矩阵的奇异值分解(MATLAB自编)实验报告
矩阵的奇异值分解及其实际应用
矩阵的奇异值分解及其实际应用矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在数据处理、信号处理、图像处理、自然语言处理等领域有广泛的应用。
一、SVD的定义和原理SVD是一种矩阵分解方法，把一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即：$A=U\Sigma V^T$其中，$A$为一个$m\times n$的矩阵，$U$为$m\times m$的酉矩阵，$\Sigma$为$m\times n$的对角矩阵，$V$为$n\times n$的酉矩阵，$T$表示转置。
$\Sigma$中的对角元素称为奇异值，是矩阵$A$的奇异值分解中的核心。
$\Sigma$中的奇异值按从大到小的顺序排列，它们可以用来表示原始矩阵$A$的主要特征。
在一些情况下，我们只需要保留前$k$个最大的奇异值对应的列向量组成的$\Sigma$和对应的$U$、$V$矩阵，即可以得到一个$k$维的近似矩阵，这种方法称为截断奇异值分解。
SVD的原理可以利用矩阵的特征值和特征向量的概念来解释。
对于一个$n\times n$的矩阵$A$，它可以表示为：$A=Q\Lambda Q^{-1}$其中，$Q$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值矩阵，这里我们假设$A$是对称矩阵。
SVD可以看做是对非对称矩阵的特征值和特征向量的推广，它把矩阵$A$分解为$U\Sigma V^T$，其中，$U$矩阵的列向量为$AA^T$的特征向量，$V$矩阵的列向量为$A^TA$的特征向量，而$\Sigma$则由$AA^T$和$A^TA$的特征值的平方根构成。
二、SVD的应用SVD在数据处理、信号处理、图像处理、自然语言处理等领域都有广泛的应用。
1、数据处理在数据分析和数据挖掘中，我们常常需要对数据进行降维，以便于可视化和分析。
SVD可以对数据进行降维，并且保留了数据的主要特征。
例如，我们可以利用SVD对用户-物品评分矩阵进行降维，得到一个低维的用户-主题矩阵和一个低维的主题-物品矩阵，从而实现推荐系统。
使用奇异值分解进行矩阵分解的实际应用(七)
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要对大量数据进行分析和处理的情况。
而在进行数据分析时，矩阵分解是一种非常重要的技术手段。
而奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）作为一种常用的矩阵分解方法，在实际应用中有着广泛的应用场景。
本文将就奇异值分解在实际应用中的一些典型案例进行介绍和讨论。
首先，奇异值分解在图像压缩和降噪中有着重要的应用。
在数字图像处理中，图像可以看作是一个二维矩阵，而奇异值分解可以将这个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
通过保留最重要的奇异值和对应的左右奇异向量，可以实现对图像的压缩和降噪。
这种方法不仅可以减小图像所占用的存储空间，还可以去除图像中的噪声，提高图像的质量和清晰度。
因此，奇异值分解在图像处理领域有着广泛的应用，例如在数字摄影、医学影像处理和视频压缩等方面都有着重要的作用。
其次，奇异值分解在推荐系统和信息检索中也有着重要的应用。
在推荐系统中，常常需要分析用户和物品之间的关系，而这种关系可以看作是一个矩阵。
通过对这个矩阵进行奇异值分解，可以得到用户和物品的隐含特征，从而实现对用户的个性化推荐。
同时，在信息检索中，奇异值分解也可以用于对文本数据进行降维和表示。
通过将文本数据转化为矩阵，并对这个矩阵进行奇异值分解，可以得到文本的语义信息和主题结构，从而实现对文本数据的有效表示和分析。
因此，奇异值分解在推荐系统和信息检索领域有着重要的应用，可以帮助提高用户体验和信息检索的准确度。
此外，奇异值分解还在信号处理和通信系统中有着重要的应用。
在信号处理中，奇异值分解可以用于对信号进行降维和去噪，从而提高信号的质量和准确度。
同时，在通信系统中，奇异值分解也可以用于多输入多输出（MIMO）系统的信道估计和预编码，从而实现对信道的有效建模和利用。
因此，奇异值分解在信号处理和通信系统领域也有着广泛的应用，并可以帮助提高信号处理和通信系统的性能和效率。
综上所述，奇异值分解作为一种重要的矩阵分解方法，在实际应用中有着广泛的应用场景。
使用奇异值分解进行数据降维的最佳实践(七)
奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，被广泛应用于数据降维、特征提取和信号处理等领域。
在实际应用中，如何有效地使用奇异值分解进行数据降维是一个关键的问题。
本文将从应用角度出发，介绍使用奇异值分解进行数据降维的最佳实践。
一、奇异值分解简介奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，即A=UΣV^T，其中 A 是m×n 的矩阵，U 是m×m 的正交矩阵，Σ 是m×n 的对角矩阵，V^T 是n×n 的正交矩阵。
奇异值分解的基本思想是将原始矩阵表示为一系列特征的线性组合，通过保留最重要的特征来实现数据降维。
二、数据降维的意义数据降维是指通过保留数据的主要特征，将数据映射到低维空间中。
在大数据时代，数据量呈指数级增长，高维数据不仅增加了存储和计算的成本，也增加了数据分析和挖掘的难度。
因此，数据降维成为了解决高维数据问题的重要手段，可以有效地提高数据处理和分析的效率。
三、奇异值分解在数据降维中的应用在实际应用中，奇异值分解可以被用于特征提取、噪声去除和数据压缩等方面。
通过保留最重要的奇异值和对应的左右奇异向量，可以实现高效的数据降维。
首先，奇异值分解可以被用于特征提取。
在图像处理和模式识别领域，奇异值分解可以提取图像的主要特征，实现图像的压缩和去噪。
其次，奇异值分解也可以被用于数据压缩。
通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，可以将原始数据压缩到较低的维度，从而节省存储空间和降低计算成本。
最后，奇异值分解还可以被用于噪声去除。
在信号处理和通信领域，奇异值分解可以通过去除小的奇异值来消除噪声，提高信号的质量和可靠性。
