高考数学课后作业 28 函数与方程、函数模型及其应用

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高考数学复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程习题文市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

A．5
B．6
C．8
D．9
14/34
解析由f(x2－2x＋3)＝g(x)及y＝x2－2x＋3的图象关于
直线x＝1对称知g(x)的图象关于直线x＝1对称，由g(x)＋
sin
π 2
x＝0，知g(x)＝－sin
π 2
x，因为y＝－sin
π 2
x的图象也关于
直线x＝1对称，g(x)＋sin
π 2
x＝0有5个根，故必有一个根为
A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a＝－
1 8
，函数的零点是x＝－2，不合题
意．故选C.
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4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝
－1，又
1 3
≤
1 a
－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在
x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋
3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则
2－x0＝x20＋4a－3x0＋3a，－1＝2x0＋4a－3，
整理可得4a2－7a＋3＝0，
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13．已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y ＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 _(_－__∞__，__－__1_)_∪__(1_，__＋__∞__)__．
解析由题意易知a≠0，令f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝ 0，变形得|x|－12＝－1ax，

高考数学二轮复习函数与方程、函数模型及其应用

2008高考数学二轮复习函数与方程、函数模型及其应用一、考点、要点、疑点：考点：1、了解函数与方程的有关知识及其内在联系；2、理解有关函数模型及其应用要点：1、函数的零点：方程0)(=x f 的根也称作函数)(x f y =的零点，也就是函数)(x f y = 的图象与x 轴交点的横坐标。

2、二分法：二分法求方程近似解的一般方法步骤3、图像法求方程的近似解4、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式：① 二次函数的三种形式：c bx ax y ++=2；k h x a y +-=2)(；))((21x x x x a y --= ② 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的内在联系5、函数模型及其应用① 函数思想就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. ② 方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点；解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间.疑点：1、“方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a ＝0时，“方程有解”不能简单转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：读题 → 建模 → 求解 → 反馈（文字语言）（数学语言）（数学应用）（检验作答）二、课前热身：1、函数262+-=x mx y 的图像与x 轴有唯一交点，则m 的取值范围是2、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 ( )A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定3、=x 0x 是方程x x -=3lg 的解，写出0x 所在的一个区间4、将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个三、典型例题解析：例1、判别下列函数零点的个数：①12lg -+=x x y ②43--=x y x ③123--=x x y例2、若=x 0x 是方程42=+x x的根，且]1,[0+∈k k x ，则整数k ＝例3、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f ＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是例4、已知函数)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，今考虑函数 1.0)1)(1()(-+-=x x x x f ，对方程0)(=x f① 有3个实数根；② 当x ＜－1时，有且只有一个实数根；③ 当－1＜x ＜0时，有且只有一个实数根；④ 当0＜x ＜1时，有且只有一个实数根；⑤ 当x ＞1时，有且只有一个实数根．以上结论中，正确的结论有例5、已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(，且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12。

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用2(含解析)

