用 Gal erki n 方法证明了弱解的存在性及唯一性 , 从而 解决了该方程弱解的存在唯一性问题 。
一类非线性分数阶微分方程解的存在性
第39卷第5期2020年10月怀化学院学报JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITYVol.39.No,50ct.2020一类非线性分数阶微分方程解的存在性周珏良,何郁波,谢乐平（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418008）摘要：运用Banach压缩映射原理讨论一类非线性Caputo分数阶微分方程在无限区间（0,+®）上解的存在性和唯一性.关键词：非线性分数阶微分方程；Banach压缩映射原理；存在性中图分类号：0177.91文献标识码：A文章编号：1671-9743（2020）05-0044-041引言经典整数阶的微积分是现代数学分析的基石，而于19世纪末兴起的分数阶微积分的理论随着科技的发展逐渐丰富起来，形成了现在的多种分数阶导数的定义分数阶微积分可视为经典整数阶微积分的一种推广,即将经典意义下整数阶的微积分运算推广到分数阶的微分和分数阶的积分，也可以称之为“非整数阶微积分”叫由于分数阶微分算子不同于整数阶微分算子而具非局部的特点，导致分数阶微分算子非常适合描述具遗传和记忆特性的材料，因此其应用的领域包含了反应扩散系统、弹性力学、生物流变学、生物传热学、非牛顿流体力学、多孔介质力学和信号处理及自动控制等领域^.本文主要研究如下涉及Caputo分数阶导数的非线性微分方程在无限区间（0,+8）上解的存在性和唯一性，(1.1)u(O)=u o,其中:a e（0,1）,^e[0,1）,并且伙*;'。
；「D：是Caputo分数阶导数;Ut）eY,Y是实Banach空间e C（JxYx Y,Y）,re[0,l）.2预备知识下面给出本文将用到的Riemann-Liouville分数阶积分、Caputo分数阶导数的定义和相关性质.定义2.1[1]函数％（/）:（0,+8）—>7?的a>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为收稿日期：2020-02-11基金项目：湖南省教育厅优秀青年项目"基于格子Boltzmann模型的几类非线性复杂系统解的数值分析与仿真”（19B450）;湖南省教育厅一般项目"一类差分系统周期解和同宿轨的存在性与多重性研究”（19C1465）;湖南省教育厅一般项目"三角代数及其上映射的研究”（19C1474）；怀化学院重点项目"几类非线性偏微分方程（组）的格子BGK模拟”（HHUY2019-03）.作者简介：周珏良，1993年生，女，辽宁丹东人，助教，研究方向：非线性泛函分析；何郁波，1979年生，男，湖南岳阳人，副教授，研究方向：微分方程数值解；谢乐平，1976年生，男，湖南宁乡人，讲师，研究方向：代数学.第39卷第5期周珏良，等：一类非线性分数阶微分方程解的存在性•45•/；%(/)=『&)[(—s)4%(s)(Zs.定义2.2闪连续函数％(t):(O,+8)-R的a>0阶Caputo分数阶导数定义为当"N时，n=[a]+l,[a]表示实数a的整数部分；当ctwN时，特别地D°.C^0,其中C为任意常数.弓|H2.1ra设a>0,%(/)eCZ[0,+8),则有n_1@)/c\特别地，当ae(0,1)时,(学。
微分方程中的解的存在性理论
微分方程中的解的存在性理论微分方程是研究变量之间的关系的重要数学工具。
解微分方程的存在性理论是微分方程理论中的核心内容之一。
本文将介绍微分方程中的解的存在性理论，并探讨其在实际应用中的意义。
微分方程解的存在性理论是指在何种条件下，微分方程一定存在解。
这个理论的研究主要涉及到微分方程的类型、边界条件和解的唯一性等方面。
解的存在性理论的研究对于解决各类实际问题具有重要意义。
一、常微分方程的解的存在性理论常微分方程是最常见的微分方程类型，其解的存在性理论相对较为简单。
常微分方程的解存在的条件主要有两个方面：存在定理和唯一性定理。