四、使用奇异值分解进行数据降维的最佳实践在实际应用中，使用奇异值分解进行数据降维需要考虑多个因素，包括选择合适的奇异值个数、选择合适的距离度量和选择合适的应用场景等。
首先，选择合适的奇异值个数是使用奇异值分解进行数据降维的关键。
一般来说，可以根据奇异值的大小和累积能量来选择合适的奇异值个数。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
matlab基于svd算法计算点集之间的变换矩阵
一、概述在计算机视觉和图像处理领域，点集之间的变换矩阵是非常重要的一部分。
通过计算点集之间的变换矩阵，可以实现图像的配准、目标跟踪、姿态估计等应用。
而在matlab中，基于奇异值分解（SVD）算法来计算点集之间的变换矩阵是一种常见且有效的方法。
本文将介绍如何利用matlab中的SVD算法来计算点集之间的变换矩阵。
二、奇异值分解（SVD）算法简介SVD是一种矩阵分解的方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
对于一个矩阵A，其SVD分解可以表示为：A = U * S * V'，其中U 和V是正交矩阵，S是对角矩阵。
SVD分解可以帮助我们理解矩阵的性质，并在计算点集之间的变换矩阵时提供了重要的数学基础。
三、点集之间的变换矩阵在计算机视觉和图像处理中，我们常常需要计算一个点集到另一个点集之间的变换矩阵，以实现图像的配准和对齐。
假设有两个点集P和Q，它们分别包含了n个点，我们希望找到一个变换矩阵T，使得对于任意的点p_i∈P，都存在一个对应的点q_i∈Q，满足q_i = T * p_i。
四、 matlab中基于SVD算法计算变换矩阵的实现在matlab中，可以利用SVD算法来计算点集之间的变换矩阵。
以下是一个基于SVD算法计算点集之间的变换矩阵的matlab代码示例：```matlabfunction transformation_matrix = calculate_transform_matrix(P, Q)P和Q分别为两个点集，每一列代表一个点计算均值中心化mean_P = mean(P, 2);mean_Q = mean(Q, 2);P_centered = P - mean_P;Q_centered = Q - mean_Q;计算协方差矩阵covariance_matrix = P_centered * Q_centered';对协方差矩阵进行SVD分解[U, ~, V] = svd(covariance_matrix);计算旋转矩阵RR = V * U';计算平移矩阵tt = mean_Q - R * mean_P;构造变换矩阵transformation_matrix = eye(3);transformation_matrix(1:2, 1:2) = R;transformation_matrix(1:2, 3) = t;end```五、结论通过使用matlab中的SVD算法，我们可以有效地计算点集之间的变换矩阵，从而实现图像的配准、目标跟踪等应用。
矩阵的LU分解(自编MATLAB)实验报告
1矩阵的LU 分解LU 分解原理定理：设A C n n，如果 A 的顺序主子式A 11≠0, |a 11a 12a21a 22|≠0,…，|a 11a 12a 21a 22…a 12…a 22⋮⋮a n−11a n−12⋮⋯a n−1n−1|≠0 则存在唯一的主对角线上元素全为 1 的下三角矩阵L 与唯一的上三角矩阵 U ，使得A =LU .证明：对矩阵A 的阶数使用数学归纳法.显然，当 n=1 时，A 11=1 ∙A 11 就是唯一的分解式。
现假定对 n-1 阶矩阵，定理的结论成立。
对 A 进行分块A =(A A −A A A A AAA AA)其中A A ,A A ∈A A −A.由于 n-1 阶矩阵 A A −A 的 k 阶顺序主子式就是 A 的 k 阶主子式（k=1,2，…，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，A A −A 有唯一的 LU 分解A A −A =A A −A A A −A其中A A −A 的主对角线上的元素都1.由于 |A A −A |=|A 11A 12A 21A 22…A 12…A 22⋮⋮A A −11A A −12⋮⋯A A −1A −1|=|A A −A A A −A |≠0所以A A −A 及A A −A 是n-1阶可逆矩阵 先假设已有 A =LU ，其中L =(A A −A 0AA1)， U= (A A −A A AAA AA)A ，A ∈A A −A是待定向量。
作乘积AA = (A A −A A A −A A A −A A A A A A −A A AA +A A A ) =(A A −A A AA A AA AA)=A 则A，A 必须满足A A −A A =A A ，A A A A −A =A A A ，A AA +A AA =A AA注意到A A −A 及A A −A 都是n-1阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定A =A A −A −A A A ，A A =A A A A A −A −A, A AA =A AA −A A A这就证明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性.LU 分解算法当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出 L 和 U .因为当 A=LU 时，由于 L 可逆，故必存在可逆矩阵 P 使得AA =A即 PA=PLU=U .也就是说，可以先对 A 施行行的初等变换得出上三角矩阵U ，而矩阵 P 可以通过对单位矩阵I 进行相同的行初等变换得出，即P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)于是A =A −A A ,为保持P 为下三角矩阵（从而A −A也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.LU 分解用于解方程组矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组 AA =A ,设A =AA .我们先求解方程组 AA =A . 由于A 是下三角矩阵，则解向量A 可以通过依次求出其分量 A 1,A 2,⋯A A 而求出，在求解方程组AA =A .