上海市十四校(原十三校)2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题

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高三数学12月联考答案页

2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
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18.（本题12分）
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19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。

《精编》上海市高三数学上学期12月联考试题理新人教A版.doc

高三年级十三校联考数学〔理科〕试卷一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，每个空格4分。

1．集合{|12}M x x =-<<，21{|1,}2N y y x x M ==-∈，那么M N =__________。

2．不等式111x >-的解集是_________________。

3．设()f x 的反函数为1()f x -，假设函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，那么x =______。

4．假设3sin 5θ=-，那么行列式cos sin sin cos θθθθ=__________。

5．函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+⋅，假设(1)2f =，那么实数a =_____。

6．假设函数()()()f x x a bx a =+-〔常数,a b R ∈〕是偶函数，且它的值域为[4,)-+∞，那么该函数的解析式为______________。

7．假设1444lim()9111n n a a a a a-→∞+++=---，那么实数a 的值等于________。

8．P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足1255AP AC AB =+，那么APB ∆的面积与PAC ∆的面积之比为________。

9．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，那么此常数的集合为__________。

10．假设函数2()(21)||f x x a x =-+-有四个不同的单调区间，那么实数a 的取值范围是_________。

11．正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 、14a =，那么14m n+的最小值为__________。

12．等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，那么112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅__________。