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数模型及其应用含解析

教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数模型及其应用含分析编辑： __________________时间： __________________建议用时： 45 分钟（对应学生用书第 235页）一、选择题1.如图，在不规则图形 ABCD中， AB和 CD是线段， AD和 BC是圆弧，直线 l ⊥ AB于E，当 l 从左至右挪动（与线段 AB有公共点）时，把图形 ABCD分红两部分，设 AE＝x，左边部分面积为 y，则 y对于 x的大概图象为（）A B C DD［因为左边部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最先面积增添得快，此后均匀增添，最后迟缓增添，只有 D 选项合适 .］2.某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售 200台，第三个月销售 400台，第四个月销售 790台，则以下函数模型中能较好地反应销量y与投放市场的月数 x之间关系的是（）A.y＝100xB.y＝50x2－ 50x＋ 100C.y＝50×2xD.y＝100log2x＋100C ［依据函数模型的增添差别和题目中的数据可知，应为指数函数模型.应选 C.］3.某商品价钱前两年每年递加20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价钱与本来价钱比较，变化的状况是（）A.减少 7.84%B.增添 7.84%C.减少 9.5%D.不增不减A ［设某商品本来价钱为a，四年后价钱为：a（1＋0.2）2（ 1－ 0.2）2＝a×1.22×0.82＝ 0.921 6a，（0.921 6－ 1）a＝－ 0.078 4a，所以四年后的价钱与本来价钱比较，减少 7.84%.］4.某市生产总值连续两年连续增添.第一年的增添率为 p，第二年的增添率为q，则该市这两年生产总值的年均匀增添率为（）A.p＋qB.（p＋1）（ q＋ 1）－ 1 22C.pqD. （ p＋ 1）（ q＋ 1）－ 1D［设年均匀增添率为 x，原生产总值为 a，则 a（1＋p）·（ 1＋ q）＝ a （1＋ x）2，解得 x＝（1＋p）（ 1＋ q）－ 1，应选 D.］5.某市家庭煤气的使用量 x（m3）和煤气费 f（ x）（元）知足关系 f（x）＝C，0＜x≤A，已知某家庭 20xx年前三个月的煤气费以下表：C＋B（x－ A）， x＞A.用气煤气月份量费一月4元4 m3份二月14元25 m3份三月19元35 m3份若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为（）元 B.11元元 D.10元A［依据题意可知 f（4）＝ C＝ 4， f（25）＝ C＋ B（ 25－A）＝ 14，f1（ 35）＝ C＋ B（35－A）＝ 19，解得 A＝ 5， B＝2， C＝ 4，所以 f（x）＝4，0＜x≤5，11所以 f（ 20）＝ 4＋（ 20－5）＝ 11.5，应选 A. ］4＋2（x－5）， x＞5，2二、填空题6.一个工厂生产一种产品的总成本y（单位：万元）与产量 x（单位：台）之间的函数关系是 y＝ 0.1x2＋ 10x＋300（0＜x≤240，x∈N），若每台产品的售价为 25万元，生产的产品所有卖出，则该工厂获取最大收益（收益＝销售收入－产品成本）时的产量是台.75［由题意可知，收益 f（x）＝ 25x－ y＝－ 0.1x2＋15x－300，（ 0＜x≤240，x∈N）∴当 x＝ 75 时， f（ x）取到最大值 .］7.有一批资料能够建成 200m长的围墙，假如用此资料在一边靠墙的地方围成一块矩形场池，中间用相同的资料隔成三个面积相等的矩形（以下图），则围成的矩形场所的最大面积为m2.（围墙厚度不计）2 500 ［设围成的矩形场所的长为x m，则宽为200－ xm，4200－x1则 S＝ x·＝（－ x2＋200x）.44当 x＝100 时， S max＝ 2 500（m2） .］x8.已知投资 x万元经销甲商品所获取的收益为P＝4；投资 x万元经销乙商品所获取的收益为 Q＝ax（＞）2 a 0 .若投资 20万元同时经销这两种商品或只经销此中一种商品，使所获取的利润许多于 5万元，则 a的最小值为.5［设投资乙商品 x 万元（ 0≤x≤20），则投资甲商品（ 20－ x）万元 .收益分别为 Q＝ax （＞），＝20－x，2 a 0P4因为 P＋Q≥5,0≤x≤20 时恒建立，x则化简得 a x≥2，0≤x≤20 时恒建立 .（1）x＝0 时， a 为一确实数；x（2）0＜x≤20 时，分别参数 a≥2， 0＜ x≤ 20 时恒建立，所以 a≥5，a 的最小值为 5.］三、解答题9.某种出口产品的关税税率为t，市场价钱x（单位：千元）与市场供给量p （单位：万件）之间近似知足关系式：p＝2（1－kt）（x－b）2，此中k，b均为常数 .