考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13 轴对称——最短路径问题

一．选择题（共12小题）

1．（2020·四川成都）如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）

A ．60βα-=︒

B ．210βα+=︒

C ．230βα-=︒

D ．2240βα+=︒

【答案】B

【解析】 如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，

交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．

易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．

∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP

30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ，

∵303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ．

故选：B.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

2．（2020·银川）如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

作点M 关于直线m 的对称点M '，连接NM '交直线m 于P ，则P 处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除A 、B 、C 选项，可知D 选项管道最短．

故选：D ．

3．（2020·河北武安期末）如图，∵ABC 中，AB=AC=10，BC=16，AD 是BC 边上的中线且AD=6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）.

A ．485

B ．16

C ．6

D ．10

【答案】A

【解析】

解：如下图所示，作BG∵AM 于M ，交AD 于F ，

∵∵ABC 中，AB=AC=10，AD 是BC 边上的中线，

∵∵ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，BD=DC ，

∵ AD 是BC 的垂直平分线，

∵ BF=CF ．

则BF EF +有最小值时，CF EF +有相同的最小值．

根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +，则CF EF +取最小值时，=CF EF BM +．

根据三角形的面积公式，可得：

11==22

ABC S AD BC AC BM ⨯⨯△，

解得：48=5

BM ， 即CF EF +的最小值为

485． 故答案选：A ．

4．（2020·河南永城）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，14AD =，点P 是边BC 上一动点，当PD PE +的值最小时，15AE =，则BE 为（ ）

A ．30

B ．29

C ．28

D ．27

【答案】B

【解析】 如图，延长AC 至点M ，使CM CD =，

过点M 作ME AB ⊥于点E ，交BC 于点P ，

则此时PD PE +的值最小.

在Rt ABC △中，30B ∠=︒，60A ∴∠=︒.

ME AB ⊥，90AEM ∴∠=︒，90A M ∴∠+∠=︒，

90M ∴∠=︒.

15AE =，230AM AE ∴==.

AM AD DM =+，14AD =，16DM ∴=.

CM CD =，8CD CM ∴==，22AC AD CD ∴=+=.

在Rt ABC △中，30B ∠=︒，244AB AC ∴==.

AB AE BE =+，15AE =，29BE ∴=.

故选B.

5．（2020·山西孝义）如图，等腰ABC ∆中,=⊥AB AC AD BC ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC ∆的面积是26cm ，6BC cm =，则ADG ∆的周长最小值是（ ）

A ．4.5cm

B ．5cm

C ．5.5cm

D ．6cm

【答案】B

【解析】

解：如图，连接BG ．

∵AB=AC ，AD∵BC ，6BC cm

∵BD=DC=3cm ，

∵S ∵ABC =12

•BC•AD=6， ∵AD=2，

∵EF 垂直平分AB ，

∵BG=AG ，

∵AG+DG=BG+GD ，

∵BG+GD≥BD ，，

∵GA+GD≥3，

∵GA+GD 的最小值为3，

∵∵ADG 的最小值为2+3=5，

故选：B ．

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

6．（2020·安徽利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N 是y 轴上一动点，则M ，N 两点之间的距离最小值为（ ）

A ．-4

B ．2

C ．4

D ．-2

【答案】C

【解析】

解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短