2.5-6随机微分方程
微分方程模型——数学建模真题解析
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2 , Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
fn fn x1 x2
f1
xn
f2 xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密 切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经 济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工 资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世 纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一 个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会 稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平 衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的 养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制 度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准 就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。
随机微分方程
一、一维分岔 考虑一维随机微分方程()()()()()()()()()dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-⎡⎤⎣⎦ 生成的连续动态系统()()()()()()tt00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142ϕϕσϕ-⎰⎰ () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。
假定()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（）从而0是ϕ的一个固定点。
对此固定点，dB(t)是随机参激。
设m(x)有界，对所有x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-()这保证最多只有一个平稳概率密度。
求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度()()()()122m u p x C x exp[ ] 6.145u xdu σσ-=-⎰（） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。
前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。
为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。
为此，考虑（6.1-41）的线性化方程()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解()()()()()ttV t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-⎰⎰（）动态系统ϕ关于测度μ的Lyapunov 指数定义为()()1lim ln V t 6.148t tϕλμ→∞=-（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数()()()()()()()()001()lim [ln 000]00 lim0(6.1-49)?t tt t B t V m ds dB s m m ttϕλδσσ→∞→∞'''''=++=+=⎰⎰对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数()01 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150tt Rt ϕλνσσσσ→∞''''''=+=+-⎰⎰（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得()2m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ϕλνσ⎡⎤=<-⎢⎥⎣⎦⎰（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （）生成的动态系统族αϕ()0exp[()] 6.1531[()]tx t B t t x x s B s dsαασϕασ+=-++⎰ （）（6.1-53）是以 x 为初值的（6.1-52）之解。
随机微分方程数值解法
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍 1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor 展开 2.1 Euler 方法 2.2 Milstein 方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
E( W ( t ) ? W ( s ) | F s ) ? 0 a .s ., 此外，对随机过程{ X ( t ), t ? 0}, T ? 0, 引入以下三个条件：
X ( t )关于 [0, T ] ? ? 可测；
(1)
? t ? 0, X ( t ) ? F t , 即 X ( t )为 F t 可测的；
称随机变量{W (t),t ? 0}的运动遵循(标准)维纳过程或者布朗运
动。
若? 2 ? 1，则称W ( t ) 为标准布朗运动或标准Wiener 过程。
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
2）对于标准布朗运动，? W N (0, ? t ) ，即? W ? t N (0,1), 若记随机变量? N (0,1), 则有 ? W ? ? ? t . 形式上看，当
下假设Wiener 过程 W (t ), t ? 0 定义在概率空间 (? , F , P )上，
{Ft , t
?
0}
F 为 11
的上升滤子（即
Ft
?
F ,且对 ? 0 ? t1 ?
t2 , Ft1 ?
F
t
)
2
，对任意 0 ? s ? t ，W ( s )关于 F t 可测，且满足
随机微分方程数值计算介绍
j
k,l
bij (Sn , tn ) ∆Wj,n
with b and its derivatives evaluated at (S(0), 0).
Milstein Method
This then leads to
Si (h) ≈ Si (0)+ai h+ bij Wj (h)+
L LT = Cov(∆Wn )
MC Lecture 9 – p. 1/19 MC Lecture 9 – p. 2/19
Euler-Maruyama method
Provided a and b are sufficiently smooth:
