数码相机数学建模

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1324615 所属学校（请填写完整的全名）：中国地质大学（武汉）参赛队员 (打印并签名) ：1. 王飞2. 李丁3. 代永力指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：付丽华日期： 2008 年 9 月22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘 要相机定位是计算机视觉领域里从二维图像获取三维信息的基本要求，是完成许多视觉工作必不可少的步骤。

题目利用由五个圆组成的靶标模板(图2)对相机进行标定。

对于给出的相机拍摄的靶标的像(图3)，本文对其进行了预处理：首先应用MATLAB 软件对图3进行去噪，然后利用自行设计的算法(扫描法)提取去噪后图形的边缘(图8)。

事实上，标定就是找到空间坐标系和像平面坐标系之间的相互关系。

而这是由相机成像的几何模型决定的，其成像参数包括相机内部几何和光学特性(内部参数)，以及相机世界坐标系的三维位置和方向(外部参数)。

求解相机内外参数是解决问题的关键。

本文考虑了理想的情况，即直线的投影仍是直线，以及交点的投影仍然是像的交点。

利用图2中A 、B 、C 、D 、E 两两圆的外公切线的切点与图3中像的外公切线的切点相对应，通过最小二乘法求出该相机的内、外参数。

然后，利用相机成像原理，将图2中圆心的坐标c A 、c B 、c C 、c D 、c E 和相机内外参数代入，即可得到靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标'c A 、'c B 、'c C 、'c D 、'c E （见表2）。

为了验证该模型，本文利用留一法，用四个圆(共有三组：A 、B 、D 、E ；B 、C 、D 、E ；A 、C 、D 、E )的切点与对应像点求相机内外参数，剩下的一个圆用于做检验。

以第一组为例，具体过程是：根据A 、B 、D 、E 算出内外参数，然后求出C 圆圆心的像的坐标''c C ，并与'c A 、'c B 所确定的直线的距离来检验方法的精度和稳定性。

结果显示（见本文13-14页），本文所用方法精度较高，稳定性较好。

双目标定时，将双目系统的坐标系建立在左相机上，把右相机的坐标系相对于其的旋转和平移参数利用最小二乘法求出，从而可以得到两部相机的相对位置。

关键词：标定；内、外参数；深度优先搜索；最小二乘法一、 问题的提出1．背 景目前，交通管理中使用人工监控的方式已经不适合日益壮大的交通系统，而 有效的电子监管（例如数码相机定位）能更有效的管理交通系统运行，于是电子监管逐渐被人们所认识。

随着数码相机的普及，数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面应用越来越广泛。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

当前，最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来进行定位。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。

如果知道两部相机精确的相对位置，就可使用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

由此可见，对于双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

系统标定方法很多，常用的有张正友平面标定方法、孟胡平面圆标定方法、平行圆标定方法[1]。

目前有人提出这样一种方法：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。

然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。

实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点。

而它们的像一般会变形，如图1所示。

问题的关键是，能否从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，如果能找到，标定就可实现。

图1 像的变形示意图2．问 题有人设计靶标如下，取1个边长为100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A 、C 、D 、E ）为圆心，12mm 为半径作圆。

以AC 边上距离A 点30mm 处的B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图2所示。

图2 靶标示意图用一个位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图3 靶标的像研究的问题如下：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768； （3） 设计一种方法检验模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二、 符号定义w w w w O x y z 世界坐标系c O 数码相机透视中心 c c c c O x y z - 数码相机坐标系 u O 主光轴与像平面的交点u u u O x y - 坐标轴分别平行于像素坐标系的坐标轴建立的物理坐标系F 数码相机内参矩阵，0000001x y f u F f v ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，,x y f f 分别表示在x 方向和y 方向上像点的物理坐标到图像坐标的比例系数，00,u v 是主光轴与像平面交点的图像像素坐标[]R T 数码相机的外参矩阵,R 和T 分别为模板相对数码相机的旋转分量和平移分量，11,11,21,32,12,22,323,13,23,33,t r r r R r r r T t r r r t ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭c A B C D E c c c c 、、、、 圆A 、B 、C 、D 、E 在靶标平面上的圆心'c A B C D E ''''c c c c 、、、、 圆心c A B C D E c c c c 、、、、在像平面上对应的点三、 问题的分析根据题意，要找到靶标圆的圆心在像平面中的对应点，就应该确定数码相机的内、外参数，然后利用所得到的内、外参数来确定靶标平面上圆心在像平面上对应点的坐标。