解向量A 可以通过该方程组依次求出分量A A ,⋯,A 2,A 1而快速得出.于是由两个方程组AA =A ，AA =A 的求解而给出AAA =AA =A = AA 的解.程序流程图MATLAB程序function f=LU_decom(A)[m,n]=size(A)if m~=nfprintf('Error:m and n must be equal!m=%d,n=%d\n',m,n) endfor i=1:n-1if (det(A(1:i,1:i))==0)fprintf('Error:det A(%d,%d)=0!\n',i,i) flag='failure'return;elseflag='ok';endendL=eye(n);U=zeros(n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfor i=2:nfor j=i:nz=0;for r=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i))<epsflag='failure'return;endfor k=i+1:nm=0;for q=1:i-1m=m+L(k,q)*U(q,i);endL(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i); endendLU实际数据计算已知矩阵A=(211 410−221)，A=(121)，先对A进性LU分解，并求解方程 A A=A的解.（1）A的LU分解在MATLAB命令行中输入A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];并调用以上函数可得如下结果>> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];LU_decom(A)m =3n =3L =1 0 02 1 0-1 -3 1U =2 1 10 -1 -20 0 -4（2）解方程组，程序及结果如下%-----用LU分解解线性方程组------y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1)'.*y(1:i-1));endyx(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n)'.*x(i+1)))/U(i,i);endx=x'运行结果如下：y =12x =数据分析调用MATLAB固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下：>> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];>> b=[1 2 1]';>> [L,U]=lu(A)L =0 0U =0 0>> X=inv(A)*bX =经比对结果相同，可见以上程序可行。
矩阵计算——MATLAB——奇异值分解在A+上的应用
pinv（A)和inv（A)的对比结果:
六、心得体会 通过本次实验我会利用 MATLAB 求矩阵的 A+，在实验时，首先要了解 A+数学求法思路，然 后利用所学的 MATLAB 知识，对矩阵进行各种变换，即可求出 A 。当然也可通过 pinv 函数直接 求 A+。 本次实验中我理解了 inv 函数与 pinv 函数的不同，通过实验的验证，我知道用 inv 函数 不能求出矩阵的广义逆，是因为 inv 函数只能求方阵的逆，而 pinv 函数可以直接求矩阵 A 的广 义逆。
四、实验步骤 1、用奇异值分解的方法求 A+ 法一： （1）在实验时，双击 matlab 软件，首先建立 M 文件。具体操作：File→new→M-file →写代码→保存。 算法代码如下： function [U D V]=UDV(A) [m,n]=size(A); B=A'*A; [V,D1]=eigs(B); r=rank(A); orth(V); V1=V(:,1:r); D2=sqrtm(D1); D3=D2(1:r,1:r); U1=A*V1*inv(D3); D4=inv(D3); [m1,n1]=size(U1); [m3,n3]=size(V); [m4,n4]=size(D4); 利用法二得到的结果：
+
姓 名
学 号
专业班级 实验名称 奇异值分解在 A+上的应用 实验日期 指导教师
课程名称 矩阵分析与计算 同组人员
得分
一、实验目的 1、掌握用奇异值分解的方法求 A+ ； 2、学会使用 pinv 函数求广义矩阵； 3、理解 inv 函数与 pinv 函数的不同； 4、利用 MATLAB 编程求矩阵的奇异值 A+； 二、实验内容 利用奇异值分解的方法求 A+ 。
基于Matlab的数值分析实验的设计r——以矩阵的奇异值分解为例
基于Matlab的数值分析实验的设计r——以矩阵的奇异值分解为例杨海涛【摘要】基于Matlab的数学实验,目的是为了提高普通高校学生的数学兴趣和动手能力,为培养解决实际数学问题的能力而设计的实验方法和步骤.利用矩阵的奇异值分解svd函数的数值算法设计了一种在实验课上用svd算法仿真的实验方案.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(031)006【总页数】4页(P465-468)【关键词】数学实验;数值计算;Matlab;奇异值分解【作者】杨海涛【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043【正文语种】中文【中图分类】O241.4利用计算机计算解决实际问题时需要建立数学模型，同时也需要相应数学软件的支持，为了更好的掌握数学软件这一有利的工具，本文通过Matlab中的矩阵的奇异值分解〔1〕svd函数设计了如何学习和掌握该函数的实验方法，从而可以进一步学习其它函数.目前，Matlab在计算仿真和图形图像的压缩处理〔2～4〕有着广泛的应用，希望这个实验方法能够给正在学习数学软件的学生起到抛砖引玉的作用.1.1 理论基础任意复长方矩阵的奇异值分解定理如下（Autonne-Eckart-Young定理）：〔5〕设A为一个m×n的实矩阵（m≥n），则存在正交矩阵V和U，使得：其中∑=diag(σ1,σ2,…,σr)，而且σ1≥σ2≥…≥σr≥0.奇异值分解在统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制中有着广泛的应用. 