O(h) weak convergence (for almost all payoffs?) √ O( h) strong convergence
j j,k,l
Lévy areas
Itô calculus gives us
h
∂bij blk ∂Sl
Wk (t) dWj (t)
0
d(Wj Wk ) = Wj dWk (t) + Wk dWj (t) + ρjk dt
where ρjk is the correlation between dWj and dWk . Hence,
Euler-Maruyama method
For the vector SDE
Numerical Methods II
Prof. Mike Giles
giles@
dS = a(S, t) dt + b(S, t) dW
几种随机微分方程数值方法与数值模拟(李炜)
分类号 UDC
研究生签名：_____________日期：_________
关于论文使用授权的说明
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(保密的论文在解密后应遵守此规定)
研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： _______摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
求解随机微分方程的两种数值方法
求解随机微分方程的两种数值方法
TWO NUMERICAL METHODS OF SOLVING THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
吴赛楠
哈尔滨工业大学 2013 年 6 月
国内图书分类号：O175.14 国际图书分类号：517.9
学校代码：10213 密级：公开
理学硕士学位论文
求解随机微分方程的两种数值方法
硕 士 研 究 生 ： 吴赛楠 导 师 ： 李冬松副教授
申 请 学 位： 理学硕士 学 科： 计算数学
所 在 单 位： 数学系 答 辩 日 期： 2013 年 6 月 授予 学位 单位 ： 哈尔滨工业大学
Classified Index: O175.14 U.D.C: 517.9
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
Stochastic differential equation originated in the 20th century. In the past 100 years not only the relative theory has been through rapid development, but it is also widely used in real life. In the past, many scholars applied deterministic mathematical model to study phenomenon appears in the physical, biological, economic, and contrology and other areas. However, with the rapid development of science, they found that only the certainty factors are not enough to completely reflect the actual situation. There are many external factors that need to be considered into the phenomenon we study. Therefore, it is necessary for us to think over uncertainty factors when we are study mathematical models. Due to all the reasons mentioned above, stochastic differential equation gets attention and rapid development. Although it is hard to obtain the exact solutions of the equation, we still treat it as a goal. Therefore, whether the numerical method that we used to solve the stochastic differential equation is effective or not becomes important. If we want to obtain effective numerical method, it is necessary to discuss the convergence of the numerical method. This paper discusses the stochastic differential equation (SDEs) and constructs a split-step θ method for solving SDEs, namely the split-step θ method and do research into the convergence and stability of this numerical method. We obtain the mean-square convergence of the split-step θ method. And the mean-square order is 0.5. Besides, we also build up another method for solving SDEs, called a split-step balanced θ method. After that, we still consider the convergence and stability of this method. Finally, we do the numerical experimentation in order to verify our conclusion. Keywords: Stochastic differential equation, split-step θ method, split-step balanced θ method, Mean-square convergence, Mean-square stability
随机微分方程
利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t)=E[ X (t)]
t
E[
X
0
a(u )du
e t0
t
t
Y
(s)
eபைடு நூலகம்
s
a(u
)
du
)
ds]
t0
RX (s,t) E[X (s)X (t)]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
t
mX
(t)
(EX
0
)
e
t0
a (u ) du
))nn
( ) (m) ij nn
EX (1, 2,..., n )
B (cov( X , X )) (ij )nn
则 (u) e X (m)
