离散数学函数复习题答案

第6章 函数

一、选择题（每题3分）

1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><>

2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ） A 、)}10(),(|,{<+∧∈>< C 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< D 、{,|(,)(mod 3)}x y x y Z x y <>∈∧≡

3、设Z 为整数集，则二元关系{,23}f a b a Z b Z b a =<>∈∧∈∧=+ （ B ） A 、不能构成Z 上的函数 B 、能构成Z 上的函数 C 、能构成Z 上的单射 D 、能构成Z 上的满射

4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()0

x f x x ⎧=⎨

⎩若为奇数若为偶数

，则f （ D ）

A 、为单射而非满

B 、为满射而非单射

C 、为双射

D 、既非单射又非满射 5、设f 为整数集Z 上的函数，且()f x 为x 除以5的余数 ，则f （ D ）

A 、为单射而非满

B 、为满射而非单射

C 、为双射

D 、既非单射又非满射 6、设R Z 、分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ） A 、:,()6f R R f x x →=+ B 、2

:,()(6)f R R f x x →=+ C 、:,()[]f R Z f x x →= D 、6

:,

()6f R R f x x x →=+

7、设R R Z +、、分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ）

A 、2

:,()71f R R f x x x →=-+- B 、x x f R Z

f ln )(,:=→+

；

C 、:,

()f R R f x x →= D 、:,()71f R R f x x →=+

8、设Z N E 、、分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ） A 、f : Z E → , ()2f x x = B 、f : Z E → , ()8f x x =

C 、f : Z Z →, ()8f x =

D 、f : N N N →⨯, (),1f n n n =<+> 9、设3,4X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的单射个数为（ B ）． A 、12 B 、24 C 、64 D 、81 10、设3,2X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的满射个数为（ B ）．

A 、6

B 、8

C 、9

D 、64 11、设函数:f B C →，:g A B →都是单射，则:f g A C → （ A ）

A 、是单射

B 、是满射

C 、是双射

D 、既非单射又非满射 12、设函数:f B C →，:g A B →都是满射，则:f g A C → （ B ）

A 、是单射

B 、是满射

C 、是双射

D 、既非单射又非满射 13、设函数:f B C →，:g A B →都是双射，则:f g A C → （ C ）

A 、是单射

B 、是满射

C 、是双射

D 、既非单射又非满射 14、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是单射，则（ B ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 15、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是满射，则（ C ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 16、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是双射，则（ D ）

A 、,f g 都是单射

B 、,f g 都是满射

C 、f 是单射, g 是满射

D 、f 是满射, g 是单射

二、填充题（每题4分）

1、设,X m Y n ==，则从X 到Y 有2mn 种不同的关系，有m n 种不同的函数．

2、设,X m Y n ==，且m n ≤，则从X 到Y 有m n A 种不同的单射．

3、在一个有n 个元素的集合上，可以有2

2n

种不同的关系，有n n 种不同的函数，有!n 种

不同的双射．

4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()2x f x x

x ⎧⎪

=⎨⎪⎩，若为奇数

若为偶数，

,

则(0)f =0，[{0}]f ={0} ，[{1,2,3}]f ={1}，[{0,2,4,6,}]f = N ．

5、设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,

1)(,=+=∈∀，

则()f g x = 21x +，()g f x = 2(1)x +．

三、问答计算题（每题10分）

1、设{234}A =，，，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系

},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？

解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：

R 的关系矩阵为 1

1011000010

1

1R

M ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

关系R 不是A 到B 的函数，

因为元素2，4的象不唯一

逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在．

2、设Z 为整数集，函数f ：Z Z Z ⨯→，且(,)f x y x y =+，问f 是单射还是满射？ 为什么？并求(,),f x x (,)f x x -．

解：x Z ∀∈, 0,x Z Z ∃<>∈⨯，总有(0,)f x x =，则f 是满射；

对于1,2,2,1,Z Z <><>∈⨯，有(1,2)3(2,1)f f ==，而1,22,1<>≠<>，则f 非单射；

(,)2,(,)0f x x x f x x =-=． 3、设{1,2}A =，A 上所有函数的集合记为A A , “ ”是函数的复合运算，试给出A A 上运算“ ”的运算表，并指出A A 中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为2A =，所以A 上共有224=个不同函数，令},,,{4321f f f f A

A

=，其中：

1

4(1)1,(2)2;

(1)1,(2)1;(1)2,(2)2;(1)2,(2)1f f f f f f f f ========

1f 为A

A 中的幺元，1f 和4f 有逆元．