1 章末质量评估

(基础卷)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为()①你所在班中身高超过1.75 m的同学；②所有平行四边形；③人教A版数学必修1教材中的所有习题；④所有有理数；⑤2016年高考试卷中的所有难题．A．1 B．2C．3 D．4解析：由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．答案： D2．设全集U＝Z，集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}C．{7,9} D．{2,4}解析：题图中所示阴影表示的集合是(∁U A)∩B＝{2,4}．答案： D3．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则(∁U A)∩(∁B)为()UA．{1,2} B．{3,4}C．{5,6} D．{7,8}解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∁U A＝{5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}，故(∁U A)∩(∁U B)＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}．答案： D4．下列各组函数相等的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x0C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析： 选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合． 答案： C5．如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析： 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意． 答案： D6．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y ＝1|x ＋1|解析： 在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，即y >0.答案： D7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]解析： 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]． 答案： D8．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－6D ．6解析： 由题意得g (－2)＝f (－2)＋9＝－f (2)＋9＝3， ∴f (2)＝6. 答案： D9．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．R解析： 二次函数的对称轴是直线x ＝－m 2，则由题意可得－1≤m2≤1，所以－2≤m ≤2.答案： A10．若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F (x )在区间(－∞，0)上( )A ．有最小值－5B ．有最大值－5C ．有最小值－1D ．有最大值－3解析： ∵当x >0时，F (x )≤5，即af (x )＋bg (x )＋2≤5， ∴af (x )＋bg (x )≤3. 设x <0，则－x >0，∴af (－x )＋bg (－x )≤3，即af (x )＋bg (x )≥－3. ∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2≥－1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________________.解析： 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案： {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9} 12．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析： 令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x 2(x ≠0) 13．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________． 解析： 设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2，所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10.答案： －1014．若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)解析： ①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．答案： (3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解析： (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}．(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6.(1)判断点(3,14)是否在f (x )的图象上； (2)当x ＝4时，求f (x )的值； (3)当f (x )＝2时，求x 的值．解析： (1)因为f (x )＝x ＋2x －6，所以f (3)＝3＋23－6＝－53，所以点(3,14)不在f (x )的图象上． (2)f (4)＝4＋24－6＝－3.(3)令x ＋2x －6＝2，即x ＋2＝2x －12， 解得x ＝14.17．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解析： (1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1，代入(2,3)得a ＝2， 所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3.(2)对称轴为x ＝1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立，所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝－1，所以m <－1.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.解析： (1)由题意可知f (－x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)， ∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b1＋x 2， ∴b ＝0，∴f (x )＝ax 1＋x 2.又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x1＋x 2.(2)当x ∈(－1,1)时，函数f (x )是单调递增的． 证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1， ∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0.又1＋x 21>0,1＋x 22>0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )为增函数． (3)∵f (2x －1)＋f (x )<0， ∴f (2x －1)<－f (x )．又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13，∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13.(能力卷)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·山东省淄博市淄川一中高一上期中)下列关系式中，正确的是( ) A.2∈Q B ．{(a ，b )}＝{(b ，a )} C ．2∈{1,2}D ．∅＝{0}解析： A 中2是无理数，因此不正确；B 中两集合为点集，元素不同，所以集合不相等；C 中元素集合的关系式正确；D 中空集不含有任何元素，因此两集合不相等．选C.答案： C2．(2016·河北省衡水中学高一上一调)下列关系中，正确的个数为( ) ①22∈R ②0∈N * ③{－5}⊆Z ④∅⊆{∅} ⑤∅∈{∅} A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 因为①22∈R ，②0∉N *，③{－5}⊆Z ，∅看作集合时④正确，由于{∅}中有一个元素是∅，所以⑤正确，选D.答案： D3．下列能表示y 是x 的函数的是( ) ①x －2y ＝6 ②x 2＋y ＝1 ③x ＋y 2＝1 ④x ＝y A ．①②③ B ．①③④ C ．③④D ．①②④解析： 判断y 是否为x 的函数，主要看是否满足函数的定义，即一对一或多对一、不能一个自变量对应多个y 值，故③错，选①②④.故选D.答案： D4．(2016·山东青岛一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1解析： 由函数y ＝1－x 22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12， 即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1. 答案： D5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( ) A ．(1,3) B ．(1,1) C ．(3,1)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.答案： B6．(2016·湖北宜昌市第一中学高一期中)已知集合A ＝{1,3,5}，B ＝{2，a ，b }，若A ∩B ＝{1,3}，则a ＋b 的值为( )A ．4B ．7C ．9D ．