2020-2021学年高三数学12月检测试题及答案解析

最新高三检测试题数学试题一、单选题1．设集合U={1,2,3,4,5,6},U={1,2,3},U={2,5},则U∩(U U U)=A.{1,3}B.{2}C.{2,3}D.{3}【答案】A【解析】本题考查集合的运算,意在考查考生的运算求解能力.U U U={1,3,4,6},则U∩(U U U)={1,3}.故本题正确答案为A.2．函数U(U)=U3+4U+5的图象在U＝1处的切线在U轴上的截距为A.10B.5C.−1D.−37【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义、直线方程的求法、直线在x轴的截距的定义,意在考查考生的运算求解能力.由U(U)=U3+4U+5得U′(U)=3U2+4,U′(1)=7,U(1)=10,则直线的切线方程为U−10=7(U−1),令U=0得U=−37.则切线在U轴上的截距为−37.故本题正确答案为D.3．在正项等比数列{U U}中,存在两项U U,U U,使得√U U U U=4U1,且U7=U6+2U5,则1U +5U的最小值是A.74B.1+√53C.256D.2√53【答案】B【解析】本题考查等比数列的通项公式,等比数列性质、基本不等式的应用,意在考查考生的运算求解能力.设数列公比为U,由U7=U6+2U5,则U7U5=U6U5+2U5U5,即U2−U−2=0,解得U=2或U=−1(舍),则U U=U12U−1,U U=U12U−1,由√U U U U=4U1,则U U U U=U122U+U−2=16U12,得U+U−2=4,则U+U=6,由1U +5U=16(U+U)(1U +5U)=16+5U6U+U6U+56=1+16(5UU+UU)≥1+16×2√5=1+√53.故本题正确答案为B.4．已知U>1，U(U)=U U2+2U，则使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是A.−1<U<0B.−2<U<1C.−2<U<0D.0<U<1【答案】A【解析】本题考查不等式的解法，充分条件与必要条件，意在考查考生的分析理解能力.依题意，使U(U)<1成立，则U2+2U<0，得−2<U<0，故使U(U)<1成立的一个充分不必要条件是−1<U<0.故本题正确答案为A.5．若定义在实数集U上的偶函数U(U)满足U(U)>0,U(U+2)=1U(U),对任意U∈U恒成立,则U(2015)=A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性、函数值的计算,由U(U+2)=1U(U),得函数U(U)为周期为4的周期函数，则U(2015)=U(504×4−1)=U(−1)=U(1)，又由U(U+2)=1U U，令U=−1得U2(1)=1，由U(U)>0，得U(1)=1,故U(2015)=1.故本题正确答案为D.6．已知向量U,U满足|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为A.1B.√77C.－1 D.2√77【答案】A【解析】本题考查平面向量数量积、向量的投影，意在考查考生的运算求解能力.由|U|=1，U⊥U，则U−2U在U方向上的投影为(U−2U)⋅U|U|=U2−2U⋅U|U|=1.故本题正确答案为A.7．已知函数U(U)=√2sin(UU+π4)(U>0)的最小正周期为π,下列四个判断:(1)当U∈[0,π2]时,U(U)的最小值为−1;(2)函数U(U)的图象关于直线U=π8对称;(3)函数U(U)的图象可由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到;(4)函数U(U)在区间[π8,3π8]上是减函数.以上正确判断的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题考查三角函数性质，意在考查考生的分析理解能力.函数的最小正周期为π,则U=2πU=2，则U(U)=√2sin(2U+π4)，当U∈[0,π2]，得2U+π4∈[π4,5π4]，则U(U)∈[−1,√2]，得U(U)最小值为−1，故(1)正确；由2U+π4=π2+Uπ,U∈U得函数的对称轴为U=π8+Uπ2,U∈U，令U=0得U=π8，故(2)正确；由U=√2cos2U的图象向右平移π4个单位长度得到U=√2cos2(U−π4)=√2cos(2U−π2)=√2sin2U，故(3)错误；当U∈[π8,3π8]时，2U+π4∈[π2,π]，则U(U)=√2sin(2U+π4)为减函数，故(4)正确；故正确的有3个.故本题正确答案为C.8．设U(U)与U(U)是定义在同一区间[U,U]上的两个函数,若对任意的U∈[U,U],都有|U(U)−U(U)|≤1,则称U(U)和U(U)在[U,U]上是“密切函数”,[U,U]称为“密切区间”,设U(U)=U2−3U+4与U(U)=2U−3在[U,U]上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是A. [1,4]B.[2,4]C.[2,3]D.[3,4]【答案】C【解析】本题主要考查新定义的概念、一元二次不等式的解法、绝对值不等式.因为U (U )和U (U )在[U ,U ]上是“密切函数”,所以|U (U )−U (U )|≤1,即|U 2−3U +4−(2U −3)|≤1,即|U 2−5U +7|≤1,化简得−1≤U 2−5U +7≤1,不等式U 2−5U +7≥−1恒成立；不等式U 2−5U +7≤1的解集为2≤U ≤3,所以它的“密切区间”是[2,3],故选C. 9．函数U (U )=U sin (UU +U )(其中U >0,|U |<π2)的图象如图所示,为了得到U (U )=sin 2U 的图像,则只要将U (U )的图像A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】A【解析】本题主要考查正弦型函数解析式的求法、正弦型函数图像的平移.根据函数图像可得U =1,U =4(7π12−π3)=U ,∴U =2 ,当U =π3时,U (π3)=0,∵ |U |<π2,∴U =π3,U (U )=sin (2U +π3),所以要得到U (U )=sin 2U 的图像,则只需将U (U )的图像向右平移π6个长度单位.故选A.10．已知曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )与直线U =12相交,若在U 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1, P 2, P 3,…,则|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于 A.π B.2π C.3π D.4π【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换,直线与曲线的相交的性质,此题的关键是求交点坐标.曲线U =2sin (U +π4)cos (π4−U )=cos 2U +sin 2U +2sin U cos U =1+sin 2U ；由1+sin 2U =12,解得2U =2U π−π6或2U =2U π−5π6,U ∈U ,U =U π−π12或U =U π−5π,U ∈U ,故U 1,U 2,...,U 5的横坐标分别为7π,11π,19π,23π,31π,故|U 1U 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=31π−7π=2π, 故选B.11．已知函数U (U )={2, U ≥0−U +2, U <0,则满足不等式U (3−U 2)U 2−3+2U ,此时不等式无解；当{2U<03−U2≥0时,应该满足2<−2U+2,得−√3≤U<0；当{2U<03−U2<0时,应该满足3−U2>2U,得−3<U<−√3. 综上可得,U的取值范围为(-3,0),故选D.12．已知函数U(U)=1+U−U22+U33−U44+⋯+U20112011，则下列结论正确的是A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有一个零点C.(x)在(-1,0)上恰有两个零点D.f(x)在(0,1)上恰有两个零点【答案】A【解析】本题考查函数与方程.U(−1)=1−1−12−13−14+⋯−12011<0，U(0)=1>0，即U(−1) U(0)<0，所以f(x)在(-1,0)上存在零点；而U′(U)=1−U+U2−U3+⋯+ U2010=U2011+1U+1>0,即函数U(U)单增；所以f(x)在(-1,0)上恰有一个零点.选A.二、填空题13．如图,已知UU是圆U的切线,U是切点,直线UU交圆U于U,U两点,U是UU的中点,连接UU并延长交圆U于点U,若UU=2√3,∠UUU=30°,则UU=．【答案】10√77【解析】本题主要考查圆中的相关定理.由UU=2√3,∠UUU=300得半径为2,作OF⊥UU于U,则F为AE的中点,在∆UUU中,OA=2,OD=1,∠UUU=120°,由余弦定理得AD=√7,U∆UUU =12×1×2sin120°=12UU×UU,则OF=√217,所以12UU=√UU2−UU2=5√77,UU=10√77.【备注】熟练掌握圆的相关定理和性质.14．已知函数U(U)=UU+1,U(U)={2U−1,0≤U≤2,−U2,−2≤U<0,对∀U1∈[−2,2], ∃U2∈[−2,2],使U(U1)=U(U2)成立,则实数U的取值范围是______________．【答案】[−1,1]【解析】本题主要考查函数与方程.当x∈[−2,2]时,U(U) ∈[−4,3],当a=0时,U(U)=1满足已知；当a>0时若满足题意则有{−2U+1≥−4,2U+1≤3,解得0<a≤1;当a<0时,若满足题意则有{2U+1≥−4,−2U+1≤3,解得-1≤a<1.综上,a∈[−1,1].【备注】分情况讨论要做到不重不漏.15．设U =cos 420∘,函数U (U )={U U ,U <0,log U U ,U ≥0,,则U (14)+U (log 216)的值等于．【答案】8【解析】本题考查诱导公式求三角函数值、分段函数求值，意在考查考生的运算求解能力.U =cos 420∘=cos 60∘=12，得U (14)+U (log 216)=log 1214+(12)log 216=2+6=8.故填8.16．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________. 【答案】(0,3]【解析】本题考查利用导数求函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.依题意，U ′(U )=3U 2−U ≥0对[1，＋∞)恒成立，即U ≤3U 2对U ∈[1，＋∞)，故U ≤3，又U >0，故0<U ≤3.故本题正确答案为(0,3].三、解答题17．已知函数f (x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间.【答案】∵f(x )＝2sin x co s (U +π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝2sin U (cos U cos π3−sin U sin π3)＋√3cos 2x ＋12sin 2x＝sin x cos x －√3sin 2x ＋√3cos 2x ＋12sin 2x ＝sin 2x ＋√3cos 2x ＝2si n (2U +π3)，(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，(2)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ∈[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为[U π−5π12,U π+π12](k ∈Z )．【解析】本题考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的单调性，意在考查考生的运算求解能力. (1)先利用公式化简f (x )，从而求得函数的周期. (2)利用整体思想求得函数的单调增区间.18．在数列{a n }中，已知a 1=-20，a U +1 =a U ＋4(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ； (2)若U U =2UU+24U(n ∈U ∗)，求数列{b n }的前n 项S n ．【答案】(1)∵数列{a n }满足a U +1 =a U ＋4(n ∈U ∗)，∴数列{a n}是以公差为4，以a U=-20为首项的等差数列．故数列{a n}的通项公式为a U=−20+4(U−1)=4U−24 (n∈N∗)，数列{a n}的前n项和A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)∵U U=2U U+24U =1U(U+1)=1U−1U+1(n∈U∗)，∴U U=U1+U2+⋯+U U=(1−12)+(12−13)+⋯+(1U−1U+1)=1−1U+1=UU+1．【解析】本题考查数列的通项与求和. (1)由等差数列的定义可得数列{a n}是等差数列，a U=4U−24，A U=2U2−22U (n∈U∗)；(2)裂项相消可得U U=UU+1．【备注】等差数列中U U=U1+(U−1)U，U U=U(U U+U1)2；掌握裂项相消法.19．如图,在四棱锥U−UUUU中,UU⊥底面UUUU,UU∥UU,∠UUU=900, UU=UU=UU=3,UU=1．(Ⅰ)求证：UU⊥平面UUU；(Ⅱ)求UU与平面UUU所成角的正切值；(Ⅲ)设点U在线段UU上,若UUUU =12,求证：UU∥平面UUU．【答案】(Ⅰ)∵UU∥UU,∠UUU=900,∴UU⊥UU．又UU⊥底面UUUU,UU⊂平面UUUU,∴UU⊥UU．又UU∩UU=U,∴UU⊥平面UUU．(Ⅱ)由(Ⅰ)知UU⊥平面UUU,∴∠UUU是UU与平面UUU所成的角．∵UU=UU=3,UU⊥UU,∴UU=3√2,又∵UU=3,∴tan∠UUU=UUUU =√22．∴UU与平面UUU所成角的正切值为√22．(Ⅲ)在UU上取一点U,使得UUUU =12,连接UU,∵UUUU =UUUU=12,∴UU∥UU且UU=13UU.又由已知得UU∥UU且UU=13UU,∴UU=UU；又UU∥UU,∴四边形UUUU是平行四边形,∴UU∥UU．又UU⊂平面UUU,UU⊄平面UUU,∴UU∥平面UUU．【解析】本题主要考查线面垂直的判定,求线面所成的角及线面平行的判定.(Ⅰ)欲证线面垂直需证线线垂直；(Ⅱ)根据线面所成角的定义作出角,利用三角函数的定义找到正切值；(Ⅲ)欲证线面平行需证线线平行,利用等比例线段证得平行四边形,得到所需平行线.【备注】读懂几何体的直观图是关键.20．现有4个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题,每个学生被要求用英语回答问题的概率均为13．(Ⅰ)求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(Ⅱ)若U,U分别表示用汉语,英语回答问题的人数,记U=|U−U|,求随机变量U的概率分布和数学期望U(U)．【答案】(Ⅰ)设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件U,则U(U)=U42(13)2(1−13)2=827．(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,2,4．U(U=0)=U42(13)2(1−13)2=827,U(U=2)=U41(13)1(1−13)3+U43(13)3(1−13)1=4081,U(U=4)=U40(13)0(1−13)4+U44(13)4(1−13)0=1781,∴随机变量X的分布列为：∴U(U)=0×27+2×81+4×81=14881．【解析】本题主要考查互斥事件的概率及随机变量的分布列和期望. (Ⅰ)根据已知可直接求出概率；(Ⅱ)根据已知分析随机变量的取值,再求出取每一个值时的概率,进而列出分布列求出期望.【备注】随机变量的取值不能有遗漏.21．设U1,U2分别为椭圆U:U2U2+U2U2=1(U>U>0)的左、右焦点,点U(1,32)在椭圆U上,且点U和U1关于点U(0,34)对称.(Ⅰ)求椭圆U的方程；(Ⅱ)过右焦点U2的直线U与椭圆相交于U,U两点,过点U且平行于UU的直线与椭圆交于另一点U,问是否存在直线U,使得四边形UUUU的对角线互相平分？若存在,求出U的方程；若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)解：由点U(1,32)和U1(-c,0)关于点U(0,34)对称,得1−U2=0,则U=1.所以椭圆E的焦点为U1(−1,0),U2(1,0),由椭圆定义,得2U =|UU 1|+|UU 2|=4.所以U =2,U =√U 2−U 2=√3. 故椭圆E 的方程为U 24+U 24=1.(II)解：假设存在直线U ,使得四边形UUUU 的对角线互相平分. 由题可知直线U ,直线PQ 的斜率存在,设直线U 的方程为U =U (U −1),直线PQ 的方程为U −32=U (U −1).由{U 24+U 23=1,U =U (U −1),得(3+4U 2)U 2−8U 2U +4U 2−12=0,由题意可知U >0,设U (U 1,U 1),U (U 2,U 2),则U 1+U 2=8U 23+4U 2,U 1U 2=4U 2−123+4U 2, 由{U 24+U 23=1,U −32=U (U −1),得(3+4U 2)U 2+4(3U −2U 2)U +4U 2−12U −3=0,由U >0,可知U ≠−12,设U (U 3,U 3),又U (1,32),则U 3+1=8U2−12U3+4U 2,U 3⋅1=4U 2−12U −33+4U 2,所以U 3=4U 2−12U −33+4U 2.四边形UUUU 的对角线互相平分即UU 与UU 的中点重合, 所以U 1+U 32=U 2+12,即U 1−U 2=1−U 3,两边平方得(U 1+U 2)2−4U 1U 2=(1−U 3)2.所以(8U 23+4U 2)2−4⋅4U 2−123+4U 2=(1−4U 2−12U −33+4U 2)2.解得U =34. 所以直线U 为3U −4U −3=0时,四边形UUUU 的对角线互相平分.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系. (Ⅰ)利用中点坐标公式求出c 的值,利用椭圆的定义求出a 的值,利用U 2=U 2+U 2求出U 的值; (II )设出直线l 和直线PQ 的方程分别于椭圆方程联立消元得到韦达定理,然后利用中点坐标公式求出k 的值. 【备注】利用四边形UUUU 为平行四边形,则有|UU |=|UU |,也可解决问题22．已知函数U (U )=(U −2U )2ln U(其中U 为常数)．(1)当U =0时,求函数U (U )的单调区间；(2)当0√e．【答案】(1)当m =0时U (U )=U 2ln U, U ′(U )=2U ln U −U ln 2U=U (2ln U −1)ln 2U,U >0且U ≠1,令U ′(U )>0即2ln U −1>0,解得U >√e ;令U ′(U )<0即2ln U −1<0,解得00且U ≠1,令ℎ(U )=2ln U +2U U−1,则ℎ′(U )=2(U −U )U 2,∴函数ℎ(U )在(0,U )上单调递减,在(U ,+∞)上单调递增∵U (U )有3个极值点U <U <U ,∴ℎ(U )有两个极值点.即ℎ(U )=0有两个不相等的根. 从而ℎmin(U )=ℎ(U )=2ln U +1<0,所以U <√e,当0<U <12时,ℎ(2U )=2ln2U <0,ℎ(1)=U −1<0,∴函数U (U )的递增区间有(U ,2U )和(U ,+∞),递减区间有(0,U ),(2U ,1),(1,U ), 此时,函数U (U )的3个极值点中U =2U ； ∴当0<U <12时,U ,U 是函数ℎ(U )=2ln U +2UU−1的两个零点, 即有{2ln U +2UU−1=0,2ln U +2UU −1=0,,消去U 有2U ln U −U =2U ln U −U ,令U (U )=2U ln U −U ,U′(U )=2ln U +1有零点U =√e,且U <√e√e⇔U >√e−U ⇔U (U )>U (√e−U ),∵U (U )=U (U )∴即证U (U )>U (eU )⇔U (U )−U (e−U )>0,构造函数U (U )=U (U )−U (eU ),∵U (e )=0, 只需要证明U ∈(0√e)单调递减即可．而U ′(U )=2ln U +2ln (√e−U )+2,U ′′(U )=2(√e −2U )U (2√e −U )>0∴U ′(U )在(0√e ]上单调递增,∴U ′(U )0与U ′(U )<0,得到单调区间；(2)构造函数h (x ),确定h (x )的极点,再构造函数g (x )与F (x ),对其进行求导证明不等式.【备注】合理构造新函数是解决导数问题常用的方法.。

