考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

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《最短路径问题》轴对称

《最短路径问题》轴对称

轴对称与最短路径问题
轴对称是指图形关于某一直线或平面对称的现 象。
在最短路径问题中,如果图是轴对称的,那么 两个顶点之间的最短路径必然是对称的。
例如,在有向图和无向图中,如果两个顶点之 间的所有边都具有相同的权重,那么这两个顶 点之间的最短路径就是对称的。
最短路径问题的数学模型
01
最短路径问题的数学模型通常包括一个有向图G=(V,E)和两个顶点s和t,表示要 找到从s到t的最短路径。
02
最短路径问题与轴对称
最短路径问题简介
1
最短路径问题是一种经典的图论问题,旨在寻找 图中两个顶点之间的最短路径。
2
最短路径问题在交通网络设计、通信网络优化、 生产计划制定等领域都有广泛应用。
3
最短路径问题通常可以使用动态规划、Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法等算法进行求解。
《最短路径问题》轴对称
2023-11-09
目 录
• 轴对称简介 • 最短路径问题与轴对称 • 轴对称算法实现 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
轴对称简介
轴对称定义
轴对称是指一个物体关于某一直线(称为对称轴)对称,也就是说,物体在这条 直线的两边呈现出镜像状态。
在图形中,如果一个图形关于某一直线对称,那么它的对称轴是从图形的一侧到 另一侧的最短距离。
02
在最短路径问题中,通常使用权重来表示每条边的长度或成本。权重可以是有 向的或无向的,可以是正值或负值。
03
最短路径问题的数学模型还包括一个求解算法,用于在图中找到从s到t的最短 路径。常用的求解算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
03
轴对称算法实现

《最短路径问题》轴对称PPT

《最短路径问题》轴对称PPT

A
C
C′
l
即 AC +BC 最短.
B′
例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,
AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为( B )
A.7.5 C.4
B.5 D.不能确定
解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值,故连接CE即可,线段CE的长即为BF+EF的最小值.
周长是( A )
A.10 C.20
B.15 D.30
3、如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别
为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,
则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离10是00
米.
C
D 河
A
B
4、如图,荆州古城河在CC ′处直角转弯,河宽相同,从A处到
则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中,∵AC+CE>AE, ∴AC+CE+MN>AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB >AM+MN+BN,
B
故桥的位置建在MN处,A到B的路径最短.
总结:在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题,从而作出最短路径 的选择.
则点C 即为所求.
B
A
C l
B′

人教版八年级数学第十三章轴对称---最短路径问题

人教版八年级数学第十三章轴对称---最短路径问题

第十三章轴对称---最短路径问题
一、学习目标
能用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在最值问题中的作用二、知识精讲
知识点1:两点之间,线段最短。

归纳:在解决最短路径问题时,通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。

【例1】
1.如下图:
由A地到B地有三条路供选择,你会选择,
理由是:
2.请画出点A关于直线L的对称点。

A.
_______________________ L
3.已知线段AB,请在平面内找一点P,使PA+PB的值最小。

A___________________B
【例2】如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
A.
.B
____________________________
想一想:如图所示,如果A、B处于小河的两侧,你能找到使所走路径最短的点么?
A.
____________________________
.B
【例3】如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径。

【例4】如图,A和B两地在一条河的两岸,现在要在小河上造一座桥MN。

桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)请你根据作法画出图形并给出理由。

·A
a
b
·B
【题组训练】:
1.如图,点P在∠AOB的内部,点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,线段MN交OA,OB与点E,F,若△PEF的周长是20cm,求MN的长。

专题13 轴对称的性质(知识点串讲)(解析版)

专题13 轴对称的性质(知识点串讲)(解析版)

专题13 轴对称的性质知识网络重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.注意:轴对称图形的对称轴可能只有一条,也可能有多条甚至无数条.2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.注意:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,沿对称轴折叠后,重合的点是对应点,叫做对称点.类似地,重合的线段是对应线段,重合的角是对应角.典例1(2019春•青羊区期末)下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A.B.C.D.【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;B、不是轴对称图形,故本选项错误;C、不是轴对称图形,故本选项错误;D、是轴对称图形,故本选项正确.故选:D.典例2如图,ABC∠的度数为()∆与△A B CC∠'=︒,则B'''关于直线l对称,98A∠=︒,28A.28︒B.54︒C.74︒D.78︒【解答】解:ABC'''关于直线l对称,∆与△A B C∴∆≅△A B C''',ABC∴∠=∠',C CC∠'=︒,∠=︒,28A98∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.180180982854B A C故选:B.典例3(2019春•陕西期末)下列说法:(1)线段的对称轴有两条;(2)角是轴对称图形,对称轴是它的角平分线;(3)两个全等的等边三角形一定成轴对称;(4)两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线两侧;(5)到直线L距离相等的点关于L对称.其中说法不正确的有()A.3 个B.2 个C.1 个D.4 个【解答】解:(1)线段的对称轴有两条,说法正确;(2)角是轴对称图形,它的角平分线所在的直线就是它的对称轴,说法错误;(3)两个全等的图形不一定组成轴对称图形,说法错误;(4)两个图形关于某直线对称,则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧,说法错误;(5)到直线l距离相等的两点不一定关于l对称,说法错误;其中不正确的有4个;故选:D.知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法:先确定图形的两个对应点,再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线,这条直线就是它的对称轴.2、已知对称轴,求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法:(1)先观察已知图形,并确定能代表已知图形的关键点;(2)分别作出这些关键点关于对称轴的对应点;(3)根据已知图形连接这些对应点,即可得到与已知图形成轴对称的图形.典例1(2019春•金牛区期末)如图,在正方形网格上有一个ABC.(1)画ABC ∆关于直线MN 的对称图形(不写画法); (2)若网格上的每个小正方形的边长为1,求ABC ∆的面积.【解答】解:(1)ABC ∆关于直线MN 的对称图形如图所示;(2)ABC ∆的面积11145141453222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯,20227.5=---, 8.5=.典例2(2019春•罗湖区期末)如图,在1010⨯的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点ABC ∆(即三角形的顶点都在格点上)(1)在图中作出ABC ∆关于直线l 对称的△111A B C (要求:A 与1A ,B 与1B ,C 与1C 相对应) (2)在(1)的结果下,连接1BB ,1AB ,则△11A BB 面积是 ;(3)在对称轴上有一点P ,当PBC ∆周长最小时,P 点在什么位置,在图中标出P 点.【解答】解:(1)如图所示,△111A B C 即为所求;(2)如图,△11A BB 面积是12442⨯⨯=,故答案为:4;(3)如图所示,点P 即为所求.知识点三 轴对称的应用(最短路径)基本问题:在直线l 上找一点P ,使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小.变式1:在直线l上找一点P,使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小.变式2:直线m、n交于O,P是两直线间的一点,在直线m、n上分别找一点A、B,使得PAB的周长最短.典例1(2019秋•南开区期末)如图,直线是一条河,A、B是两个新农村定居点.欲在l上的某点处修建一个水泵站,由水泵站直接向A、B两地供水.现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道,则铺设管道最短的方案是()A.B.C.D.【解答】解:作点A关于直线l的对称点A',连接BA'交直线l于M.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道,则所需管道最短.故选:D.典例2(2017•花都区一模)四边形ABCD中,130B D∠=∠=︒,在BC、CD上分别找一点M、N,∠=︒,90BAD使三角形AMN周长最小时,则AMN ANM∠+∠的度数为()A.80︒B.90︒C.100︒D.130︒【解答】解:延长AB到A'使得BA AB''=,连接A A'''与BC、CD分别交于'=,延长AD到A''使得DA AD点M、N.∠=∠=︒,ABC ADC90∴、A'关于BC对称,A、A''关于CD对称,A此时AMN∆的周长最小,⊥,=',MB ABBA BA∴=',同理:NA NAMA MA='',∴∠'=∠,A NADA MAB∠''=∠,∠=∠''+∠=∠'',ANM A NAD A∠=∠'+∠=∠',22AMN A MAB A∴∠+∠=∠'+∠'',2()AMN ANM A A∠=︒,BAD130∴∠'+∠''=︒-∠=︒A A BAD18050∴∠+∠=⨯︒=︒.AMN ANM250100故选:C.巩固训练一、单选题(共8小题)1.(2019春•金牛区期末)下列图形中,为轴对称图形的是()A.B.C.D.【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;B、不是轴对称图形,故本选项错误;C、不是轴对称图形,故本选项错误;D、不是轴对称图形,故本选项错误.故选:A.2.(2019春•光明区期末)石鼓文,秦刻石文字,因其刻石外形似鼓而得名.下列石鼓文,是轴对称的是( )A.B.C.D.【解答】解:A中图形是轴对称图形,B、C、D中图形都不是轴对称图形,故选:A.3.(2019春•陕西期末)如图下面镜子里哪个是他的像?()A.A B.B C.C D.D【解答】解:由镜面对称的性质,连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分,即可得出只有B与原图形成镜面对称.故选:B.4.(2019春•罗湖区期末)下列说法中正确的是()①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等;②等腰三角形两腰上的高相等;③等腰三角形的中线也是它的高;④线段垂直平分线上的点(不在这条线段上)与这条线段两个端点构成等腰三角形A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④【解答】解:①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的.②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等,说法是正确;③等腰三角形的中线不一定是它的高,说法是错误;④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,说法正确.故选:C.5.如图,ABC∆关于直线MN轴对称,则以下结论中错误的是()∆与DEFA .//AB DF B .B E ∠=∠C .AB DE =D .AD 的连线被MN 垂直平分【解答】解:A 、AB 与DF 不是对应线段,不一定平行,故错误;B 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称,则ABC DEF ∆≅∆,B E ∠=∠,正确;C 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称,则ABC DEF ∆≅∆,AB DE =,正确;D 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称,A 与D 的对应点,AD 的连线被MN 垂直平分,正确.故选:A .6.(2019秋•路北区期末)已知30AOB ∠=︒,点P 在AOB ∠内部,点1P 与点P 关于OA 对称,点2P 与点P 关于OB 对称,则△12POP 是( ) A .含30︒角的直角三角形 B .顶角是30︒的等腰三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形【解答】解:P 为AOB ∠内部一点,点P 关于OA 、OB 的对称点分别为1P 、2P , 12OP OP OP ∴==且12260POP AOB ∠=∠=︒,∴故△12POP 是等边三角形.故选:C .7.(2017•青羊区校级自主招生)在日常生活中,有一些含有特殊数字规律的车牌号码,如川80808A ,川22222A ,川12321A 等,这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照,如果让你负责制作以9为字母“A ”后的第一个数字,且有五个数字的“数字对称”牌照,那么最多可制作( )A.500个B.300个C.100个D.50个【解答】解:以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照,即牌照是99ABA,则A有09-共10种可能,B有09-共10种可能,所以9开头的组合最多是1010100⨯=个.故选:C.8.(2018春•锦江区期末)如图,ABCBD=,过点D作AB的垂线∆的周长为16.点D是AB边的中点,2∆的周长最小值为()l,E是l上任意一点,则AECA.12B.14C.16D.18【解答】解:点D是AB边的中点,2BD=,∴==,AB BD24∆的周长为16,ABC12∴+=,AC BC如图,连接BE,点D是AB边的中点,l AB⊥,l∴是AB的垂直平分线,∴=,AE BE∴+=+,AE CE BE CEBE CE BC+,+的最小值等于BC的长,而AC长不变,∴当B,E,C在同一直线上时,BE CE+=,AC BCAEC∴∆的周长最小值等于12故选:A.二、填空题(共3小题)9.(2018春•深圳期末)如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.若//AD BC,则下列结论:(1)//=.∠;(4)AO CO=;(3)BD平分ABCAB CD;(2)AB BC其中正确的有(填序号).【解答】解:如图,直线l是四边形ABCD的对称轴,∴∠=∠,3412∠=∠,AD BC,//∴∠=∠,23∴∠=∠=∠,134∴,AB BC=,故(1)(2)正确;//AB CD由轴对称的性质,AC BD⊥,∴平分ABCBD∠,AO CO=(等腰三角形三线合一),故(3)(4)正确.综上所述,正确的是(1)(2)(3)(4).故答案为:(1)(2)(3)(4).10.(2019春•金牛区期末)如图,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,点M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,当12ABC S ∆=,8AC =时,BM MN +的最小值等于 .【解答】解:如图,AD 是BAC ∠的平分线,∴点B 关于AD 的对称点B '在AC 上,过点B '作B N AB '⊥于N 交AD 于M ,由轴对称确定最短路线问题,点M 即为使BM MN +最小的点,B N BM MN '=+, 过点B 作BE AC ⊥于E ,8AC =,20ABC S ∆=, ∴18122BE ⨯=, 解得3BE =,AD 是BAC ∠的平分线,B '与B 关于AD 对称,AB AB ∴=',ABB ∴∆'是等腰三角形,3B N BE ∴'==,即BM MN +的最小值是3.故答案为:3.11.(2019春•市中区期末)如图,AD为等边ABC∆的高,E、F分别为线段AD、AC上的动点,且AE CF=,当BF CE∠=︒.+取得最小值时,AFB【解答】解:如图1,作CH BC⊥,且CH BC=,连接BH交AD于M,连接FH,⊥,∆是等边三角形,AD BCABC∠=︒,DAC∴=,30AC BC∴=,AC CHACB∠=︒,60∠=︒,BCH90∴∠=︒-︒=︒,906030ACH∴∠=∠=︒,DAC ACH30=,AE CF∴∆≅∆,()AEC CFH SAS+=+,CE FH∴=,BF CE BF FH+的值最小,∴当F为AC与BH的交点时,如图2,BF CE此时45FCB∠=︒,∠=︒,60FBC∴∠=︒,AFB105故答案为:105.三、解答题(共2小题)12.(2019春•青羊区期末)下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的,ABC∆的顶点A、B、C 均在小正方形的顶点上.(1)作出ABC∆关于直线m对称的△A B C''';(2)求ABC∆的面积.【解答】解:(1)如图,△A B C'''为所作;(2)ABC∆的面积11133132123 3.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.13.(2019春•商河县期末)如图,正方形网格中每个小正方形的边长为1,网格中有一个ABC∆.(1)请直接写出ABC∆的面积为.(2)利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F,并顺次连接D、E、F三点.(3)若点P是直线MN上的一个动点,则PC PA+的最小值为.【解答】解:(1)ABC∆的面积为:12442⨯⨯=;故答案为:4;(2)如图所示:EDF∆即为所求;(3)PC PA+的最小值为:6PA PC DC+==.故答案为:6.。

