专题讲解--对勾函数
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学大教育个性化教学学案姓名年级性别
课题对勾函数
教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像
教学重难点
运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。
教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作f(x)=ax+b/x )。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
a>0 b>0a<0 b<0
对勾函数的图像( ab 同号)
当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 )
对勾函数的图像（ab 异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。之后当a<0，b<0 时，根据对称就很
容易得出结论了。
（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：
当x>0 时，
错误!未找到引用源。。
当x<0时，错误!未找到引用源。。
即对勾函数的定点坐标：
（三）对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调
性
(五) 对勾函数的渐进
线
由图像我们不难得
到：
(六) 对勾函数的奇偶
性
：对勾函数在定义域内是奇函
数
二、类耐克函数性质探
讨
函数y ax b，在a 0或b 0时为简单的单调函数，不予讨论。x
在a
(3)a
0且b 0时有如
0,b (4)a
下几种情况：(1) a 0,b 0
0,b 0
(2) a 0,b 0
设
y1
ax ，y
2
b，则y
x y1 y2 ax b，其定义域为
x|x R,且x
1 2
x
(1)a 0,b 0
时，
y
1
ax
，
y2 b x在(
x
,0), (0, ) 上分别单调递增。
y y1 y2 ax
b在( ,0),(0, ) 为单调递增函数。
x
(2)a 0,b 0
时，
y
1
ax
，
y
2
b在(
x
,0),(0, ) 上分别单调递减。
y y1 y2 ax
b在( ,0),(0, ) 为单调递减函数
x
(3)a 0,b 0 图像略
x 1x 2
1 当 x 0 时， y 1 ax 0 ， y
2 b 0 y y 1 y 2 ax b x 1 2 x 当 ax b ，即 x b
取等号。
x a
3. 单调性定义
1 当 x 0 时 ， y 1 ax 0 ， y
2 ax b
，即 x b 取等号。 x a 0
y y 1
y
2
ax b
2 ax b x x
2 ab
。
当且仅当
2 当 x 0时 y 1 ax 0， y 2 b
x
且仅当 b ax ， x 即x
b
a （因为
x
0b
y y 1 y 2 ax
x
0 ，故舍掉 x b ) a 4)a 0,b 0
( ax
b
)
2 ax b
xx
，当
2 ab
，当
等号。
2 当 x 0时
b
ax ，即 x
x
y 1 ax 0 ， y 2
0 y y 1 y 2 ax b
x
2 ax b x x
2 ab
，
当且仅 当
三、 关于求函数
y
x 1 x 0 最小值的十种解法 x
1. 均值不等式
1 x 0 ， y x
x
的时候， y min 2
1
2 ，当且仅当 x
，即 x 1 的时候不等式取到
x
2. 法
12
y x x yx
x
10
若 y 的最小值存在，则 2
y 2 4 0必需存在，即 y 2或 y
2（舍）
设
0 x 1 x 2
f x 1 f x 2
x
1
x
2
x 1 x 2 1
x
1
x
2
x 1x 2 1 ( ax
。当且仅
b )
x
b x
x1 x2x
1x2
当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 0,1 时， f x1 f x2 0 ，此时f x 单调递增；当对于任意的x1,x2，只有x1,x2 1, 时， f x1 f x2 0 ，此时f x 单调递减。当x 1取到最小值，y min f 1 2
4. 复合函数的单调性
1
tx 1在0,
x
2
单调递增，y t 2 2在
,0 单调递减；在0,
单调递增
又x0,1 t,0 x 1, t 0,原函数在0,1上单调递减；
在1,
上单调递增
即当x 1取到最小
值，y min f 1 2
y x
x
2
5. 求一阶导
1 ' 1 y x y 1
2 xx y' 0 ，函
数单调递增。
当x 0,1 时，y' 0 ，函数单调递减；当x 1, 时，当x 1取到最小值，y min f 1 2
6. 三角代换
令x tan ，
0,2，则1
，则cot x
12
yx tan cot
x sin2
0, 2 20,
，即2
4
时，sin2 max 1，y min 2 ，显然此时x 1 2 7. 向量
11
x x 1 1 a b ，
xx
1
x,
1 ,b 1,1
x1x2
x
ab a b cos
根据图象， a 为起点在原点，终点在 x 0 图象上的一个向量， a cos 的几何意
义为 a 在b 上的投影， 显然当 a b 时， 8．图象相
减
a cos 取得最小值。此时，
x 1，
y min
2 2 2
1 1
，即 y 表示函数 y
x
1
x 和
y 两者之间的距离
x
求
y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线 y x ， 1
显然当 y x 与 y 相切时，两曲线竖直距离最小。 x
y 1 关于直线
x y x 轴对称，若 y x 与 y 1在x x 1处有一交点，根据 对称性， 在 0 x 1 处也必有一个交点， 即此时 y 1
相交。 x 的情况。 所以，切点一定为 1, 1 点。 此时， x 1 ， y min 9.平面几
何
依据直角三角形射影定理，设 AE x,EB
1
，则 AB AD x 1 显然， x 为菱形的一条边，只用当 x AD CD 之间的距离
时， x 1 取得最小值。 x 1
此时， x 1 ，即
1， y min 2