1. 存在定理存在定理又称为皮卡-林德洛夫定理，它告诉我们，如果常微分方程满足某些条件，那么在给定的初始条件下，方程一定存在解。
这个定理给出了解的存在的一个直接判定方法。
2. 唯一性定理唯一性定理是对解的唯一性进行了研究。
在某些情况下，方程的解不仅存在，而且是唯一的。
这个定理的证明方法多种多样，可以是解析的，也可以是几何的。
唯一性定理给出了解的精确性，使得我们可以准确地计算和预测物理现象。
二、偏微分方程的解的存在性理论偏微分方程相较于常微分方程更为复杂，解的存在性理论也更加丰富。
偏微分方程的解的存在性理论主要有以下几个方面：1. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，解的存在性理论是电磁学和电子学研究的重要基础。
麦克斯韦方程组的解存在性主要通过矢量分析和偏微分方程理论进行证明，为电磁场的计算和应用提供了理论支持。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体温度分布变化的方程，解的存在性理论对于热传导问题的研究至关重要。
热传导方程关于边界条件和初值条件的不同，解的存在性也存在差异，需要通过特定的数学方法进行证明。
3. 波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它的解存在性理论与波动现象的特点密切相关。
波动方程的解的存在性主要通过分析波动现象的特性以及边界条件的规定来进行证明，对于解决声学、光学等领域的问题具有重要意义。
偏微分方程的解的存在唯一性
偏微分方程的解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中研究多元函数的偏导数之间关系的方程。
解的存在唯一性是指在一定的条件下，偏微分方程能有且只有一个解。
本文将从理论和数学推导两个方面来探讨偏微分方程的解的存在唯一性。
一、理论方面在讨论偏微分方程的解的存在唯一性之前，我们需要定义一些基本的概念。
1. 偏微分方程的定义偏微分方程是一个含有多个未知函数及其偏导数的方程，通常写作F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0。
其中，u表示未知函数，x1, x2, ..., xn 是自变量。
2. 初始条件和边界条件解决偏微分方程需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指在某一时刻或者某个区域的特定点上，未知函数及其偏导数的值。
边界条件是指在某个区域的边界上，未知函数及其偏导数的值。
3. 解的存在性和唯一性解的存在性是指在给定的初始条件和边界条件下，偏微分方程是否存在解。
解的唯一性是指在给定的初始条件和边界条件下，解是否唯一存在。
二、数学推导在数学推导中，我们将着重讨论一些经典的偏微分方程及其解的存在唯一性。
1. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
对于定义在区域Ω上的函数u(x, t)，热传导方程可写作∂u/∂t - ∇²u = 0，其中∇²表示Laplace算子。
热传导方程既有初始条件u(x,0)=f(x)，也有边界条件u(x,t)=g(x,t)。
根据热传导方程的性质，假设初始条件满足适当的光滑性和有界性条件，边界条件满足适当的光滑性和界定条件，可以证明存在唯一的解。
2. 波动方程波动方程是描述波动在空间中传播的方程。
对于定义在区域Ω上的函数u(x,t)，波动方程可写作∂²u/∂t² - ∇²u = 0。
波动方程的解存在性和唯一性需要根据初始条件u(x,0)=f(x)和边界条件u(x,t)=g(x,t)进行讨论。
一类包含P(x)-Laplace算子的偏微分方程解的存在性
ｘｌｌ ） （ ； ） １ ） （ ； ） ） ｌ ＜１＝１＞１ ０ ｌ ｕ 甘 ＜１ ＝１＞１ ； ２ｌｌ ） ＝ 舢 ≤０ ） ） ｌ ＞１＝ Ｐ １ ｌ加 ｕ ＞ ≤
作者简介 ： 建军（９ ９ ）男 ， 顾 １７一 ， 江苏扬州人 ， 熟理 工学 院数学与统计学院讲师 ， 常 硕士 ， 研究方 向： 偏微 分方程控制论