初二数学上册:利用轴对称求解最短路径问题

初二数学上册:利用轴对称求解最短路径问题

初二数学上册:利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同.3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图,树脚分别为A,B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行.小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶C处,问小鸟飞至AB之间何处时,飞行距离最短,在图中画出该点的位置.解:如图,作D关于AB的对称点D′,连接CD′交AB于点E,则点E就是所求的点.【例二】如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点解:如图,【例三】如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短。

解:先作点B关于直线l的对称点B′,则点C是直线l与AB′的交点.为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,证明AC+CB<AC′+C′B.如下:证明:由作图可知,点B和B′关于直线l对称,所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与C′在直线l上,所以BC=B′C,BC′=B′C′.在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,所以AC+B′C<AC′+B′C′,所以AC+BC<AC′+C′B【例四】在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小解:如图,作点B关于直线l的对称点B′;连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点.【例五】如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。

初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)

初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)

初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)一.轴对称-最短路线问题1.(2020•荆门)在平面直角坐标系中,长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,A(0,2),B(0,4),连接AC,BD,则AC+BD的最小值为()A.2B.2C.6D.3解:设C(m,0),∵CD=2,∴D(m+2,0),∵A(0,2),B(0,4),∴AC+BD=+,∴要求AC+BD的最小值,相当于在x轴上找一点P(n,0),使得点P到M(0,2)和N(﹣2,4)的距离和最小,如图1中,作点M关于x轴的对称点Q,连接NQ交x轴于P′,连接MP′,此时P′M+P′N的值最小,∵N(﹣2,4),Q(0,﹣2)P ′M+P′N的最小值=P′N+P′Q=NQ==2,∴AC+BD的最小值为2.故选:B.2.(2020•贵港)如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为()A.﹣1B.+1C.D.+1解:作点E关于DC的对称点E',设AB的中点为点O,连接OE',交DC于点P,连接PE,如图:∵动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,∴点M在以AB为直径的圆上,OM=AB=1,∵正方形ABCD的边长为2,∴AD=AB=2,∠DAB=90°,∵E是AD的中点,∴DE=AD=×2=1,∵点E与点E'关于DC对称,∴DE'=DE=1,PE=PE',∴AE'=AD+DE'=2+1=3,在Rt△AOE'中,OE'===,∴线段PE+PM的最小值为:PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'﹣OM=﹣1.故选:A.3.(2020•恩施州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为()A.5B.6C.7D.8解:如图,连接ED交AC于一点F,连接BF,∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于AC对称,∴BF=DF,∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时△BEF的周长最小,∵正方形ABCD的边长为4,∴AD=AB=4,∠DAB=90°,∵点E在AB上且BE=1,∴AE=3,∴DE=,∴△BFE的周长=5+1=6,故选:B.4.(2020•潍坊)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB 交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为()A.B.C.1D.解:如图,延长CO交⊙O于点E,连接ED,交AO于点P,此时PC+PD的值最小.∵CD⊥OB,∴∠DCB=90°,又∠AOB=90°,∴∠DCB=∠AOB,∴CD∥AO∴∵OC=2,OB=4,∴BC=2,∴,解得,CD=;∵CD∥AO,∴=,即=,解得,PO=故选:B.5.(2020•西宁)如图,等腰△ABC的底边BC=20,面积为120,点D在BC边上,且CD=5,直线EF是腰AC 的垂直平分线,若点M在EF上运动,则△CDM周长的最小值为18.解:如图,作AH⊥BC于H,连接AM,∵EF垂直平分线段AC,∴MA=MC,∴DM+MC=AM+MD,∴当A、D、M共线时,DM+MC的值最小,∵等腰△ABC的底边BC=20,面积为120,AH⊥BC,∴BH=CH=10,AH==12,∴DH=CH﹣CD=5,∴AD===13,∴DM+MC的最小值为13,∴△CDM周长的最小值=13+5=18,故答案为18.6.(2020•内江)如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为15.解:作点A关于BD的对称点A′,连接MA′,BA′,过点A′作A′H⊥AB于H.∵BA=BA′,∠ABD=∠DBA′=30°,∴∠ABA′=60°,∴△ABA′是等边三角形,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10,在Rt△ABD中,AB==10,∵A′H⊥AB,∴AH=HB=5,∴A′H=AH=15,∵AM+MN=A′M+MN≥A′H,∴AM+MN≥15,∴AM+MN的最小值为15.故答案为15.7.(2020•毕节市)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.解:如图,连接CE交BD于点P,连接AP,∵四边形ABCD是正方形,∴点A与点C关于BD对称,∴AP=CP,∴AP+EP=CP+EP=CE,此时AP+PE的最小值等于CE的长,∵正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,∴BC=4,BE=2,∠ABC=90°,∴CE==,∴AP+PE的最小值是,故答案为:.8.(2020•黑龙江)如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,得到△EFG,连接EC、GC.求EC+GC的最小值为.解:∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴AB=CD=1,∠ABD=30°,∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF,∴EG=AB=1,EG∥AB,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAD=120°,∴EG=CD,EG∥CD,连接ED∴四边形EGCD是平行四边形,∴ED=GC,∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,∵点E在过点A且平行于BD的定直线上,∴作点D关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于E,则CM的长度即为EC+DE的最小值,∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1,∴∠ADM=60°,DH=MH=AD=,∴DM=1,∴DM=CD,∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°,∴∠M=∠DCM=30°,∴CM=2×CD=.故答案为:.9.(2020•日照)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE.(1)求证:△ABC≌△BDF;(2)P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN,PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.(1)证明:∵Rt△ABC中,∠C=90°,DF⊥CB,∴∠C=∠DFB=90°.∵四边形ABDE是正方形,∴BD=AB,∠DBA=90°,∵∠DBF+∠ABC=90°,∠CAB+∠ABC=90°,∴∠DBF=∠CAB,∴△ABC≌△BDF(AAS);(2)解:∵△ABC≌△BDF,∴DF=BC=5,BF=AC=9,∴FC=BF+BC=9+5=14.如图,连接DN,∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴,∴AN=DN.如使得AN+PN最小,只需D、N、P在一条直线上,由于点P、N分别是AC和BE上的动点,作DP1⊥AC,交BE于点N1,垂足为P1,所以,AN+PN的最小值等于DP1=FC=14.10.(2019•西藏)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足S△P AB=S矩形ABCD,则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为()A.2B.2C.3D.解:设△ABP中AB边上的高是h.∵S△P AB=S矩形ABCD,∴AB•h=AB•AD,∴h=AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中,∵AB=6,AE=2+2=4,∴BE===2,即PA+PB的最小值为2.故选:A.11.(2019•聊城)如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且=,点D为OB 的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()A.(2,2)B.(,)C.(,)D.(3,3)解:∵在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),∴AB=OB=4,∠AOB=45°,∵=,点D为OB的中点,∴BC=3,OD=BD=2,∴D(2,0),C(4,3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时,四边形PDBC周长最小,E(0,2),∵直线OA的解析式为y=x,设直线EC的解析式为y=kx+b,∴,解得:,∴直线EC的解析式为y=x+2,解得,,∴P(,),故选:C.12.(2019•黑龙江)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△P AB=S△PCD,则PC+PD的最小值为4.解:如图,作PM⊥AD于M,作点D关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设AM=x.∵四边形ABC都是矩形,∴AB∥CD,AB=CD=4,BC=AD=6,∵S△P AB=S△PCD,∴×4×x=××4×(6﹣x),∴x=2,∴AM=2,DM=EM=4,在Rt△ECD中,EC==4,∵PM垂直平分线段DE,∴PD=PE,∴PC+PD=PC+PE≥EC,∴PD+PC≥4,∴PD+PC的最小值为4.13.(2019•陕西)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一点,则PM﹣PN的最大值为2.解:如图所示,以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',延长PN′交BC于M,根据轴对称性质可知,PN=PN',∴PM﹣PN=PM﹣PN'≤MN',当P,M,N'三点共线时,取“=”,∵正方形边长为8,∴AC=AB=,∵O为AC中点,∴AO=OC=,∵N为OA中点,∴ON=,∴ON'=CN'=,∴AN'=,∵BM=6,∴CM=AB﹣BM=8﹣6=2,∴==,∴PM∥AB∥CD,∠CMN'=90°,∵∠N'CM=45°,∴△N'CM为等腰直角三角形,∴CM=MN'=2,即PM﹣PN的最大值为2,故答案为:2.14.(2019•成都)如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为.解:∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴AB=CD=1,∠ABD=30°,∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',∴A′B′=AB=1,A′B′∥AB,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAD=120°,∴A′B′=CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形,∴A′D=B′C,∴A'C+B'C的最小值=A′C+A′D的最小值,∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上,∴作点D关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A′,则CE的长度即为A'C+B'C的最小值,∵∠A′AD=∠ADB=30°,AD=1,∴∠ADE=60°,DH=EH=AD=,∴DE=1,∴DE=CD,∵∠CDE=∠EDB′+∠CDB=90°+30°=120°,∴∠E=∠DCE=30°,∴CE=2×CD=.故答案为:.15.(2019•德阳)如图,在四边形ABCD中,BC∥AD,BC=AD,点E为AD的中点,点F为AE的中点,AC⊥CD,连接BE、CE、CF.(1)判断四边形ABCE的形状,并说明理由;(2)如果AB=4,∠D=30°,点P为BE上的动点,求△PAF的周长的最小值.解:(1)四边形ABCE是菱形,理由如下:∵点E是AD的中点,∴AE=AD.∵BC=AD,∴AE=BC.∵BC∥AD,即BC∥AE.∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD,点E是AD的中点,∴CE=AE=DE,∴四边形ABCE是菱形(2)由(I)得,四边形ABCE是菱形.∴AE=EC=AB=4,且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点,AF=AE=2∴当PA+PF最小时,△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时,△PAF的周长最小,此时△PAF的周长=PA+PF+AF=CF+AF,在Rt△ACD中,点E是AD的中点,则CE=DE,∠ECD=∠D=30°,∠ACE=90°﹣30°=60°.∴△ACE是等边三角形.∴AC=AE=CE=4.∵AF=EF,CF⊥AE∴CF==2△PAF的周长最小=CF+AF=2.。

2023年中考数学重难点复习:轴对称之最短路径(附答案解析)

2023年中考数学重难点复习:轴对称之最短路径(附答案解析)

第1页共7页2023年中考数学重难点复习:《轴对称之最短路径》破解策略
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法,本质是利用三角形三边关系解决问题.常见的题型有:
1.已知:在直线l 同恻有A.B 两点,在l 上找一点P ,使得AP +PB 最小.
作法:如图.作点A 关于直线l 的对称点A ’,连结A 'B ,与直线,的交点就是点P
2.已知:在直线l 同侧有A ,B 两点,在l 上找一点P ,使得|AP -PB |最小作法:如图,连结AB ,作线段AB 的垂甫平分线.与直线l 的交点就是点P
3.已知:在直线l 同侧有A ,B 两点,在l 上找一点P .使得|AP -PB |最大
作法:如图,连结BA 并延长,与直线,的交点就是点P
A B
l
B A
P
l
A '
A
B
l A B
l P
A B
l
l A B
P。

中考数学 轴对称及路径最短问题

中考数学 轴对称及路径最短问题

轴对称及最短路径问题一、知识讲解1.轴对称、轴对称图形(1)轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴。

对称轴一定为直线。

(2)轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称。

两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫对称点。

2.轴对称图像的性质(1)对应线段相等,对应角相等;对称点的连线被对称轴垂直平分。

轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。

新旧图像具有对称性。

(2)轴对称的两个图形,它们对应线段或延长线相交,交点在对称轴上。

3.等腰三角形(1)性质:①两底角相等。

②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(2)判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义);②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

4.等边三角形(1)性质:①等边三角形各边都相等;②等边三角形各角都相等,并且都等于60°。

(2)判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5.特殊直角三角形(补充)(1)含30°的直角三角形中,30°角所对的边等于斜边一半,且三边长度比为1:2;(2)等腰直角三角形各边长比为1:1。

二、要点补充轴对称是关于某一直线对称的图形,要注意图形中隐藏的条件,要将分散的条件集中起来达到解题的目的。

本讲的学习要特别注意分类讨论思想及转化思想的运用。

要点1在平面直角坐标系中,若已知A、B两点的坐标(或位置)要求第三个点C,使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下:①连接AB,以点A(或点B)为圆心,线段AB的长度为半径作圆,圆周上除点B(或点A)的所有的点,都可以与点A、点B构成等腰三角形。

②连接AB,作线段AB的垂直平分线l,该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。

轴对称--最短路径

轴对称--最短路径

轴对称--最短路径问题
解题思路:(1)作两点任意一点的对称点
(2)将对称点与另一点进行连线,连线与原直线的交点为动点的位置
(3)对称点与另一点连线的线段长度是所求线段之和的最小值(依据是“两点间线段最短”和“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”)
一、两点在直线同侧模型
例题1..如图,A为马棚,B为帐篷,牧马人某一天要从马棚牵出马,到河边给马喝水,然后回到帐篷请你帮助他确定这一天的最短路线。

变式1.(2008•深圳)要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是.
变式2..如图,在正方形ABCD中,AD=8,DM=2,N是AC上一动点,求DN+MN的最小值
变式3.如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为.
变式4.(2009•陕西)如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.。

