材料力学教案-压杆稳定
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x
F
l
m
m
w
x
y
B
m
y
B
F M(x)=-Fw
m x
(Buckling of Columns)
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x)
该截面的弯矩 M ( x) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw'' M ( x) Fw（a) 令 k2 F
EI
m
y
B
得 w'' k 2w 0
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
三、失稳破坏案例 (Bucking examples)
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907 年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大 工程惨剧之一.
E π σp
206109 100 200 106
当 ＜1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此
时需用经验公式.
(Buckling of Columns) 三. 常用的经验公式 ( The experimental formula)
直线公式 或 令
σcr a b s
a s
b
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2 EI l2
欧拉公式
l
2l
Fcr
2 EI (2l )2
Fcr
π2 EI
(l )2
l/4 l/2 ll l/4
0.7l l
0.3l
Fcr
2 EI (l / 2)2
2 EI Fcr (0.7l)2
l—相当长度
—长度因数
(Buckling of Columns)
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
(Buckling of Columns)
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
(Buckling of Columns) 二、工程实例（Example problem）
(Buckling of Columns)
§9-6 提高压杆稳定性的措施 (The measures to enhance the columns stability)
(Buckling of Columns)
§9–1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns)
一、引言 (Introduction)
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为
Fcr
π2 EI
(l )2
（ 为压杆的长度因数）
(Buckling of Columns)
Fcr
π2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
5.讨论（Discussion)
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions )
(Buckling of Columns)
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula • the experimental formula ) §9-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of columns)
令 i
I A
则
σcr
Fcr A
π2 EI
(l)2 A
π2 E
(l)2
i2
π2 E
(l / i)2
令 l
i
则
σcr
π2E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.
406.4kN
所以连杆的临界压力为134.6kN.
zF
(Buckling of Columns)
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula
• the experimental formula )
一、临界应力 (Critical stress)
2
a
s
b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
(Buckling of Columns)
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
x
x
880 1000
880
y
z
y z
(Buckling of Columns)
x
x
F
880 1000 880
l
y
y z
zF
分析思路：（1）杆件在两个方向的约束情况不同； （2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆 的临界压力.
(Buckling of Columns)
解：xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m
1. 欧拉公式临界应力 (Euler’s critical stress)
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
上的应力为
σcr
Fcr A
π2 EI
(l )2 A
(Buckling of Columns)
半波正弦曲线的一段长度.
(Buckling of Columns)
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩.
取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
(Buckling of Columns)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,) EI
F
n2π l
2 2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
Fcr
π2 EI l2
Fcr
π2 EI (0.7l )2
Fcr
π2 EI (0.5l )2
Fcr
wk.baidu.com
π2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
(Buckling of Columns)
第九章 压杆稳定 （Buckling of Columns ）
§9-1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns)
§9-2 两端铰支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)
x
F
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）.
x
y
B
挠曲线方程为
w
sin
kl
sin
kx
2
当 kl π 时， w sin πx 挠曲线为半波正弦曲线.
l
(Buckling of Columns)
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions )
(Buckling of Columns)
案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲 目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏 使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
(Buckling of Columns)
案例3 2000年10月25日上午10时南 京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
σmax
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所
能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是
与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
π2E
2
σp
或
π2E
σp
令
1 π
E σp
(Buckling of Columns)
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范
围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 π
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过
度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
(Buckling of Columns) 五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguish between stable problem and strength problem)
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr 。
(Buckling of Columns) 二、 欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
x
1000
880
Fcr
π2 EI
(l )2
3.142
2.1 1011 6.5 108 (1 1)2
134.6kN
y
y
z
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
F
Fcr
π2 EI
(l )2
3.142
2.1 1011 3.8 108 (0.5 0.88)2
l
880
x y
z
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然
后取小的一个作为压杆的临界压力.
(Buckling of Columns)
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状
为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模
量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
1.细长压杆的形式（Different end conditions of a straight columns)
两
一端
端
自由
铰
一端
支
固定
两
一端
端
固定
固
一端
定
铰支
(Buckling of Columns)
2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’s Formula for Other End
Conditions)
研究压杆稳定性问题尤为重要
(Buckling of Columns) 四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns)
1.平衡的稳定性（Stability of equilibrium ）
随遇平衡
(Buckling of Columns)
2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to elastic compressive members)
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
w Asinkx Bcos kx (c) （A、B为积分常数）
(Buckling of Columns)
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
l
A0 Asin kl 0
m
m
压杆
强度问题
稳定问题
平衡状态
直线平衡状态不变
应力
达到限值
平衡方程
变形前的形状、尺寸
极限承载能力
实验确定
平衡形式发生变化
小于限值
变形后的形状、尺寸 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
(Buckling of Columns)
§9-2 两端绞支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)
F
l
m
m
w
x
y
B
m
y
B
F M(x)=-Fw
m x
(Buckling of Columns)
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x)
该截面的弯矩 M ( x) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw'' M ( x) Fw（a) 令 k2 F
EI
m
y
B
得 w'' k 2w 0
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
三、失稳破坏案例 (Bucking examples)
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907 年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大 工程惨剧之一.