10. 对应法则
显然不是距离最小 AB ，即 AD 为直线 AB 和 即四边形 ABCD 为矩形。
x 2
2.
x>1. 求y
x 2
2x 2 的最小值
x1
3.
x>1. 求y
x 2
x1 的最小值
x1
4.
x>0. 求y
3x 2 的最小值
x
5.已知函数
2
y x2 2x a (x [1, )) 1)求 a
1
时，求 f ( x)的最小值
左边的最小值 右边的最小值
2 t 2
t 2 t 1(舍)或 t 2 且 y min 2
2 当 x P x 2
，即 x 1时取到最小值，
练习：
1
的最小值 x1
设fx
min
x 0,
x 2
0,
，对应法则也相
同
x 2
min
1．
x>1.求
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2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
6.: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 , 2 ]内有解，则 a 的取值范围是
大值为
x2 2x 2
则y x2x2x22的最值是
12. 求函数f x
1 16x x
2
x
x x2 1
1
x 2 的值域x2x 3
8.函数y 2 3x 4的最大值为x
10. 函数y
9
2
sin x 4sin2 x 的最小值是
11.若不等式a
t
2
2在t
t2 0,2 上恒成立，则a 的取值范围是
13. 当x (0，1)时，
求f(x) 4x2
4 1的值域10
7. 函数y x
x 2 x 7 的最小值为；函数
y x 10 2 x 7 的最
x
9、若4
1 的最值。
2
14. 求f(x) x2
对勾函数的几点分析
对勾函数的几点分析 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 奇偶性与单调性 当x>0时，f(x)= x b ax + 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当a b x =的时候 奇函数。 令a b k = ，那么： 增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}； 减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试(一模)数学试题教师解析版
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学 试题 一、单选题 1．已知集合{} 15A x x =<<，{} 03B y y =<<，则A B =（） A ．? B ．{} 13x x << C ．{} 05x x << D ．{} 05x x << 答案：B 利用交集的定义可求得集合A B . 解： {}15A x x =<<，{}03B y y =<<，因此，{}13A B x x ?=<<. 故选：B. 2．已知z 为复数，若()1i i z ?+=(i 是虚数单位)，则z = A ．1 B C ． 12 D ． 2 答案：D 先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长. 解：因为(1)z i i +=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2 z ==，故选D. 点评：本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结 合模长公式z = . 3．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 解：因为4228S S =+， 所以 () ()14124282 a a a a +=++，
所以()()11112328a a d a a d ++=+++， 即48d =， 解得2d =， 故选：B. 4．若实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，则2x y -的最小值为（） A ．.1 B ．1- C ．3 D ．3- 答案：D 根据实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，画出可行域，记目标函数2z x y =-，平移直线 12 2 z y x = -，当直线在y 轴上的截距最大时z 有最小值求解. 解：实数x ，y 满足约束条件0 320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? 的可行域如图所示： 记目标函数2z x y =-，平移直线122 z y x =-，当直线经过点(3,3)A 时在y 轴上的截距最大，此时对应的z 具有最小值， 最小值为3233z =-?=-， 故选：D. 5．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“22 1 2 a b +≥ ”的（）
专题讲解--对勾函数
读万卷书行万里路 学大教育个性化教学学案姓名年级性别 课题对勾函数 教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像 教学重难点 运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。 教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作f(x)=ax+b/x )。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0a<0 b<0 对勾函数的图像( ab 同号) 当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。 )