考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13  轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13 轴对称——最短路径问题一.选择题(共12小题)1.(2020·四川成都)如图,30AOB ∠=︒,M ,N 分别是边,OA OB 上的定点,P ,Q 分别是边,OB OA 上的动点,记,OPM OQN αβ∠=∠=,当MP PQ QN ++的值最小时,关于α,β的数量关系正确的是( )A .60βα-=︒B .210βα+=︒C .230βα-=︒D .2240βα+=︒【答案】B【解析】 如图,作M 关于OB 的对称点M ',N 关于OA 的对称点N ',连接M N ''交OA 于Q ,交OB 于P ,则此时MP PQ QN ++的值最小.易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ,'∠=∠=∠OQP AQN AQN .∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ,30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ,∵303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ.故选:B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.2.(2020·银川)如图,直线m 表示一条河,M ,N 表示两个村庄,欲在m 上的某处修建一个给水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】作点M 关于直线m 的对称点M ',连接NM '交直线m 于P ,则P 处即为给水站位置.根据“两点之间,线段最短”可排除A 、B 、C 选项,可知D 选项管道最短.故选:D .3.(2020·河北武安期末)如图,∵ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF EF +的最小值是( ).A .485B .16C .6D .10【答案】A【解析】解:如下图所示,作BG∵AM 于M ,交AD 于F ,∵∵ABC 中,AB=AC=10,AD 是BC 边上的中线,∵∵ABC 是等腰三角形,AD BC ⊥,BD=DC ,∵ AD 是BC 的垂直平分线,∵ BF=CF .则BF EF +有最小值时,CF EF +有相同的最小值.根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +,则CF EF +取最小值时,=CF EF BM +.根据三角形的面积公式,可得:11==22ABC S AD BC AC BM ⨯⨯△,解得:48=5BM , 即CF EF +的最小值为485. 故答案选:A .4.(2020·河南永城)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 、E 分别在边AC 、AB 上,14AD =,点P 是边BC 上一动点,当PD PE +的值最小时,15AE =,则BE 为( )A .30B .29C .28D .27【答案】B【解析】 如图,延长AC 至点M ,使CM CD =,过点M 作ME AB ⊥于点E ,交BC 于点P ,则此时PD PE +的值最小.在Rt ABC △中,30B ∠=︒,60A ∴∠=︒.ME AB ⊥,90AEM ∴∠=︒,90A M ∴∠+∠=︒,90M ∴∠=︒.15AE =,230AM AE ∴==.AM AD DM =+,14AD =,16DM ∴=.CM CD =,8CD CM ∴==,22AC AD CD ∴=+=.在Rt ABC △中,30B ∠=︒,244AB AC ∴==.AB AE BE =+,15AE =,29BE ∴=.故选B.5.(2020·山西孝义)如图,等腰ABC ∆中,=⊥AB AC AD BC ,EF 垂直平分AB ,交AB 于点E ,交BC 于点F ,点G 是线段EF 上的一动点,若ABC ∆的面积是26cm ,6BC cm =,则ADG ∆的周长最小值是( )A .4.5cmB .5cmC .5.5cmD .6cm【答案】B【解析】解:如图,连接BG .∵AB=AC ,AD∵BC ,6BC cm∵BD=DC=3cm ,∵S ∵ABC =12•BC•AD=6, ∵AD=2,∵EF 垂直平分AB ,∵BG=AG ,∵AG+DG=BG+GD ,∵BG+GD≥BD ,,∵GA+GD≥3,∵GA+GD 的最小值为3,∵∵ADG 的最小值为2+3=5,故选:B .【点睛】本题考查轴对称-最短问题,线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.(2020·安徽利辛月考)已知点M(-4,2),若点N 是y 轴上一动点,则M ,N 两点之间的距离最小值为( )A .-4B .2C .4D .-2【答案】C【解析】解:过直线外一点,到直线上的所有点的连线中,垂线段最短∵点N在y轴上的纵坐标为2,此时二者之间的距离最小值为0-(-4)=4故选C7.(2020·安徽安庆期末)如图,∵MON=45°,P为∵MON内一点,A为OM上一点,B为ON上一点,当PAB的周长取最小值时,∵APB的度数为( )A.80°B.90°C.110°D.120°【答案】B【解析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′,然后连接A′B′∵点A′与点P关于直线OM对称,点B′与点P关于ON对称∵A′P∵OM,B′P∵ON,A′A=AP,B′B=BP∵∵A′=∵APA′,∵B′=∵BPB′∵A′P∵OM,B′P∵ON,∵∵MON+∵A′P B′=180°∵∵A′P B′=180°-45°=135°在∵A′B′P中,由三角形的内角和定理可知:∵A′+∵B′=180°-135°=45°∵∵A′PA+∵BP B′=45°∵∵APB=135°-45°=90°故答案选择:B=,AD、BE分别是底边BC和8.(2020·山西文水期末)如图,在∵ABC中,AB AC+的最小值等于()腰AC上的中线,点P为AD上一动点,则PE PCA.线段AB的长B.线段BC的长C.线段AD的长D.线段BE的长【答案】D【解析】解:如图,连接BP,则PE+PC=PE+BP,所以BE就是PE+PC的最小值,故选D.9.(2020·辽宁连山期中)如图,等腰∵ABC的底边BC长为6,面积是36,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则∵CDM周长的最小值为()A.6B.10C.15D.16【答案】C【解析】如图:连接AD交EF于点M,∵等腰∵ABC的底边BC长为6,点D为BC边的中点,∵AD∵BC,BD=CD=3,∵EF是腰AC的垂直平分线,连接CM,∵AM=CM,此时∵CDM的周长为:CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD CD的长为3固定,∵根据两点之间线段最短,∵CDM的周长最小.∵S∵ABC=12 BC•AD,∵12×6•AD=36,∵AD=12,∵AD+CD=12+3=15.故选:C.10.(2020·山西平遥月考)如图,等腰ABC∆的面积为9,底边BC的长为3,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F,点D为BC边的中点,点M为直线EF上一动点,则DM CM+的最小值为()A.12B.9C.6D.3【答案】C【解析】∵∵ABC是等腰三角形,点D是BC的中点∵AD∵BC∵AD=6∵EF是线段AC的垂直平分线∵点C关于直线EF的对称点为A∵AD的长为CM+MD的最小值∵CM+MD的最小值为6故答案选择:C.11.(2020·山东武城期中)如图,∵AOB=30°,∵AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若∵PQR周长最小,则最小周长是()A.10B.15C.20D.30【答案】A【解析】设∵POA=θ,则∵POB=30°﹣θ,作PM∵OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作PN∵OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则∵PQR即为周长最短的三角形.∵OA是PE的垂直平分线,∵EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,∵FR=RP,∵∵PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10,且∵EOF=∵EOP+∵POF=2θ+2(30°﹣θ)=60°,∵∵EOF是正三角形,∵EF=10,即在保持OP=10的条件下∵PQR的最小周长为10.故选A.12.(2020·广东期中)如图,在∵ABC中,AB=AC,BC=4,∵ABC的面积是16,AC边的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则∵CDM周长的最小值为()A.4B.5C.10D.8【答案】C【解析】连接AD,AM.∵∵ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∵AD∵BC,∵S∵ABC=12BC•AD=12×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∵点C关于直线EF的对称点为点A,∵MA=MC,∵AD≤AM+MD,∵AD的长为CM+MD的最小值,∵∵CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10.故选C.二.填空题(共6小题)13.(2020·南京师范大学附属中学月考)如图,已知∵MON=40°,P为∵MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当∵P AB的周长取最小值时,∵APB的度数是_____°.【答案】100【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A、B,连接P A、PB,此时∵P AB周长的最小值等于P′P″.由轴对称性质可得,OP′=OP″=OP,∵P′OA=∵POA,∵P″OB=∵POB,∵∵P′OP″=2∵MON=2×40°=80°,∵∵OP′P″=∵OP″P′=(180°﹣80°)÷2=50°,又∵∵BPO=∵OP″B=50°,∵APO=∵AP′O=50°,∵∵APB=∵APO+∵BPO=100°.故答案为100.14.(2020·江苏省靖江市月考)如图,∵ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线且AD=4,F是AD上的动点,E是AC边上的动点,则CF+EF的最小值为_____.【答案】24 5【解析】解:作BM∵AC于M,交AD于F,∵AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,∵BD=DC=3,AD∵BC,AD平分∵BAC,∵B、C关于AD对称,∵BF=CF,根据垂线段最短得出:CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM,即CF+EF≥BM,∵S∵ABC=12×BC×AD=12×AC×BM,∵BM=BC ADAC⨯=645⨯=245,即CF+EF的最小值是245,故答案为:245.15.(2020·南通市月考)如图,在∵ABC中,AD平分∵BAC交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,当S∵ABC=12,AC=8时,BM+MN的最小值等于_____.