上海市十二校联考高三(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版)

上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n318．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【分析】首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解答】在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【分析】由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，} ．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．【分析】过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．【点评】本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1] ．【分析】利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=，由0≤x≤得﹣，∴﹣，∴﹣1≤2sin（2x﹣）≤2，∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1；函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3．【分析】根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为∴|+|=2×2×=2∵+与的夹角是，∴+在上的投影为|+|cos=2×=3故答案为：3【点评】本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【分析】根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是（0，1] ．【分析】根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．=（n+1）a1，所以成立，解：当q=1的情况，S n+1当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【分析】g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有3个．【分析】由=0可得，分类作图可得结论．解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选：B．【点评】本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【分析】根据题意，利用数列{a n}的前n项和为S n，转化为通项公式a n的关系，从而判断{a n}的特征是什么．解：数列{a n}中，∵S1=1，∴a1=1；又∵S2=2，∴a2=1；﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），又∵S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1=2a n（n∈N*且n≥2），∴a n+1∴数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选：D．【点评】本题考查了数列的前n项和与通项公式的应用问题，也考查了等比数列的判断问题，是基础题目．17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．【点评】本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题18．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x ≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，（5）x=0时，显然函数无零点；综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：D．【点评】本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．【分析】（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体的体积．【解答】（理）解：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又底面ABCD为正方形，∴CB⊥AB，又SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan，∴直线SC与平面SAB所成角为arctan．（2）作AE⊥SB于E，Rt△SBC中，AB=3，SA=4，SB=5，==，又S△SAB∴AE===，∴几何体的体积V===．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【分析】（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．解：（1）=∴，则A=60°（2）证明：B+C=120°，所以，，则，所以B+30°=60°或B+30°=120°B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．【分析】（1）由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判断符号即可．解：（1）由题意，≥3x，化简得3•（3x）2+2×3x﹣1≤0…解得﹣1≤3x≤…所以x≤﹣1…（，如果是其它答案得5分）（2）已知定义域为R，所以f（0）==0⇒a=1，…又f（1）+f（﹣1）=0⇒b=3，…所以f（x）=；…f（x）==（）=（﹣1+）对任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…因为x1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．…【点评】本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【分析】（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…所以f﹣1（x）∈M…（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…由f（x）＜1，得＜1即…若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．【分析】（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．【点评】本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．。

2021年高三上学期12月联考数学(文)试题含答案

2021年高三上学期12月联考数学（文）试题含答案注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I卷选择题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1. 已知全集，集合≤x＜，＞，则=（）A. B. C. D.2. 已知向量，，若∥，则正实数k的值为（）A. 2B. 3C. 3或-2D. -3或23. 设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. -4-3iB. -4+3iC. 4+3iD. 4-3i4. 已知命题p：“，a≥”，命题q：“”，若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. (4,+∞)B. [1,4]C. (-∞,1]D. [e,4]5. 执行如右图所示的程序框图，则输出的S为（）A. B.C. D.6. 设为公比为q ＞1的等比数列，若和是方程的两根，则+=（）A. 18B. 10C. 25D. 97. 如图，在△ABC 中=，P 是BN 上的一点，若=+，则实数m 的值为（） A. B. C. D.8. 设变量x ，y 满足，则的最大值为（）A. 55B. 35C. 45D. 20 9. 在球O 内任取一点P ，则P 点在球O 的内接正四面体中的概率是（） A. B. C. D. 10.已知下列命题：①命题“＞3x ”的否定是“＜3x ”；②已知p 、q 为两个命题，若“”为假命题，则 “”为真命题；③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题为真命题.其中真命题的个数为（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个11.已知四棱锥S-ABCD 的底面是中心为O 的正方形，且SO ⊥底面ABCD ，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A. 1B. 2C.D. 312.设函数= ，若数列是单调递减数列，则实数 a 的取值范围为（）A. (-∞，2)B. (-∞，)C. (-∞, ]D. [,2)第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a ，b ，c 是直角三角形的三边（c 为斜边），则圆被直线所截得的弦长等于 .14.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .15.已知0＜＜，则的最小值为。

上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷(理科)含答案解析

上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为M n，集合M n中的元素个数为a n，求证：；（3）设g（x）=x+a，h（x）=，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．2020年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：23=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ．【分析】求出C的直角坐标系方程，然后根据极坐标方程进行转化即可．【解答】解：，曲线C的标准方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y+4=4，则x2+y2﹣4y=0，则ρ2﹣4ρsinθ=0即ρ=4sinθ，故答案为：ρ=4sinθ【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．【分析】连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE，证明C1O即为所求．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE．∵BD⊥平面A1C1CA，BD⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面A1C1CA，∵平面BDE∩平面A1C1CA=OE，C1F⊥OE，∴C1F⊥平面BDE．△C1OE中，C1E=3，C1O=，EO=，∴C1O2+EO2=C1E2，∴C1O⊥OE，即O，F重合，∴点C1到平面BDE的距离为．故答案为：．【点评】本题考查点C1到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．【分析】由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．【解答】解：由f（x）=（）x+x﹣5=0得（）x=5﹣x，由g（x）=log x+x﹣5的得log x=5﹣x，分别作出函数y=（）x，y=5﹣x和y=log x的图象，∵y=（）x和y=log x的图象关于y=x对称，则（）x=5﹣x，与log x=5﹣x的根关于y=x对称，由得，即两直线的交点坐标为（，），则=，=，即x1+x3=5，x2+x4=5，则x1+x2+x3+x4=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=16．【分析】由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S5的最大值a=1+2+4+8+16=31，最小值为b=1+2+3+4+5=15．则a﹣b=16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3] ．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为9．【分析】设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积的不同数值，比较结果后得答案．【解答】解：∵四面体A1A2A3A4是正四面体，∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为，每一对相对棱的中点连线相等均为．当i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值有：=a2，，，，，，，，．当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，依次求得数量积的不同数值，比较结果后得数量积的不同数值有，0，共9个．故答案为：9．【点评】本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【分析】有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．（2）化简复数z1，z2对应的向量分别是，，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）z1z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得θ=．sec2θ==﹣2．（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（λ﹣）（﹣λ）=0，∵2+2=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（λ﹣）（﹣λ）=λ（2+2）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[，]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】熟练掌握z1z2∈R⇔虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=12n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+ [（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+ [（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+ [（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2020，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2020，故（2m﹣1）=2020﹣m，而（214﹣1）＞2020，（212﹣1）＜2020﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x |μ（x +log 2x ）＞m }，B=（，2），若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围；（2）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ）（n ∈N +）上的值域为M n ，集合M n 中的元素个数为a n ，求证：；（3）设g （x ）=x +a ，h （x ）=，若对于x 1，x 2（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据μ（x ）的定义，A ∩B ≠∅，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，可得m ＜3；（2）由g （x ）=μ（x μ（x ）），依次求出数列{a n }的前5项，再归纳出a n =a n ﹣1+n ，利用累加法求出a n ，运用数列的极限的计算公式，即可得证；（3）对于x 1，x 2∈（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），即有g （x 1）＞h （x 2）max ，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g （x ）的最大值为4，讨论x ∈（2，3]，当x ∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a 的范围．【解答】解：（1）由题意可得x ＞0，且x +log 2x 在（，2）递增，即有﹣1＜x +log 2x ＜3，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，由A ∩B ≠∅，可得m ＜μ（x +log 2x ）的最大值，即有m ＜3，即m 的范围是（﹣∞，3）；（2）证明：由题意易知：当n=1时，x ∈（0，1]，所以μ（x ）=1，所以μ（x μ（x ））=1，所以M 1={1}，a 1=1；当n=2时，x ∈（1，2]，所以μ（x ）=2，所以μ（x μ（x ））∈（2，4]，所以M 2={1，3，4}，a 2=3；当n=3时，x ∈（2，3]，所以μ（x ）=3，所以μ（x μ（x ））=μ（3x ）∈（6，9]，所以M 3={1，3，4，7，8，9}，a 3=6；当n=4时，因为x ∈（3，4]，所以μ（x ）=4，所以μ（x μ（x ））=μ（4x ）}∈（12，16]，所以M 4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a 4=10；当n=5时，因为x ∈（4，5]，所以μ（x ）=5，所以μ（x μ（x ））=μ（5x ）∈（20，25]，所以M 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a 5=15，由此类推：a n =a n ﹣1+n ，所以a n ﹣a n ﹣1=n ，=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得a n=，可得===；（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由g（x）=，当x=时，x2﹣5x+7取得最小值，sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有3a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有4a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得9，可得4a＞9，即为a＞．综上可得a＞3．【点评】本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．。