对勾函数的图像（ab 异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。之后当a<0，b<0 时，根据对称就很 容易得出结论了。 （二）对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0 时， 错误!未找到引用源。。 当x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： （三）对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
最新对勾函数详细分析【精选】整理版
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
对勾函数求最值
对勾函数年级：高二科目：数学时间：9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： 函数的单调性． 显然此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），用描点法可作出此函数的图象为： 从图象上可看出，函数在（0，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，在（－∞，－]上单调递增，在[－，0）上单调递减． 我们可用单调性的定义验证它的单调性（证明略）． 很容易看出f(x)是一个奇函数，所以它的图象是关于原点对称的，我们只需记住它在（0，]、[，＋ ∞）上的单调性就可以了，而且我们用这个函数解题时，通常只用这两个区间上函数的单调性． 特殊地，当k=1时，，它在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增． 一般地，对于函数，我们也可把它转化为的形式，即为， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 说明：因课本并没有介绍此函数的单调性，所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1） （2）依题意知s，a，b，v都为正数，故，
当且仅当，即v=时上述等号成立． 若≤c，则当时v=时，全程运输成本y最小． 若>c，，此函数在（0，]上单调递减， 则在（0，c]上也单调递减，所以y≥，当v=c时取等号． 综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=，当＞c时，行驶速度应为v=c． 同学，你好，你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切，要努力地去做，让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼！
对勾函数最值的十种求法
关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0'
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式与对勾函数 一、基本不等式 前提条件是：0,0>>b a 取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0
例5函数9 )(2+=x x x f 的最大值为 例6函数1 11)(-+ -=x x x f 的最小值为 例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围 例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y x 1 1+的最小值 练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b a 1 21+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围 练习7已知不等式（x y +） 1a x y +（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 例9若10< 练习8.若320< 对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号） 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax 1 专题对勾函数及其应用 1．对勾函数定义 对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。 2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质 (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． 3．y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a . 求分界点方法：令ax ＝b x ?x ＝±b a . 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x 的单调区间的分界点：±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a 时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]． 变式训练 已知函数f (x )＝ x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值． 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2 (0≤x ≤3)的值域． 2 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1 ，x ∈[]2，5的值域． 强化训练 1．下列函数中最小值是4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x - D ．y ＝x 2＋1x 2 ＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x ，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5)C ．[133 ，4) D ．