大题每日一题规范练(第五周)

星期一 (三角) 2018年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积.解 (1)根据正弦定理，得a sin A ＝csin C ， ∴sin C ＝c ·sin A a ＝37sin 60°＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3. ∵sin C ＝314 3，c <a ， ∴cos C ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A ×cos C ＋cos A ×sin C ＝32×1314＋12×3314＝437，∴S △ABC ＝12ac ×sin B ＝12×7×3×47 3＝6 3.星期二 (数列) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *). (1)证明：{a n }是等比数列；(2)在a n 和a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列.记插入的n 个数的和为T n ，求T n 的最大值. (1)证明 因为3a n ＋S n ＝4， 所以S n ＝4－3a n (n ∈N *)，所以，当n ≥2时，有S n －1＝4－3a n －1， 上述两式相减，得a n ＝－3a n ＋3a n －1，即当n ≥2时，a n a n －1＝34.又n ＝1时，a 1＝4－3a 1，a 1＝1. 所以{a n }是首项为1，公比为34的等比数列. (2)解 由(1)得a n ＝a 1·qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 所以T n ＝n （a n ＋a n ＋1）2＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＝7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 因为T n ＋1－T n ＝7（n ＋1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝7（3－n ）32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1， 所以T 1<T 2<T 3，T 3＝T 4，T 4>T 5>T 6>…， 所以T n 的最大值为T 3＝T 4＝189128.星期三 (立体几何) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ； (2)求二面角B －DF －P 的余弦值.(1)证明 取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ， ∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线， ∵CD ＝3PE ，∴FG ＝2PE ，∵FG ∥CD ∥AB ，AB ＝2PE ， ∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形. ∴BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ， ∴BF ∥平面ADP .(2)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PD ，又AD ⊥DC ，PD ⊥DC ， ∴AD ，DC ，PD 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设PE ＝1.则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，3，0)，D (0，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，2).∴DB→＝(2，2，0)，又F (0，2，1)， ∴DF→＝(0，2，1)， 设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝－1，∴n ＝(－1，1，－2)， ∵平面PDF 的一个法向量为DA →＝(2，0，0)， 且二面角B －DF －P 的平面角为钝角，∴二面角B －DF －P 的余弦值为－|cos 〈DA →，n 〉|＝－66.星期四 (概率统计) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据，估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习总时长的平均值；(2) 从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；(3)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望E (X ).解 (1)甲班样本数据的平均值为16(9＋11＋13＋20＋24＋37)＝19，由此估计甲班学生平均每周自我熬夜学习的总时长为19小时；乙班样本数据的平均值为16(11＋12＋21＋25＋27＋36)＝22，由此估计乙班学生平均每周熬夜学习的总时长为22小时.(2)因为从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜”的概率是13，所以从甲班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜”的概率为P ＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝49. (3)X 的可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝C 24C 23C 26C 26＝225，P (X ＝1)＝C 14C 12C 23＋C 24C 13C 13C 26C 26＝2675， P (X ＝2)＝C 22C 23＋C 24C 23＋C 14C 12C 13C 13C 26C 26＝3175， P (X ＝3)＝C 22C 13C 13＋C 14C 12C 23C 26C 26＝1175，P (X ＝4)＝C 22C 23C 26C 26＝175. X 的分布列是：E (X )＝0×225＋1×2675＋2×3175＋3×1175＋4×175＝53.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值.解 (1)由题意得P (x ，x 2)，－12＜x ＜32. 设直线AP 的斜率为k ，故k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 斜率的取值范围为(－1，1). (2)由(1)知P ()x ，x 2，－12＜x ＜32， 则直线AP 的方程为：y ＝kx ＋12k ＋14， 直线BQ 的方程为：y ＝－1k x ＋32k ＋94，联立直线AP 与BQ的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k ＋14，y ＝－1k x ＋32k ＋94，解得点Q 的横坐标是x Q ＝3＋4k －k 22k 2＋2，因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 则f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，f ′(k )＞0； 当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(k )＜0，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －1x ＋b . (1)若函数g (x )＝f (x )＋2x 为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )≤0恒成立，证明：a ≤1－b . (1)解 g (x )＝f (x )＋2x ＝ln x ＋ax ＋1x ＋b ，x >0. 对g (x )求导可得g ′(x )＝1x ＋a －1x 2，x >0.要使g (x )在(0，＋∞)为减函数，则有g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1x 2－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14， 所以a ≤－14，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14. (2)证明 f ′(x )＝1x ＋1x 2＋a ＝ax 2＋x ＋1x 2(x >0)，令y ＝ax 2＋x ＋1，当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (x )≤0恒成立；当a <0时，Δ＝1－4a >0， 当ax 2＋x ＋1＝0，得x ＝－1－1－4a 2a >0或x ＝－1＋1－4a2a<0，设x 0＝－1－1－4a2a，函数f (x )在(0，x 0)上单调递增；在(x 0，＋∞)上单调递减.又f (x )≤0恒成立，所以f (x 0)≤0，即ln x 0＋ax 0－1x 0＋b ≤0. 由上式可得b ≤1x 0－ax 0－ln x 0，由ax 20＋x 0＋1＝0，得a ＝－x 0＋1x 20，所以a ＋b ≤1x 0－ax 0－ln x 0－x 0＋1x 20＝－ln x 0＋1x 0－1x 20＋1.令t ＝1x 0，t >0，h (t )＝ln t ＋t －t 2＋1，h ′(t )＝1＋t －2t 2t ＝－（2t ＋1）（t －1）t，当0<t <1时，h ′(t )>0，函数h (t )在(0，1)上单调递增，当t ≥1时，h ′(t )≤0，函数h (t )在(1，＋∞)上单调递减，h (t )≤h (1)＝1.故a ＋b ≤1，即a ≤1－b .星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，∵点A 的极坐标为(23，θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴θ＝2π3.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，普通方程为x ＋3y －43＝0，点A 的直角坐标为(－3，3)，射线OA 的方程为y ＝－3x ，代入x ＋3y －43＝0，可得B (－23，6)，因此|AB |＝（－3＋23）2＋（3－6）2＝2 3. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R ). (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f (x )≤2⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－12，12距离之和小于或等于1，则－12≤x ≤12，即原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)∵f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，|2x －a |＋2x －1≤2x ＋1恒成立，∴2x －2≤a ≤2x ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，∴(2x －2)max ≤a ≤(2x ＋2)min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴0≤a ≤3.。