2021年高三上学期12月联考试题数学(文) 含答案

2021年高三上学期12月联考试题数学（文）含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．正视图侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足，记它们的表面积分别为、、，若，则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1；（Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，．（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14．二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分（Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分（Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号），恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分（Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得，同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分（2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解；（ii ），即时，，所以c=3；（iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ，即，，，……15分 .. ……16分法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分设，则，由下图得：， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立，，所以．又，所以，故． ……4分（Ⅱ）由，得，设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分（Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，，，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为， ……6分联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种：，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以；有以下2种：，所以；有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分（Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。

2021年高三数学上学期12月联考试题理

2021年高三数学上学期12月联考试题理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（） A. B. C. D. 且 2．函数的定义域是（） A ．[-1，4]B ．C ．[1，4]D ．3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.34、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（）A.8B.7C.6D.55.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则（） A. B. C. D.6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（） A. B. C. D. 7．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是（）EF 11A 1D C A NM QINPUT “n=”；k=1p=1WHILE K <= np=p * kk=k+1WENDPRINT pENDA.120B.720C.1440D.50409、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则( ).A. B.-1 C.2 D.1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11、已知各项均为正数的等比数列中，则。

上海市2020-2021学年高三上学期12月仿真数学试题

上海市2020-2021学年高三上学期12月仿真数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3- 2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积9π，则p =（）A ．2B ．4C ．3D 3．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（）A ．B ．C ．D ．4．若椭圆C 1：()2211221110x y a b a b +=>>和椭圆C 2：()22222210x y a b a b +=>>的焦点相同且a 1>a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22221212a a b b -=-；④a 1－a 2且1a ≠）的图象必经过定点P ，则点P 的坐标为 .7．知(0,0),a b t a b t +=>>为常数，且ab 的最大值为2，则t = . 8．7(2x +的二项展开式中x 的系数是______(用数学作答)． 9．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为方程为__________．10．设定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α=11．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．12．已知函数224,0()4,0x x x f x xx x ⎧--≥=⎨-<⎩，若()()20f a f a -+>，则实数a 的取值范围是______．13．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点432,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为__________． 14．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=__________．15．设集合{}1,2,,9=⋯S ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且1a ，2a ，3a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为______．16．记123k k k k k S n =+++⋯+，当1,2,3,...=k 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6542511612S n An Bn n =++-，⋯，可以推测A B -=______． 17．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”．现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()2x f x =；②2()log f x x =；③2()f x x =；④()ln 2x f x =，则其中是“等比函数”的()f x 的序号为18．已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f(x)=kx+k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________.三、解答题19．如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面APC ，AB BC AP PC ====，90ABC APC ∠=∠=．（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.20．ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.21．设A 是同时符合以下性质的函数f (x )组成的集合：①x ∈[0，＋∞)，都有f (x )∈(1,4]；②f (x )在[0，＋∞)上是减函数.(1)判断函数f 1(x )＝2和f 2(x )＝1＋3·12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x ≥0)是否属于集合A ，并简要说明理由；(2)把(1)中你认为是集合A 中的一个函数记为g (x )，若不等式g (x )＋g (x ＋2)≤k 对任意的x ≥0总成立，求实数k 的取值范围.22．已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1,0),1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ,B 两点.（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.23．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且(n a M M ≤是与n 无关的常数)的无穷数列n a 称为T 数列．（1）若()2*9n a n n n N =-+∈，证明：数列n a 是T 数列；（2）设数列n b 的通项为350()2n n b n =-，且数列n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列*1(,1)n p c n N p n=-∈>，问数列n b 是否是T 数列？请说明理由．参考答案1．C【详解】因为等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，所以,解得:或(舍).等差数列的公差为.故选C.2．B【分析】先由OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列出方程求解，即可求出结果.【详解】因为OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，圆面积为9π，∴圆的半径为3，又圆心在OF 的垂直平分线上，2p OF =，324p p ∴+=，4p ∴=.故选：B【点睛】本题主要考查由抛物线的准线与圆相切求参数，熟记抛物线的简单性质即可，属于基础题型. 3．C【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =-的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．4．B【详解】由已知条件可得21a －21b ＝22a －22b ，可得21a －22a ＝21b －22b ，③正确；而a 1>a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；由21a －21b ＝22a －22b ，可得21a ＋22b ＝21b ＋22a ，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，1122a b a b >不正确，即②不正确；∵a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，∴a 1＋a 2>b 1＋b 2>0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2<b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①③④，故选B.5．5【分析】先由复数乘法运算，化简z ，再由共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】 2(2)(z i i =-为虚数单位)，24434z i i i ∴=-+=-，34z i ∴=+，∴复数z5=．故答案为5【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数的乘法运算法则，共轭复数的概念，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.6．（2,0）【详解】因为函数log a y x =向右平移一个单位就得到()log (1)a f x x =-而对数函数log ay x =过定点(1,0)，所以()log (1)a f x x =-过定点（2,0），.7．【解析】试题分析：因为由基本不等式又因为最大值是2，所以，. 考点：基本不等式求最值.8．280【分析】先由题意，得到二项展开式的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为7(2x+的二项展开式的通项为：37717772(2)2+---=⋅=⋅⋅r r r r r r r T C x C x ，令3712r -=，可得4r =，所以x 的系数是4372280⋅=C .故答案为：280【点睛】本题主要考查求二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.9．y =.【解析】分析：由题意首先求得双曲线的方程，然后求解渐近线方程即可.详解：由题意可得：22,1b b =∴=，由焦距可得：2c c ==，据此可知：a ==22121y x -=，则渐近线方程满足：22021y x -=，据此计算可得渐近线方程为：y =. 点睛：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即b x y a =±)，应注意其区别与联系. 10【解析】分析：两函数图象的交点横坐标为α，即当x=α时，两函数值相等，结合α∈(0，2π)，利用二倍角公式化简三角方程，利用同角三角函数基本关系式求值即可解：依题意，sin2α=12cosα α∈(0，2π) ∴2sinαcosα=12cosα即sinα=14 ，∴∴tanα=sin cos αα1点评：本题考查了方程与函数的关系，二倍角公式，同角三角函数基本关系式的运用 11．2【详解】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x ＝89909188925＋＋＋＋＝90.方差为：S 2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]÷5＝2.12．1a < 【分析】先由函数奇偶性的概念判断()f x 为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数()f x 在R 上是减函数；将不等式()()20f a f a -+>化为2a a -<-，求解，即可得出结果. 【详解】因为224,0()4,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，所以，当0x >时，0x -<，2(())4+=--=x f x f x x ；当0x <时，0x ->，2(())4+=--=-f x f x x x ；当0x =时，()0f x =；所以()f x 为奇函数；又当0x ≥时，2(4)=--f x x x 单调递减；所以0x <时，()f x 也单调递减；即函数()f x 在R 上是减函数；则由()()20f a f a -+>得()()()2f a f a f a ->-=-，则2a a -<-，即1a <，即实数a 的取值范围是1a <. 故答案为：1a < 【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.13【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A 的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线l 的方程sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程得10x y +-=，点432,A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(，2=．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．41n - 【详解】()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，所以()11134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()113434n n n b --=-⋅-=⋅，所以211214334343434114n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，故答案为41n -. 15．83 【分析】根据题意，得到只有1231,2,9a a a ===时，不满足326a a -≤；因此，只需从集合S 中任选三个数，减去不满足题意的情况，即可得出结果. 【详解】由题意，只有1231,2,9a a a ===时，不满足326a a -≤；因此，从集合{}1,2,,9=⋯S 中任选3个元素组成集合{}123,,A a a a =，且满足123a a a <<，326a a -≤的集合个数为39184183-=-=C .故答案为：83 【点睛】本题主要考查求集合子集的个数，熟记组合数的计算公式，以及集合间的关系即可，属于常考题型. 16．112【分析】根据题意条件，找出规律：各等式右边各项的系数和为1；第二项为12；进而可求出结果.【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；第二项为12；所以12A =，11151621212B =--+=，所以112A B -=．故答案为：112【点睛】本题主要考查合情推理，根据题中条件找出规律，即可求解，属于常考题型. 17．③④ 【详解】由等比数列性质知，①当时，，故①不正确；②，故②不正确； ③当时，，故③正确；④，故④正确；故答案为③④．18．1111,,243⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【详解】关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实数根，转化为()y f x =，()1y kx k k x =+=+两个函数图象有三个不同的交点，函数()y f x =的图象，如图，函数()1y k x =+恒过定点为()1,0-，观察图象易得：1111,,243k ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.19．（1）13；（2 【分析】（1）取AC 中点O ，根据题意，得到PO 为三棱锥P ABC -的高，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；（2）先由题意得到OB 、OC 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出直线PA 的方向向量，以及平面PBC 的一个法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）取AC 中点O ，由AP PC =，OP ⊥底面ABC ，可得PO 为三棱锥P ABC -的高，∴三棱锥P ABC -的体积：111113323-∆=⋅=⨯=P ABC ABC V S OP ．（2）取AC 中点O ，AB BC =，OB OC ∴⊥，平面ABC ⊥平面APC ，OB ∴⊥平面APC ，OB OP ∴⊥，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．AB BC PA ===，1OB OC OP ∴===，从而(0,0,0)O ，(1,0,0)B ，()0,1,0A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(1,1,0)∴=-BC ，(1,0,1)=-PB ，(0,1,1)=AP ，设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z =，则00BC n x y PB n x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =，6cos ,AP nAP n AP n⋅∴==⋅，∴直线PA 与平面PBC ．【点睛】本题主要考查求棱锥的体积，以及直线与平面所成的角，熟记线面垂直的判定与性质，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型. 20．（1）3A π=（2）max y =【解析】试题分析：（Ⅰ）先已知222b c a bc +-=根据余弦定理可求出角A 的余弦值，然后可得到角A 的值．（Ⅱ）先根据正弦定理用角B 表示出边b ，c ，然后代入整理成的形式，注意角B 的取值范围,再由正弦函数的性质可求最大值试题解析：（Ⅰ）在ABC ∆中，由222b c a bc +-=及余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==而0A π<<，则3A π=；（Ⅱ）由3a A π==及正弦定理得2sin sin sin b c aB C A====，同理∴∵∴，∴62x ππ+=即3x π=时，max y =．考点：1.正弦定理与余弦定理;2.正弦函数的图象与性质. 21．(1)答案见解析；(2)23,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【详解】 (1)f 1(x )＝2－不在集合中，f 2(x )＝1＋3·x在集合A 中，理由：f 1(x )＝2－，∵≥0，∴2－≤2，∴f 1(x )不在集合A 中．又∵x ≥0时，0＜x≤1，∴1＜1＋3·x≤4，即f 2(x )∈(1,4]，又函数y ＝x在[0，＋∞)是减函数，∴f 2(x )＝1＋3·x在[0，＋∞)也是减函数．(2)由(1)知g (x )＝1＋3·x，故F (x )＝g (x )＋g (x ＋2)＝1＋3·x＋1＋3·x ＋2＝2＋·x.因为当x ≥0时，0＜x≤1，∴2＜2＋·x≤，∴k ≥. 故k 的取值范围为.22．（1）24y x =（2）y =-或y =+3【解析】（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且.联立2(4){4y k x y x=-=，消去x ，得24160ky y k --=，显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y k+=① 1216y y ⋅=-②又12AM MB =，所以1212y y =-③ 由①②③消去12,y y ，得22k =，故直线l的方程为y =-或y =+（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n，因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)22{1n m k n k m =-⋅=-，即8{0km n k m nk -=+=，解之得22281{81k m kkn k =+=-+，将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k-=⋅++，所以，21k =. 联立2222(4){1y k x x y a b=-+=，消去y ，得： 2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=.由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即，将21k =，221b a =-代入上式并化简，得2217a ≥，所以2a ≥，即2a ≥ 因此，椭圆1C23．（1）见解析；（2）123600()2M ≥-；（3）当615p <≤时数列n c 是T 数列；当65p >时数列n c 不是T 数列，见解析【分析】（1）根据29n a n n =-+，求出2122+++-=-n n n a a a ，根据题中条件，即可判断出结果；（2）先作差得到11350()22+--=nn n b b ，判断其单调性，即可得出结果；（3）分12p <≤，23p <≤，3p >三种情况，根据T 数列需要满足的条件，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由29n a n n =-+，得()()2222129(2)922(1)1812n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-，所以数列n a 满足212n n n a a a +++≤，又2981()24n a n =--+，当4n =或5时，n a 取得最大值20，即20n a ≤．综上，数列n a 是T 数列.（2）因为()113313501()50()50()2222n n n n n b b n n ++-=+--+=-，所以当1350()022n-≥即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列n b 单调递增. 当12n ≥时，10n nb b ，此时数列n b 单调递减；故数列n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是123600().2M ≥-（3）①当12p <≤时，当1n =时1231,1,123p p c p c c =-=-=-，由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合212nn n c c c +++≤条件.若2n ≥，则1p n ≤，此时1n pc n=- 于是()()2122112102112n n n p p p p c c c n n n n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+---=< ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又对于*n N ∈有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列n c 是T 数列；②当23p <≤时，取1n =则：1231,1,123p p c p c c =-=-=-，由1322203pc c c +-=->，所以23p <≤时数列n c 不是T 数列. ③当3p >时，取1n =则1231,1,123p pc p c c =-=-=-，由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列n c 是T 数列；当65p >时数列n c 不是T 数列.【点睛】本题主要考查数列的应用，会判断数列的增减性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.。