j ( m) uT 1uB( m)uT
2
X
(u)
lim
m
X
(m)
(u)
j ( m )uT 1uB( m )uT
lim e
2
m
juT 1 uBuT
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量．即
设X m
(
X (m) 1
,L
,
X
(m) n
)为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 m
, n,均有
l.i.m
m
X (m) k
Xk,
则X ( X1, X 2,L , X n )是n维正态随机向量．
因为
l.i.m
n
Xn
X ,由均方收敛性质得
(t)
lim
n
n
随机微分方程
Let function f(t) be given in [0,T], and Π
be a partition of the interval [0,T]:
0 t0 t1 tN T
the quadratic variation of f(t) is defined
by
Q f tk 1 f tk
^ ^ where tk k ,1 k N 1; 0;0 t2 , t1 T .
利用二项分布的性质，方差的定义
中心极限定理
For any random sequence
k
where the random variable X~ N(0,1),
above, when k Ri defined 1 R X, k
Sk (t ), t tk , 线性插值 S (t ) t t t t k k 1 S Sk , tk t tt k 1. k 1
随机游动的分布
Let T=1,N=4,Δ=1/4,
S 0,
0
1, head Ri ( ) , (i 1, 2, ) 1, down
are independent. 0 t1 t2
tn ,
2：随机积分
需要指出的是用布朗运动刻画的粒子运
动的每一条轨线是连续的，但不可导。 高等数学中的积分定义是通过： （1）分割（2）近似（3）求和（4）取 极限
Definition of Quadratic Variation（二次变差）
S1 1/ 4 R1 1/ 2,1/ 2 ,
S2 1/ 4( R1 R2 ) 1, 0,1 ,
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
慢快随机微分方程
我们要解决的是一个慢快随机微分方程问题。
首先，我们需要理解什么是慢快随机微分方程。
慢快随机微分方程是一种描述两个不同时间尺度的变量的微分方程。
通常，一个变量变化快，另一个变量变化慢。
这种方程在物理、化学、生物等许多领域都有应用。
假设我们有两个变量x 和y，其中x 变化快，y 变化慢。
我们可以用以下的微分方程来描述这两个变量：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)其中 f 和g 是关于x 和y 的函数。
但是，如果y 是随机的，那么上面的方程就需要修改。
修改后的方程为：dx/dt = f(x, y) + σ(x) dWtdy/dt = g(x, y)其中dWt 是Wiener 过程，σ 是x 的函数，表示x 的噪声强度。
现在我们要来解这个慢快随机微分方程，找出x 和y 的值。
解这个慢快随机微分方程需要使用数值方法，例如Euler-Maruyama方法。
假设我们有一个初始条件(x0, y0)，我们可以从这一条件开始，逐步迭代方程来找到x 和y 的值。
使用Euler-Maruyama方法，我们可以得到以下的迭代公式：x_n+1 = x_n + f(x_n, y_n) Δt + σ(x_n) ΔW_ny_n+1 = y_n + g(x_n, y_n) Δt其中Δt 是时间步长，ΔW_n 是Wiener 过程在时间步长内的增量。
通过反复迭代上面的公式，我们可以得到x 和y 的近似值。
需要注意的是，慢快随机微分方程的解可能会表现出不同的动力学行为，例如快变量的瞬态行为、慢变量的长期行为等。
因此，在解这类方程时，需要仔细选择数值方法和参数，以确保结果的准确性和可靠性。
python 随机微分方程
python 随机微分方程Python是一种广泛使用的编程语言，可用于解决各种问题，包括随机微分方程。
随机微分方程是一种描述随机过程的数学模型，它们在物理学、生物学、金融学等领域中都有广泛的应用。
Python中有许多库可用于解决随机微分方程，包括NumPy、SciPy和PyDSTool等。
在Python中，可以使用NumPy库生成随机数序列，然后使用SciPy 库中的odeint函数求解微分方程。
例如，考虑以下随机微分方程：dX = -a*X*dt + b*dW其中，X是一个随机变量，a和b是常数，dW是一个布朗运动。
可以使用以下代码求解该方程：import numpy as npfrom scipy.integrate import odeint# 定义微分方程def f(X, t, a, b):dX = -a*X + b*np.random.normal()return dX# 定义初始条件X0 = 1.0# 定义时间步长和时间范围dt = 0.01t = np.arange(0, 10, dt)# 定义常数a = 1.0b = 0.1# 求解微分方程X = odeint(f, X0, t, args=(a, b))# 绘制结果import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(t, X)plt.xlabel('Time')plt.ylabel('X')plt.show()在上面的代码中，定义了一个名为f的函数，它接受X、t、a和b作为参数，并返回微分方程的右侧。
然后，使用odeint函数求解微分方程，并绘制结果。
除了使用odeint函数外，还可以使用PyDSTool库中的Generator 类求解随机微分方程。
例如，考虑以下随机微分方程：dX = -a*X*dt + b*dW其中，X是一个随机变量，a和b是常数，dW是一个布朗运动。
随机微分方程数值解法共42页文档
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
随机微分方程数值解法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
微分方程和随机微分方程
Ho¨lder连续性
Kolmogorov Theorem: 如果X(·)几乎处处的样本 路径是连续的，且对某α > 0, β > 0,
E(|X(t) − X(s)|β) ≤ C|t − s|1+α.
则对0 < γ < α/β，T > 0，以及几乎处处的ω， 样本路径X(·, ω)在[0, T]上一致γ−Ho¨lder连续。
P(X ∈ B) = f (x)dx
B
∀B ∈ B
如果X : Ω → R1具有密度函数
f (x) = √ 1
e−
|x−m|2 2σ2
2πσ2
x ∈ R1
称X具 高斯(或正则)分布，记N(m, σ2)
Brown运动，Wiener过程
R.Brown (1826-27) 花粉颗粒 不规则，无切线，相互独立
P : U→ [0, 1] 是U上概率测度。
术语：
A ∈ U 事件;
ω ∈ Ω 样本点；
P(A)
事件A的概率。
例：
设B为Rn中所有Borel子集，如果f ≥ 0, fdx = 1, 命
P(B) = fdx ∀B ∈ B.
B
则(Rn, B, P) 是概率空间，称f 为P的密度函数。
定义：给定(Ω, U, P)概率空间
∀x ∈ U.