２ ０
常熟 理工学 院学报 （ 自然科学 ）
２ １ 年 ０１
当 ｍ（ ） ｘ Ｎ， （） ＝∞ ． 文 中始终 假设 以 卜 件成 立 ： 本 条 １ 一 一 ＜ｇ ≤ｇ ＜ ＜ｈ ｈ ＜ ． （） １
的存在 性 ．
关键词 ：（一 ａ ｌ ｅ 子 ； Ｐｘ Ｌｐａ 算 ） ｃ 变指 数 空 间；ａａ － ｍａ Ｐ ｌｓＳ ｌ ｉ ｅ紧性 条件 ； 山路 定理
中图分 类号 ： ７ ． ０１５２ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ８ ２ ９ （ ０ ０ １ — ０ ９ ０ １０ — ７ ４ ２ １ ）０ ０ １— ５
摘 要 ： 究 变指 数 Ｓ ｂ ｌｖ 间 中一 类 包含 Ｐｘ一 ａ ｌ ｅ 子 的 非 线 性 问题 ． 利 用 变指 数 Ｌ ｂ — 研 ｏ ｏｅ 空 （ Ｌ ｐａ 算 ） ｃ ｅｅ
ｓｕ 和 Ｓｂｌｖ 间理论 框 架 ， ｇｅ ｏｏｅ 空 验证 Ｐｌｉ Ｓ ｌ紧性 条件 ， 结合 山路 定 理和 变分 法证 明方 程弱解 ａａ — ｍａ ｓ ｅ 并
ｈ （） （） ， ∈Ｑ ， ， ∈Ｃ （） ｚ，（ ） ∈Ｃ Ｑ， ｘ ＞ｌ ｈ ）ｑ ｈ ＋Ｑ， ） ｘ ＞０． （ ｂ
以 ） （） （） （） 中 （） （ ∈Ｌ Ｑ’ ｚ ∈Ｌ Ｑ， ｚ ６ 其 ＝
，（） ｙ ＝
， 当 （） （） 且 ＜Ｎ， ｚ ＝
一类微分方程弱解存在性证明
（ ＝１ｇ ）ｄ ） ） ， 警， ＿ｍ ＝ｇ 与 ［ ）ｉｄ（ 一ｍ （ ＝
Ｗ ＝∑ （ （ Ｖ ， ） 令： ｋ ） ［ ） ｗ Ｗ ， ） （ ］ ｋ若
（ ｔｇ （ ） （） … ，： ｔ ］ ［， ｔ ， ｔ ， ｇ （） ）＝
随着现代科学 技术 和其 他各 数学 分 支 的发 展 ， 微分 偏
一
见ｒ） Ｉ ｄ 。）（ ）． Ｉ ｆ （ （ ＋ ， ０
对 任 意 Ｃ ， ） 且 （ ） （ ， ， ＝０在 Ｑ 上 成 立 ．
４ 弱解存在Ｊ ． ｌ 生
在 Ｈ（ ，）～Ｈ（ ２ 假 设 下 ， 统 （ ， ）～（ ， ） 唯 ２１ ２，） 系 ２１ ２３有
（． ） ２２
（． ） ２ ３
证明
第 一 步 ， 造 逼近 解．由 ｕ 构 。
（ ， Ｑ） 由引 理
１．２ 知 在 ：∑ ｃ 得Ｕ在磁（） 收 于 ．１ ） 存 １（ 可 ， Ｏ Ｗ使 Ｑ中 敛
，
其中 Ｑ ＝Ｑ ×（ Ｔ ， 为 有 界 区域 ， ０， ］ Ｑ Ｔ＞０ ＝ ，
（，，）＝ 砉未未
解存在性．
） ）初条． 文 ， 为始 件 本 “ 在
取 近 为 下 式 函 （ ＝∑ ＆（ （） 逼 解 如 形 的 数， ） ， ｍ ） ，
中， 我们运用 了 Ｇ ｌ ｋｎ方 法 （ 文献 ［ ］ ， 明 了它 的弱 ａ ｒｉ ｅ 见 １ ）证
（ ｌ…， 满 ： ， ＝ ［ ］） ｍ ， ） 它足（ （ ） ， ＋ －， 使 ２ ！ ） （ Ｈ
∑ （ （ （ Ｖ ） （ Ｕ） Ｖｋ ） Ｅ ）ｗ ， ＋ｒ ｒＩ ｌ ） ］ ｎ Ｖ劢 ， ２
则有 ： （） ｆ（ ， （） … ， （） ・ ２ ６ ２ ： ｉｔ ， ） （ ・ ・ ）
一类抛物型偏微分方程的W2^1.1弱解存在性
（ ３ ）
（ ４ ）
［ Ｉ ｂ ｍ （ ） Ｌ Ｉ
Ｍ１ ， Ｍ２＞０使 ０ ＜Ｍ１ ≤ ≤ Ｍ２ ． （ ５ ） 当 （ ）＝ｕ 时 ，若 （ ａ ｊ ／ ） 为正定矩阵 ，式 （ １ ）就是普通的退化抛物方程 ； 若 ａ ）只是半正定 ，式
［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ２—１ ２—１ １ ［ 修 回 日期 】２ ０ １ ３— ０ １ —１ ９ ［ 基金项 目］福建省 自然科学基金资 助项 目 （ ２ ０ １ ２ Ｊ ０ １ ０ １ １ ） ［ 作者简介 ］汤林冰 （ １ ９ ８ ９ 一） ，男 ，硕士生 ，从事 偏微分方 向研究．通讯 作者 ：詹 华税 （ １ ９ ６ ６ 一） ，男 ，教授 ， 硕导 ，从 事偏微分方程方 向研究 ，Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ：ｈ ｓ ｚ ｈ ａ ｎ ＠ｊ ｍｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ．