(4,5) 3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2 的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x 的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________． 7．若函数y ＝x a x y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+ -a a 恒成立，求a 的取值范围． 9．已知函数f (x )＝x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12 时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a . 10 求函数()f x = 的最大值.（较难） 分压电路的动态分析 分压电路是高中阶段学生必须掌握的一种电路，对分压电路的动态分析也就显得很重要了，因此有必要进行详细地讨论。 图1所示的是分压电路的电路图，其中滑动变阻器的总阻值为R，设滑片左边的部分电阻为x，则滑片右边的部分电阻为，负载电阻为。 首先，我们讨论外电阻随x的变化而变化的规律。由串并联电路知识知： 上式中括号内是数学中提到的“对勾函数”，令 则有： 当且仅当时，等号成立，此时有：。因此： 当时，为增函数； 当时，为减函数。 函数图象如图2所示。 在我们要讨论的物理问题中，。因此，y为增函数，为减函数。我们把这作 为一个非常重要的结论。 结论一：当x增大时，分压电路的外电阻将减小。 由闭合电路欧姆定律可知，干路中的电流将增大。在电路中和x是并联关系，因此它们的电流是按电阻的反比来分配的。负载上的电流 x增大的结果是使上式中的分子I增大，同时使上式中的分母减小，我们将得到 结论二：当x增大时，流过负载的电流增大。 由于负载是定值电阻，由、可知： 结论三：当x增大时，负载两端的电压增大。 结论四：当x增大时，负载消耗的电功率增大。 另外：由P=EI、可知： 结论五：当x增大时，电源提供的电功率和电源内阻上消耗的电功率都将增大。 由和结论一可知： 结论六：当x增大时，电源的效率降低。 总之，我们可以说，当x增大时，负载上的电流、电压、电功率都是增大的，电源提供的总功率也增大，但电源的效率下降了。下面的一道习题作为练习： 练习题：电路如图所示，定值电阻、，电源电动势为E=6V，内阻为，滑动变阻器总阻值为，当滑动触头P从最左端向右滑动过程中，则下更判断错误的是（） A．电源消耗的功率一直减小 B．消耗的功率一直减小 C．消耗的功率一直减小 D．电源内阻r消耗的功率先减小后增大 参考答案：D [参考文献] 应用题综合复习----对勾函数 1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。 ①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2 m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2 m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． （1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ 3、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道 面积S 与r 的函数关系S(r ) (2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时, 运动场造价最低?（精确到元） 4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。 ⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值 原有价值 ；在切割过 程中的重量损耗忽略不计） 对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为， 百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）理数全国卷III 试 题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设2 122z i ?? =- ? ??? ，其中i 是虚数单位，则 z ＝（ ） A ． 12 B ．2 C ．1 D 【答案】C 【分析】 先根据完全平方公式和复数的运算计算出z ，再根据复数的模的求法解出即可. 【详解】 解：因为2 1122z i ?=-=-???? ， 所以1z ==. 故选：C . 【点睛】 本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题. 2．已如集合{} 0A x x =≥，集合( ){ }2 ln 2B x y x x ==+-，则A B =（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,1- C ．[)0,1 D ．()2,-+∞ 【答案】A 【分析】 求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】 解：集合{}{ 2 202B x x x x x =+->=<-或}1x >， 所以()1,A B =+∞， 故选：A. 【点睛】 本题考查了集合的基本运算、对数型复合函数的定义域，考查了基本运算能力，属于基 础题. 3．已知向量(),1a x =-，()2,4b =-，若a b ⊥，=+c a b ，则a 在c 上的投影为（ ） A ．1 B ．±1 C D ． 【答案】A 【分析】 先由题意，根据向量数量积的坐标表示，求出2x =-，再由向量投影的计算公式，即可得出结果. 【详解】 因为a b ⊥，(),1a x =-，()2,4b =-， 所以240a b x ?=--=，解得2x =-， 所以()2,1a =--，()4,3c a b =+=-， 所以a 在c 上的投影为(14a c c ?= =-. 故选：A . 