当关税税率t＝75%时，若市场价钱为5千元，则市场供给量约为1万件；若市场价钱为 7千元，则市场供给量约为2万件 .（1）试确立 k，b的值 .（2）市场需求量 q（单位：万件）与市场价钱x（单位：千元）近似知足关系式： q＝2－x，当 p＝ q时，市场价钱称为市场均衡价钱，当市场均衡价钱不超过 4千元时，试确立关税税率的最大值 .解得 b＝5， k＝ 1.6/12所以（ 1－t）（ x－ 5）2＝－ x? t＝1＋x＝1＋1.（ x－255） 2x＋x－1025而 f（x）＝ x＋x在（ 0,4］上单一递减，41所以当 x＝4 时， f（x）有最小值4，故当 x＝ 4 时，关税税率的最大值为500%.10.某厂有一个容量 300吨的水塔，每日从早六点到晚十点供给生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量 W（吨）与时间 t （单位：小时，规定清晨六点时 t＝0）的函数关系为 W＝100 t ，水塔的进水量有 10级，第一级每小时进水 10吨，此后每提升一级，进水量增添10吨.若某天水塔原有水100吨，在供给同时翻开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水（即水塔中水不空），又不会使水溢出？［解］设水塔进水量选择第 n 级，在 t 时辰水塔中的水容量 y 等于水塔中的存水量 100 吨加进水量 10nt 吨，减去生活用水 10t 吨，再减去生产用水 W＝100 t 吨，即 y＝100＋10nt－10t－100t （0<t≤16） .若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则必定有0<y≤ 300，即 0<100＋10nt－ 10t－ 100t ≤ 300，10 102010所以－t＋t＋1<n≤t＋t＋1 对全部 t∈（ 0,16］恒建立 .101011277因为－t＋t＋1＝－ 10t－2＋2≤2，2010112119t＋t＋ 1＝ 20t＋4－4≥4.719所以2<n≤4，即 n＝4.即进水量应选择 4 级 .1.（20xx ·全国卷 Ⅱ ）20xx 年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上初次月球反面软着陆，我国航天事业获得又一重要成就 .实现月球反面软着陆需要解决的一个重点技术问题是地面与探测器的通信联系 .为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着环绕地月拉格朗日 L 2点的轨道运转 .L 2点是均衡点，位于地月连线的延伸线上 .设地球质量为 M 1，月球质量为 M 2，地月距离为 R ， L 2点到月球的距离M1M2为 r ，依据牛顿运动定律和万有引力定律， r 知足方程：（ R ＋ r ） 2＋ r2M1 r 因为 α的值很小，所以在近似计算中3α3＋3α4＋α 5＝（ R ＋r ）设 α＝ R .（1＋α） 2R3.3）≈ 3α，则 r 的近似值为（A. M2B. M2RRM12M1 C.3 3M2D.3 M2RRM13M1D ［由M1 M2M1 M1M2rM 1.因为 α＝（R ＋r ＋＝（ R ＋r ），得r 2＋ 2＝ 1＋R）2 r2R3 r1＋RRrM1 ＋ M23α3＋3α4＋α 5 M2，所以＝（ 1＋α）M 1 ，得＝ .由 R（1＋α） 2 α2（1＋α） 2 M1 3α3＋3α4＋α 5M2 r3M23 3≈（1＋α） 2≈3α，得3α≈，即 3R ，M1M1所以 r ≈ 3M2·，应选D. ］3M1R2.某汽车销售企业在 A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售收益（单位：万元）为 y 1 ＝4.1x －0.1x 2，在 B 地的销售收益（单位：万元）为 y 2＝2x ，此中 x 为销售量（单位：辆），若该企业在两地共销售 16辆该种品牌的汽车，则能获取的最大收益是（）万元B.11万元C.43万元万元C ［设企业在 A 地销售该品牌的汽车 x （0≤x ≤16 且 x ∈N ）辆，则在 B地销售该品牌的汽车（ 16－x ）辆，所以可得收益 y ＝ 4.1x －0.1x 2＋2（16－ x ）12121 2122＋＋2.1x ＋32＝－ x －210×＋32.＝－ 0.1x 10·4 因为 x ∈［ 0,16］且 x ∈N ，所以当 x ＝10 或 11 时，总收益获得最大值 43 万元 .］3.某工厂投资 100万元开发新产品，第一年赢利 10万元，从第二年开始每年赢利比上一年增添 20%.若从第 n 年开始，前 n 年赢利总和超出投入的 100万元，则n ＝.（参照数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈ 0.477 1）7 ［由从第 n 年开始，前 n 年赢利总和超出投入的 100 万元，得 10＋10×（ 1＋ 20%）1 ＋10×（1＋20%）2＋＋ 10（1＋20%） n － 1＞ 100，即10（1－1.2n ）lg 3 lg 30.477 1 1－ 1.2＞100，所以 n ＞lg 1.2＝2lg 2 ＋lg 3－1≈0.079 1 ≈6.