证明 先证 （ ， ） 兰０ 的情况．对 Ｖ 叼 （ ， ｆ ）∈
数，则 ∈ ’ （ Ｑ ） 且 Ｅ （ Ｑ ） ．记 ：
’
（ Ｑ ）， 令 ＝Ｊ 叼 （ ， ） ｅ ０ ｒ 打， ０ 为待定正
（ Ｑ ， ） ， ｕ Ｉ ＝ ０ ｝， （ Ｑ ）＝｛ ｌ ｕ∈
ｔ ｉ ｏ ｎ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｐ ｒａ ａ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｗｅ ｅ ｋ ｅ ｘ ｔ ｒ ｅ ｍｕ ｍ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ； 。 。 一 ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ
如果 在某点 ％ ∈Ｑ ｒ 达到非负最大值 ， 则： （ Ｍ ） Ｊ 。 ≥０ ， Ｍ Ｉ 知≤Ｏ ， Ｉ ＝０ ， ｃ Ｊ 如≤０．由此可知
“
一类变系数非线性波方程弱解的存在性
０ 引 言
本文 主要讨论 下列 带有 变系数 项 的波方程
ｒ 一ｄ ｉ ｖ （ ａ （ ｘ ） Ｖｕ ）一 ｆ ｉ ｎ Ｕｒ ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一
： ：
∑ 口
Ｔ
， 、
其 中， 当 Ｔ＞ ０时 ， Ｕ ＝ Ｕ× ［ Ｏ ， 明 ， Ｕ为Ｒ 的一 个非 空开 子集 ， 且 有光 滑 的边界 ； ｆ， ｇ ， ｈ都 是给定 的函数 ， 且 ，∈ Ｌ （ ＵＴ ） ， ｇ ∈ Ｈ （ Ｕ） ， ｈ∈ Ｌ （ Ｕ） ； 口 （ ） ∈ Ｃ （ Ｕ）且 非 负 ； ｄ ｉ ｖ （ ａ （ ｚ ） ）＝ ＝ ＝
方 程
ｒ Ｕ 一 ｄｉ ｖ（ ａ（ ｚ） “） 一 ｆ ｉ ｎ Ｕｒ “ 一 ｇ， ｌ ， ｔ 一 ｈ ｏ ｎ Ｕ × ｛ Ｔ 一 ０）
ｌ “一 ０ 在 “ — Ｕ Ｏ ， Ｔ］ 上弱解 的存在 性．
ｏ ｎ ３ Ｕ×［ Ｏ， Ｔ］
［ 关键 词］ 非线性 波方 程 ； 迦 辽金 逼近方 法 ； 变 系数 ； 弱 解 ［ 文章编 号］ １ ６ ７ ２ — ２ ０ ２ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ４ ４ － ０ ３ ［ 中图分 类号］ Ｏ１ ７ ５ ． ２ ７ ［ 文献标 识码］ Ａ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ ０ ３ — １ ８
作者简介 ： 郭娇娇（ １ ９ ８ ４ 一 ） ， 女， 山 西 阳 泉人 ， 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 在读 硕 士 研 究 生 ， 主 要从 事偏 微 分 方 程 及 应 用 方 面 的研 究
第 ２期
郭娇娇 ： 一 类 变 系 数 非 线 性 波方 程 弱解 的 存 在 性
（ ｚ， ） ， （ ｚ， ） ；
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性在偏微分方程中，非线性方程是一类在研究中经常遇到的重要方程。
与线性方程不同，非线性方程的解的存在性通常更加复杂且难以确定。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程及其解的存在性问题。
一、非线性方程非线性方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的方程。
在偏微分方程中，非线性方程往往包含高阶导数项，例如常见的非线性偏微分方程中的非线性项可以是未知函数的高阶导数、函数本身的幂次项以及乘积项。
