上海市向明中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案
上海市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷C卷
上海市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，且，则tanα的值为（）A . -B .C .D . -2. （2分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（）A . ﹣6（1﹣3﹣10）B .C . 3（1﹣3﹣10）D . 3（1+3﹣10）3. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在中，，，，则B等于（）A . 或B .C .D . 以上答案都不对4. （2分） (2017高一下·定西期中) 设f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值为（）A . 0B . 1C . ﹣1D .5. （2分） (2016高一下·宜昌期中) 2005是数列7，13，19，25，31，…，中的第（）项．A . 332B . 333C . 334D . 3356. （2分） (2017高一下·正定期末) 已知，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·连城开学考) 已知等差数列{an}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，记Sn=a1+a2+…+a n ，则S13=（）A . 78B . 152C . 156D . 1688. （2分） (2016高二上·福州期中) △ABC中，a=x，b=2，∠B=60°，则当△ABC有两个解时，x的取值范围是（）A . x＞B . x＜2或x＞C . x＜2D . 2＜x＜9. （2分）已知函数f（x）=cosx，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则下列不等式一定成立的是（）A . f（sinA）≤f（cosB）B . f（sinA）≥f（cosB）C . f（sinA）≥f（sinB）D . f（cosA）≤f（cosB）10. （2分）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，0）∪（1，+∞）C . [3，+∞）D . （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）11. （2分）设数列是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣1，且关于x方程f2（x）+af（x）﹣2=0有且只有三个实数根，则实数a的值为（）A . 1B . -1C . 0D . 2二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2019高二上·会宁期中) 在中,角所对的边分别为若则边 ________；14. （1分）(2018·杭州模拟) 设各项均为正数的等比数列中,若 , 则公比 =________15. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则此双曲线的渐近线方程为________.16. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 数列{an}是首项为1的实数等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若28S3=S6 ，则数列{ }的前四项的和为________．三、解答题 (共6题；共37分)17. （10分）已知 =k（0＜α＜）．试用k表示sinα﹣cosα的值．18. （5分） (2019高二上·遵义期中) 已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．19. （5分）①用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°；②已知，试用分析法证明：20. （10分） (2019高一上·绵阳期中) 已知函数是二次函数，且满足；函数 .（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.21. （2分） (2017高一下·晋中期末) 为了测量山顶M的海拔高度，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M在同一个铅垂面内（如图）．能够测量的数据有俯角、飞机的高度和A，B两点间的距离．请你设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算山顶M海拔高度的步骤．22. （5分）(2017高二下·吉林期末) 数列首项，前项和与之间满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共37分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
上海市新中高中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
上海市新中高中2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα（1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。
上海市高一数学下学期期中考试试卷含答案
上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= .3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= .8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 .10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2x f x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题 13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cosC. 2cos -D.21cos- 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使x a 、x b 、xc 不能构成一个三角形的三条边②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③ 三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由； （2）若()1()2x g x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a b a b =--++， 而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾， 所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x =2. 