线面积分典型例题

求均匀曲面 ∑ : z = a 2 − x 2 − y 2 的重心坐标。 设 ∑ 为椭球面
x2 y2 + + z 2 = 1 的上半部分,点 P( x, y, z ) ∈ ∑, π 为 ∑ 在点 P 处的切平面, ρ ( x, y, z ) 为点 2 2 z O(0,0,0) 到平面 π 的距离,试求 dS . ρ ( x , y , z ) ∑
南京信息工程大学
孟祥瑞
线面积分典型例题 一、曲线积分
例 1 计算 例2
∫
L
( x 2 + y 2 ) ds 其中 L 为圆周 x = a cos t , y = a sin t (a > 0,0 ≤ t ≤ 2π ) 。
x2 + y2
n
计算 e
∫
Γ
L
ds ,其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 ,直线 y = x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
j ，试求单位时间内流过立方体
∫
⎧x 2 + y 2 = 1 从 z 轴的 ( z − y )dx + ( x − z )dy + ( x − y )dz ，其中 L 是曲线 ⎨ L ⎩x − y + z = 2
正向看去 L 的方向是顺时针的。 例 15 计算 I =
∫
L
其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 x + y = 1 的交线， ( y 2 − z 2 )dx + ( 2 z 2 − x 2 )dy + (3x 2 − y 2 )dz ，
例 13 计算 例 14
∫
L
(e x sin y − my)dx + (e x cos y − m)dy ,其中 L 为上半圆周 ( x − a) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿顺时针方向。
计算
∫
ydx − xdy
L
2( x 2 + y 2 )
,其中 L : ( x − 1) 2 + y 2 = 2 ,沿逆时针方向。
∫ [
]
[
]
(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关。(2)当 ab = cd 时,求 I 的值。 2.曲面积分 例1 计算曲面积分
z + 2 x + y ⎟dS ,其中 ∑ 为平面 + + = 1 在第一卦限的部分。 ∫∫ ⎜ 3 ⎠ 2 3 4 ⎝
∑
⎛
4 ⎞
x
y
z
1
南京信息工程大学
孟祥瑞
例 2 计算曲面积分
−v ⎟ ⎜u ⎟dS ∫∫∫ (u∆v − v∆u)dxdydz = ∫∫ ⎜ ∂n ⎠ ⎝ ∂n
Ω
∑
⎛ ∂v
∂u ⎞
其中 ∑ 是空间闭区域 Ω 的整个边界曲面。这个公式叫做格林第二公式，符号 ∆ = 算子。
∂2 ∂2 ∂2 称为拉普拉斯 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
2
L
已知平面区域 D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π }, L 为 D 的正向边界。试证：
(1)
∫
L
xe sin y dy − ye − sin x dx =
∫
L
xe − sin y dy − ye sin x dx ；(2)
∫
L
xe sin y dy − ye − sin x dx ≥ 2π 2 。
,其中 ∑ 为下半球面 z = − a 2 − x 2 − y 2 的上侧,a 为大于零的常数。
2
例 12 计算
∫∫
axdydz + ( z + a ) 2 dxdy x +y +z
2 2 2
例 13 已 知 流 体 的 速 度 场 v ( x , y , z ) = (2 x − z ) i + x 2 y j − xz 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ a,0 ≤ z ≤ a 的全表面的外侧的流量(流体的密度为 1)。 例 14 利用斯托克斯公式计算曲线积分
∫∫ ( xy + yz + zx)dS ,其中 ∑ 为锥面 z =
∑ 2 2
x 2 + y 2 被圆柱面 x 2 + y 2 = 2ax 所截得的有限部分。
例 3 计算 例4 例5
∫∫ x
∑
1
2
+y +z
dS ，其中 ∑ 是界于平面 z = 0 及 z = H ( H > 0) 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 。
例 17 证明曲线积分 例 18
∫
(3,4) (1, 2 )