【答案】3【解析】解:如图,作点B关于AD的对称点B′∵AD是∵BAC的平分线,∵点B关于AD的对称点B′在AC上,过点B′作B′N∵AB于N交AD于M,由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN,过点B作BE∵AC于E,∵AC=8,S∵ABC=20,∵12×8•BE=12,解得BE=3,∵AD是∵BAC的平分线,B′与B关于AD对称,∵AB=AB′,∵∵ABB′是等腰三角形,∵B′N=BE=3,即BM+MN的最小值是3.故答案为:3.16.(2020·江苏省锡山高级中学)如图,已知∵AOB的大小为α,P是∵AOB内部的一个定点,且OP=4,点E、F分别是OA、OB上的动点,若∵PEF周长的最小值等于4,则α=_____.【答案】30°【解析】解:如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB 于F.此时,∵PEF的周长最小.连接OC,OD,PE,PF.∵点P与点C关于OA对称,∵OA垂直平分PC,∵∵COA=∵AOP,PE=CE,OC=OP,同理,可得∵DOB=∵BOP,PF=DF,OD=OP.∵∵COA+∵DOB=∵AOP+∵BOP=∵AOB=α,OC=OD=4,∵∵COD=2α.又∵∵PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,∵OC=OD=CD=4,∵∵COD是等边三角形,∵2α=60°,∵α=30°.故答案为30°17.(2020·广东肇庆期中)如图,四边形ABCD中,∵BAD=130°,∵B=∵D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使∵AMN周长最小时,则∵AMN+∵ANM的度数为.【答案】100°【解析】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为∵AMN 的周长最小值.作DA延长线AH,∵∵DAB=120°,∵∵HAA′=60°,∵∵AA′M+∵A″=∵HAA′=60°,∵∵MA′A=∵MAA′,∵NAD=∵A″,且∵MA′A+∵MAA′=∵AMN,∵NAD+∵A″=∵ANM,∵∵AMN+∵ANM=∵MA′A+∵MAA′+∵NAD+∵A''=2(∵AA′M+∵A'')=2×60°=120°.故答案为120°.18.(2020·广西青秀期中)如图,等腰∵ABC中,AB=AC=4,BC=6,∵ABD是等边三角形,点P是∵BAC的角平分线上一动点,连PC、PD,则PD+PC的最小值为_____.【答案】4【解析】如图,连接BP,∵点P是∵BAC的角平分线上一动点,AB=AC,∵AP垂直平分BC,∵CP=BP,∵PD+PC=PD+PB,∵当B,P,D在在同一直线上时,BP+PD的最小值为线段BD长,又∵∵ABD是等边三角形,AB=BD=4,∵PD+PC的最小值为4,故答案为4.三.解析题(共6小题)19.(2020·江苏东台月考)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与∵ABC关于直线l成轴对称的∵A′B′C′;(2)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短.【解析】解:(1)如图所示:∵A′B′C′,即为所求;(2)如图所示:点P即为所求.20.(2020·华东师范大学青岛实验中学期中)如图,在∵ABC中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线AD=8.(1)证明:∵ABC为等腰三角形;(2)点H在线段AC上,试求AH+BH+CH的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)19.6【解析】(1)证明:∵AD是BC边上的中线,∵BD=DC=6,∵AB=10,BD=6,AD=8,∵BD 2+AD 2=62+82=102,∵∵ABD 是直角三角形,∵AD∵BC ,∵AD∵BC ,BD=DC ,∵AB=AC ,∵∵ABC 是等腰三角形.(2)解:∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10,∵当BH 最小时,AH+BH+HC 有最小值,由垂线段的性质可知:当BH∵AC 时,BH 有最小值, ∵1122BH AC BC AD ⨯⨯=⨯⨯, ∵111012822BH ⨯⨯=⨯⨯, ∵BH=9.6,∵AH+BH+HC 的最小值为:10+9.6=19.6.21.(2020·山东高唐期中)如图,在锐角ABC 中,7AC cm =,221ABC S cm =,AD 平分BAC ∠,M N 、分别是AD 和AB 上的动点,求BM MN +的最小值并说明理由.【答案】6cm【解析】解:如图,作N 关于AD 对称点为R ,作AC 边上的高BE (E 在AC 上), AD 平分CAB ∠,ABC 为锐角三角形,R ∴必在AC 上, N 关于AD 的对称点为R ,MR MN ∴=,BM MN BM MR ∴+=+,即BM MN BR BE +=≥(垂线段最短), ABC 的面积是221cm ,7AC =,17212BE ∴⨯⨯=, 6BE ∴=,即BM MN +的最小值为6cm .22.(2020·辽宁连山期中)如图,四边形ABCD 中,∵BAD =110°,∵B =∵D =90°,在BC ,CD 上分别找一点M ,N ,使∵AMN 周长最小,请在图中画出∵AMN ,写出画图过程并直接写出∵MAN 的度数.【答案】作图见解析,∵MAN的度数为40°.【解析】解:如图所示:作点A关于BC和DC的对称点E和F,连接EF,与BC和DC相交于点M和N,连接AM和AN,根据对称性得:AM=EM,AN=FN,AM+AN+MN=EM+FN+MN=EF,根据两点之间线段最短,此时∵AMN的周长最小,∵∵BAD=110°,∵∵E+∵F=180°﹣110°=70°,∵∵EAM+∵F AN=70°,∵∵MAN=∵EAF-(∵EAM+∵F AN)=40°.答:∵MAN的度数为40°.23.(2020·浙江萧山月考)已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作∵ACD和∵BCE,且CA=CD,CB=CE,∵ACD=∵BCE,直线AE与BD交于点F,(1)如图1,若∵ACD=60°,则∵AFB=;如图2,若∵ACD=90°,则∵AFB=;如图3,若∵ACD=120°,则∵AFB=;(2)如图4,若∵ACD=α,则∵AFB=(用含α的式子表示);(3)将图4中的∵ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若∵ACD=α,则∵AFB与α的有何数量关系?并给予证明.【答案】(1)120°,90°,60°;(2)180°﹣α;(3)∵AFB=180°﹣α,证明详见解析.【解析】解:(1)如图1,CA=CD,∵ACD=60°,所以∵ACD是等边三角形.∵CB=CE,∵ACD=∵BCE=60°,所以∵ECB是等边三角形.∵AC=DC,∵ACE=∵ACD+∵DCE,∵BCD=∵BCE+∵DCE,又∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACE=∵BCD.∵AC=DC,CE=BC,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵EAC=∵BDC.∵AFB是∵ADF的外角.∵∵AFB=∵ADF+∵FAD=∵ADC+∵CDB+∵FAD=∵ADC+∵EAC+∵FAD=∵ADC+∵DAC=120°.如图2,∵AC=CD,∵ACE=∵DCB=90°,EC=CB,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵AEC=∵DBC,又∵∵FDE=∵CDB,∵DCB=90°,∵∵EFD=90°.∵∵AFB=90°.如图3,∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACD﹣∵DCE=∵BCE﹣∵DCE.∵∵ACE=∵DCB.又∵CA=CD,CE=CB,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵EAC=∵BDC.∵∵BDC+∵FBA=180°﹣∵DCB=180°﹣(180﹣∵ACD)=120°,∵∵FAB+∵FBA=120°.∵∵AFB=60°.故填120°,90°,60°.(2)∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE.∵∵ACE=∵DCB.∵∵CAE=∵CDB.∵∵DFA=∵ACD.∵∵AFB=180°﹣∵DFA=180°﹣∵ACD=180°﹣α.(3)∵AFB=180°﹣α;证明:∵∵ACD=∵BCE=α,则∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE,即∵ACE=∵DCB.在∵ACE和∵DCB中,则∵ACE∵∵DCB(SAS).则∵CBD=∵CEA,由三角形内角和知∵EFB=∵ECB=α.∵AFB=180°﹣∵EFB=180°﹣α.24.(2020·上海同济大学附属实验中学月考)已知:在ABC中,AB=AC,点E在AB上,以BE为底边作等腰DBE,取CE的中点为G,连接AG、DG.(1)如图1,若BE=AE,∵BDE=120°,∵BAC=60°,求证:AG∵DG;(2)如图2,若BE≠AE ,∵BDE +∵BAC=180°,则(1)中结论仍然成立吗?说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)(1)中结论AG DG ⊥仍然成立,理由见解析.【解析】解:(1)如图,延长DG 至H ,使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点,,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ,BE 为底边,120,BDE ∠=︒,BD DE ∴= 30,DBE DEB ∠=∠=︒ BD CH ∴=,,60,AB AC BAC =∠=︒ABC ∴为等边三角形,,BE AE =,30,CE AB ACE BCE ∴⊥∠=∠=︒ 60,DEG HCG ∴∠=∠=︒30,ACH ∴∠=︒在ABD △与ACH 中,,30AB AC ABD ACH BD CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,ABD ACH ∴≌,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥(2)(1)中结论AG DG ⊥成立,理由如下: 如图,延长DG 至H ,使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点,,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ,BE 为底边,设,BDE α∠=1,90,2BD DE DBE DEB α∴=∠=∠=︒- 180,BDE BAC ∠+=︒180,BAC α∴∠=︒-,AB AC =1,2ABC ACB α∴∠=∠=119090,22DBC ααα⎛⎫∴∠=-︒-=-︒ ⎪⎝⎭ 180,BEC EBC C ∠+∠+∠=︒ 1190180,22DEG BCE αα∴+︒-+∠+∠=︒ 90,DEG BCE ∴∠+∠=︒90,HCG BCE ∴∠+∠=︒190,2ACH ABD α∴∠=︒-=∠ 同(1)可得:,ABD ACH ≌ ,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥。