即从第7 年开始，前 7 年赢利总和超出投入的 100 万元.］4.xx 大提出对乡村要坚持精确扶贫，至 2020年末全面脱贫 .现有扶贫工作组到某山区贫穷村实行脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫穷田户 100家，他们均从事水果栽种， 20xx 年末该村均匀每户年纯收入为 1万元 .扶贫工作组一方面请相关专家对水果进行品种改进，提升产量；另一方面，抽出部分田户从事水果包装、销售工作，其人数一定小于栽种的人数 .从20xx 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x ∈ Z,1≤x ≤9）从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果栽种的x田户的年纯收入每户均匀比上一年提升20，而从事包装、销售的田户的年纯收入每户均匀为13＝3≈3＝）－ x 万元（参照数据：4 1.11.331,1.151.521,1.21.728 .（1）至 2020年末，为使从事水果栽种的田户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1万6千元），起码要抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至 20xx年末，该村每户年均纯收入可否达到 1.35万元？若能，恳求出从事包装、销售的户数；若不可以，请说明原因 .x3（100－ 5x） 1＋20［解］（ 1）至 2020 年末，栽种户均匀收入＝100－5x≥1.6，3x即 1＋20≥1.6，即 x≥20（31.6 － 1） .由题中所给数据，知 1.15＜331.6 ＜1.2，所以 3＜20（ 1.6 －1）＜ 4.所以 x 的最小值为 4，此时 5x≥20，即起码要抽出20 户从事包装、销售工作 .（2）至 20xx 年末，假定该村每户年均纯收入能达到 1.35 万元 .每户的均匀收入为1x5x 3－4x ＋（ 100－5x） 1＋20≥ 1.35，化简得 3x2－30x＋ 70≤0.100因为 x∈ Z 且 1≤x≤9 ，所以 x∈ {4,5,6}.所以当从事包装、销售的户数达到20 至 30 户时，能达到，不然，不可以.1.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价钱挨次为60元/盒、 65元/盒、 80元 /盒、 90元/盒.为增添销量，李明对这四种水果进行促销：一次购置水果的总价达到120元，顾客就少付 x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会获取支付款的80%.①当 x＝10时，顾客一次购置草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单获取的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为.130 15 ［①一次购置草莓和西瓜各一盒需付款 140 元，若 x＝ 10，则超出120 元可少付 10 元，故顾客实质需要支付 130 元 .②设顾客一次购置水果促销前总价为 y 元.当 y＜120 时，不享受优惠，即 x＝ 0，此时 0.8y≥0.7y，知足要求 .1当 y≥120 时，享受优惠 x 元，则 0.8（y－x）≥ 0.7y，得 x≤8y 恒建立 .又1∵y≥120，∴8y≥ 15，∴ x≤15，即 x 的最大值为 15.］2.某种特点水果每年的上市时间从 4月1号开始仅能连续 5个月的时间 .上市早期价钱表现上升态势，中期价钱开始降落，后期价钱在原有价钱基础之上连续下跌 .现有三种价钱变化的模拟函数可供选择：①f（x）＝ p·q x；② f（x）＝ px2＋qx＋ 7；③ f（ x）＝ log q（x＋p）.此中 p，q均为常数且 q＞1.（注： x表示上市时间， f（ x）表示价钱，记 x＝0表示 4月1号， x＝ 1表示 5月1号，，以此类推 x∈［0,5］）（1）在上述三个价钱模拟函数中，哪一个更能表现该种水果的价钱变化态势，请你选择，并简要说明原因；（2）对（ 1）中所选的函数 f（x），若 f（ 2）＝ 11，f（3）＝ 10，记 g（x）f （ x）－ 2x－ 13＝，经过多年的统计发现，当函数g（x）获得最大值时，拓展x＋1外销市场的成效最为显然，请展望明年拓展外销市场的时间是几月1号？［解］（ 1）依据题意，该种水果价钱变化趋向是先单一递加后向来单一递减，基本切合张口向下的二次函数变化趋向，故应当选择②f（x）＝ px2＋ qx＋7.（2）由 f（ 2）＝ 11，f（3）＝ 10 解得 f（ x）＝－ x2＋4x＋7.g（x）＝ f （x）－ 2x－13＝－ x2－2x＋ 6x＋1x＋1当且仅当 x＋1＝3，即 x＝2 时等号建立 .所以明年拓展外销的时间应为6月 1号.。