1.2 SVD的数值算法〔6〕求解一般矩阵奇异值问题最常用的算法可分为两大类：一类是QR分解的方法；另一类是Jacobi旋转的方法.奇异值分解的QR分解法分为两个阶段：一是矩阵的二重对角化，即利用Householder变换把矩阵A变换成二重对角矩阵.这个过程就是追赶（chasing）过程〔7〕.二是QR分解，即保持二重对角矩阵形式不变，利用正交变换使对角线元素逐渐减小，使得矩阵接近对角矩阵.1.2.1 svd函数.对于matlab中的svd函数不是开源的，但通过调研得知该函数的算法就是采用propack中的lansvd函数的算法.其算法过程如下：对于任意的矩阵Am×n可以利用lanczos过程将其双对角化，即存在m阶正交矩阵Q和n阶正交矩阵W满足：其中为一双对角阵，且αi, βi∈R (i=1, 2, …, n)，这里假设了m＞n.上面的分解是逐步的利用Householder左右变换得到的.算法中利用了已知函数完成的双对角化过程.这里如果我们已经知道Bn的svd分解为其中Vn+1为n+1阶正交矩阵，的广义对角矩阵Un为n阶正交矩阵.则有令V=Qn+1Vn+1，其前r列为对应的左奇异向量，令U=WUn，其前r列为对应的右奇异向量.因此算法的关键在于计算矩阵Bn的svd分解.因为Bn是一个双对角矩阵，它的奇异值分解计算比较简单，运算量较小，利用Givens变换，算法复杂度仅为O(n).在我们这个程序中，直接调用了库函数svd 计算Bn的奇异值.1.2.2 svds函数.对于matlab中的svds函数，算法流程如下：（1）对于m×n阶矩阵A，构造(m+n)×(m+n)阶矩阵，其中O是稀疏矩阵. （2）利用eigs函数计算出B矩阵的特征值矩阵D，以及D对应的正交阵W. （3）根据输入参数，按要求输出最大特征值、最接近某参数的特征值或对特征值进行排序等.（4）根据设定的阀值，对矩阵进行筛选得到U矩阵，对矩阵筛选得到V矩阵，对D矩阵进行筛选得到S矩阵.（5）根据S中元素的大小对U、V、S进行排序.（6）输出结果.有如下J-W定理（Jordan-Wielandt定理）：若σ1≥σ2≥…≥σp-1≥σp是矩阵Am×n的奇异值（其中，p=min{m,n}），则上述B矩阵具有2p个非零特征值-σ1,…,-σp,σp,…,σ1和|m-n|个零特征值，与非零特征值（±σj）相对应的特征向量为若m≠n，另有特征向量分别对应于m＞n或m＜n.svds函数的基本思想就是构造出这样的矩阵B，并且求出其特征值和特征向量，然后根据函数重构的条件（所需奇异值的数量、最大最小等），求出所需的奇异值和对应的向量.2.1 矩阵生成生成10个不同的m×n的矩阵，这里取m=120 , n=50，对这10个矩阵进行svd分解.矩阵生成的方法是先做出矩阵的奇异值，然后用QR分解做出10个120阶正交阵和10个50阶正交阵，再利用奇异值分解公式生成10个矩阵A.10个矩阵的奇异值（均为25个）如表1所示.2.2 仿真结果2.2.1 计算时间svd和svds两种方法对十个矩阵进行奇异值分解消耗的时间如表2，单位是秒.可见，svd函数运行时间一般要小于svds函数运行时间.2.2.2 最小奇异值计算准确率.通过对比最小特征值的计算准确度，将每种算法特征值的最小值与矩阵最开始生成时的最小特征值进行比较.比较结果两种方法对10个矩阵的svd分解运算最小特征值的误差均几乎为0，都在10-15次方的量级左右，见表3.其中delta_min_svd和delta_min_svds是matlab程序中两个变量值.这个误差已经和截断误差非常接近了，因此可以认为两种方法都能较好的进行奇异值计算.2.2.3 左右奇异值向量计算准确率.由于svd分解后U、V矩阵的不唯一性，这里我们只看生成的U、V的正交性是不是依然比较完好.通过计算每一列和它的转置相乘减去单位阵也都在10-15这样的量级，因此svd和svds对于正交性的保持都是非常好的.综上所述，通过上述设计的方法和步骤，完全可以掌握matlab中的M-文件和.mat文件的使用方法，并且能熟练掌握奇异值分解的理论知识和具体计算方法，才能为以后svd应用打下基础，这样的实验方法才有实际的意义，才是真正的综合设计实验.本文的宗旨在于引导学生如何用数学软件完成一个实验设计，同时掌握这个实验的目的、相关内容实验的方法和手段.〔1〕尹芳黎，杨雁莹，王传栋，等.矩阵奇异值分解及其在高维数据处理中的应用〔J〕.数学的实践与认识，2011，45（15）: 171-176.〔2〕胡乡峰，卫金茂.基于奇异值分解（SVD）的图像压缩〔J〕.东北师大学报:自然科学版，2006，38（3）:36-39.〔3〕曾超，张陈，徐永利.基于奇异值分解的图像压缩及其matlab实现〔J〕.科技信息，2010，14:484.〔4〕向培素.一种自适应AP算法的matlab实现〔J〕.西南民族大学学报:自然科学版，2014，40（16）:877-882.〔5〕张贤达.矩阵分析与应用〔M〕.北京：清华大学出版社，2004.358-360. 〔6〕姜健飞，胡良剑，唐俭.数值分析及其matlab实验〔M〕.北京：科学出版社，2004.6，219-224.〔7〕山晓东，李园.一类不可约L-矩阵的预条件AOR迭代法〔J〕.湖北民族学院学报:自然科学版，2014，32（2）:128-132.。
MATLAB中的矩阵分解与降维技术
MATLAB中的矩阵分解与降维技术随着科学技术的不断发展和数据规模的急剧增加，如何高效地处理和分析大规模数据已成为一个迫切需要解决的问题。
矩阵分解与降维技术在这一领域发挥着重要的作用。
本文将探讨MATLAB中的矩阵分解与降维技术，并介绍其应用于数据处理与分析中的具体实例。
1. 矩阵分解与降维技术简介矩阵分解与降维技术是一种将高维数据转化为低维数据的方法，通过将原始数据投影到一个更低维度的空间中，从而减小数据量的同时保留了数据的关键特征。
矩阵分解与降维技术的主要目标是找到一个能较好地近似原始数据的低维子空间，并且在降维过程中尽量保持数据的信息。
2. 主成分分析（PCA）主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的矩阵分解与降维技术，通过线性变换将原始数据映射到一个新的空间中。
在这个新的空间中，数据的维度被降低，并且尽量保留了原始数据的方差。
PCA的核心思想是寻找数据中方差最大的方向作为新的坐标轴，从而使得映射后的数据在这个方向上的方差最大化。
在MATLAB中，使用PCA进行数据降维非常简单。