10解析： 由题意可知a ＝1，b ＝3或a ＝3，b ＝1，所以a ＋b ＝4，故选A. 答案： A7．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析： 由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减， 由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 答案： A8．(2016·内蒙古赤峰市平煤高中高一月考)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或0解析： 由A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＝0，当B ＝{1}时，m ＝1，当B ＝{－1}时，m ＝－1，故选D.答案： D9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f (f (x ＋5))，x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析： f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24. 答案： A10．函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．0<a ≤15B ．0≤a ≤15C ．0<a <15D ．a >15解析： 当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a ，∵f (x )在(－∞，4]上为减函数， ∴图象开口朝上，a >0且－a －1a ≥4，得0<a ≤15. 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数． 答案： B11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析： 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．答案： C12．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}解析： 因为函数f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是增函数．因为f (－x )＝－f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝0，不等式x [f (x )－f (－x )]<0可化为2xf (x )<0，即xf (x )<0.当x <0时，可得f (x )>0＝f (－1)， 所以x >－1，所以－1<x <0， 当x >0时，可得f (x )<0＝f (1)， 所以x <1，所以0<x <1.综上，原不等式的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2016·江苏省通东中学高三第一阶段月考)a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析： 因为f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝a ，a ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.而a ＝1，b ＝1时，M 中有两个相同元素， 故a ＝1，b ＝1不合题意． 所以a ＋b ＝1. 答案： 114．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是____________．解析： 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .答案： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >100 15．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________.解析： 由函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，则f (－2)－2＝f (2)＋2＝3，所以f (－2)＝5.答案： 516．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.解析： 由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．答案： {0,6}三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·临沂高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．因为A ∩B ＝[1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. 18．(本小题满分12分)(2016·德阳高一检测)李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )元与用电量x (度)间的函数关系；(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？解析： (1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x .当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30(注：x 也可不取0)(2)当0≤x ≤30时，由L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去．当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60，所以李刚家该月用电60度．(3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，所以x >25，所以25<x ≤30；当x >30时，由L (x )<F (x )，得，0.6x －1<0.58x ，所以x <50，所以30<x <50.综上，25<x <50，故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．19．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A .(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合．解析： (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}．因为∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}，所以(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}．(2)因为C ⊆B ，如图所示：所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8， 所以所求集合为{a |2≤a ≤8}．20．(本小题满分12分)(2016·长沙高一检测)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解析： 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2，所以－1≤m <12. 故m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 21．(本小题满分12分)(2016·昆明高一检测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．解析： (1)由f (0)＝2，得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2. 所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，函数图象的对称轴为x ＝1，且开口向上，所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，对称轴为x ＝1∈[－1,2]，故f min (x )＝f (1)＝1，又f (－1)＝5，f (2)＝2，所以f max (x )＝f (－1)＝5.22．(本小题满分12分)(2016·日照高一检测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . (1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)若当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0，求证：f (x )在(－1,1)上是减函数．证明： (1)函数f (x )定义域是(－1,1)，由f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . 令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋01＋0，所以f (0)＝0. 令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0， 所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2，因为0<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0.所以x 2－x 11－x 1x 2>0. 又(x 2－x 1)－(1－x 1x 2)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0， 所以0<x 2－x 1<1－x 1x 2.所以－1<－x 2－x 11－x 1x 2<0， 由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2>0， 所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0,1)上为减函数． 又f (x )为奇函数，所以f (x )在(－1,1)上也是减函数．。