2019年高考数学(理)：专题06-函数与方程﹑函数模型及其应用(命题猜想)(含答案和解析)

【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.f x的单调性；（1）讨论()f x有两个零点，求a的取值范围.（2）若()0,1.【答案】（1）见解析；（2）()（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知， ()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即.又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≤a ，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x 3（x≤a ），h （x ）＝x 2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x 2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a 3>a 2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）. 【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x 2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套． (1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝m x －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x 3－56x 2＋240x －278（2<x<6），从而f′（x ）＝12x 2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝⎛⎭⎫103，6上，f′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. （1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.（2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x 2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

高中数学必修1课后限时训练28 函数模型的应用实例

高中数学必修1课后限时训练28 函数模型的应用实例题组1：基础夯实一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系图象如图，则t ＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km 答案：C解析：t ＝2时，汽车行驶的路程为：s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150 km ，故选C. 2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ＜10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x ＜100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130 答案：C解析：令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意：若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C.3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．20736亩 D ．17280亩答案：D解析：设年份为x ，造林亩数为y ，则y ＝10000×(1＋20%)x －1，∴x ＝4时，y ＝17280，故选D.4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好答案：B解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元．由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )．上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. ∴当x ＝42时，利润最大，故选B. 5t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2答案：C 解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B 项，故选C.6．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是( )答案：C解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A ；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B ；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.二、填空题7．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x ，则求两次降价的百分率列出的方程为________．答案：100(1－x )2＝81解析：因为两次降价的百分率相同，故列出的方程为100(1－x )2＝81.8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．答案：4解析：设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150(1)与上市时间t 的变化关系． Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解析：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c得到，⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)当t ＝－－322×(1200)＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋4252＝100 (元/102kg)．10．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析：(1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元，x ≥0，所获利润分别为f (x )万元、g (x )万元．由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)． g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6.∴总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.∴当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.∴当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题组2：能力提升一、选择题1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么( )A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米答案：D解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t－6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7，故选D.2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2008年年底我国人均GDP 为22640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2020年年底我国人均GDP 为( )A ．22640×1.0912元B ．22640×1.0913元C ．22640×(1＋0.0912)元D ．22640×(1＋0.0913)元答案：A解析：由于2008年年底人均GDP 为22640元，由2008年年底到2020年年底共12年，故2020年年底我国人均GDP 为22640×1.0912元．3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 答案：D解析：由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16.4．一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )答案：D解析：水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D.二、填空题5．某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N ＝N 0e －λt ，其中N 0，λ是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数N 表示时间t 为________．答案：t ＝－1λln NN 0解析：N ＝N 0e －λt ⇒N N 0＝e －λt ⇒－λt ＝ln N N 0⇒t ＝－1λln N N 0.6．如下图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通适2分钟，需付电话费________元； (2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________．答案：(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)解析：(1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．三、解答题 7．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈0.3010.解析：设工业废气在未处理前为a ，经过x 次处理后变为y ，则y ＝a (1－20%)x ＝a (80%)x .由题意得ya＝5%，即(80%)x ＝5%，两边同时取以10为底的对数得x lg0.8＝lg0.05，即x ＝lg0.05lg0.8≈13.4.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%. 8．2015年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式； (2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第八个月公司所获利润是多少万元？解析：(1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0；∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t .(2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ，解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元． (3)第八个月公司所获利润为12×82－2×8－12×72＋2×7＝5.5， ∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。

高考数学总复习 28函数与方程、函数模型及其应用课件新人教A版

第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝
1 2
(a1＋b1)，重复第
二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间
(an，bn)中．
第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(an， bn)内的任何一个值精确到ε就是方程f(x)＝0的一个近似根．
注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
答案：3
(理)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋ x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b
解析：由于f(－1)＝
1 2
－1＝－
1 2
<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x
＋x的零点a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h
D．(12，34)
解析：y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)<0.
依次验证选项．f
－14
＝
1
1
e4
－4<0，f(0)＝－2<0，A错，
f14＝e14 －2<0，B错．f12＝e21 －1>0，选C.
答案：C
(理)(2011·北京门头沟一模)设函数f(x)＝
1 3
x－lnx(x＞0)则y
＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x)( )
A．在区间(0,1)，(1，＋∞)内均有零点
B．在区间(0,1), (1，＋∞)内均无零点
C．在区间(0,1)内有零点；在区间(1，＋∞)内无零点
D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1，＋∞)内有零点

高考数学函数模型及其应用

1、常见函数模型：(1)一次函数模型: ;
(2)二次函数模型: ;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。

(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。

(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。

高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例优化练习新人教A版必修120180731467

从字里行间,可以了解到“我” 是个怎样的人?
从“清早”“一……就”“赶紧”“往……跑”等词句,看出,“我” 是个爱花的人,非常善于观察,热爱自然, 热爱生活。
三年级语文下册pp t-3 荷花 32-优秀课件 -部编版(共6 2页)
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三年级语文下册pp t-3 荷花 32-优秀课件 -部编版(共6 2页)
字意：
①跟着。顺从，任凭。 ③顺便，就着。 ④像。
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组词：造句：
跟随随后随意
我常常跟随奶奶到附近的公园中散步。
随便
三年级语文下册pp t-3 荷花 32-优秀课件 -部编版(共6 2页) 三年级语文下册pp t-3 荷花 32-优秀课件 -部编版(共6 2页)
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整体感知
课文主要写了什么内容?
夏日的清晨去公园赏荷花。
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6
字意：
①效法。 ②照范本写的字。 ③像；似。
组词：造句：
仿造模仿仿佛
老师让我们仿照黑板上的图画一
仿照幅画。
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高考数学函数模型及其应用课后作业文新人教A版

