第九章二重积分习题课

第九章二重积分习题课

高等数学课讲教案主讲人

课题第九章重积分习题课

目的任务使学生进一步理解本章的知识要点，熟练重积分的计算。

重点难点本章知识要点的进一步理解，重积分计算的熟练掌握。

教学方法讲授法

使用教具

提问作业

备课时间年月日上课时间年月日

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一、本章内容小结

1. 二重积分的定义及其几何意义

1) 重积分的定义:

2) 说明:

n

* 二重积分是和式的极限值，故是一个数，这个数只与被积函数

f(,,,),,,iii,1i

及积分区域有关，与积分变量的字母无关，即有 f(x,y)

f(x,y)d,,f(s,t)d,,,,,DD

* 和式的极限若存在，则与区域D如何划分及点如何选无关，为此常选方便(,,,)ii计算的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割区域，则，此时二重d,,dxdy

积分 f(x,y)d,,f(x,y)dxdy,,,,DD

D * 若函数在有界闭区域上连续，则函数在上的二重积分总存在，称

f(x,y)f(x,y)

D函数在上可积。 f(x,y)

3) 重积分的几何意义.

2. 二重积分的性质:

注意性质所适用的条件，中值定理的几何意义

3. 二重积分的计算法:

二重积分的计算法采用累次积分，即把二重积分化为二次积分，通过两次定积分的计算即求得二重积分值，分以下两种情况。

y,x,1) 在直角坐标系下:将区域划分为型或型计算.

2) 在极坐标系下:将区域按照与极点的位置来划分并计算.

* 两种坐标系的适用范围、面积元素、表达式及变量替换对照表如下:

直角坐标极坐标

积分区域矩形、三角形或任意形圆形、环形、扇形

dxdyrdrd,面积元素

x,rcos,y,rsin,变量替换

f(x,y)dxdyf(rcos,,rsin,)rdrd,积分表达式 ,,,,DD

* 计算二重积分关键步骤是确定累次积分的上、下限，而上、下限的确定关键在于正确画出积分区域草图和正确运用不等式表示积分区域，把不等式小的一端列为积分下限，大的一端为积分上限。注意:先一次积分的上、下限一般是后面积分变量的函数，且最后一次积分的上、下限应是常数。

d,,rdrd,* 若在极坐标系中要注意，不能丢:正确写出积分区域的边界曲线在r 极坐标系下的方程;选正确公式。

4. 二重积分的应用:

1) 曲顶柱体的体积;

2) 平面区域的面积 ; S,d,,,D

二、习题讲解(课后习题)

三、课堂练习(复习题九)