35±3.2:34. 二5. 12-6. 39.3π 10.34π 11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==-- 18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP(2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874t t t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数” （2）1()()02x g x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥ （3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->，∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ， ∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16。
2019-2020学年上海市向明中学高一下学期期中数学试题(解析版)
物理高一优质课力学知识的学习与应用在高中物理学习中，力学是一个重要的知识点，它是解释物体运动和力的关系的学科。
力学的学习对于高一学生来说是至关重要的，因为它奠定了物理学习的基础，同时也与我们日常生活息息相关。
本文将就高一力学知识的学习与应用进行探讨。
一、学习力学的重要性学习力学对高一学生来说有多重要呢？首先，力学是物理学的基础，在后续的学习中会有更多的内容和知识与力学相关，如动力学、静力学等。
如果没有扎实的力学基础，将会给后续学习带来很大的困难。
其次，力学能帮助我们理解和解释周围物体的运动规律，从而对我们日常生活中的各种现象产生更深入的认识。
最后，学习力学可以培养我们的分析和解决问题的能力，这对我们未来的科学研究和工程应用都具有重要意义。
二、力学知识的学习方法1. 理论学习：力学知识的学习首先要通过理论的学习来掌握基本概念和公式。
高一学生可以通过课堂教学、课本阅读等途径进行理论学习。
在理论学习中，要注重理解和记忆概念，并能够灵活运用相关的公式进行问题求解。
2. 实践操作：理论学习只是对力学知识的基本掌握，要想更深入地了解和应用力学知识，需要通过实践操作来加深理解。
高一学生可以通过参加实验课、做力学实验或进行实践性探究等方式进行实践操作。
通过实践操作，可以更加直观地感受到力学知识的应用和实际意义。
三、力学知识的应用力学知识在我们的日常生活中有着广泛的应用，下面举几个例子来说明。
1. 计算机机械设计：在计算机机械设计中，力学知识是不可或缺的。
通过对力学知识的应用，可以提高机器的运行效率和安全性，同时减少故障和损坏的概率，从而提高机器的可靠性。
2. 车辆工程：在车辆工程中，力学知识的应用同样至关重要。
通过对力学知识的应用，可以优化车辆的悬挂系统，提高车辆的稳定性和乘坐舒适性。
同时，力学知识也可以用于车辆的碰撞安全设计，减少事故发生时的伤害。
3. 建筑工程：在建筑工程领域，力学知识的应用也是不可或缺的。
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
上海市向明中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
向明中学高一期中数学试卷一.填空题1.求值：cos(arcsin0)=________ 【答案】1 【解析】 【分析】利用三角函数运算法则计算得到答案. 【详解】arcsin00=，故cos(arcsin0)1=. 故答案为：1.【点睛】本题考查了三角运算，属于简单题.2.在等差数列{}n a 中，411a =-，68a =-，则8a =________ 【答案】5- 【解析】 【分析】直接利用等差数列性质得到答案.【详解】根据等差数列性质：4862+=a a a ，故864216115a a a =-=-+=-. 故答案为：5-.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，属于简单题. 3.函数tan()4y x π=-的单调递增区间为______ 【答案】3(,)44k k ππππ-+，k Z ∈ 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间 【详解】4y tan x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令242k x k πππππ-<-<+求得344k x k ππππ-<<+则函数4y tan x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为3,44k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 故答案为3,44k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了三角函数单调递增区间的求解，根据正切函数的性质是解决本题的关键．4.已知α是第四象限角，3cos 5α=，则tan2α=________ 【答案】247【解析】 【分析】根据同角三角函数关系得到4tan 3α=-，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】α是第四象限角，3cos 5α=，则4sin 5α===-， 故4sin 45tan 3cos 35ααα-===-，故22422tan 243tan 21tan 7413ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：247. 【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.已知1sin 3α=，[0,2]απ∈，则α=________（用反三角函数表示） 【答案】1arcsin 3或1arcsin 3π-【解析】 【分析】根据反三角函数知识，讨论0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦和,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况，计算得到答案.【详解】当0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，1sin 3α=，则1arcsin 3α=；当,2παπ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，1sin 3α=，则1arcsin 3απ=-.