课后作业（十二) 函数模型及其应用一、选择题1．(20１３·湖北五市统考）某个体企业的一个车间有8名工人,以往每人年薪为１万元,从今年起,计划每人的年薪都比上一年增加２0%,另外,每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为８千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额ｙ(万元)表示成n的函数，则其表达式为（ )A．y＝(3n+5)1.2ｎ+2.4B．y＝8×1.2ｎ＋2.4ｎC.y=(３n+8)１.2n＋2.4D.ｙ=(3n+５)1.２ｎ－１＋2．4图2－９－42.（２013·温州模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元,B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费ｓ(元)的函数关系如图2-9-4，当打出电话15０分钟时,这两种方式电话费相差（)A．10元Ｂ．２０元ﻩ C．30元ﻩＤ.错误!元3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位:万元）分别为Ｌ1＝５.06ｘ-0．１5x２和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ )Ａ.45.60６万元ﻩ B.45．6万元Ｃ．4５.56万元ﻩＤ．４5.51万元图2－9-54．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图２－9-5，为降低消耗,开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长ｘ、y应为（）A.ｘ=15,ｙ＝12B.ｘ=12，ｙ＝15C．x＝14,y=10D.x=10，y=1４5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图2－9－6甲、乙所示．某天0点到６点,该水池的蓄水量如图2－９－6丙所示(至少打开一个水口).图2-9-６给出以下3个论断:①０点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的是（ )Ａ.①ﻩB．①②ﻩﻩC．①③ﻩD．①②③6.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f（n)＝k(ｎ)（ｎ-１0）,n>10（其中ｎ是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n）的单位为元),而k（n)=错误!现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分２１分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A.6０0元Ｂ.9０0元ﻩC．1 60０元 D．１７00元二、填空题７.(2０1３·宁波模拟)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时)高峰电价(单位：元／千瓦时)5０及以下的部分0.56８超过5０至2００的部分０．5９8 超过20０的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位:元/千瓦时）5０及以下的部分0.２88超过50至２０0的部分０.３18超过２00的部分０.３８8若某家庭5100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______＿_元（用数字作答)．8．(2013·长春模拟)一个容器装有细沙aｃm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,ｔｍｉn后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3）,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过_＿_＿____min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.9．(２01３·武汉模拟）在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息:时间油耗（升/100公里)可继续行驶距离(公里)1０∶009.５3０01１∶009.6220 注:油耗＝错误!,可继续行驶距离＝错误!平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在１0∶00-1１∶00这一小时内________(填上所有正确判断的序号）①行驶了80公里;②行驶不足80公里;③平均油耗超过9.6升／1０0公里;④平均油耗恰为9.６升/100公里；⑤平均车速超过８0公里／小时.三、解答题10．(2013·广州模拟)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元)，它们与投资额ｔ(亿元)的关系有经验公式P＝错误!错误!，Q＝错误!t,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资ｘ(亿元),投资这两个项目所获得的总利润为ｙ(亿元).求：(1)y关于ｘ的函数表达式;(2)总利润的最大值．图２－9-７11.(201３·日照模拟)据气象中心观察和预测:发生于Ｍ地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(kｍ/h)与时间t（ｈ）的函数图象如图２-9－７所示，过线段ＯＣ上一点T（ｔ，0)作横轴的垂线ｌ,梯形OAＢC在直线l左侧部分的面积即为ｔ(ｈ)内沙尘暴所经过的路程s（km).（１)当ｔ＝4时，求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(３)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.