E π σp
206109 100 200 106
当 ＜1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此
时需用经验公式.
(Buckling of Columns) 三. 常用的经验公式 ( The experimental formula)
直线公式 或 令
σcr a b s
a s
b
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2 EI l2
欧拉公式
l
2l
Fcr
2 EI (2l )2
Fcr
π2 EI
(l )2
l/4 l/2 ll l/4
0.7l l
0.3l
Fcr
2 EI (l / 2)2
2 EI Fcr (0.7l)2
l—相当长度
—长度因数
(Buckling of Columns)
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
(Buckling of Columns)
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
(Buckling of Columns) 二、工程实例（Example problem）
(Buckling of Columns)
§9-6 提高压杆稳定性的措施 (The measures to enhance the columns stability)
(Buckling of Columns)
§9–1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns)
一、引言 (Introduction)
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为
Fcr
π2 EI
(l )2
（ 为压杆的长度因数）
(Buckling of Columns)
Fcr
π2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
5.讨论（Discussion)
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions )
(Buckling of Columns)
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula • the experimental formula ) §9-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of columns)
令 i
I A
则
σcr
Fcr A
π2 EI
(l)2 A
π2 E
(l)2
i2
π2 E
(l / i)2
令 l
i
则
σcr
π2E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.
406.4kN
所以连杆的临界压力为134.6kN.
zF
(Buckling of Columns)
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula
• the experimental formula )
一、临界应力 (Critical stress)
2
a
s
b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
(Buckling of Columns)
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
x
x
880 1000
880
y
z
y z
(Buckling of Columns)
x
x
F
880 1000 880
l
y
y z
zF
分析思路：（1）杆件在两个方向的约束情况不同； （2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆 的临界压力.
(Buckling of Columns)
解：xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m
1. 欧拉公式临界应力 (Euler’s critical stress)
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
上的应力为
σcr
Fcr A
π2 EI
(l )2 A
(Buckling of Columns)
半波正弦曲线的一段长度.
(Buckling of Columns)
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩.
取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
(Buckling of Columns)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,) EI
F
n2π l
2 2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
Fcr
π2 EI l2
Fcr
π2 EI (0.7l )2
Fcr
π2 EI (0.5l )2
Fcr
wk.baidu.com
π2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
(Buckling of Columns)
第九章 压杆稳定 （Buckling of Columns ）
§9-1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns)
§9-2 两端铰支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)
x
F
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）.
x
y
B
挠曲线方程为
w
sin
kl
sin
kx
2
当 kl π 时， w sin πx 挠曲线为半波正弦曲线.
l
(Buckling of Columns)
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions )
(Buckling of Columns)
案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲 目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏 使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
(Buckling of Columns)
案例3 2000年10月25日上午10时南 京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
σmax
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所
能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是
与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
π2E
2
σp
或
π2E
σp
令
1 π
E σp
(Buckling of Columns)
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范
围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 π
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过
度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
(Buckling of Columns) 五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguish between stable problem and strength problem)
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr 。
(Buckling of Columns) 二、 欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
x
1000
880
Fcr
π2 EI
(l )2
3.142
2.1 1011 6.5 108 (1 1)2
134.6kN
y
y
z
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
F
Fcr
π2 EI
(l )2
3.142
2.1 1011 3.8 108 (0.5 0.88)2
l
880
x y
z
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然
后取小的一个作为压杆的临界压力.
(Buckling of Columns)
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状
为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模
量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
1.细长压杆的形式（Different end conditions of a straight columns)
两
一端
端
自由
铰
一端
支
固定
两
一端
端
固定
固
一端
定
铰支
(Buckling of Columns)
2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’s Formula for Other End
Conditions)
研究压杆稳定性问题尤为重要
(Buckling of Columns) 四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns)
1.平衡的稳定性（Stability of equilibrium ）
随遇平衡
(Buckling of Columns)
2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to elastic compressive members)
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
w Asinkx Bcos kx (c) （A、B为积分常数）
(Buckling of Columns)
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
l
A0 Asin kl 0
m
m
压杆
强度问题
稳定问题
平衡状态
直线平衡状态不变
应力
达到限值
平衡方程
变形前的形状、尺寸
极限承载能力
实验确定
平衡形式发生变化
小于限值
变形后的形状、尺寸 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
(Buckling of Columns)
§9-2 两端绞支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)