分段函数可导性的一种简便判别法

相似文献(10条) 1.期刊论文 任树联.REN Shu-lian 讨论分段函数在分界点处极限、连续性及导数的定理 -宜春学院学报（自然科 学）2006,28(4)
文章通过阐述分段函数的本质特征,给出讨论分段函数在分界点处极限、连续性及导数的定理,解决在讨论分段函数的极限、连续性及导数时,为什么 要在分段函数的分界点处进行讨论以及怎样讨论的问题.
4.期刊论文 叶鉴樱 分段函数在高等数学教学中的几类问题 -咸宁师专学报2002,22(6)
就函数的定义,函数的连续性,可导性及微分的应用几方面讨论了分段函数在高等数学学习中的重要性,并强调了在高等数学的学习中一定要认真学习 概念,掌握其问题的实质.
5.期刊论文 裴瑞 谈关于分段函数不定积分的求法 -大众商务（下半月）2010,""(3)
分段函数可导性的一种简便判别法
赵芳玲
（西安航专 基础部， 西安 = ） " $ $ = = 摘 要： 分段函数的可导性问题是高等数学理论中的一个重点和难点， 学生在平时的学习中不易掌握， 本文介
绍一种简单判别分段函数在分段点处的可导性的方法。 关键词： 分段函数； 连续性； 导函数； 可导性 中图分类号： （ ） > " = ? 8 " 文献标识码： 0 文章编号： " $ $ @ A % ! # # ! $ $ # $ # A $ $ B C A $ ! 在多年高等数学的教学工作中， 我发现学生在处理分段 函数在分段点处的导数问题时， 困难比较多。他们碰到此类 问题时要么根本无从下手， 要么就生搬硬套地按定义求分段 点处的导数。这种做法虽然可行， 但对帮助学生掌握分段函 数在分段点处的可导性说服力不强， 而且对于有些分段函 数， 此种方法还显得有些繁。本文阐述如何利用分段函数在 分段点处两侧邻域内的导函数简单判断分段函数在分段点 处的可导性。 定理" 如果分段函数在分段点处不连续， 则该函数在 此分段点处不可导。 D / * ! " $ 例"讨论函数! （"） ## " ! " % # " $% &" " #$处的可导性。 使 （" （" （" （" "） ! "） $! $! ! $） $&! $&! $） （ ’ # #! "） " ! " $! （" （" "） $! ! $&! $） 则, / E $ ! " ! "( $ （ （ / E! ’ / E! ’ #, #, "） "）
显然$ （"） 与$ （"） 存在但不相等。 故! （"） 在 & & % &! % &!
" ##处不可导。 注意： 定理"的逆命题不成立。
即如果分段函数! （"） 在分段点" 且在" ( 处连续， ( 的空 心邻域内可导， （"）与 $ （"）至少有一个不存在 $ % &! & % &! &
% "#" ( $ "#" (
（"） ） $ % &! & % &（ " " $# #$ #!
% "# #
此时极限$ （"）与$ （"）不存在， 用导数的定 & & % &! % &!
$ "# (
（"） & % &（ ’ " $ % &! #$
$ "# # % "# # $ "# #
"）
#’
义判断如下： （"） （ ） ( %! ! （"） & % & #$ ! "# ( " %( # " * % + " % & #$ "# ( " # % & * % + #$ "# ( " # 极限 故! （"） 在 " #(处不可导。 $ % & * % + 不存在， "# ( " 本文重点阐述了如何利用分段函数在分段点两侧邻域 内的导函数， 判断分段函数在分段点处的可导性。 大家在实 际应用过程中， 不要死搬硬套， 注意灵活运用。 参 考 文 献
分段函数可导性的一种简便判别法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 赵芳玲 西安航专,基础部,西安,710077 西安航空技术高等专科学校学报 JOURNAL OF XI'AN AEROTECHNICAL COLLEGE 2003，21(3) 2次
参考文献(3条) 1.同济大学数学教研室 高等数学 1997 2.华东师范大学数学系 数学分析 1981 3.同济大学 高等数学 1998
$ ! "( $ $ "(" $
（ （ ’ ’ / E! / E! #, #, "） "）
& ! "( $ & "(" $
#( （ $） ’ #! & " 当! 在开区间 （" 至少存在一点"， " &$时， "， " $&! $）
" &$ " ’$
在
#( （ $） ’ #! $ " 即! （"） 在" 故! （"） 在" $ 处的左右导数存在且相等， $ 处可导， 且! （" ’ # () $） （ ） 由 （ ） 的证明知， 若, （"）与, （"）都存在 ’ ’ ! " / E! / E!
故! （ ） ’ $ ) #" 即 3 ’ D " " &$ $ （"） " ’ " #$ ## ! " " % % &" % " )$
赵芳玲：分段函数可导性的一种简便判别法
. 3
# "
例! 解
$ "# #
讨论函数! （"） #
｛
" " $" " !# !
在 " ##处的可导性。
% "# #
" "
（" 可能存在， 也可能不存在， 此时应用导数的定义判 时， & ! (） 断。 # " & " (( " * % + 例) 讨论函数! （"） 在" #( " #% " #( ’ ( 解 显然! （"） 在 " #(处连续， 又知当 " ((时
处是否可导。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
［ ］ 同济大学数学教研室 编 / 高 等 数 学 （第 四 版， 上 册） # ［0］ 高等教育出版社， /北京 1 # 2 2 3 / ［ ］ 华东师范大学数学系编/数学分析 ［0］ 高等教 " / 北京 1 育出版社， # 2 4 # / ［ ］ 同济大学、 西北工业大学等院校合编 / 高等数学 （上 ! 册） ［0］ 高等教育出版社， /北京 1 # 2 2 4 /
% "# (
（"） $ % &! % &（ " " #$
$ "# #
!）
（ ） # # "# !