图2－9-8１2.(２01３·长沙模拟)如图2-９－8，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v（v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与｜v－ｃ|×S成正比,比例系数为错误!;②其他面的淋雨量之和,其值为错误!.记y为Ｅ移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=1００,面积S=错误!时，(1)写出y的表达式;(2）设0<ｖ≤10,0<c≤5，试根据c的不同取值范围,确定移动速度ｖ，使总淋雨量y 最少.解析及答案一、选择题1.【解析】第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3=９.6+2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说,当n＝１时,C、D相对应的函数值均不为12,故可排除C、D,A、Ｂ相对应的函数值都为12,再考虑第2年企业付给工人的工资总额及Ａ、B相对应的函数值,又可排除Ｂ,故选A.【答案】Ａ2．【解析】依题意可设sＡ（ｔ)=2０＋kt，sＢ(ｔ）＝mt，又s A(100)＝s B(100),∴100k+20＝10０m，得k-m=-０.2，于是s A(１５０）－sＢ(15０)＝20＋１50k-150m=２０＋１50×（－０.２)=－10,即两种方式电话费相差１0元,选A.【答案】 A3．【解析】设该公司在甲地销售ｘ辆，则在乙地销售（15-ｘ)辆,利润为L(x)=5.０6ｘ－0.15x2＋２(15-x）=－０.15x2＋3.06ｘ＋30=－0.15（x－错误!)２+0．1５×错误!＋３0,由于x为整数,所以当x＝1０时，L(x)取最大值L（1０)＝4５.6，即能获得的最大利润为4５.6万元．故选B.【答案】 B４.【解析】由三角形相似得错误!=错误!,得x =错误!(2４－y )，∴S ＝ｘy =-＼f (5,４)(y -１2)2＋１8０,∴当y =12时,S 有最大值,此时ｘ＝15. 【答案】 A 5．【解析】由丙图知0点到３点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水,故①正确. 由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水１个出水，故②错误. 由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水,故③错误．【答案】Ａ 6．【解析】ｋ（18）=2０0(元），∴f （１8)＝２０0×（18－10)＝1 ６00(元).又∵k （21)＝3００(元),∴f (21）=３0０×(21－１0)=３ 300(元)，∴ｆ（21)-ｆ(18)=3 30０-1 600=1 7０0(元).故选Ｄ.【答案】 D 二、填空题7.【解析】高峰时间段200千瓦时的用电电费为:50×0.568＋１５0×0.598＝118．1(元）；低谷时间段100千瓦时的用电电费为:50×0.28８+５０×0.318＝30.3（元)，合计：１４８．４元.【答案】 148．48.【解析】当ｔ=0时,y =a ，当t ＝8时，y ＝a e －8ｂ＝错误!ａ,∴e －８ｂ＝错误!, 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y =a e -bt＝＼f (1,８)a ， e -bt =＼f (1,8）=(e －８b )3=ｅ-2４ｂ, 则t ＝２４,所以再经过16 ｍｉn. 【答案】 16 9．【解析】实际用油为7.38,行驶距离为错误!×１０0=76．87５,所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离,ΔS 为一个小时内已行的距离,错误!得L +ΔL ＝9.6S ＋9.６ΔS ,9.5S +ΔL =9.6Ｓ＋９.６ΔS ，ΔＬ＝0．１Ｓ+9.6ΔS ,＼f (ΔＬ，ΔS )＝＼f (0.1S ，ΔS ）＋9．6>９.６.所以③正确,④错误．⑤由②知错误．【答案】 ②③ 三、解答题10.【解】（１)根据题意，得y =＼f (1,4）＼r （2x )+错误!（５－x ）,x ∈［0,5]． (2)令t =错误!，ｔ∈[０,错误!],则ｘ＝错误!.y =-错误!t ２+错误!t ＋错误!=-错误!(t －2）2＋错误!.因为2∈[0,１０]，所以当2x =２时,即x ＝2时，ｙ最大值=０.875．答:总利润的最大值是0.875亿元． 1１．【解】 (1)由图象可知：当t =4时,ｖ＝3×4=12, ∴s ＝错误!×4×12＝２4.(2)当０≤t ≤１０时,s =＼f (1,2)·ｔ·3t ＝错误!t 2,当1０<ｔ≤20时，s =＼f （1,2）×10×30＋30(t -１0)=3０t -1５０；当２0<t ≤３5时,s =１２×1０×3０+1０×30＋(t －20)×30-错误!×(t -２0)×2（ｔ－20)=－t 2＋70ｔ－550.综上，可知ｓ＝错误!(３)∵ｔ∈[０,１0]时,s max＝错误!×10２=150＜65０，t∈（1０，２０]时,s maｘ=30×2０－150＝450<6５0, ∴当ｔ∈(20，3５]时，令－t２＋７0t－５50=650.解得t1=3０，t２＝４0.∵2０<t≤３5,∴t=3０.∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.12．【解】(1）由题意知，E移动时，单位时间内的淋雨量为32０|ｖ－ｃ｜+错误!，故y＝＼f(１0０，ｖ)(＼f(3,２0）|ｖ－c｜+错误!)＝错误!(3|ｖ-c｜＋10）．(2)由（1）知,当0＜v≤c时,ｙ=＼f(5,v)（3c-3v＋1０)=＼ｆ（5（3c+10）,v)－15当c<v≤10时,y＝错误!(3ｖ－3c＋1０)=错误!+15故y=错误!(ⅰ)当0＜c≤错误!时，y是关于v的减函数,故当v=10时,y mｉｎ=20－错误!（ⅱ）当错误!＜c≤5时，在(０,c]上，ｙ是关于v的减函数;在(c，10］上，y是关于v的增函数．故当v=ｃ时,y min=错误!,总淋雨量最少．。