【点睛】 本题主要考查求向量在另一个向量上的投影，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量数量积的几何意义即可，属于基础题型. 4．方程( )4 4 22 4x y x y +=+所表示曲线的大致形状为（ ） A ． B ． 基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(< 此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0( 关于求函数y = x ? 1 x . 0最小值的十种解法 x 一、 均值不等式 1 1 x 0, . y=x ?一_2，当且仅当x ，即x=1的时候不等式取到“=”。 x x 当X =1的时候，y min =2 二、 厶法 1 2 y=x — : x -yx1=0 x 若y 的最小值存在，则 厶=y 2 -4亠0必需存在，即y 亠2或y _ -2 （舍） 找到使y =2时，存在相应的x 即可。 通过观察当x =1的时候，y min =2 三、单调性定义 设 0 ：：： X 1 ：：： x ? 1 1 i f （X 1 ）—f （X 2 ）=人—X 2 十一—一 =（X 1 —X 2 ）1 X 1 X 2 V X 1X 2 丿 当对于任意的X 1,X 2，只有X 1,X 2三〔0,1时，f X 1 - f X 2 2 0, ?此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2，只有X —X 2三［时，f x 1 - f x 2 ：：： 0，?此时f x 单调递减。 当X - 1取到最小值，y min = f 1 =2 四、复合函数的单调性 t = Jx ——2在（0,母）单调递增，y =t 2 +2在（—°°,0）单调递减；在 0,畑）单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t '：L ~0 x 1, ? ：： = t 0,:: -原函数在 0,1上单调递减；在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值，丫皿山二f 1 =2 二 X 1 -X 2 3 X 1X 2 y =x 1 2 x 五、求一阶导 1 ' 1 y = X — ： y =1 2 X X 当 10,1时，y' :：: 0，函数单调递减；当 X ，1, 时，y' .0,函数单调递增。 当X =1取到最小值，y min = f 1 =2 六、二角代换 厂兀） 1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X 广IT ） a s 0, — in 2a E （0,兀） I 2丿 八、图象相减 1 1 ，即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离 X X 求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值 1 平移直线y = x ，显然当y = x 与y 相切时，两曲线竖直距离最小。 x 令 x = ta n ：, 1 =X tan 二 cot: 2 sin ： n Ji .当一4，即2二时, si n2 max =1 , y min 二2，显然此时x = 1 七、 向量 2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题 一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11 a b +的最小值为（ ） A ．8 B ． 1 4 C ．1 D ．4 【答案】D 【解析】 33a b 与的等比中项，∴3=3a ?3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2． ∴ 11a b +=()11a b a b ??++ ???=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】 复数()133z i i i =+=-+， 所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】 本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()10 1d a x x = +?，10 cos d b x x =?，1 e d x c x =?，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b << 函数专题研究(一>------基本函数 一.知识归纳: 1.正反比例函数、一次函数。<略） 2．二次函数： (1>形式:①y=ax2+bx+c。②y=a(x-x1>(x-x2>。③y=a(x+>2+其中a≠0 (2>字母意义:①a表示开口方向和大小。②c表示在y轴上的截距(区别于距离>。 ③b与对称轴在关。 (3>二次函数、二次方程与二次不等式间的关系. (4>重要结论:①求根公式。②韦达定理(根与系数的关系,特别注意使用的前提条件>。 ③|x1-x2|= (5>列表讨论二次不等式解集的情况: (6>根的分布情况:(结合图形推导或借助于韦达定理归零处理>总结根的分布与哪些量有关 ①两根均大于k。②两根均小于k。③两根分别在k的两侧。④两根均在k1 (2>图象和性质：<结合图象把握性质） 第一象限从下至上底数渐大 过定点(0,1> 过定点(1,0> 对于函数值:同正异负(同异指真数与底数的区间> 4.幂函数:<结合图象把握性质） (1>过定点(1,1>。 (2>其它象限的图象结合函数的奇偶性来确定. 5.对勾函数:y=ax+ 当a,b同号时用对勾函数。当a,b 6.一次分式函数:y= (1>y=的对称中心为。 (2>y=中,若a=-d,则原函数和反函数是同一函数。 (3>常用做题方法:分离常数法. 7.二次分式函数:y= 常用做题方法:判别式法对勾函数或二次等熟悉函数 8.反函数: (1>y=f-1(x>和x=f-1(y>均为y=f(x>的反函数。(2>y=f(x>与y=f-1(x>的图象关于y=x 对最新对勾函数讲解与例题解析
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