注：Brown运动的generator
L∗
=
1 2
，
即V = 0，G = I的情形。
转移概率
在一定条件之下，可证：
(i) 如果Xs,x是在区间[s, T)上的唯一解，适 合X(s) = x。则
(完整版)随机微分方程
随机微分方程在水库防洪中的应用 本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程，收获甚丰，感受颇多。
在此之前，我从未接触过任何关于随机的概念，在听完袁老师的课程，特别是袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例，让我感觉在水利工程中确实有很多问题都应该通过随机这个概念来解决。
在阅读过相关的一些 文献过后，发现在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特别高。
水库的防洪是水利工程流域管理的重要内容，其中各环节都存在诸多的不确定性。
包括水雨情信息采集中由于设备故障、通讯不畅、误码和量程不足等原因导致的信息无法获取或无法及时传达、信息错误，实时洪水预报中水文气象条件、模型结构、模型参数等导致的预报误差，调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等。
由于各环节的多种不确定性因素，随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析，近年来，这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程，随机微分方程被引入和运用,为解决这一难题提供了有效的数学工具，以概率论和微分方程为基础的随机微分方程模型,可以对调洪过程中的随机现象和规律进行数学描述和分析,可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响, 为经济合理地选择大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式, 提供科学的依据。
传统的确定性调洪演算方法，根据的是简单的水库蓄量平衡关系，建立有如下的微分方程：（1）若令/()d dh G h ω=,并加入初始条件,则有：（2）式中，h(t)为库水位，h 0为初始库水位，Q(t)为调洪过程任一时刻的来洪流量，q(h,c)为相应时刻的泄洪流量，在泄洪建筑物规模确定的情况下，可表述为h 和流量系数等水力参数c 的函数，w(h)为水库的库容量。
上述的各函数均为确定性的变量。
因此，我们无法通过式(2)来考虑调洪的随机过程中各种不确定性因素的影响, 计算求解的也只能是库水位的确定性函数h(t)。
为了从传统的确定性观点转到随机的观点来分析水库的调洪过程, 必须建立包含有随机元素的随机微分方程。
python 随机微分方程
python 随机微分方程Python是一种功能强大的编程语言，它不仅可以用于数据分析和机器学习等领域，还可以用于解决微分方程等数学问题。
本文将介绍如何使用Python随机解微分方程的方法，并详细讲解其原理和应用。
我们需要了解什么是微分方程。
微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了未知函数及其导数。
微分方程在科学和工程领域中广泛应用，例如描述物理系统的运动、化学反应的速率等。
在Python中，我们可以使用科学计算库NumPy和科学计算库SciPy来解决微分方程问题。
首先，我们需要导入这两个库：import numpy as npfrom scipy.integrate import odeint接下来，我们定义一个函数来表示微分方程。
假设我们要解决的微分方程是dy/dx = x^2，其中y是关于x的函数。
我们可以定义一个名为func的函数来表示这个微分方程：def func(y, x):return x ** 2然后，我们需要定义初始条件。
在这个例子中，假设我们要求解的函数在x=0时的值为1。
我们可以定义一个名为y0的变量来表示初始条件：y0 = 1接下来，我们需要定义解微分方程的范围。
在这个例子中，假设我们要求解的范围是从x=0到x=1。
我们可以定义一个名为x的变量来表示解的范围：x = np.linspace(0, 1, 100)然后，我们可以使用odeint函数来解微分方程。
该函数需要传入func函数、初始条件y0和解的范围x作为参数：y = odeint(func, y0, x)我们可以绘制解的图像。
在这个例子中，我们可以使用Matplotlib 库来绘制图像：import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Solution of dy/dx = x^2')plt.show()通过运行以上代码，我们可以得到微分方程的解的图像。
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t
d d , s , t t0
也可以解下列普通微分方程得到
RX ( s, t ) a(t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) t R ( s, t ) E[ X ( s)X ] 0 0 X RXY ( s, t ) a( s)RXY ( s, t ) RY ( s, t ) s R (t , t ) E[ X 0Y (t )] XY 0
s
t
t0 t0tຫໍສະໝຸດ sa ( u )du )
t
t0
E[ X 0Y ( )]e
a ( u ) du
t
t
d
a ( u )du
t
t0
a ( u )du E[ X 0 Y ( )]e d
s
t0
t
t0
RY ( , ) e
s
a ( u )du
a ( u ) du
CX (s, t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t ) 2 , s, t 0
DX (t ) CX (t, t ) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容:
1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限
2.均方可导的正态过程性质
t
a(t ) X (t ) Y (t )
即 X (t ) a(t ) X (t ) Y (t )
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t )=E[ X (t )] E[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du ) s Y ( s) e ds]
t
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
mX (t ) ( EX 0 ) e
t0
t
a ( u ) du
t
t0
a ( u ) du s mY ( s) e ds, t 0
n
E[ X ] 2 D[ X ]
1 22 jt n n t 2 1 jt 2t 2 2
因为 l.i.m X n X ,由均方收敛性质得
(t ) lim n (t ) lim e
n n
=e
所以X是正态随机变量
说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即 推论 若{X(t).t∈T}为一族正态随机变量,且
其中mX (t ), CX (s, t )分别是均值函数和协方差函数．
证明 设a t0 t1
tn b是[a, b]的任一划分,对于每一tk ,
(k =1,2, ,n)a s0 s1
snk t k 是[a, tk ]的任一划分,
1k nk
令k max sl( k ) , max k .对ul( k ) [sl 1 , sl ],
有解，其解为
X (t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds
t
X (t ) a(t ) X 0 e
t0
t
a ( u ) du
a ( u ) du s ( Y ( s) e ds) t t0
t
a(t ) X 0 e a(t ) X 0 e
a(t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
( Y (s) e
t0
t
t0 a (u ) du t0 a (u ) du
t
s
t
s
ds) ds)
ds
t0 a (u ) du
t0 a (u ) du
t
(e
t0 a (u ) du
t
t
Y ( s) e
（m） lim B =B
( m) ( m) 其中 ( m) EX ( m) (1( m) , 2 ,..., n )
( m) B( m) (cov( X i( m) , X i( m) ))nn (ij )nn
EX ( 1, 2 ,..., n )
B (cov( X , X )) ( ij )nn
3.正态过程的均方不定积分性质
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量 .
