李雅普诺夫稳定性理论 (2)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
5.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
当 与 t 0 无关 大范围一致渐近稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 域外是否存在其它平衡状态。 s( ) 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
5.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
Hale Waihona Puke Baidu
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
5.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
与 t 0 有关 时变：
定常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0 , t0 )，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐近稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐近稳定的。
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统
正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
5.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
当 与 t 0 无关 大范围一致渐近稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 域外是否存在其它平衡状态。 s( ) 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
5.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
Hale Waihona Puke Baidu
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
5.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
与 t 0 有关 时变：
定常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0 , t0 )，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐近稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐近稳定的。
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统
正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，