与轴对称有关的最短路径问题及解析

与轴对称有关的最短路径问题及解析

与轴对称有关的最短路径问题及解析问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?解析:将A ,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线。

作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′;(2)连接AB ′,与直线l 相交于点C 。

则点C 即为所求。

B A lB • · A l B· lA ·B C证明:如图,在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合),连接AC ′,BC ′,B ′C ′。

由轴对称的性质知, BC =B ′C ,BC ′=B ′C ′. ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′,AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′. 在△AB ′C ′中, AB ′<AC ′+B ′C ′,∴ AC +BC <AC ′+BC ′. 即 AC +BC 最短. 若直线l 上任意一点(与点C 不重合)与A ,B两点的距离和都大于AC +BC ,就说明AC + BC 最小.问题2 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径。

解析:考点:作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题专题:分析:根据“两点之间线段最短”,和轴对称最短路径问题解答.解答: 解:(1)两点之间,线段最短,连接PQ ;(2)作P 关于BC 的对称点P1,连接QP1,交BC 于M ,再连接MP .最短路线P--Q--M--P .点评:本题考查了作图--应用与设计作图,熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键.问题3 如图,A.B 两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN ,桥造在 B · lA ·BC C何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)解析:如图,作BB'垂直于河岸GH,使BB′等于河宽,连接AB′,与河岸EF相交于M,作MN⊥GH,则MN∥BB′且MN=BB′,于是MNBB′为平行四边形,故NB=MB′.根据“两点之间线段最短”,AB′最短,即AM+BN最短.问题4已知△ABC中,D、E是边AB、AC边上的点,在边BC上找一点M,使△DEM的周长最小。

中考数学高频考点《轴对称》与最短路径问题(共17张PPT)

中考数学高频考点《轴对称》与最短路径问题(共17张PPT)

7.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,
连接BD,且BD⊥CD,∠ADB=∠C. 若P是BC边
上的动点,则DP长的最小值为
.
Байду номын сангаас
中考数学高频考点 《轴对称》与最短路径问题
1.轴对称的定义:
(1)把一个图形沿着某一条直线翻折,如果 它能够与另一个图形重合,那么称这两个 图形关于这条直线对称,也称这两个图形 成轴对称,这条直线叫做对称轴. 折叠后重 合的点是对应点,也叫做对称点.
2.轴对称的性质: 轴对称的性质:成轴对称的两个图形
变式2: 已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C, 组成三角形,使三角形周长最小.
变式3: 如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是 点P关于直线OA、OB•的对称点,线段MN交 OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm , 求线段MN的长。
解法:
作点A关于直线的对称点A1,只有A1与P、 B
在一条直线上时,才能使AP+PB最小,连线 与直线的交点P就是所求的点。做对称点其实 是考查学生对垂直平分线的点到线段两端点
距离相等的运用和理解。
变式1: 如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别 向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短?为什么?
4.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,
∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P
是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最
小值为

5.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,
使得点P到点A、点B的距离之和最小,则点P的坐标是(

第十三章 轴对称知识 课题学习 最短路径问题

第十三章 轴对称知识  课题学习 最短路径问题

的和最小.(画出图形,不写作法,保留作图痕迹)
图13-4-4
图13-4-3
解:如图13-4-4,以直线 l1 为对称轴作点A的对称点M, 以直线 l 2 为对称轴作点A的对称点N,连接MN,分别
A2 即为所求. 交 l1 , l 2 于点 A1 , A2 ,则 A1 ,
过两条直线内侧一点,分别作关于两条直线的对称点, 即可得三点所组成的三角形的周长最小.
例1 如图13-4-1,A,B两村合伙在河MN建一座扬水站,要
使所用管道最少,请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图
形,不写作法,保留作图痕迹)
图13-4-1 解:如图13-4-2,点O即为所求.
图13-4-2
例2 如图13-4-3,点A是总邮局,想在公路 l1 上建一分 局 A1 ,在公路 l 2 上建一分局 A2 ,使 AA1 A1 A2 AA2
△PMN的 分别交 l 和 l 2 1 周长最小 于点M,N, 点M,N即为 所求
P′P″,依据是两点
之间,线段最短
问题
类别
问题
作法
图例
思路与依据
在直线
l1 和
分别作点P,
Q关于 l1 和
l 2 上分别找
两线
间两 点 点 M, N, 使四边形 PQNM的周 长最小
通过轴对称把周长最 小问题转化为两点间
A.BM垂直于a
B.AM与BN不平行
C.AN垂直于b
D.AM平行于BN
解析:图13-4-5根据垂线段最短,得出MN是河的宽时最短,
即MN⊥直线a(或直线b),只要AM+BN最短即可.如图13-4-5, 过点A作河的垂线AH,垂足为H,在AH所在直线上取点I, 使AI等于河宽,连接IB交河的b岸于点N,作MN垂直于河岸, 交a岸于点M,连接AM,所得MN即为所求.故选D.