上海市十三校高三数学上学期12月联考试题文(含解析)

上海市十三校2014届高三数学上学期12月联考试题文（含解析）苏教版一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）.1.函数()24|2|x f x x -=+的定义域是___________．2.幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 .3.方程tan 2cos()2x x π=+在区间()0,π内的解为 .4.计算：21lim 1n n n n →∞⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=_________．【解析】5.已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．6.已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处可以填数字．（填入一个满足要求的数字即可）7.等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.8.已知x y R +∈、，且41x y +=，求19x y+的最小值.某同学做如下解答：因为 x y R +∈、，所以1424x y xy =+≥┄①，1992x y xy+≥┄②， ①⨯②得19924224xy x y xy+≥⋅=，所以 19x y +的最小值为24．判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x 、y 的值. .9.若4mx x+≥在[]3,4x ∈内恒成立，则实数m 的取值范围是 .10.函数()()x x y 2arccos 1arcsin +-=的值域是.11.已知函数()()2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12.设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.13.函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是_______________．14.已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为（用k 表示）二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15.函数22log xy x =+的零点在区间（）内（A ）11(,)43（B ）12(,)35（C ）21(,)52（D ）12(,)2316.如果a b c 、、满足cb a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（）．（A ）ab ac >（B ）22cb ab <（C ）()0c b a -> （D ）()0ac a c -<O O OO18.已知x y R ∈、，命题p 为x y >，命题q 为sin cos sin cos x y x y x y +>+.则命题p 成立是命题q 成立的 ( )．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，第一小题满分4分，第二小题满分8分）已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,B x x a x R =-≤∈. （1）求集合A ；（2）若R B A B =I ð，求实数a 的取值范围.【解析】20.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）行列式3cos2 2sin011cosAA xA xx-()0A>按第一列展开得11213132M M M-+，记函数()1121f x M M=+，且()f x的最大值是4.（1）求A；（2）将函数()y f x=的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x=的图像，求()g x在11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．【解析】21.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里．（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号．一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P→C→A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时．渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．22.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）（1）若()()10122f x f x <--<，当1a =时，求x 的取值范围；（2）若定义在R 上奇函数)(xg 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,2--上的反函数()h x ；（3）若关于x 的不等式()211()052f tx a f a x -++->-在区间1[,2]2上有解，求实数t 的取值范围．23.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.。

上海市十四校(原十三校)2021年高三12月联考数学试卷 Word版含

上海市十四校（原十三校）2021年高三12月联考数学试卷 Word版含上海市十四校（原十三校）2021年高三12月联考数学试卷word版含高考不是高不可攀，是要你向更高的目标前进，永不停息；高考不是煎熬煎烤，是让你完善自我的磨考，不断超越。

高考到了，祝你成竹在胸，高人一筹，考试成绩门门优秀。

2021-2021学年高三第一阶段教学调研数学试卷填空题（共14题，每题小题4分后，共56分后）金榜题名，中考破釜沉舟!蝉鸣声里唤起中考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加之早晚自习，每天可以用回去一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的提振下，依然活蹦乱跳，当我沿着较暗的清晨迈向教学楼时，我看见了远方地平线上渐渐飘扬的黎明充满著自信心，坚信自己很多学生失利不是丢掉科学知识技能上而是大败在信心上，真的自己没用。

即将来临考试前可以设置顺利完成一些大目标，比如说今天跑1万步等，考试之前给自己加油打气，说自己“我一定行”!一、已知复数z?i?i为虚数单位?，则zz?___最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下2?i最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1.2.未知函数f?x0,x?0，则f?f?x___1,x03.若不等式组??x?1?2021的解集中有且仅有有限个数，则a=_____x1a24.函数y?cosx?3sinxcosx的最小值为______1??5.设二项式?33x??的展开式中各项系数的和为p，二次式系数的和为q，且x??p?q?272，则n的值_____n1?x?4y?16.若函数f?xx?10x在,??上位增函数，则方程组?的解的组3x??y?2??2数为____7.已知arcsina?1?arcsin?b?1??222，则arccos?a?b??____21，且对任意正整数m,n均有am?n?aman，若58.已知数列?an?的前n项和为sn,a1?sn?a对任意的n?n?恒成立，则实数a的最小值为____9.未知函数f?x??axsinx?3?a?r?,若函数f?x?在?0,??的零点为2个，则当2x??0,?，f?x?的最大值为_______2k210.未知直线f?x??k0x?b与曲线g?x??处设点m?m,?1?，n?n,2?，则不等式xf?1?x??g?1?x?的解集为______11.未知数列?an?满足用户a1?0，an?1?an?2，记数列?an?的前2021项和为s,则s的最为大值为_____12.未知点a?3,1?,b?,2?,且平行四边形abcd的四个顶点都在函数53fxlog2x1的图像上，设o为原点，已知三角形oab的面积为s，则平行四边x?1形abcd的面积为____o为边ac的中点，bo为边ac上的中线，bg?2go.13.在边长为1的等边abc中，设cd//ag,若ad?ab??acr?,则ad?_______1n?1x3x5x7+??14.未知sinx?x?3!5!7!0,??,?2?,?3?,?2?1xn+，由sinx?0存有无穷多个根；n2??1!?x2??x2??x2?,可得：sinx?x?1?2??1?2??1?24???9??1，把这个式子的3右边进行，辨认出?x的系统为21221321，即3!2n?111112?2?2?3?2x2x4x6?，请由cosx?1+62！4!6!?2+??1?n?1x??+2?n?1?!出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论________二、选择题（4*5=20）15.下图中，哪个最有可能是函数y?x的图像（）2xmmnn?16.若m,n?n则a?b就是a?b?a?b?0设立的（）a.充份非必要条件b.必要非充分条件c.充份必要条件d.即非充份又非必要条件17.将函数f?x??asin??xa?0,??0?的图像向左位移个单位，所得函数的图2像与函数y?f?x?的图像关于x轴对称，则?的值不可能是（）a.2b.4c.6d.1018.若存在实数a,b，对任意实数x??0,4?，使不等式x?m?ax?b?则m的取值范围为（）a.m?1b.m?1c.m?三、答疑题（12+14+14+16+18）19.（12分）如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知p?oac和q?obd是边长分别为a和x?m恒设立，11d.m?44mm是常数?的两个正四面体，底面中ab与cd交于点o,试求出塔尖p,q之间的距?a离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖p,q之间的距离最短。