首先，我们需要导入数据到MATLAB环境中，然后使用PCA函数进行降维处理。
具体的语法如下所示：```[coeff,score,latent] = pca(data);```其中，data表示原始数据矩阵，coeff是相关系数矩阵，score是降维后的数据矩阵，latent是主成分的方差。
3. 奇异值分解（SVD）奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种将矩阵分解为奇异值和两个酉矩阵的技术，常用于降维、矩阵压缩和数据恢复等领域。
SVD可以对任意大小和形状的矩阵进行分解，并且具有较好的数学性质。
在MATLAB中，使用SVD进行矩阵分解与降维同样非常简单。
我们可以使用svd函数对矩阵进行分解，并得到奇异值、左奇异向量和右奇异向量。
矩阵奇异值分解算法及应用
矩阵奇异值分解算法及应用随着计算机技术的不断发展，大规模数据的处理变得越来越普遍。
在很多领域中，矩阵的分析和处理成为了一项非常重要的任务。
其中，矩阵奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)算法在很多应用中发挥着重要作用。
一、什么是矩阵奇异值分解算法？矩阵奇异值分解算法是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积的数学方法。
给定一个矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A = UΣV^T，其中U和V是两个正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
具体来说，U和V的列向量是A*A^T和A^T*A的特征向量，Σ的对角元素是A*A^T和A^T*A的特征值的平方根。
这样的分解使得矩阵A的性质更容易被理解和利用。
二、矩阵奇异值分解的应用领域1. 数据压缩与降维矩阵奇异值分解可以用于数据压缩与降维。
通过取矩阵A的部分奇异值和相应的奇异向量，可以实现对数据的降维表示。
这对于大规模数据的存储和处理有着重要的意义。
2. 图像处理与图像压缩矩阵奇异值分解在图像处理与图像压缩中也有广泛应用。
通过对图像矩阵进行奇异值分解，可以实现图像的压缩和去噪。
例如，可以通过保留最重要的奇异值和相应的奇异向量，去除图像中的噪声并减少数据的冗余。
3. 推荐系统奇异值分解在推荐系统中有着重要的应用。
通过将用户-物品矩阵进行奇异值分解，可以得到用户和物品的隐含特征表示，从而提供个性化的推荐结果。
4. 文本挖掘与自然语言处理在文本挖掘与自然语言处理中，矩阵奇异值分解能够将文本数据转化成一种更易于处理的形式。
例如，在文本分类任务中，可以使用奇异值分解将文档矩阵转化为一组关键特征，从而实现文本分类和信息检索。
三、矩阵奇异值分解算法的性质和优势1. 唯一性和稳定性矩阵奇异值分解具有唯一性和稳定性。
即使输入的矩阵有一定的噪声或者误差，奇异值分解仍然能够给出合理的结果，并且结果不会受到小的输入变化的影响。
2. 适应性和灵活性矩阵奇异值分解算法对于任意大小的矩阵都适用，而且能够适应不同的应用场景。
矩阵的奇异值分解应用
矩阵的奇异值分解应用
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解技术，被广泛应用于数据压缩、降维、特征提取等领域。
在实际应用中，SVD不仅可以用于矩阵的逼近表示，还可以用于推荐系统、图像处理、自然语言处理等多个领域。
1. 数据降维
SVD可以将一个大矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角阵，对角元素称为奇异值。
这个过程可以帮助我们发现数据中的主要特征，并实现数据的降维。
在机器学习中，数据降维可以提高模型的训练效率和泛化能力。
2. 推荐系统
在推荐系统中，我们常常需要处理用户对物品的评分数据，这些数据通常表示为一个用户-物品评分矩阵。
通过对这个矩阵进行SVD分解，可以得到用户和物品的潜在特征向量，从而实现对用户和物品的推荐，提高推荐的准确性和个性化。
3. 图像压缩
SVD还广泛应用于图像处理领域。
通过对图像的像素矩阵进行SVD分解，可以提取图像的主要特征，实现图像的压缩和重建。
这种方法不仅可以减小图像的存储空间，还可以减少传输时的带宽消耗。
4. 自然语言处理
在自然语言处理中，SVD也被用于词向量的表示。
通过对文本语料矩阵进行SVD分解，可以得到词语的语义特征向量，实现词向量间的语义相似度计算和文本分类等任务。
总之，矩阵的奇异值分解是一种强大的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对数据进行SVD分解，我们可以实现数据的降维、推荐系统的个性化推荐、图像的压缩和重建、以及自然语言处理中的词向量表示等多个重要任务。
随着数据量的不断增大和机器学习领域的进步，SVD的应用前景将更加广阔。
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它在很多领域中都具有广泛应用，包括图像处理、数据压缩、信号处理等。
奇异值分解不仅是矩阵的一种表达形式，还可以帮助我们理解矩阵的结构，从而更好地应用于实际问题中。
奇异值分解的基本思想是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是m×m和n×n维的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
通常情况下，奇异值按照从大到小的顺序排列。
奇异值分解的一个重要应用是矩阵的降维。
对于一个m×n的矩阵A，我们可以选择保留其中最大的k个奇异值，然后将矩阵A分解为UkΣkVk^T，其中Uk、Σk和Vk分别是U、Σ和V的前k列构成的矩阵。
这样得到的矩阵Ak=UkΣkVk^T可以近似地表示原始矩阵A，且Ak是一个更低维度的矩阵。
通过选择合适的k值，可以在保留较高精度的情况下大大降低矩阵的存储和计算复杂度。
奇异值分解还可以用来解决线性方程组的最小二乘解问题。
对于一个m×n的矩阵A和一个m维的向量b，我们可以将矩阵A分解为A=UΣV^T，然后将方程组Ax=b转化为Σy=Ub，其中y=V^Tx。
求解线性方程组Σy=Ub相对简单，通过计算得到向量y后，再通过y=V^Tx计算得到向量x，就得到了原始线性方程组的最小二乘解。
此外，奇异值分解还可以用于计算矩阵的伪逆。