轴对称及最短路径问题

轴对称及最短路径问题

最短路径问题(一)利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB,与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值,两点之间,线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值,两点之间,线段最短类型三L2PL1在直线l1,l2上分别找点M,N,使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1,l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值,两点之间,线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N,使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值,两点之间线段最短(二)用平移解决造桥选址问题例1,如图,a//b,N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交直线a于点M,当点N 在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小? aMN由于MN的长度是固定的,因此当AM+NB最小时,AM+MN+NB最小。

这样,问题就进一步转化为:当点N在直线b的什么位置时,AM+NB最小?详解:将AM沿与a垂直的方向平移,点M移动到点N,点A移动到点A’,则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样,问题就转化为:当点N在直线b的什么位置时,A’N+NB最小?如图,在连接A’,B两点的线中,线段A’B最短。

因此,线段A’B最短。

因此,线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的。

L2A MA’ BN例2,在P、Q两村之间有两条河,且每条河的宽度相同,从P村到Q村,要经过两座桥MN、EF。

现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥,问:如何设计这两座桥MN,EF的位置,使由P村到Q村的路程最短?PL1L2Q 1L2解析:河的宽度(桥的宽度)固定,利用“平移交换”解决问题。

轴对称--最短路径问题

轴对称--最短路径问题

轴对称--最短路径问题1、如果A,B 两个村庄位于小河MN 的同侧,如图,为了解决两村村民的喝水问题,政府决定在小河边挖一口井,并使井到A,B 两村距离和最短,请你找出适合挖井的位置.NMBA2、如图,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的两个定点,在BC 上求一点M ,使△MEF 周长最短.3、如图,点P 为马厩,AB 为草地边缘(下方为草地),CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.4、如图,已知点A(-2,1)及点B(3,4),在x 轴上取一点C ,C',通过作图可知,当点C 的坐标为 时,使得AC+BC 最小.请在图中标出c',使得BC'-AC'最大.5、如图1,在等边三角形ABC 中,AB=2,点E 是AB 的中点,AD 是高,在AD 上找一点P ,使BP+PE 的值最小,最小值是 ;图图图图1P DCBAOP C BAP E DCB AP E D CBA(图2) (图3)6、如图2,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD 是∠BAC 的平分线.若P ,Q 分别是AD 和AC 上的动点,则PC+PQ 的最小值是( )。

A .2.4B .4C .4.8D .57、如图3,ABC ∆中,5AC BC ==,6AB =,4CD =,CD 为ABC ∆的中线,点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点,连接AE 、EF ,则AE EF +的最小值为 .8、已知如图所示,∠MON=400,P 为∠MON 内一点,A 为OM 上一点,B 为ON 上一点,则当∆PAB 的周长取最小值时,求∠APB 的度数.N PBMO A9、如图,∠AOB=300,点P 位于∠AOB 内,OP=3,点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点,求∆PMN 的最小周长.NMPBAO。

八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 最短路径问题同步练习(含解析)(新版)新人教版-(新版)

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第十三章轴对称13.4 最短路径问题(练习)一、单选题(共10小题)1.如图所示,某工厂有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(A,B,C三点在同一直线上),已知AB=300米,BC=600米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在()A.点A B.点B C.AB之间D.BC之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用,由题意设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,肯定要尽量缩短两地之间的里程,就用到两点间线段最短定理.【详解】解:①以点A为停靠点,则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500(米),②以点B为停靠点,则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000(米),③以点C为停靠点,则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000(米),④当在AB之间停靠时,设停靠点到A的距离是m,则(0<m<300),则所有人的路程的和是:30m+15(300-m)+10(900-m)=13500+5m>13500,⑤当在BC之间停靠时,设停靠点到B的距离为n,则(0<n<600),则总路程为30(300+n)+15n+10(600-n)=15000+35n>13500.∴该停靠点的位置应设在点A;故选:A.【点睛】考查了比较线段的长短,此题为数学知识的应用,考查知识点为两点之间线段最短.2.已知村庄A和B分别在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行,且桥与河岸互相垂直),下列示意图中,桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】如图作AI∥MN,且AI=MN,连接BI,由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短,所以AM∥BN.【详解】解:如图,作AI∥MN,且AI=MN,连接BI,∴四边形AMNI为平行四边形,∴AM∥BN,此时从A点到B点距离最短.故选:C.【点睛】本题主要考查了最短路径的问题,运用到了两点之间线段最短,平行四边形等知识点,解此题的关键在于熟练掌握其知识点.3.某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区,A区有20人,B区有15人,C区有5人,D区有30人,四个区在同一条直线上,位置如图所示.该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设置在()A.D区 B.A区 C.AB两区之间 D.BC两区之间【答案】D【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和,选择最小的即可解答.【详解】解:∵当停靠点在D区时,所有员工步行到停靠点路程和是:20×800+15×400+5×200=23000m;当停靠点在A区时,所有员工步行到停靠点路程和是:15×400+5×600+30×800=33000m;当停靠点在AB两区之间时,设距离B区x米,所有员工步行到停靠点路程和是:20×(400-x)+15x+5×(200+x)+30×(400+x)=(30x+21000)m;当停靠点在BC两区之间时,设距离B区x米,所有员工步行到停靠点路程和是:20×(400+x)+15x+5×(200-x)+30×(400-x)=21000m.∴当停靠点在BC两区之间时,所有员工步行到停靠点路程和最小,那么停靠点的位置应该在BC两区之间.故选:D.【点睛】此题考查了比较线段的长短,正确理解题意是解题的关键.要能把线段的概念在现实中进行应用.4.如图所示,从点A到点F的最短路线是()A.A→D→E→F B.A→C→E→FC.A→B→E→F D.无法确定【答案】C【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,故答案选C.【点睛】本题主要考查了线段的性质,根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键.5.如图,从A地到B地有①、②、③三条路线,每条路线的长度分别为l、m、n,则()A.l>m>n B.l=m>n C.m<n=l D.l>n>m【答案】C【解析】分析:根据两点间直线距离最短,认真观察图形,可知①③都是相当于走直角线,故①③相等,②走的是直线,最短.详解:由题意可得:∵从C到B地有①②③条路线可以走,每条路线长分别为l,m,n,则AC+AB=l>BC∴l=n>m.故选:C.点睛:本题考查了生活中的平移现象,要求学生充分利用两点间线段距离最近.6.如图,直线l表示一条河,点A,B表示两个村庄,想在直线l的某点P处修建一个向A,B供水的水站,现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道),则铺设管道一定最短的是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】依据轴对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两点之间的距离即可.【详解】解:作点A关于直线l的对称点A′,连接BA′交直线l于P.根据两点之间,线段最短,可知选项A铺设的管道最短.故选:A.【点睛】本题考查了最短路线问题,这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”.凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.7.下列命题是真命题的是()A.两点之间的距离是这两点间的线段B.墙上固定一根木条,至少需要两根钉子,其依据是“两点之间,线段最短”C.同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种D.同平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断.【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度,故错误;B、墙上固定一根木条,至少需要两根钉子,其依据是“两点可以确定一条直线”,故错误;C、同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交两种,故错误;D、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故正确.故选:D.【点睛】主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.8.(2017·某某市临淄区皇城镇第二中学初一期中)小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是()A.垂线段最短B.经过一点有无数条直线C.经过两点有且只有一条直线D.两点之间线段最短【答案】D【解析】试题解析:由图可知,剪掉一部分,相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理:两点之间,线段最短,所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小.故本题应选D.点睛:直线公理是指两点确定一条直线,而线段公理是指两点之间线段最短,我们要清楚这两者的区别. 9.(2017·某某市临淄区皇城镇第二中学初一期中)下列说法正确的是()A.两点之间的连线中,直线最短 B.若P是线段AB的中点,则AP=BPC.若AP=BP,则P是线段AB的中点 D.两点之间的线段叫做这两点之间的距离【答案】B【解析】A中,两点之间线段最短,故A错误;B中,若P是线段AB的中点,则点P到A、B的距离相等,即AP=BP,故B正确;C中,若AP=BP,点P不一定是线段AB的中点,如,故C错误;D中,两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离,故D错误.故选B.10.如图,点A,B在直线l的同侧,若要用尺规在直线l上确定一点P,使得AP+BP最短,则下列作图正确的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的.故选C.二、解答题(共3小腿)A B C;(2) 11.(2019·某某市外国语学校初一期末)如下图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的图形111在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1,然后顺次连接即可;(2)根据轴对称确定最短路线问题,找出点A关于x轴的对称点A′的位置,然后连接A′B与x轴的交点即为点P【详解】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,点P即为所求(有两种做法:作A或C的对称点均可).【点睛】此题考查作图-轴对称变换,轴对称-最短路线问题,掌握作图法则是解题关键12.(2018·泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中)作图题(保留作图痕迹,不写作法)如图,A、B两村在一条小河MN的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水.(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,在图1中用尺规作图....作出厂址P的位置.(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,在图2中作出厂址Q的位置.【答案】作图见解析.【解析】试题分析:(1)根据中垂线的性质知,作AB的中垂线,交于直线MN于点P就是所求的点;(2)由三角形的三边关系,三角形是任意两边之和大于第三边知,故作出点A关于直线MN的对称点E,连接BE交于直线MN的点Q是所求的点.试题解析:(1)如图所示:点P即为所求;(2)如图所示:点Q即为所求.13.(2017·某某鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中)如图,在游艺室的水平地面上,沿着地面的AB 边放一行球,参赛者从起点C起步,跑向边AB任取一球,再折向D点跑去,将球放入D点的纸箱内便完成任务,完成任务的时间最短者获得胜利,如果邀请你参加,你将跑去选取什么位置上的球?为什么?【答案】见解析【解析】试题分析:可过点D作关于AB的对称点D′,连接CD′与AB交于点E,即为所求.试题解析:如图,参赛者应向E点跑,因为AB所在直线是DD′的垂直平分线,所以ED=ED′,C、D′两点之间CE+ED′是最短的(两点之间线段最短),所以CE+ED是最短的.点睛:此题考查轴对称最短路径问题,能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.。