高三数学上学期12月联考试题

五校2021届高三数学上学期12月联考试题一、填空题:本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分，把答案填写上在答题卡．．．上相应位置上．．．．．．. 1.集合}3,{},2,1{a B A ==，假设}1{=B A ，那么=B A ▲ . 2.函数)32lg()(2--=x x x f 的定义域为 ▲ . 3.复数z 满足i i z +=⋅1〔i 是虚数单位〕，那么复数z 的模为 ▲ .4.右图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是 ▲ .5.函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，那么=-))2((f f ▲ .6.假设“1||≤-a x 〞是“2≤x 〞的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围为 ▲ .7.函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，那么实数a 的值是 ▲ . 8.函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 在6π=x 时获得最大值，那么ϕ的值是 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点)2,1(A ,将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合 ,那么)sin(βα+的值是 ▲ . 10.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设156,3131≤≤≤≤S a ，那么12a a 的取值范围是 ▲ .11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，上顶点为C ，线段BC 的中点为M ，直线AM 与椭圆的另一个交点为D ，且DF 垂直于x 轴，那么椭圆离心率e 的值是 ▲ .12.如图，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A B C 、、所对的边，F E ,是AB 上的两个三等分点，H G ,是AC 上的两个三等分点，910)()(-=-⋅+CF BH CE BG ，那么C b cos 的最小值为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，假设存在点P 使得PO PB PA 23=+，那么实数a 的取值范围是 ▲ .14.函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥--=1,221|,|)(2x ax x x a x e x f x 〔e 是自然对数的底数〕恰有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题一一共6小题，一共计90分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15. (本小题满分是14分)向量a )1,cos 2(θ=，)sin 2,1(θ=b 且),0(πθ∈ （1）假设b a //，求θ的值；（2）假设52=⋅b a ，求||b a +的值.16. (本小题满分是14分) 函数x eme xf x x 2)(--=是定义在]1,1[-的奇函数〔其中e 是自然对数的底数〕. （1）务实数m 的值；（2）假设2(1)(2)0f a f a -+≤，务实数a 的取值范围.17. (本小题满分是14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的右准线方程4:=x l ，离心率21=e ，左右顶点分别为B A ,，右焦点为F ，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方. （1）设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，求21k k -的最小值；（2）点Q 在右准线l 上，且QF PF ⊥，直线QP 交x 负半轴于点M ，假设6=MF ，求点P 坐标.18. (本小题满分是16分)如图，港珠澳大桥连接〔A 点〕、〔B 点〕、〔C 点〕．线段AB 长度为)(10km ，线段BC 长度为)(40km ，且 60=∠ABC .〔B 点〕与〔C 点〕之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，半径)(3310km R =的一段圆弧EF ，从点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记)2,6[,ππθθ∈=∠AEB .（1）用θ表示AE 、EF 及弧长EF ；（2）记路程AE 、弧长EF 及、BE FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 获得最小值？19. (本小题满分是16分函数x a x e x g x x ax x f x)22()2()(,ln )(2-+-=--=〔e 是自然对数的底数〕. （1）假设1=a ，求函数)(x f 的单调增区间；（2）假设关于x 的不等式0)(≥x f 恒成立，务实数a 的取值范围；（3）假设函数)()()(x g x f x h +=在1=x 处获得极大值，务实数a 的取值范围.20. (本小题满分是16分)数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，对于给定的正整数k ，记k n n n a a b +-=，k n n n a a c ++=〔*∈N n 〕.)(3310km R =)(10km 〔第18题〕假设对任意的正整数n 满足：1+≤n n b b ，且}{n c 是等差数列，那么称数列}{n a 为“)(k H 〞数列.（1）假设数列}{n a 的前n 项和为2n S n =，证明：}{n a 为)(k H 数列；（2）假设数列}{n a 为)1(H 数列，且5,1,1211=-==c b a ，求数列}{n a 的通项公式；（3）假设数列}{n a 为)2(H 数列，证明：}{n a 是等差数列. 中学、前黄中学、淮阴中学等七校2021届高三12月月考数学试题数学试题〔II 〕卷21．(本小题满分是10分)矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=372a A 的逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-a b A 721，设曲线F 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线x y 2=，求曲线F 的方程.22．(本小题满分是10分) 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-==a t y tx 〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)0(02)4sin(222≥=--+ρπθρρ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点.假设弦长=AB 22，务实数a 的值.23. (本小题满分是10分)点P 是抛物线x y =2上的一点，过点P 作两条直线1l 与2l ，分别与抛物线相交于A 、B 两点.（1）点)0,0(P 且21l l ⊥，求证：直线AB 恒过定点；（2）点)1,1(P ，直线AB 所在直线方程为b x y +=，且PAB ∆的垂心H 在x 轴上，务实数b 的值.24. (本小题满分是10分)数列}{n a 满足121+-=+n n n na a a .（1）21=a ，求32,a a ，并猜测数列}{n a 通项公式；（2）假设31≥a ，用数学归纳法证明2+≥n a n42221--≥+⋅⋅⋅+++n a a a n n .数学试卷〔I 〕答案一、填空题:1、{1,2,3}2、),3()1,(+∞--∞3、24、 55、-26、1≤a7、2 8、6π 9、53- 10、]5,32[ 11、5412、113、]22,22[- 14、3(,2-二、解答题:15、解〔1〕因为b a //，所以1cos sin 4=θθ，所以212sin =θ (3)分又因为),0(πθ∈，所以)2,0(2πθ∈，所以62πθ=或者65π，所以12πθ=或者125π…………7分〔漏1解扣2分〕（2）因为52=⋅b a ，所以52sin 2cos 2=+θθ，所以51sin cos =+θθ ………… …10分所以5170)1sin 2()1cos 2(||22=+++=+θθb a …………………………14分〔忘记开根号扣2分〕 16、解〔1〕因为x eme xf xx 2)(--=是定义在]1,1[-的奇函数，所以0)0(=f ，所以m=1…4分当m=1时，x e e x f x x 21)(--=，所以)(21)(x f x e ex f x x-=+-=-………………6分〔2〕21)(-+='xx e e x f 21≥+xx ee ，所以0)(≥'xf ，当且仅当x=0时0)(='x f ，所以)(x f 在]1,1[-单调递增…10分所以⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤≤-≤-≤-2221121111a a a a ，所以210≤≤a ………………14分〔忘记定义域扣2分〕17、解〔1〕13422=+y x ………………2分设点P ),(00y x ，那么21k k -0200000034422y x y x y x y =--=--+=………………6分因为]3,0(0∈y ，所以，当30=y 时21k k -的最小值为3………………7分〔用结论2221ab k k -=不证明扣2分〕〔2〕设点P ),(00y x ，那么QF ：)1(100---=x y x y ，所以点Q ))1(3,4(00y x --……………9分因为点P 、Q 、M 三点一共线，所以QM PM k k =，所以)1)(5(30020x x y -+=……………11分又因为1342020=+y x ，所以40=x 或者54-，因为)2,2(0-∈x ，所以P )573,54(-………14分18.解〔1〕在ABE ∆中，由正弦定理可知：θθsin 35sin 1060sin =∴=AE AE ……………2分在OEF ∆中，θθsin 3320sin 2==R EF ……………4分 EF θθ33202=⋅=R ……………6分〔2〕26,sin 3320403320sin 35πθπθθθ<≤-++=l ……………8分 θθθθθθθθθ223222'sin 3)4cos 7cos 4cos 4(35sin 3)sin cos 4sin 4cos 3(35+--=-+-=∴l………………10分即θθθθ22'sin 3)4cos cos 2)(1cos 2(35+--=l ……………12分由]23,0(cos ∈=θt ，那么0424cos cos 222<+-=+-t t θθ……………14分当36πθπ<≤时，0'<l ；当23πθπ<≤时，0'>ll ∴在)3,6(ππ上单调递减，在)2,3(ππ上单调递增答：当3πθ=时，l 获得最小值.……………16分19. 解〔1〕当1=a 时，xx x x x x f x x x x f )1)(12(112)(ln )('2-+=--=∴--= 因为0>x ，所有10<<x 时，0)('<x f ；1>x 时，0)('>x f那么)(x f 在),1(+∞上单调递增。