综上所述：1arcsin 3α=或1arcsin 3απ=-. 故答案为：1arcsin3或1arcsin 3π-. 【点睛】本题考查反三角函数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.6.函数()f x =________【答案】][2,2k k πππ-，k Z ∈ 【解析】 【分析】根据函数定义域得到sin 0x ≤，利用三角函数知识解得答案.【详解】函数()f x =sin 0x -≥，即sin 0x ≤，故,][22k k x πππ-∈，k Z ∈.故答案为：][2,2k k πππ-，k Z ∈.【点睛】本题考查了三角复合函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 7.函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4-- 【解析】 【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.8.已知是等差数列{}n a ，n S 表示前n 项和，371115a a a ++=，则13S =________ 【答案】65 【解析】 【分析】利用等差数列性质得到75a =，代入等差数列求和公式得到答案. 【详解】等差数列{}n a ，则37117315a a a a ++==，故75a =，()1131371313652a a S a +===.故答案为：65.【点睛】本题考查了等差数列性质，等差数列求和，意在考查学生对于等差数列知识的灵活运用.9.化简23cot()cos()sin(2)2tan()sec()(1cos )2πθθπθπθπθθ-⋅-⋅-=+⋅-⋅-________ 【答案】sin θ- 【解析】 分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案. 【详解】()()22223cot()cos()sin(2)tan cos sin sin 2sin 1cot sec sin tan()sec()(1cos )sin 2sin πθθπθθθθθθπθθθθπθθθθ-⋅-⋅-⋅⋅--===--⋅-⋅+⋅-⋅-⋅. 故答案为：sin θ-.【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知数列{}n a 的通项公式为12n nmn m a -+=（*n N ∈），若数列{}n a 是递减数列，则实数m 的取值范围是________【答案】[0,1) 【解析】 【分析】根据数列使递减数列得到210mn m -+-<恒成立，讨论0m >，0m =，0m <三种情况，计算得到答案. 【详解】数列{}n a 是递减数列，则()111111210222n n n n n m n m mn m mn m a a ++++-+-+-+--=-=<，即210mn m -+-<恒成立，设()21f n mn m =-+-，当0m >时，函数单调递减，只需满足()1210f m m =-+-<，即1m <； 当0m =时，()10f n =-<恒成立；当0m <时，n →+∞时，()f n →+∞，不满足. 综上所述：[)0,1m ∈. 故答案为：[0,1).【点睛】本题考查了根据数列的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.11.已知数列{}n a ，n ∏表示前n 项之积，13a =，21a =，11n n n a a a +-=⋅（2n ≥），则2011∏=________【答案】3 【解析】 【分析】根据递推公式计算数列值，得到数列以6为周期，得到答案. 【详解】11n n n a a a +-=⋅，13a =，21a =， 则313a =，413a =，51a =，63a =，73a =，81a =，913a =…故数列以6为周期，每个周期的积为：113113133⨯⨯⨯⨯⨯=，201163351=⨯+，故201113a ∏==.故答案为：3.【点睛】本题考查了数列求积，意在考查学生的计算能力，确定数列以6为周期是解题的关键.12.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{|,n S x x b ==*}n N ∈，若12a π=，集合S 中恰好有两个元素，则d =________【答案】π或23π 【解析】 【分析】计算11b =，2cos 1b d =≠，讨论31b =和3cos b d =两种情况，计算得到d 的值，再验证得到答案.【详解】根据题意：()11sin sin12b a π===，()21sin sin cos 2b a d d d π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， (0,]d π∈，故2cos 1b d =≠，3sin 2cos 22b d d π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，当3cos 21b d ==时，(0,]d π∈，故d π=；当3cos 2cos b d d ==时，即22cos cos 10d d --=，解得cos 1d =（舍去）或1cos 2d =-， (0,]d π∈，故23d π=. ()()()sin sin 1cos 12n n b a n d n d π⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭，当d π=时，()cos 1n b n π=-⎡⎤⎣⎦，此时{}{}*|,0,1n S x x b n N ==∈=，满足条件； 当23d π=时，()2cos 13n b n π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，此时{}*1|,1,2n S x x b n N ⎧⎫==∈=-⎨⎬⎩⎭，满足条件. 综上所述：d π=或23d π=.故答案为：π或23π. 【点睛】本题考查了根据三角函数的值域求参数，等差数列，集合的元素，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二.选择题 13.“6k παπ=+（k Z ∈）”是“1cos22α=”的（ ） A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】当6k παπ=+，k Z ∈时，223k παπ=+，k Z ∈，则21cos 2cos 23k αππ⎛⎫+ ⎪⎭==⎝；当1cos22α=时，取6πα=-时成立，,66k k Z ππααπ⎧⎫-∉=+∈⎨⎬⎩⎭. 故“6k παπ=+（k Z ∈）”是“1cos22α=”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 14.