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考点13 轴对称——最短路径问题一.选择题(共12小题)1.(2020·四川成都)如图,30AOB ∠=︒,M ,N 分别是边,OA OB 上的定点,P ,Q 分别是边,OB OA 上的动点,记,OPM OQN αβ∠=∠=,当MP PQ QN ++的值最小时,关于α,β的数量关系正确的是( )A .60βα-=︒B .210βα+=︒C .230βα-=︒D .2240βα+=︒【答案】B【解析】 如图,作M 关于OB 的对称点M ',N 关于OA 的对称点N ',连接M N ''交OA 于Q ,交OB 于P ,则此时MP PQ QN ++的值最小.易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ,'∠=∠=∠OQP AQN AQN .∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ,30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ,∵303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ.故选:B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.2.(2020·银川)如图,直线m 表示一条河,M ,N 表示两个村庄,欲在m 上的某处修建一个给水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】作点M 关于直线m 的对称点M ',连接NM '交直线m 于P ,则P 处即为给水站位置.根据“两点之间,线段最短”可排除A 、B 、C 选项,可知D 选项管道最短.故选:D .3.(2020·河北武安期末)如图,∵ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF EF +的最小值是( ).A .485B .16C .6D .10【答案】A【解析】解:如下图所示,作BG∵AM 于M ,交AD 于F ,∵∵ABC 中,AB=AC=10,AD 是BC 边上的中线,∵∵ABC 是等腰三角形,AD BC ⊥,BD=DC ,∵ AD 是BC 的垂直平分线,∵ BF=CF .则BF EF +有最小值时,CF EF +有相同的最小值.根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +,则CF EF +取最小值时,=CF EF BM +.根据三角形的面积公式,可得:11==22ABC S AD BC AC BM ⨯⨯△,解得:48=5BM , 即CF EF +的最小值为485. 故答案选:A .4.(2020·河南永城)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 、E 分别在边AC 、AB 上,14AD =,点P 是边BC 上一动点,当PD PE +的值最小时,15AE =,则BE 为( )A .30B .29C .28D .27【答案】B【解析】 如图,延长AC 至点M ,使CM CD =,过点M 作ME AB ⊥于点E ,交BC 于点P ,则此时PD PE +的值最小.在Rt ABC △中,30B ∠=︒,60A ∴∠=︒.ME AB ⊥,90AEM ∴∠=︒,90A M ∴∠+∠=︒,90M ∴∠=︒.15AE =,230AM AE ∴==.AM AD DM =+,14AD =,16DM ∴=.CM CD =,8CD CM ∴==,22AC AD CD ∴=+=.在Rt ABC △中,30B ∠=︒,244AB AC ∴==.AB AE BE =+,15AE =,29BE ∴=.故选B.5.(2020·山西孝义)如图,等腰ABC ∆中,=⊥AB AC AD BC ,EF 垂直平分AB ,交AB 于点E ,交BC 于点F ,点G 是线段EF 上的一动点,若ABC ∆的面积是26cm ,6BC cm =,则ADG ∆的周长最小值是( )A .4.5cmB .5cmC .5.5cmD .6cm【答案】B【解析】解:如图,连接BG .∵AB=AC ,AD∵BC ,6BC cm∵BD=DC=3cm ,∵S ∵ABC =12•BC•AD=6, ∵AD=2,∵EF 垂直平分AB ,∵BG=AG ,∵AG+DG=BG+GD ,∵BG+GD≥BD ,,∵GA+GD≥3,∵GA+GD 的最小值为3,∵∵ADG 的最小值为2+3=5,故选:B .【点睛】本题考查轴对称-最短问题,线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.(2020·安徽利辛月考)已知点M(-4,2),若点N 是y 轴上一动点,则M ,N 两点之间的距离最小值为( )A .-4B .2C .4D .-2【答案】C【解析】解:过直线外一点,到直线上的所有点的连线中,垂线段最短∵点N在y轴上的纵坐标为2,此时二者之间的距离最小值为0-(-4)=4故选C7.(2020·安徽安庆期末)如图,∵MON=45°,P为∵MON内一点,A为OM上一点,B为ON上一点,当PAB的周长取最小值时,∵APB的度数为( )A.80°B.90°C.110°D.120°【答案】B【解析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′,然后连接A′B′∵点A′与点P关于直线OM对称,点B′与点P关于ON对称∵A′P∵OM,B′P∵ON,A′A=AP,B′B=BP∵∵A′=∵APA′,∵B′=∵BPB′∵A′P∵OM,B′P∵ON,∵∵MON+∵A′P B′=180°∵∵A′P B′=180°-45°=135°在∵A′B′P中,由三角形的内角和定理可知:∵A′+∵B′=180°-135°=45°∵∵A′PA+∵BP B′=45°∵∵APB=135°-45°=90°故答案选择:B=,AD、BE分别是底边BC和8.(2020·山西文水期末)如图,在∵ABC中,AB AC+的最小值等于()腰AC上的中线,点P为AD上一动点,则PE PCA.线段AB的长B.线段BC的长C.线段AD的长D.线段BE的长【答案】D【解析】解:如图,连接BP,则PE+PC=PE+BP,所以BE就是PE+PC的最小值,故选D.9.(2020·辽宁连山期中)如图,等腰∵ABC的底边BC长为6,面积是36,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则∵CDM周长的最小值为()A.6B.10C.15D.16【答案】C【解析】如图:连接AD交EF于点M,∵等腰∵ABC的底边BC长为6,点D为BC边的中点,∵AD∵BC,BD=CD=3,∵EF是腰AC的垂直平分线,连接CM,∵AM=CM,此时∵CDM的周长为:CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD CD的长为3固定,∵根据两点之间线段最短,∵CDM的周长最小.∵S∵ABC=12 BC•AD,∵12×6•AD=36,∵AD=12,∵AD+CD=12+3=15.故选:C.10.(2020·山西平遥月考)如图,等腰ABC∆的面积为9,底边BC的长为3,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F,点D为BC边的中点,点M为直线EF上一动点,则DM CM+的最小值为()A.12B.9C.6D.3【答案】C【解析】∵∵ABC是等腰三角形,点D是BC的中点∵AD∵BC∵AD=6∵EF是线段AC的垂直平分线∵点C关于直线EF的对称点为A∵AD的长为CM+MD的最小值∵CM+MD的最小值为6故答案选择:C.11.(2020·山东武城期中)如图,∵AOB=30°,∵AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若∵PQR周长最小,则最小周长是()A.10B.15C.20D.30【答案】A【解析】设∵POA=θ,则∵POB=30°﹣θ,作PM∵OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.作PN∵OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则∵PQR即为周长最短的三角形.∵OA是PE的垂直平分线,∵EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,∵FR=RP,∵∵PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10,且∵EOF=∵EOP+∵POF=2θ+2(30°﹣θ)=60°,∵∵EOF是正三角形,∵EF=10,即在保持OP=10的条件下∵PQR的最小周长为10.故选A.12.(2020·广东期中)如图,在∵ABC中,AB=AC,BC=4,∵ABC的面积是16,AC边的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则∵CDM周长的最小值为()A.4B.5C.10D.8【答案】C【解析】连接AD,AM.∵∵ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∵AD∵BC,∵S∵ABC=12BC•AD=12×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∵点C关于直线EF的对称点为点A,∵MA=MC,∵AD≤AM+MD,∵AD的长为CM+MD的最小值,∵∵CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10.故选C.二.填空题(共6小题)13.(2020·南京师范大学附属中学月考)如图,已知∵MON=40°,P为∵MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当∵P AB的周长取最小值时,∵APB的度数是_____°.【答案】100【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A、B,连接P A、PB,此时∵P AB周长的最小值等于P′P″.由轴对称性质可得,OP′=OP″=OP,∵P′OA=∵POA,∵P″OB=∵POB,∵∵P′OP″=2∵MON=2×40°=80°,∵∵OP′P″=∵OP″P′=(180°﹣80°)÷2=50°,又∵∵BPO=∵OP″B=50°,∵APO=∵AP′O=50°,∵∵APB=∵APO+∵BPO=100°.故答案为100.14.(2020·江苏省靖江市月考)如图,∵ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线且AD=4,F是AD上的动点,E是AC边上的动点,则CF+EF的最小值为_____.【答案】24 5【解析】解:作BM∵AC于M,交AD于F,∵AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,∵BD=DC=3,AD∵BC,AD平分∵BAC,∵B、C关于AD对称,∵BF=CF,根据垂线段最短得出:CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM,即CF+EF≥BM,∵S∵ABC=12×BC×AD=12×AC×BM,∵BM=BC ADAC⨯=645⨯=245,即CF+EF的最小值是245,故答案为:245.15.(2020·南通市月考)如图,在∵ABC中,AD平分∵BAC交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,当S∵ABC=12,AC=8时,BM+MN的最小值等于_____.