高三数学12月联考参考答案

2020-2021学年度上学期高三12月份联考数学参考答案一、单选题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B D A C B二、多选题题号 9 10 11 12 答案ADBCACBD13. 24 14. [-2,+∞) 15. 1216. 224x y +=, [5,45]四、解答题17.解：选①：设此数列公差为d ，因为124,,a a a 成等比数列，所以由2214a a a =得：2111()(3)a d a a d +=+………….2分又12a =，0d ≠，解得2d =……………………………..3分所以1(1)(1)2n n n S na d n n -=+=+……………………….5分所以1111(1)1n S n n n n ==-++……………………………….7分12311111111111(1)()()()223341101n nT S S S S n n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+所以分选②：设此数列公差为d ，10110(101)10=1102S a d -=+又12a =，0d ≠，解得2d =……………………………..3分以下同①.选③：设此数列公差为d ，1(1)2n n n S na d -=+，所以1(1)2n S n a d n -=+， 111(1)(2)[][]11222n n S S n n d a d a d n n ----=+-+==- 所以2d =……………………………..3分以下同①.18解：（1）由正弦定理将sin sin 2sin a A b B c C -=化为2222a b c -=，又3b c =，所以2211a c =…………………………..…..3分所以：22222229111cos 266b c a c c c A bc c +-+-===-…………………..6分（2）由1cos 6A =-，22cos sin 1A A +=，sin 0A >得，35sin 6A =……………..8分又1=sin 352S bc A =，解得12bc =，………………………..……..10分结合3b c =,2211a c =，解得：2c =，6b =，211a =所以三角形周长为8211+……………………………………………….12分 19. (1)证明：由圆的直径所对的圆周角为直角得：BC AC ⊥ 由PA ABC ⊥平面得BC PA ⊥，PAAC A =所以BC PAC ⊥平面，又BC PBC ⊂平面所以PBC PAC ⊥平面平面……………………………4分（2）由题意知：22PA AB ==,易知CM AB ⊥时，直角三角形ABC 的面积最大，即三棱锥P ABC -体积最大，此时2CA CB ==…………………………………………………… ……..6分以C 为坐标原点建系如图： (0,0,0)C ,(1,1,0)M (2,0,2)N (2,0,22)P (0,2,0)B平面CMN 中，(1,1,0)CM =(2,0,2)CN =,设平面CMN 的法向量为(,,)x y z =n ，由00CM CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得，0220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-，则1,1x y ==-，所以(1,1,2)=--n …………………………….8分平面CPB 中，设平面CPB 的法向量为m ，同理可求平面CPB 的一个法向量为(2,0,2)=-m …………………………………………….10分由图可知，θ为锐角，所以6cos 3θ⋅==⋅|n m ||n m |………………..12分 20.解：（1）由题意知：11(2)0.5,()(0)44f k f x x x =⇒==>……….2分由图像可知(1)1(4)2g g =⎧⎨=⎩，即142m m α=⎧⎨⋅=⎩，解得112m α=⎧⎪⎨=⎪⎩所以()(0)g x x x =>…………………………..……4分（2）由()()f x g x >得：14x x >，解得16x > 由()()f x g x =得：14x x =，解得16x = 由()()f x g x >得：14x x <，解得016x <≤ 所以，当投入大于16千万元时，生产A 芯片的毛收入更大；当投入等于16千万元时，生产A,B 芯片的毛收入相等；当投入小于16千万元时，生产B 芯片的毛收入更大………….8分（3）公司准备投入4亿元资金同时生产,A B 两种芯片，投入t 千万元生产B 芯片，则投入(40)t -千万元生产A 芯片，由题意知：211()(40)2(2)944h t t t t =-+-=--+ 因为040t ≤≤，所以当20t -=时，即4t =千万元时，公司所获得的利润最大，最大利润为9千万元………………………12分 21.解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x-+--'=-+==………2分令()0f x '=解得1,02x x ==，列表如下由上表可得：()f x 的单调递增区间是(0,)2和(1,)+∞；()f x 的单调递减区间是1(,1)2………………………………………………………6分（2）由（1）知15()()ln 224f x f a ==--+极大值 ()(1)2f x f a ==-+极小值又0(),()0x f x x f x →→-∞→+∞→时，时，结合单调性可得：当5ln 20420a a ⎧--+>⎪⎨⎪-+<⎩时，即5ln 224a +<<时，函数()f x 有3个零点；………………………………………………………………………………....8分当5ln 202=04a a --+=-+或时，即5ln 24a =+或2a =时函数()f x 有2个零点；……………………………………………………..……..10分当5ln 20204a a --+<-+>或时，即5ln 24a <+或2a >时函数()f x 有1个零点. …………………………………………………….…………12分 22.解：（1）由题意知椭圆的焦点在x 轴上且1b =，设(,0)(0)Fc c >，由2AF BF ⋅=得：(,1)(,1)2c c -⋅=,即212c -=解得23c =………………………………………………………………………2分所以2224a b c =+=所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=…………………………………4分（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由OP OM ON =+得1212(,)P x x y y ++22||||MN OP +=222212121212[()()][()()]x x y y x x y y -+-++++=222212122()x x y y +++…………………………………..6分由直线,OM ON 的斜率之积为14-得：121214y y x x ⋅=-即12124x x y y =-…………………………………………………………………….7分1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆C ：2244x y +=上，所以221144x y +=，222244x y += 221144x y -=-①，222244x y -=-②①×②得：222222111211(4)(4)16x x y y x x --==整理得：22114x x +=….10分 ①+②得：22221212(4)(4)4()x x y y -+-=-+整理得：22121y y += 所以22||||MN OP +=222212122()x x y y +++=10……………………………12分。

上海市十三校高三数学上学期12月联考试卷(含解析)

2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= ．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= ；前2n项和S2n= ．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．417．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）=sinxcosx=sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= 2 ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵y=f﹣1（x）过点（3，4），∴原函数f（x）经过点（4，3），∴3=1+log a4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是（﹣3，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由复合函数的定义域的求法知﹣3＜2x﹣1≤3，从而解得．【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，∴﹣1＜x≤2，∴﹣3＜2x﹣1≤3，∴函数f（x）的定义域是（﹣3，3]；故答案为：（﹣3，3]．【点评】本题考查了复合函数的定义域的求法，属于中档题．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30 吨．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】因每次购买的次数相同，所以货物总吨数除以每次购买的数量应为整数，用购买次数乘以每次的运费加上总存储费用即为一年的总运费与总存储费用之和，然后利用基本不等式求最小值．【解答】解：设公司一年的总运费与总存储费用之和为y万元．买货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买的次数为次，因为每次的运费为3万元，则总运费为3×万元．所以y=（0＜x≤600）．则．当且仅当，即x=30时取得最小值．所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．故答案为30．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用基本不等式求最值，解答此题注意两点：一是实际问题要有实际意义，二是利用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”．是中档题．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ﹣1 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，把圆心坐标代入直线方程即可求得m的值．【解答】解：由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，∴﹣1+3m+4=0，解得 m=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知， x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列的前3项，由等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出（a1+a3+a5+…+a2n）．﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，∴a1=S1=a+，a2=S2﹣S1=[a+（）2]﹣（a+）=﹣，a3=S3﹣S2=[a+（）3]﹣[a+（）2]=﹣，∴（﹣）2=（a+）（﹣），解得a=﹣1，，q==，∴=（﹣2）．∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=（）==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= 7 ；前2n项和S2n=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由数列递推式得到数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得a5+a6，用等差数列和等比数列前n项和公式求得前2n项和S2n．【解答】解：由a n+2=，可得，数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a5=a1+2d=1+2×1=3，，∴a5+a6=7；前2n项和S2n=S奇+S偶==．故答案为：7；．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间[﹣， +]，k∈Z ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值可得函数的解析式，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为=π，∴ω=2．再根据图象过点（，），可得sin（2•+φ）=，∴2•+φ=，∴φ=，f（x）=sin （2x+）=cos2x．函数g（x）=f（x）f（x﹣）=cos2xcos2（x﹣）=sin2xcos2x=sin4x．令2kπ﹣≤4x≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．故答案为：[﹣， +]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出分段函数的图象，由图象得到函数f（x）的单调性，然后把不等式f（x+a）＞f（2a ﹣x）在[a，a+1]上恒成立转化为不等式a＞2（a+1）求解．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象如图，要使不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则x+a＜2a﹣x在x∈[a，a+1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a+1]上恒成立，∴a＞2（a+1），解得：a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h （x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1化为，∴a2=1，，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，，解得m=4．故选D．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．17．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选C．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．18．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【解答】解：①∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确；②∵，∴0＜a99•a101 ＜1，即 a99•a101﹣1＜0，故②错误；③由于 T100=T99•a100，而 0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故③错误；④中T198=a1•a2…a198=（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）=（a99•a100）×99＞1，T199=a1•a2…a199=（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故④正确．∴正确的为①④，故答案为B．【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a m•a n=a p•a q．其中根据已知条件得到aa99＞1，a100＜1，是解答本题的关键，属于基础题．三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．【考点】其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】解分式不等式求出命题p，二次不等式求出q，利用p是q的必要条件得到不等式组，求出m的范围即可．【解答】解：由命题，所以，不等式化为，解得p：﹣2≤x ＜10．命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），解得1+m≤x≤1﹣m；因为p是q的必要条件，即任意x∈q⇒x∈p成立，所以，解得﹣3≤m＜0；实数m的范围是：﹣3≤m＜0．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W 的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），首先应有（t，a）⊆（﹣1，1），且当x∈（t，a）时，∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=﹣1，且，从而求出a和t的值；（3）假设存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），代入对数式后把x3用x1，x2表示，只要能够证明x3在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，所以，函数f（x）的定义域D=（﹣1，1）f（x）是定义域内的奇函数．证明：对任意x∈D，有所以函数f（x）是奇函数．另证：对任意x∈D，所以函数f（x）是奇函数．（2）由知，函数在（﹣1，1）上单调递减，因为0＜a＜1，所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），所以（t，a）⊆（﹣1，1）且在（t，a）的值域是（a，+∞），故且t=﹣1（结合g（x）图象易得t=﹣1）由得：a2+a=1﹣a，解得或a=（舍去）．所以，t=﹣1（3）假设存在x3∈（﹣1，1）使得f（x1）+f（x2）=f（x3）即则，解得，下面证明．证明：法一、由．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，，∴，即，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．法二、要证明，即证，也即．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，∴，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属有一定难度的题目．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【考点】数列与函数的综合；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由， =，得b n+1﹣b n＞0，a n=，由此得到数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，再证明a n+1＞a n． =﹣（a n﹣2）（a n+1）．然后证明，由此得到数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．（Ⅲ）假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，由此推导出无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知， =，b n+1﹣b n==＞0，a n=，且存在n=1，a1=1，所以数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．…（Ⅱ）数列{a n}中，a1=，a n+1=，下面用数学归纳法证明，①，命题；②假设n=k时命题成立，即，当n=k+1时，，，所以，当n=k+1时，命题成立，即．下面证明a n+1＞a n． ==﹣（a n﹣2）（a n+1）．因为，所以，即a n+1＞a n．由，，两式相除得： =，a n+1＞a n，所以，，（）2﹣=（）＞0，即（）2＞．下面证明，即需证明（2+a n+1）a n＜（2+a n）a n+1，即需证明2a n＜2a n+1，而2a n＜2a n+1已证明成立，所以=，即b n+1＜b n，b n+1﹣b n＜0，所以，数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．…（Ⅲ）用反证法，假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，即，因为无穷数列{a n}各项为正且单调递增，所以t＞1．＞t n﹣1，所以．当时，a n＞M，所以无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．…【点评】本题考查数列{}是何种数列的判断，考查数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列的证明，考查∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0的证明，解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用．。