非线性方程的存在性问题是研究非线性偏微分方程解的一个重要问题。
一般来说，要判断非线性方程的解是否存在，需要借助数学分析和函数空间理论的工具，采用适当的方法和技巧进行分析。
二、解的存在性解的存在性是指非线性偏微分方程是否存在满足特定条件的解。
对于非线性方程，解的存在性问题往往比线性方程更加困难，需要借助更加深入的数学理论和分析技巧。
解的存在性问题可以通过两种主要的方法来研究：一是通过构造解的方法，即通过适当的变换和假设，构造满足方程条件的解；二是通过存在性定理，即通过数学推导和证明来判断解的存在性。
在构造解的方法中，常常使用变量替换、特解法以及变分法等技巧。
通过巧妙地选取变换和假设，可以将原方程转化为更加容易求解的方程，从而得到解的存在性的结论。
在存在性定理中，常用的方法包括分离变量法、最大值原理、奇点理论等。
这些定理给出了解存在的充分条件，从而简化了解的存在性问题的研究。
三、例子与应用非线性偏微分方程的解的存在性问题在实际应用中具有重要的意义。
例如，许多物理学领域的问题可以建模为非线性偏微分方程，解的存在性问题对于理解和解释物理现象具有重要作用。
以非线性波动方程为例，这是描述波动现象的重要方程之一，其包含非线性项，解的存在性问题是研究波动现象稳定性和非线性行为的关键。
通过研究非线性波动方程的解的存在性，可以得到波动现象的定性和定量结果，从而有效地预测和控制波动过程。
此外，非线性偏微分方程的解的存在性问题在数学分析、控制论、最优化等领域也有着广泛的应用。
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。
在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。
一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。
与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。
在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。
二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。
常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。
1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。
它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。
非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。
2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。
非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。
3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。
非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。
解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。
三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。
解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。
对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。
例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。