【答案】3【解析】解:如图,作点B关于AD的对称点B′∵AD是∵BAC的平分线,∵点B关于AD的对称点B′在AC上,过点B′作B′N∵AB于N交AD于M,由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN,过点B作BE∵AC于E,∵AC=8,S∵ABC=20,∵12×8•BE=12,解得BE=3,∵AD是∵BAC的平分线,B′与B关于AD对称,∵AB=AB′,∵∵ABB′是等腰三角形,∵B′N=BE=3,即BM+MN的最小值是3.故答案为:3.16.(2020·江苏省锡山高级中学)如图,已知∵AOB的大小为α,P是∵AOB内部的一个定点,且OP=4,点E、F分别是OA、OB上的动点,若∵PEF周长的最小值等于4,则α=_____.【答案】30°【解析】解:如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB 于F.此时,∵PEF的周长最小.连接OC,OD,PE,PF.∵点P与点C关于OA对称,∵OA垂直平分PC,∵∵COA=∵AOP,PE=CE,OC=OP,同理,可得∵DOB=∵BOP,PF=DF,OD=OP.∵∵COA+∵DOB=∵AOP+∵BOP=∵AOB=α,OC=OD=4,∵∵COD=2α.又∵∵PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,∵OC=OD=CD=4,∵∵COD是等边三角形,∵2α=60°,∵α=30°.故答案为30°17.(2020·广东肇庆期中)如图,四边形ABCD中,∵BAD=130°,∵B=∵D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使∵AMN周长最小时,则∵AMN+∵ANM的度数为.【答案】100°【解析】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为∵AMN 的周长最小值.作DA延长线AH,∵∵DAB=120°,∵∵HAA′=60°,∵∵AA′M+∵A″=∵HAA′=60°,∵∵MA′A=∵MAA′,∵NAD=∵A″,且∵MA′A+∵MAA′=∵AMN,∵NAD+∵A″=∵ANM,∵∵AMN+∵ANM=∵MA′A+∵MAA′+∵NAD+∵A''=2(∵AA′M+∵A'')=2×60°=120°.故答案为120°.18.(2020·广西青秀期中)如图,等腰∵ABC中,AB=AC=4,BC=6,∵ABD是等边三角形,点P是∵BAC的角平分线上一动点,连PC、PD,则PD+PC的最小值为_____.【答案】4【解析】如图,连接BP,∵点P是∵BAC的角平分线上一动点,AB=AC,∵AP垂直平分BC,∵CP=BP,∵PD+PC=PD+PB,∵当B,P,D在在同一直线上时,BP+PD的最小值为线段BD长,又∵∵ABD是等边三角形,AB=BD=4,∵PD+PC的最小值为4,故答案为4.三.解析题(共6小题)19.(2020·江苏东台月考)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与∵ABC关于直线l成轴对称的∵A′B′C′;(2)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短.【解析】解:(1)如图所示:∵A′B′C′,即为所求;(2)如图所示:点P即为所求.20.(2020·华东师范大学青岛实验中学期中)如图,在∵ABC中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线AD=8.(1)证明:∵ABC为等腰三角形;(2)点H在线段AC上,试求AH+BH+CH的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)19.6【解析】(1)证明:∵AD是BC边上的中线,∵BD=DC=6,∵AB=10,BD=6,AD=8,∵BD 2+AD 2=62+82=102,∵∵ABD 是直角三角形,∵AD∵BC ,∵AD∵BC ,BD=DC ,∵AB=AC ,∵∵ABC 是等腰三角形.(2)解:∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10,∵当BH 最小时,AH+BH+HC 有最小值,由垂线段的性质可知:当BH∵AC 时,BH 有最小值, ∵1122BH AC BC AD ⨯⨯=⨯⨯, ∵111012822BH ⨯⨯=⨯⨯, ∵BH=9.6,∵AH+BH+HC 的最小值为:10+9.6=19.6.21.(2020·山东高唐期中)如图,在锐角ABC 中,7AC cm =,221ABC S cm =,AD 平分BAC ∠,M N 、分别是AD 和AB 上的动点,求BM MN +的最小值并说明理由.【答案】6cm【解析】解:如图,作N 关于AD 对称点为R ,作AC 边上的高BE (E 在AC 上), AD 平分CAB ∠,ABC 为锐角三角形,R ∴必在AC 上, N 关于AD 的对称点为R ,MR MN ∴=,BM MN BM MR ∴+=+,即BM MN BR BE +=≥(垂线段最短), ABC 的面积是221cm ,7AC =,17212BE ∴⨯⨯=, 6BE ∴=,即BM MN +的最小值为6cm .22.(2020·辽宁连山期中)如图,四边形ABCD 中,∵BAD =110°,∵B =∵D =90°,在BC ,CD 上分别找一点M ,N ,使∵AMN 周长最小,请在图中画出∵AMN ,写出画图过程并直接写出∵MAN 的度数.【答案】作图见解析,∵MAN的度数为40°.【解析】解:如图所示:作点A关于BC和DC的对称点E和F,连接EF,与BC和DC相交于点M和N,连接AM和AN,根据对称性得:AM=EM,AN=FN,AM+AN+MN=EM+FN+MN=EF,根据两点之间线段最短,此时∵AMN的周长最小,∵∵BAD=110°,∵∵E+∵F=180°﹣110°=70°,∵∵EAM+∵F AN=70°,∵∵MAN=∵EAF-(∵EAM+∵F AN)=40°.答:∵MAN的度数为40°.23.(2020·浙江萧山月考)已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作∵ACD和∵BCE,且CA=CD,CB=CE,∵ACD=∵BCE,直线AE与BD交于点F,(1)如图1,若∵ACD=60°,则∵AFB=;如图2,若∵ACD=90°,则∵AFB=;如图3,若∵ACD=120°,则∵AFB=;(2)如图4,若∵ACD=α,则∵AFB=(用含α的式子表示);(3)将图4中的∵ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若∵ACD=α,则∵AFB与α的有何数量关系?并给予证明.【答案】(1)120°,90°,60°;(2)180°﹣α;(3)∵AFB=180°﹣α,证明详见解析.【解析】解:(1)如图1,CA=CD,∵ACD=60°,所以∵ACD是等边三角形.∵CB=CE,∵ACD=∵BCE=60°,所以∵ECB是等边三角形.∵AC=DC,∵ACE=∵ACD+∵DCE,∵BCD=∵BCE+∵DCE,又∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACE=∵BCD.∵AC=DC,CE=BC,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵EAC=∵BDC.∵AFB是∵ADF的外角.∵∵AFB=∵ADF+∵FAD=∵ADC+∵CDB+∵FAD=∵ADC+∵EAC+∵FAD=∵ADC+∵DAC=120°.如图2,∵AC=CD,∵ACE=∵DCB=90°,EC=CB,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵AEC=∵DBC,又∵∵FDE=∵CDB,∵DCB=90°,∵∵EFD=90°.∵∵AFB=90°.如图3,∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACD﹣∵DCE=∵BCE﹣∵DCE.∵∵ACE=∵DCB.又∵CA=CD,CE=CB,∵∵ACE∵∵DCB.∵∵EAC=∵BDC.∵∵BDC+∵FBA=180°﹣∵DCB=180°﹣(180﹣∵ACD)=120°,∵∵FAB+∵FBA=120°.∵∵AFB=60°.故填120°,90°,60°.(2)∵∵ACD=∵BCE,∵∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE.∵∵ACE=∵DCB.∵∵CAE=∵CDB.∵∵DFA=∵ACD.∵∵AFB=180°﹣∵DFA=180°﹣∵ACD=180°﹣α.(3)∵AFB=180°﹣α;证明:∵∵ACD=∵BCE=α,则∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE,即∵ACE=∵DCB.在∵ACE和∵DCB中,则∵ACE∵∵DCB(SAS).则∵CBD=∵CEA,由三角形内角和知∵EFB=∵ECB=α.∵AFB=180°﹣∵EFB=180°﹣α.24.(2020·上海同济大学附属实验中学月考)已知:在ABC中,AB=AC,点E在AB上,以BE为底边作等腰DBE,取CE的中点为G,连接AG、DG.(1)如图1,若BE=AE,∵BDE=120°,∵BAC=60°,求证:AG∵DG;(2)如图2,若BE≠AE ,∵BDE +∵BAC=180°,则(1)中结论仍然成立吗?说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)(1)中结论AG DG ⊥仍然成立,理由见解析.【解析】解:(1)如图,延长DG 至H ,使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点,,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ,BE 为底边,120,BDE ∠=︒,BD DE ∴= 30,DBE DEB ∠=∠=︒ BD CH ∴=,,60,AB AC BAC =∠=︒ABC ∴为等边三角形,,BE AE =,30,CE AB ACE BCE ∴⊥∠=∠=︒ 60,DEG HCG ∴∠=∠=︒30,ACH ∴∠=︒在ABD △与ACH 中,,30AB AC ABD ACH BD CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,ABD ACH ∴≌,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥(2)(1)中结论AG DG ⊥成立,理由如下: 如图,延长DG 至H ,使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点,,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ,BE 为底边,设,BDE α∠=1,90,2BD DE DBE DEB α∴=∠=∠=︒- 180,BDE BAC ∠+=︒180,BAC α∴∠=︒-,AB AC =1,2ABC ACB α∴∠=∠=119090,22DBC ααα⎛⎫∴∠=-︒-=-︒ ⎪⎝⎭ 180,BEC EBC C ∠+∠+∠=︒ 1190180,22DEG BCE αα∴+︒-+∠+∠=︒ 90,DEG BCE ∴∠+∠=︒90,HCG BCE ∴∠+∠=︒190,2ACH ABD α∴∠=︒-=∠ 同(1)可得:,ABD ACH ≌ ,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥。

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