对于一个m×n的矩阵A，它的伪逆A^+可以通过奇异值分解得到。
具体地，如果A的奇异值分解为A=UΣV^T，那么A^+可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+是Σ的逆矩阵的转置。
伪逆矩阵在很多问题中都有重要应用，比如在解决过约束线性方程组和最小二乘解的问题中。
总之，矩阵的奇异值分解是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它具有广泛的应用价值。
使用奇异值分解进行矩阵分解的数值计算方法
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法，它在数据挖掘、图像处理、自然语言处理等领域都有着广泛的应用。
本文将通过数值计算的角度来探讨奇异值分解的原理和方法。
1. 奇异值分解的基本概念奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其数学表示形式为：A=UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。
在实际应用中，我们通常将矩阵A分解为U、Σ和V^T三个矩阵，其中U和V^T为正交矩阵，Σ为对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解可以将原始矩阵A的信息进行压缩和提取，为后续的数据分析和处理提供了基础。
2. 奇异值分解的数值计算方法奇异值分解的数值计算方法主要包括基于幂法的迭代算法和基于分解的直接计算方法。
在实际应用中，由于幂法的收敛速度较慢，所以更多的是采用基于分解的直接计算方法，如Jacobi方法、分治法等。
这些方法通过特征值分解、QR分解等数值计算技术来实现奇异值分解，从而得到矩阵A的奇异值和相关的正交矩阵。
3. 奇异值分解在数据压缩和降维中的应用奇异值分解在数据挖掘和图像处理中有着重要的应用，其中最典型的应用就是数据压缩和降维。
通过奇异值分解，我们可以将高维的数据进行压缩和降维，从而减少数据的存储空间和计算复杂度。
同时，奇异值分解还可以提取数据的主要特征，帮助我们理解和分析数据的结构和规律。
4. 奇异值分解在推荐系统中的应用奇异值分解在推荐系统中也有着重要的应用，尤其是在协同过滤推荐算法中。
通过对用户-物品评分矩阵进行奇异值分解，我们可以得到用户和物品的隐含特征，从而实现对用户的个性化推荐。
基于奇异值分解的推荐算法在Netflix奖金赛等推荐系统比赛中取得了很好的成绩，证明了其在实际应用中的有效性和可行性。
5. 奇异值分解的局限性和改进虽然奇异值分解在各个领域都有着重要的应用，但是它也存在一些局限性。
《数学软件》实验报告-MATLAB矩阵分析与处理
数学软件实验报告（二）系：专业：年级：姓名：学号：实验课程：实验室号：_ 实验设备号：实验时间：指导教师签字：成绩：1. 实验项目名称：MATLAB矩阵分析与处理2. 实验目的和要求1.掌握生成特殊矩阵的方法2.掌握矩阵分析的方法3.用矩阵求逆解线性方程组3. 实验使用的主要仪器设备和软件方正商祺N260微机；MATLAB7. 0或以上版本4. 实验的基本理论和方法实验原理：（1）矩阵的建立（2）建立随机矩阵X＝a＋（b－a）×rand（n）（注（a,b）为范围，n为阶数）（3）round函数（4）矩阵的乘除（5）矩阵行列式的值det（A）（6）矩阵的迹trace（A）（7）矩阵的秩rank（A）（8）提取矩阵对角线元素diag（A）（9）构造对角阵diag（V）（10）矩阵的特征值与特征向量[V,D]=eig（A）（11）求解线性方程组X=A\B5. 实验内容与步骤（描述实验中应该做什么事情，如何做等，实验过程中记录发生的现象、中间结果、最终得到的结果，并进行分析说明）（包括：题目，写过程、答案）题目：1．设有分块矩阵A＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯22322333SORE,其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角矩阵，试通过数值计算验证A2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2SORSRE。
>> E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]E =1 0 00 1 00 0 1>> R=[1 2;1 3;2 3]R =1 21 32 3>> O=[0 0 0;0 0 0]O =0 0 00 0 0>> S=[1 2;2 1]S =1 22 1>> A=[E R;O S]A =1 0 0 1 20 1 0 1 30 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 2 1>> A^2ans =1 0 0 6 60 1 0 8 80 0 1 10 100 0 0 5 40 0 0 4 5>> [E R+R*S;O S^2]ans =1 0 0 6 60 1 0 8 80 0 1 10 100 0 0 5 40 0 0 4 52．建立一个5 5矩阵，其元素[100,200]范围内的随机整数，求它的行列式值、迹、秩，最后提取A的主对角线元素，并将这些元素构成对角阵B。
矩阵奇异值分解算法及应用研究
矩阵奇异值分解算法及应用研究一、本文概述本文旨在深入探讨矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）算法的理论基础及其在多个领域的应用。
奇异值分解作为一种重要的矩阵分析技术，不仅在数学理论上具有深厚的根基，而且在实际应用中展现出强大的功能。
通过对SVD算法的深入研究，我们可以更好地理解矩阵的内在性质，揭示隐藏在数据背后的规律，从而在各种实际问题中找到有效的解决方案。
本文首先回顾了奇异值分解算法的基本概念和性质，包括其数学定义、存在条件以及计算过程。
在此基础上，我们详细阐述了SVD算法的理论依据和实现方法，包括数值稳定性和计算复杂度等关键问题。
通过理论分析和实验验证，我们验证了SVD算法在处理矩阵问题时的有效性和可靠性。
随后，本文将重点介绍SVD算法在多个领域的应用案例。
包括但不限于图像处理、自然语言处理、机器学习、推荐系统、社交网络分析以及生物信息学等领域。