然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。
通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭园方程边值问题的多解存在性
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性
1、什么是非线性椭圆方程边值问题
非线性椭圆方程边值问题是一类特殊的偏微分方程，它是一个带有边值条件的非线性方程，它能够说明各种物理现象，例如弹性力学以及边界层理论等。
它是以椭圆型的形式来描述问题的，即所研究的问题可以转化为求解椭圆型方程。
2、多解存在性
多解存在性是指非线性椭圆方程边值问题可能会有不止一个解，即存在多解。
这是因为这种方程经过改变后可以转化为多组方程，并且这组方程具有相同的边界条件，因此会出现多个解。
同时，不同类型的椭圆方程也会出现不同的解，特别地，在特定的跟边界条件下，甚至可能存在无穷多的解。
3、解的性质
虽然该方程可能会有多解，但是这些解的性质并不完全一致。
例如，其中一些解可能是渐近解，其他解则可能是定常解。
从数学的角度来看，渐近解表示的是解的收敛性，即解会不断向某个特定方向收敛；而定常解表示的则是解的稳定性，即这一解会不断地存在，而不会出现任何改变。
4、椭圆方程边值问题的实际应用
非线性椭圆方程边值问题的多解存在性在很多领域都得到了广泛的应用，比如可以应用于工程设计中的力学和流体力学，还可以用于金融学中的价格计算。
除
此之外，这一方程还可以用于生物学中的生物医学建模，用于细胞信号传递中的活性水平，用于材料力学中的材料损伤航空航天等等。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
一类椭圆型随机偏微分方程弱解的存在性
１ｄ，ｘ， ｕ ｆ， ）ｚ）Ｄ Ｑ Ｊ ｉ（ ｕ ） （ ， （ ）∈ ×， ｖ ， ， ＝ ｘ ｕ （，∈ＯＤ×Ｑ， —Ａ ｕ Ｖ ｕ ，， ｕ ｕ：０ ｚｕ
其 中， ｄｖ与 表 示仅对 ｚ求微分．首先，作者引入了弱解的概念；然后，作者转化随机问 ｉ
题为高维确定性问题 ；最后，作者证 明了该 问题弱解 的存在性． 关键词：非线性椭 圆随机偏微分方程；弱解； Ｌ ｒｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ 连续方法． ｅａ － ｃ ａ ｄ ｒ
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：５６ 中图分类号： ７ ． 文献 标识码 ： ３ Ｊ５ Ｏ１５ ５ ２ Ａ
（１ Ｆ ） 满 足：存在 Ｋ（， ∈Ｈｐ，Ｌ ０ ｌ＜Ｐ＜ ＋ 。 使得 ｘ ） Ｏ＞ ， 。，
（ 增长性）ｌ（， ，，） ｆ （） １ ２ ） ｌ Ａ ｘ ｌ ｌ ｗ ｌ ＋ （ ｌ ＋Ｋ（， ） ［—．］ ｌ 一 一 ｘ ， Ｐａ ． ｅ； （ 单调性）Ｅ｛ （， ，１ ） ［ ， 一Ａ（， ，２叩］ ［一叩 ＞０ ≠叩 ｘ ，）． ］ ） ， ； （ 强制性）Ｅ［（， ，，（ ）・（） Ａ ｘ ） ］ Ｅ（ （） ） ［ ａ ． １ ｌ ， Ａ ．］ － ｅ． （２ Ｆ ）存在 １ ＜Ｐ ＜ｑ ＋ｍ ｎ １芍）Ｋ１ ｐ， ｉ｛， ， ∈Ｈ 使得 Ｖ ｘ∈Ｄ， 均有 ｌ ｘ ，） Ｋｌ ， ） ３ ） ｌ Ｐ ａ ． ｆ ， ｌ （ （ ＋ （ ｌ ，［—．］ ｘ 一 ｅ，
维普资讯
２０，８ ２：２ ２ ０８２ Ａ（） ０ ３８ ３
数学物理学报
一
类椭圆型随机偏微分方程弱解 的存在性
平｛ｉ 球 南 白 虐 口
（ 上海财经大学应用 数学系 上海 ２ ０ ３ ） ０ ４ ３
时标上一类混合型积微分方程弱解的存在唯一性
ａ． ２ ０ ； ａｉ ｅ ａ． ２０ ） １， ０ １Ｒ ｖ， ｔ １， ０２ 。然 而关 于时 标上 积
１ 引 言
为 了统一 离散 分析 和连续 分 析 ，ｔ ａ ｌｅ 首 Ｓｅ ｎＨｉ ｒ ｆ ｇ 次 提 出了时 间标 度 的概 念 （ ｌｅ，９ ０ 。 由于 时 Ｈｉ ｒ １ ９ ） ｇ