即若 { X n , n 1}为正态随机变量序列，且 l.i.m X n X , 则X是正态随机变量．
n
证明 记 n (t ) E[e jtX n ], (t ) E[e jtX ]
n E[ X n ], n 2 D[ X n ],
则X ( X1 , X 2 ,
, X n )是n维正态随机向量．
证 设X(m) (u),X (u)分别是X（m） 和X的特征函数
由 l.i.m X m X , 得
m
lim
m
m （m） k
k
m m
m） lim （ ij = ij
（m） 因此 lim
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解
mX (t ) 0，RX (s, t ) 2ea( st ) , s, t 0 所以X (t ) N (0, 2e2at ),即解{X (t ), t 0}一维概率密度为
f (t; x) 1 2 e
n 1, t1, t2 ,
, tn T ,以下2n维向量是正态r.v.
, X (tn ), X (tn t ))
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
X (t1 t ) X (t1 ) X (t2 t ) X (t2 ) ( , , t t
X (tn t ) X (tn ) , ) t
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
1 t 1 t 0 0 0 0 0 0 1 t 1 t 0 0 0 0 0 1 t 1 t 2 n n 0
,n
所以导数过程是正态过程.
再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得
(t1 , , tn ; u1 , , un ) exp[ j uk m X (tk )
k 1
n
1 n n 2 uk ul C X (tk , tl )] 2 k 1 l 1 st
定理4 设{X (t ), t [a, b]}为一均方连续的正态过程，
at
由公式解为 X (t ) X 0eat , t 0
e
x2 2 2 e2 at
,t 0
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t ) gt , t 0 X (0) X 0
其中g是常数. 解
X 0 ~ N (0, 2 ).
t
1 2 由公式解为 X (t ) X 0 0 gsds X 0 gt , t 0 2 1 2 1 2 mX (t ) gt , t 0 RX ( s, t ) ( gst ) 2 s, t 0 2 4
l.i.m X (t ) X ,
t t0
则X是正态随机变量．
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限
仍是n维正态随机向量．即
设X m ( X1(m) ,
( m) , Xn )为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若 l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 , n,均有 l.i.m X k( m ) X k , m m
五 均方随机微分方程
在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.
如: 随机干扰下的控制问题
通讯技术中的滤波问题……
要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.
定理 设二阶矩过程{Y (t ), t t0} 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
则 X ( m ) (u ) e
m
1 j ( m ) uT uB( m )uT 2
X (u) lim X ( m ) (u)
lim e
m
j
( m ) uT
1 uB ( m )uT 2
e
1 j uT uBuT 2
X 是n维正态随机变量.
推论 若{X1 (t ),
则 l.i.m X (ul( k ) )sl( k ) Y (tk ), k 1, 2,
t 0 l 1
nk
,n
又因为{X(t).t∈[a,b]}为一正态过程,所以
(1) ( X (u1(1) ), X (u2 ) (1) , X (un ), 1 (n) , X (u1( n ) ), X (u2 ), ( n) , X (un ))
t t0
, X n (t ), t T } 为一族n维正态随机向量，
, n, 则X ( X1 ,
且 l.i.m X k (t ) X k , k 1,
, Xn )
是n维正态随机向量．
定理３设{X(t).t∈T}为一正态过程,若对任意的t∈T,