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上海市十四校（原十三校）2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ⋅=________． 2．已知函数f (x )={0,x <0,1,x ≥0.则f(f (x ))=______.3．若不等式组120161x x a-≥⎧⎨+⎩的解集中的元素有且仅有有限个数，则a =________．4．函数2cos cos y x x x =+的最小值为________．5．设二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为p ，二项式系数的和为q ，且272p q +=，则n 的值为___________6．若函数()210f x x x =--在(],λ-∞上为增函数，则方程组()14132x y x y λλ⎧-+=⎨+=⎩解的组数为____。

7．已知()2()arcsin 1arcsin 12a b π+--≥，则()22arccos a b-=________．8．已知数列{}n a 前n 项和为11,,5n S a =且对任意正整数m n 、,均有m n m n a a a +=若n S a <对任意的n Z +∈恒成立,则实数a 的最小值为______.9．已知函数3()sin ()2f x a x a R =-∈，若函数()f x 在(0)π，的零点个数为2个，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为________． 10．已知直线0()f x k x b =+，与曲线2()kg x x=交于点(,1),(,2),M m N n -则不等式11()()f x g x --≥的解集为_____.11．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a +=-．记数列{}n a 的前2016项和为S ．则S 的最大值为______．12．已知点5(3,1),(,2),3A B ，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数21()log 1x f x x +=-的图像上，设O 为原点，已知三角形OAB 的面积为S ，则平行四边形ABCD 的面积为_____.13．在边长为1的等边ABC ∆中，O 为边AC 的中点，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设//CD AG ，若()AD AB AC R λλ=+∈，则AD =________．14．已知357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，由0sinx =有无穷多个根：0，π±，2π±，3π±，…，可得：222222sin 11149x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把这个式子的右边展开，发现3x -的系数为2221111(2)(3)3!πππ+++=，即22221111236π+++⋯=，请由2462(1)1cos 1(1)2!4!6!2(1)!n n x x x x x n --=-+-++-+-出发，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论_____.二、单选题15．如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（） A ． B ．C ．D ．16．若*m n N ∈，，则a b >是()()0m mnn a b ab -⋅->成立的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要17．将函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数()y f x =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是（） A ．2B ．4C ．6D ．1018．若存在实数,a b ，对任意实数[0,4]x ∈，m ax b m ≤+≤恒成立，则m 的取值范围为（） A ．m 1≥ B ．1mC ．14m ≤D ．14m ≥三、解答题19．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P OAC -和Q OBD -是边长分别为a 和ma（m 是常数的两个正四面体，底面中AB 与CD 交于点O ，试求出塔尖P ，Q 之间的距离关于边长a 的函数，并求出a 为多少时，塔尖P ，Q 之间的距离最短．20．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若cos 2cos 3cos a b cA B C==，求(1)tan :tan :tan A B C 的值； (2)求角A 的值．21．某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A ，B 两个投篮位置，在A 点投中一球得1分，在B 点投中一球得2分，规则是：每人按先A 后B 的顺序各投篮一次(计为投篮两次)，教师甲在A 点和B 点投中的概率分别为12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立.(1)若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率． 22．设()1x f x a-=，()1(0)x g x ba b -=>，，记()()()h x f x g x =-.(1)若()22h =，()312h =，当]3[1x ∈，时，求()h x 的最大值； (2)2a =，1b =，且方程1|()|(0)2h x t t =<<有两个不相等实根m ，n ，求mn 的取值范围(3)若2a =，()10()1x h x cx c -=>>，，且a ，b ，c 是三角形的三边长，求出x 的范围．23．正整数数列{}n a 满足nnS pn q a =+（p ，q 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和． (1)若1p =，0q =，求证：{}n a 是等差数列； (2)若数列{}n a 为等差数列，求p 的值； (3)证明：201612016a a =的充要条件是12p =．参考答案1．13【解析】【分析】化简13z ===，再计算z z ⋅即可.【详解】复数z ===∴z =∴3193z z ⋅===，故答案为：13【点睛】本题主要考查复数的四则运算，计算能力是解题的关键，属于简单题. 2．1 【解析】【详解】因为对任意x ∈R ，均有f (x )≥0，所以，f(f (x ))=1. 3．2018 【分析】若不等式组120161x x a -≥⎧⎨+⎩的解集中有且仅有有限个数，则12017a -=，进而得到答案．【详解】解12016x -≥得：2017x ≥，解1x a +≤得：1x a ≤-，若12017a -<，则不等式的解集为空集，不满足条件；若12017a -=，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时2018a =；若12017a ->，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：2018a =，故答案为：2018 【点睛】本题主要考查集合中元素的个数，同时考查了不等式组的解法，属于简单题. 4．12-【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为1sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此求得函数y 的最小值．【详解】函数21cos21cos cos 2sin 2226x y x x x x x π+⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，故当22,Z 62x k k πππ+=-∈时，函数y 取得最小值为11122-=-，故答案为：12-．【点睛】本题主要考查正弦，余弦二倍角公式和辅助角公式，同时考查了三角函数的最值，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 5．4 【分析】令1x =可得4n p =，2nq =，代入272p q +=中计算，求得n 即可.【详解】在二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，令1x =可得各项系数的和4n p =，二项式系数的和为2n q =，由42272n n p q +=+=，解得4n =.故答案为4. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，给变量赋值是解决问题的关键，属于基础题.6．1 【分析】利用函数的单调性求出λ，然后求解方程组的解即可．【详解】函数()210f x x x =--在(],λ-∞上为增函数，可得1052λ=-≤-,则方程组()14132x y x y λλ⎧-+=⎨+=⎩的解为228125212x y λλλλλλ-⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，故方程组只有一组解. 故答案为：1. 【点睛】本题考查二次函数的性质以及二元一次方程组的解法，属于基础题. 7．π 【分析】由题意，求出0a =，1b =，221a b -=-，即可得出结论．【详解】由题意，21sin a α=+，1sin b β=-，2παβ-≥，∴0a =，1b =， ∴221a b -=-， ∴()22arccos a b π-=.故答案为：π 【点睛】本题主要考查反三角函数的定义和性质，属于简单题 8．14【详解】由题意,取1m =得1115n n n a a a a +==.又115a =,则{}n a 是以为首项、为公比的等比数列,即()15n n a n Z +=∈ 故1221111111151155554515nn n n n S a a a -⎛⎫=++⋯+=++⋯+=⨯=- ⎪⎝⎭-由对任意的n Z +∈,均有1n S a <,知14a =.9．32a -【分析】讨论0a >时，函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点；求出()f x 在x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值；0a ≤时，函数()f x 在(0,)x π∈上无零点，从而求出()f x 的最大值．【详解】因为函数3()sin ()2f x a x a R =-∈，且(0,)x π∈时，(s n ]i 01x ∈，；所以当0a >时，sin 0(]a x a ∈，，()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点； ()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点；所以302a ->，解得32a >；所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是322f a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；0a ≤时，3()sin 02f x a x =-<在(0,)x π∈上恒成立，函数()f x 无零点，不合题意；综上，()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是32a -．故答案为：32a -．【点睛】本题主要考查正弦函数图像的性质，分类讨论是解题的关键，属于中档题. 10．(1,0)(2,)-+∞【分析】由反函数与原函数的关系，作出反函数的图象，根据图象得出结论。