在 " #(
所以! （"） 在 " ##处连续。 又知 当 " $ #时 当 " " #时 从而
% "# # $ "# #
（"） & " $# #" ! " （ ） " & " #’ !
显然! （"） 在 " #(处连续， 又知当 " ((时
$ "(" $ & "(" $
D / * ! " 解： 因为, （"） ， （"） / E! / E , / E! / E #, #! #, $ $ " & & "( $ "( $ "( $ "( $ ! " （ ） ， # " $% &" #$ （"） 在 " #$处不连续，故亦不可导。 所以函数! 如果分段函数! （"） 在分段点 " 且在 $ 处连续， 的空心领域内可导， 则 " $ （ ） 当, （"） （( 为常数）时， （"）在 " ’ " / E! #( ! $ 处可
# # （"） & " * % + %, * #" ! " "
% "# (
此时极限$ （"）与$ （"）均不存在， 用导数的 % &! & % &! &
$ "# (
定义判断如下： （"） （ ） ( %! ! （"） & % & #$ ! "# ( " %( # " " * % + %( " % & #$ "# ( "
第 "卷 第#期 ! ! !$ $ #年 %月
西安航空技术高等专科学校学报
7 ’ , 8 ! "9 ’ 8 #
: 1 !$$! ’ ;< & ’ ( ) * + , ’ -. / + *0 1 ) ’ 2 1 3 4 * / 3 + , 5 ’ , , 1 1 6 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
｛
（" 导， 且! ’ # (； $） （ ）当 , （"）与 , （"）都 存 在 但 不 相 等 时， ! / E! ’ / E! ’
$ "(" $ & "(" $
（" 不存在。 ’ ! $） 证明 （ ） 因为分段函数 ! （"）在分段点处连续， 且在 " 所以由拉格朗日中值定理知： " $ 的空心领域内可导， 当! ， 在开区间 （" 内至少有一点"， 使 " )$ " "） $， $&! （" （" "） $! ! $&! $） （ ’ #! "） ! " （" （" "） $! ! $&! $） 则 , / E & ! " ! "( $
! 收稿日期： ! $ $ # A $ ! A ! B
! " 当 " )$时， （"） ’ % #% &" ! 从而 , （"） / E! ’ / E（ 3 ’ D "） #, #"
$ "( $ $ "( $
& "( $
"） （"） , / E! ’ / E（ % &" % #, #" "
& "( $
! " # $ % & ’ & ( ) % & * $+ * ) ( .* $/ # & 0 ) 1 2 #3 # 5 # $ % ) 2 & 6 # "7 8 $ ( % & * $ , , 4
( ) * +, . 0 1 2 . / /
（5 ， ’ ， ’ ， ） 6 8 9: ; * % , , < = * 6 * > % ; +? 6 = 8 6 , @ + % , ; $ , $ $ 6 6 > % ; +3 # ( ( 3 3 B @ % + ; 7 A
： + 1 9 % ) ( % C @ 6 D 6 = % E ; 8 % + 9 F 6 & 6 + 8 ; $ % G 6 D 9 < + , 8 % + % * 8 @ 6 % & = 8 ; + 8 ; + DD % 9 9 % , < $ 8 % + 8 % + ; D E ; + , 6 D& ; 8 @ 6 & ; 8 % , * H A 7 7 I @ % , @ $ 6 ; D * * 8 < D 6 + 8 * @ 6 * % 8 ; 8 % + % +7 = E % D % + * $ < 8 % + * H C @ % * ; 6 = ; 8 8 6 & 8 * 8 % + 8 = D < , 6 ; + 6 ; * 6 8 @ D 8 8 @ 6 % K A A 7 7 7 J& D 6 + 8 % 9 % , ; 8 % +9 8 @ 6D 6 = % E ; L % $ % 8 9 F 6 & 6 + 8 ; $ % G 6 DM < + , 8 % + JA ： ； ； : # * " 9F 6 & 6 + 8 ; $ % G 6 DM < + , 8 % +B + 8 % + < < &5 6 = % E ; L $ 6M < + , 8 % + 5 6 = % E ; L % $ % 8 A J ;<
2.期刊论文 陈少云 例谈一元微积分中的分段函数 -四川教育学院学报2005,21(z2)
本文介绍了什么是分段函数,归纳了一元微积分中如何讨论分段函数的极限、连续性、可导与积分.
3.期刊论文 李华凤.康淑卫 分段函数的应用 -张家口农专学报2003,19(2)
阐述了分段函数在作图、复合、连续性、可导性及积分中应注意的几个问题.
"(" $
定理!
但不相等时， （"）在 " 也不相等， 故 ! $ 处的左右导数存在， （"） 在" ! $ 处不可导。 例! D / * " " *$ 的导数。 " " )$ " % 解： 显然! （"） 在 " #$处连续， 且 当 " &$时， （ ） ’ " #3 ’ D " ! 求函数! （"） #
" "#
% & " * % + #$ " (
#
" 因为$ （"） （ ） % &! % &（" # #$ $"） # "# !
% "# #
#( 故! （"） 在 " #(处可导， 且! （"） & ’ #( # & " (( " * % + 讨论函数! （"） " #% " #( ’ ( 处是否可导。 例. 解 # # # （"） & % + % , * #* ! " " "