(6 xy 2 − y 3 )dx + (6 x 2 y − 3xy 2 ) dy 在整个坐标面 xoy 上与路径无关,并计算积分值。
设 du = (3x 2 y + 8 xy 2 )dx + ( x 3 + 8 x 2 y + 12 ye y )dy ,求 u ( x, y ) 。
⎧x 2 + y 2 + z 2 = R 2 。 ( x 2 + y 2 + 2 z )ds ,其中 Γ 为 ⎨ ⎩x + y + z = 0
2 2 2 2 2 2
计算
Τ
例 7 计算
∫ | y | ds, 其中 L 为双纽线（图 10-1-4） ( x + y ) = a ( x − y ) 的弧. 例 8 计算 ∫ (2a − y ) dx + xdy ,其中 L 是摆线 x = a (t − sin t ), y = a(1 − cos t ) 上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧。
例 15 计算 I = 例 16 计算 I =
∫ ∫
L
( x + 4 y )dy + ( x − y )dx ，期中 L : x 2 + y 2 = 1 ，取逆时针方向 2 2 x + 4y
L
ydxdy − ( x − 1)dy ，期中 L : x + y = 2 ，取逆时针方向 ( x − 1) 2 + y 2
∑ 2
数, ∑ 是平面 x − y + z = 1 在第四卦限部分的上侧。 例 10 计算
∫∫ (2 x + z)dydz + zdxdy , ∑ 为有向曲面 z = x
∑
+ y 2 (0 ≤ z ≤ 1) ,其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角。
例 11 计算
∫∫ r
∑ ∑
x
3
dydz +
y z dzdx + 3 dxdy ,其中 r = x 2 + y 2 + z 2 , 闭曲面 ∑ 包含原点且分片光滑,取其外侧。 3 r r
分的后侧曲面。 例 8 计算曲面积分 I =
∫∫ xzdxdy + xydydz + yzdzdx ，其中 ∑ 是平面 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 所围成的空间区
∑
域的整个边界曲面的外侧。 例9 计算曲面积分 I =
∫∫ [ f ( x, y, z) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y]dzdx + [ f ( x, y, z) + z ]dxdy ，其中 f ( x, y, z) 是连续函
∫∫
例6 例7
计算积分
∫∫ ( x + z )dxdy ,其中 ∑ 为平面 x + z = a 含在柱面 x
∑ ∑
2
+ y 2 = a 2 内部分的上侧。
计算曲面积分
∫∫ ( y + z )dxdy + ( x − 2)dydz ,其中 ∑ห้องสมุดไป่ตู้是抛物柱面 y =
x 被平面 x + z = 1 和 z = 0 所截下的那部
例 19 设函数 f ( x) 在 (−∞,+∞) 内具有一阶连续导数 , L 是上半平面 ( y > 0) 内的有向分段光滑曲线 ,其始点为 1 x (a, b) ,终点为 (c, d ) 。记 I = 1 + y 2 f ( xy ) dx + 2 y 2 f ( xy ) − 1 dy , L y y
例 3 计算 例4
∫
x 2 yzds 其中 Γ 为折线段 ABCD ,这里 A(0,0,0) , B(0,0,2), C (1,0,2), D (1,2,3) 。
L
计算
∫ ∫
(4 x 3 + x 2 y )ds ,其中 L 为折线段 x + y = 1 所围成区域的整个边界。
例 5 计算 例6
∫
L
x 2 + y 2 ds ,其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = ax (a > 0 ) 。
从 z 轴的正向看去 L 为逆时针方向。 例 16 设 u ( x, y, z ), v( x, y, z ) 是 两 个 定 义 在 闭 区 域 Ω 上 的 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 的 函 数 ,
∂u ∂v 依次表示 , ∂n ∂n
u ( x, y, z ), v( x, y, z ) 沿 ∑ 的外法线方向的方向导数，证明：
L L
例 9 计算
∫
L
( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − y 2 ) dy ,其中 L 是曲线 y = 1 − 1 − x 对应于 x = 0 的点到 x = 2 的点。