只要寻找靶标上的点在像平面上的对应点，就可以利用成像原理求出相机的内、外参数。

利用圆及其切线对投影面的特点，即两圆及其公切线在投影面上的图形仍保持直线的投影公切于两圆的投影，且它们在靶标平面上的切点对应于投影面上相应的切点，利用这一性质就可以找到靶标平面与投影面上部分相对应的点，然后就可以用所建立的模型来求出数码相机的内、外参数，从而就找到了靶标平面上点与投影面上点的对应关系，再代入数据就可以求出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。

模型稳定性和精度的验证，主要是考查该模型对数据变化这一影响下所得结果的考量。

这里，我们将利用留一法，同时用3组数据来进行验证。

问题4中两部相机相对位置的确定，主要是两相机像平面坐标系之间的转化，我们将以左相机为基准，将右相机坐标系统一到左相机上，从而得到两者相对位置。

四、 模型假设1．假设数码相机成像的原理为针孔相机模型； 2．假设相机本身的配置没有误差；3．假设数码相机成像产生较小的畸变，对结果影响不大，忽略不计； 4．假设像平面中心与光学中心连线垂直于像平面。

五、 模型的建立与问题的解（一） 模型的建立建立物点（世界坐标）和像点（像坐标）位置对应关系方程。

如图4所示：在模板平面上，分别以两条正交的直线为xy 轴，以靶标上正方形的中心为原点，并按右手准则建立世界坐标系w w w w O x y z -，然后以数码相机透视中心c O 为坐标原点，并使其x 轴和y 轴分别平行于像面坐标系的x 轴和y 轴，且方向相同，z 轴为数码相机镜头的主光轴，按右手准则建立数码相机坐标系c c c c O x y z -。

以像平面上像素坐标值()0,0的点为坐标原点O ，以水平像元阵列方向为x 方向，以垂直像元阵列方向为y 方向，建立像素平面坐标系O UV -。

最后以主光轴与像平面的交点u O 为坐标原点，并使坐标轴分别平行于像素坐标系的坐标轴来建立物理坐标系u u u O x y -，模板平面上w P 的理想成像点为u P 。

图 4 透视投影模型示意图假设模型为理想透视模型根据针孔成像原理，由世界坐标点到理想像素点的齐次变[]2,3换如下：[]11w w w x u y s v F R T z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1) 其中，s 为照相机坐标向像平面坐标转化的比例系数，F 为数码相机内参矩阵，[]R T 为数码相机的外参矩阵，R 和T 分别为模板相对数码相机的旋转分量和平移分量，分别定义如[]3,4下：101,11,21,302,12,22,323,13,23,330,,001xy t f u r r r F f v R r r r T t r r r t ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭(2)其中，,x y f f 分别表示在x 方向和y 方向上像点的相机坐标到物理坐标的比例系数，00,u v 表示主光轴与像平面交点的图像坐标。

由于世界坐标系的xy 轴在模板平面上，因此对于模板上的点0w z =。

这样式(1)可重写为：01,11,2102,12,223,13,230010011w xy w x u f u r r t s v f v r r t y r r t ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭ (3) 消去s 即得到以下理想透视数学模型:()()1,11,2103,13,232,12,2203,13,23x w w w w y w w w w f r x r y t u u r x r y t f r x r y t v v r x r y t⎧++=+⎪++⎪⎨++⎪=+⎪++⎩(4) （二）模型的求解1．图像处理题目中给定一幅使用待标定数码相机拍摄的图片（图3 靶标的像），规格为1024*768大小的位图。