（ｘ（ Ｓ）ｔ 、（，） ． （）△ ，耽 ）ｔ ）＝Ｊ ｋｔ ｓｒ ） （ （） ． （， ｒ
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（ Ｃ ｌｇ ｃ ｎｅ Ｇ ｉ ｏ ｎｖｒｔ ， ｕｙ ｎ ，Ｇ ｉ ｏ ５ ０ ５， ｈｎ ；Ｄ ｐ ｒ ｅｔ ｕ ａ ｅ ｕｃｓａ ｄ ｏｌ ｅｏ Ｓ ｉ ｃ ， ｕ ｈ ｕ Ｕ ｉ ｓｙ Ｇ ｉ ｇ ｕ ｈ ｕ５ ０ ２ Ｃ ｉａ ｅａｔ ｎ ｏ Ｈ ｍ ｎ Ｒ ｓ ｒ ｎ ｅ ｆ ｅ ｚ ｅｉ ａ ｚ ｍ ｆ ｏ ｅ Ｓ ｃ ｌ ｅｕｉ ｕｚｏ ｒｖ ｃ ， ｕ ａｇ， ｕｚｏ ５ ０ ２， ｈｎ ） ｏｉ ｃｒｙｏ Ｇ ｉ ｕＰ ｏｉ ｅ Ｇ ｉ ｎ Ｇ ｉ ｕ５ ０ ０ Ｃ ｉａ ａＳ ｔｆ ｈ ｎ ｙ ｈ
性动 力方 程 的 研 究 均 取 得 丰 硕 的成 果 （ Ｂ ｈ ｅ ｔ ｏｎ ｒｅ
（）＋ （ ） ｔ ＝ ｔ ｔ ， ． ） ｔ ， ｔ Ｐ ｔｘ （） ， ） （ （ ） （ ｓ
｛
（ ） ）ｔ （） ， ＥＴ＝［ ，］， ０ｂ
（） １
（ ）＝ ， ａ ０
中图分类号
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程是研究自变量是多个变量的函数的微分方程，其中涉及到的函数通常是多元函数。
对于某些偏微分方程，存在多种类型的解，其中比较常见的有经典解和弱解。
经典解：对于偏微分方程，如果它的解在定义域内连续可微，那么这个解被称为经典解。
经典解具有较好的性质，例如它们可以直接用于数值计算，并且能够满足偏微分方程中的初值或边界条件。
弱解：偏微分方程的弱解是指一个不一定连续可微的函数，它满足偏微分方程的积分形式或者偏微分方程的广义定义。
在很多情况下，偏微分方程不存在经典解，但是可以找到一个弱解。
弱解通常需要进行额外的限制和约束，以保证解的合理性和唯一性。
总的来说，经典解和弱解是偏微分方程中两种常见的解法，它们的应用范围和性质各不相同。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择适合的解法来求解偏微分方程，以得到最为合理和准确的结果。
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一类非线性偏微分方程弱解的存在性
摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.
关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程
取足够小，则有，故是压缩映射。
由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。
定理得证。
3 结语
由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。
事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。
这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。
满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。
在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。
这也是计算数学中常用的方法。
但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。
这就是理论数学研究的范畴。
参考文献
[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.
[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.
[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。