在这些领域中，SVD算法被广泛应用于数据降维、特征提取、信息融合、噪声去除以及模式识别等任务。
通过具体案例的分析和讨论，我们将展示SVD算法在实际问题中的广泛应用和重要作用。
本文还将探讨SVD算法的未来发展趋势和研究方向。
随着大数据时代的到来，SVD算法在处理大规模矩阵数据方面的潜力和挑战将越来越突出。
因此，我们需要进一步研究和改进SVD算法的性能和效率，以适应日益复杂的数据处理需求。
我们还将关注SVD算法在其他新兴领域的应用前景，如深度学习、和量子计算等。
通过不断的研究和创新，我们期待SVD算法能够在未来的科学研究和实际应用中发挥更大的作用。
二、矩阵奇异值分解算法原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个复杂矩阵分解为三个简单的矩阵的乘积，从而简化了矩阵的计算和分析。
奇异值分解的原理和应用在信号处理、图像处理、自然语言处理、机器学习等领域具有广泛的应用。
matlab 矩阵分解
Matlab矩阵分解矩阵分解是一种将一个矩阵表示为其他矩阵乘积的方法。
在数学和计算机科学领域中，矩阵分解是一种重要的技术，它在很多应用中都有广泛的应用，如数据压缩、图像处理、推荐系统等。
在Matlab中，矩阵分解是一个强大而灵活的工具，可以用于解决各种实际问题。
1. 矩阵分解的概念和原理矩阵分解是将一个矩阵表示为多个小矩阵的乘积的过程。
常见的矩阵分解方法有奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）、QR分解、LU分解等。
这些方法可以将一个矩阵分解为可解释性更强的形式，从而方便我们进行进一步的分析和计算。
1.1 奇异值分解（SVD）奇异值分解是矩阵分解中最常用的方法之一。
对于一个m行n列的矩阵A，奇异值分解将其分解为以下形式：A = U * S * V’其中U是一个m行m列的酉矩阵，S是一个m行n列的对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值，V是一个n行n列的酉矩阵。
奇异值分解的一个重要性质是，矩阵A的秩等于其奇异值的个数。
1.2 QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的过程。
对于一个m 行n列的矩阵A，QR分解将其分解为以下形式：A = QR其中Q是一个m行m列的正交矩阵，R是一个m行n列的上三角矩阵。
QR分解的一个重要性质是，如果A的列向量线性无关，则R是非奇异的。
1.3 LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的过程。
对于一个n 阶矩阵A，LU分解将其分解为以下形式：A = LU其中L是一个n阶下三角矩阵，U是一个n阶上三角矩阵。
LU分解的一个重要性质是，如果A的所有主子式都非零，则LU分解存在且唯一。
2. Matlab中的矩阵分解函数Matlab提供了丰富的矩阵分解函数，可以方便地进行矩阵分解操作。
下面介绍几个常用的矩阵分解函数及其用法。
2.1 svd函数svd函数用于进行奇异值分解。
其基本语法如下：[U, S, V] = svd(A)其中A是待分解的矩阵，U、S、V分别是奇异值分解的结果。
奇异值分解在信号处理中的实际案例分析(四)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种在信号处理领域广泛应用的数学方法。
它将一个矩阵分解成三个简单的矩阵的乘积，从而能够发现矩阵的内在结构和特性。
在本文中，我们将通过实际案例分析来探讨奇异值分解在信号处理中的应用。
第一种应用是图像压缩。
图像可以表示为一个矩阵，其中每个元素对应一个像素的亮度值。
奇异值分解可以将这个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵包含了图像的主要信息，而另外两个矩阵则包含了图像的变换信息。
通过保留主要信息的矩阵，我们可以实现对图像的压缩，而且保留图像的质量。
这种方法在图像存储和传输中得到了广泛应用。
第二种应用是音频信号处理。
奇异值分解可以帮助我们分析和理解音频信号的特性，从而实现音频信号的降噪和增强。
通过对音频信号的矩阵进行奇异值分解，我们可以找到主要的频率成分和能量分布，从而实现对音频信号的提取和分析。
这种方法在音频处理和音乐分析中有着重要的实际意义。
第三种应用是数据降维和特征提取。
在大数据分析中，奇异值分解可以帮助我们对数据进行降维，从而减少数据的复杂性和提高数据的处理效率。
同时，奇异值分解还可以帮助我们找到数据的关键特征和模式，从而实现对数据的特征提取和模式识别。
这种方法在数据挖掘和机器学习中有着广泛的应用。
最后，奇异值分解还可以应用于信号恢复和重建。
在信号处理中，由于各种原因，信号可能会受到损坏或失真。
奇异值分解可以帮助我们对受损的信号进行恢复和重建，从而实现对信号的修复和重现。
这种方法在通信和信息处理中有着重要的实际意义。
综上所述，奇异值分解在信号处理中具有重要的应用价值。
通过实际案例分析，我们可以发现奇异值分解在图像压缩、音频信号处理、数据降维和特征提取、以及信号恢复和重建等方面都发挥着重要的作用。
在未来的研究和应用中，我们可以进一步探索和发展奇异值分解的理论和方法，从而更好地应用于信号处理和相关领域，为解决实际问题提供更加有效的数学工具和技术支持。
矩阵的奇异值分解及其应用
矩阵的奇异值分解（SVD）及其应用------- 摘自Left Not Easy博文前言：上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。
在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。
特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。
而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。
奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。
就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。
在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。