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高考数学课后作业 28 函数与方程、函数模型及其应用1.(2011·湘潭调研)下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0.A 、B 选项中不存在f (x )<0，D 选项中零点两侧函数值同号，故选C.2．(文)若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定 [答案] D[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f (－2)·f (2)<0，故由条件不能确定f (－2)·f (2)的值的符号．(理)(2011·北京东城一模)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1) D ．(1,2)[答案] B[解析] f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13<0，∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线，∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．3．(文)(2011·杭州模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵ln e ＝1，e <3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2010·吉林市质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．4．(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1 [答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x＝0，因为2x恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.5．(2010·山东滨州)偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] B[解析] ∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2个．故选B.6．(文)(2010·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为( )(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元B．1200元C．1400元D．1500元[答案] D[解析] 注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5×300＝1500.[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．(理)(2010·济南一中)如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6：2：3：4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A．P点B．Q点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×4＋2a ×3＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，f (1)·f (2)<0.则函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点个数是________．[答案] 2[解析] 由已知可知，在[0，＋∞)上存在惟一x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x ′0∈(－2，－1)，使f (x ′0)＝0，且x ′0＝－x 0.故函数的图象与x 轴有2个交点．8.(2010·浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立．9．(文)(2010·揭阳市模拟)某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1y 3≥y 2y 3≥y 4d <200⇒50≤d <200，故n ＝50.(理)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.[答案] －8[解析] 解法1：由已知，定义在R 上的奇函数f (x )图象一定过原点，又f (x )在区间[0,2]上为增函数，所以方程f (x )＝m (m >0)在区间[0,2]上有且只有一个根，不妨设为x 1；∵f (x 1)＝－f (－x 1)＝－[－f (－x 1＋4)]＝f (－x 1＋4)，∴－x 1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x 2，∴x 1＋x 2＝4.又∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴f (x )是周期为8的周期函数， ∴f (x 1－8)＝f (x 1)＝m ，不妨将此根记为x 3，且x 3＝x 1－8∈[－8，－6]；同理可知x 4＝x 2－8∈[－6，－4]， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋x 2＋x 1－8＋x 2－8＝－8. 解法2：∵f (x )为奇函数，且f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －4)＝f (－x )，以2－x 代入x 得：f (－2－x )＝f (－2＋x )∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，又f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2也对称．又f (x －8)＝f ((x －4)－4)＝－f (x －4)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8.又在R 上的奇函数f (x )有f (0)＝0，f (x )在[0,2]上为增函数，方程f (x )＝m ，在[－8,8]上有四个不同的根x 1、x 2、x 3、x 4.∴必在[－2,2]上有一实根，不妨设为x 1，∵m >0，∴0≤x 1≤2，∴四根中一对关于直线x ＝2对称一对关于直线x ＝－6对称，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2×2＋2×(－6)＝－8.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N)200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N)，即37.5t ≤P ≤40t .又140t 3>40t ，即W >P ，所以使用液化气比使用汽油省钱．(2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5，又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546.②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x之A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 [答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．12．(文)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0；当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f (x )共有3个零点．(理)(2010·瑞安中学)函数f (x )在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x )在(－2,2)内有零点( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．至少3个[答案] D[解析] f ′(x )的零点，即f (x )的极值点，由图可知f (x )在(－2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f (x )在(－2，2)内有三个零点，故选D.13．(2010·安徽江南十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x －1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e－xe x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定 [答案] B [解析]分别作出y ＝2x与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x的图象在y ＝log 12 x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)(2010·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n－2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x－1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；…∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ，故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为 1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594＝2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(吨)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2. 将t ＝(1000s)2代入上式，得v ＝10002s －2×10003s4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．1．(2010·江苏南通九校)若a >1，设函数f (x )＝a x＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n的取值范围是( )A ．(3.5，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(4.5，＋∞) [答案] B[分析] 欲求1m ＋1n的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m 、n 之间的关系，观察f (x )与g (x )的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标，因为指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 互为反函数，故其图象关于直线y ＝x 对称，又因直线y ＝－x ＋4垂直于直线y ＝x ，指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋4的交点的横坐标之和是直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m ，n 的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．[解析] 令a x＋x －4＝0得a x＝－x ＋4，令log a x ＋x －4＝0得log a x ＝－x ＋4，在同一坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝log a x ，y ＝－x ＋4的图象，结合图形可知，n ＋m 为直线y ＝x 与y ＝－x ＋4的交点的横坐标的2倍，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－x ＋4，解得x ＝2，所以n ＋m ＝4，因为(n ＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1m ＝1＋1＋m n ＋n m≥4，又n ≠m ，故(n ＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1m >4，则1n ＋1m>1.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0) [答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m 2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )[答案] C[解析] A 、B 、D 的面积都是随着t 的增大而增长的速度越来越快，到t ＝a2时，增长的速度又减慢，而C 图则从t ＝a2开始匀速增大与f (t )不符．5．(2010·天津市南开区模考)已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58 C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.7．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) [答案] B[解析] 令g (x )＝x 3－22－x，可求得g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0.易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．8．(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或1 ∵x ≤0，∴x ＝－3，令－2＋ln x ＝0得，ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．9．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a16－x ≥4得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x )(a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值U ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.10．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0.①有三个实根②当x <－1时，恰有一实根 ③当－1<x <0时，恰有一实根 ④当0<x <1时，恰有一实根 ⑤当x >1时，恰有一实根正确的有________． [答案] ①②[解析] ∵f (－2)＝－5.99<0，f (－1)＝0.01>0，即f (－2)·f (－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确．又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．。