一、奇异值与特征值基础知识：特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。
两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。
先谈谈特征值分解吧：1）特征值：如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。
特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。
matlab矩阵分解
matlab矩阵分解
矩阵分解是一种常用的数学方法，用于将一个复杂的矩阵表示为几个简单矩阵的乘积。
在MATLAB中，有多种矩阵分解的方法，可以帮助我们更好地理解和处理数据。
一种常见的矩阵分解方法是奇异值分解（SVD）。
奇异值分解可以将一个任意大小的矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别为左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
这种分解方法在信号处理、图像压缩等领域有着广泛的应用。
另一种常见的矩阵分解方法是QR分解。
QR分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这种分解方法在求解线性方程组、最小二乘拟合等问题中非常有用。
除了SVD和QR分解，MATLAB还提供了LU分解、Cholesky分解等多种矩阵分解的方法。
这些分解方法在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，可以帮助我们更高效地处理数据和解决问题。
通过矩阵分解，我们可以将复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而加快计算速度、降低计算复杂度。
矩阵分解也为数据挖掘、机器学习等领域的算法提供了重要的基础。
在MATLAB中，通过简单的几行代码就可以实现各种矩阵分解的方法，无需手动编写复杂的算法。
这极大地方便了我们在实际工作中的应用，节约了时间和精力。
总的来说，矩阵分解是一种强大的数学工具，在数据处理、信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
掌握各种矩阵分解的方法，并灵活运用于实际问题中，将有助于提高工作效率和解决难题能力。
MATLAB作为强大的工具软件，为我们提供了丰富的矩阵分解函数，帮助我们更好地理解和利用矩阵分解的方法。
希望大家能够深入学习和应用矩阵分解，发挥其在科研和工程领域的巨大作用。
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end B=B(:,1:n); B=B.'; V=qr(B); V1=V(:,1:r); U(:,1:r)=A*V1*(inv(D(1:r,1:r))); U(:,r+1:m)=null(A*A'); end
2.5 运行与数据分析
以教材上的 A=[1 0;0 1;1 0]为例来验证上述求矩阵的奇异值分解 程序的正确性。在 matlab 运行结果如下： >> A=[1 0;0 1;1 0]; >> [U1,D1,V1] = SVDecom(A) U1 = 0.7071 0 0.7071 D1 = 1.4142 0 0 V1 = 1 0 0 1 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0.7071 0 -0.7071
s11 1 1 即有 U1=AV1 .其中 =
s2 1
sr 1
第四步： 解方程组 AAHy = 0， 对基础解系单位正交化可以求得 γr+1， γr+2，…，γm，令 U =（γ1 , γ2 , … , γr , γr+1 , γr+2 , … , γm）.
2 矩阵的奇异值分解
2.1 原理
设 A∈Cm×n，s1，s2，…，sr 是 A 的非零奇异值，则存在 m 阶酉矩 阵 U∈Cm×n 及 n 阶酉矩阵 V，m× n 矩阵 D，
s1 0 0 0 0 D= 0 0 sr 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0
使得 A=UDVH 这就是矩阵 A 的奇异值分解.
2.2 算法
第一步：求出 AHA 的特征值 1 ≥ 2 ≥…≥ r ＞0= r 1 =…= n ，确定非 零奇异值 si = i ，i=1,2 …, r. 第二步：分别求出矩阵 AHA 的对应于特征值 i 的特征向量并将其 单位正交化，得到标准正交向量组 α1 , α2 , … , αn 令 V=（α1 , α2 , … , αn）=（V1 , V2） ，V1=（α1 , α2 , … , αr） ，V2= （αr+1 ,αr+2 , …, αn） 第三步：若 U=（γ1 , γ2 , … , γr , γr+1 , γr+2 , … , γm）=（U1 , U2） ，其 中 U1=（γ1 , γ2 , … , γr） ， U2=（γr+1 , γr+2 , … , γm） ， 则因（Aα1 , Aα2 , … , Aαr）=（s1γ1 , s2γ2 , … , srγratlab 自带求解矩阵奇异值分解函数： [U，S，V] = svd(A)其 中 U 就是所求的 U 矩阵，S 是所求的对角阵，V 就是所求的酉矩阵
V. 在 matlab 中运行下述指令： >> A=[1 0;0 1;1 0]; >> [U0,D0,V0] = svd(A) U0 = -0.7071 0 -0.7071 D0 = 1.4142 0 0 V0 = -1 0 0 1 0 1.0000 0 0 1.0000 0 -0.7071 0 0.7071
2.3 程序流程图
输入矩阵A
AHA的特征值及对应特征 向量
AHA的特征值由大到小排 列并排列及对应特征向量
单位化得V
计算U1 ，U2
计算D
结束
2.4 MATLAB 程序
function [U,D,V] = SVDecom(A) [m,n]=size(A); U=zeros(m);V=zeros(n); r=rank(A); D=zeros(m,n); [B,C]=eig(A'*A); x=diag(C); B=[B.',x]; B=sortrows(B,-(n+1)); for i=1:r D(i,i)=sqrt(B(i,n+1));