函数)4y x π=-的图像可以由)4y x π=+的图像（ ）个单位得到.A. 向左平移2π B. 向右平移2πC. 向左平移4π D. 向右平移4π 【答案】D 【解析】 【分析】 由22()444x x πππ-=-+，可以确定函数图象之间的变换，即可求解. 【详解】因为))]444y x x πππ=-=-+，所以只需由)4y x π=+的图像向右平移4π个单位得到.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变换方式，属于容易题.15.当函数()3cos 4sin f x x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A.43B. 43-C.34D. 34-【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角θ将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的θ与x 的关系，从而求得sin x ，cos x ，可得结果.【详解】因为函数()3y 3cos 4sin 5cos sin 5sin 554x x x x x θ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，其中3sin 5θ=，4cos 5θ=，当2x πθ-=时，函数()3cos 4sin f x x x =-取得最大值，此时 2x πθ=-，∴4sin sin cos 25x πθθ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，cos cos =sin 253x πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴4tan 3x =-故选：B.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.16.实数a 、b 满足0a b <<，按顺序a 、2a b+、b 可以构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B【解析】【分析】由实数a 、b 满足0a b <<，根据等差数列的定义和等比数列的定义，分析a 、2a b+、b 、a b ，的值，即可得答案．【详解】数a b 、满足0a b <<， 2a bb a +>>> 2a ba b +=+，得b a -.于是3a b ＜. 22496ab b ab a =-+得9a b =，或a b =（舍）当9a b =时这四个数为3,,5,9b b b b -成等差数列． 0a ＜， 02a bb +⋅>，不可能相等，故仍无法构成等比数列. 故选:B.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键． 三. 解答题17.已知tan 3α=，求值：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）2221sin cos 34αα+.【答案】（1）57；（2）58. 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 3α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2432553tan 5337αα-⨯-===++⨯；（2）由22222222212121sin cos tan 9215343434sin cos ==34sin cos tan 1918αααααααα++⨯++==+++. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（x ∈R ）. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在区间[0,]2π上的最大值与最小值.【答案】（1）T π=，5[,]36k k ππππ++，k ∈Z ；（2）max ()2f x =，min ()1f x =-. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式得到，()2sin(2-)6f x x π=,根据正弦函数图象的性质进行解答；（2）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【详解】(1)2()cos 2cos 12cos22sin(2)6f x x x x x x x π==-+=-=-()f x ∴的最小正周期为T π=,令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈, 解得536k x k ππππ+≤≤+所以()f x 单调减区间5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则52--,666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 1-sin(2-)126x π∴≤≤，-12sin(2-)26x π∴≤≤，故()f x 的最大值为2,最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．19.已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，3n n S a =+（a ∈R ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请讨论a 的值说明，数列{}n a 是否为等比数列？若是，请证明，若不是，请说明理由.【答案】（1）13,123,2n n a n a n -+=⎧=⎨⋅≥⎩；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式； （2）对a 分1a =-和1a ≠-两种情况讨论，利用等比数列的判定条件进行证明即可.【详解】（1）由已知得，当1n =时，113a S a ==+；当2n ≥时，1113323n n n n n n S S a ----==-=⋅，所以，13,123,2n n a n a n -+=⎧=⎨⋅≥⎩； （2）由（1）得，当1a =-时，12a =满足123n n a -=⋅，且1123323n n n n a a +-⋅==⋅， 此时，数列{}n a 为等比数列； 当1a ≠-时，数列{}n a 的首项13a a =+，3214a a a a ≠，不满足等比数列的判定条件，所以，数列{}n a 不是等比数列.综上所述，当1a =-时，数列{}n a 是等比数列；当1a ≠-时，数列{}n a 不是等比数列.【点睛】本题考查数列的通项求解，以及等比数列判定条件的使用，属于基础题.20.某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径是80m ，矩形AGHM 就是拟建的健身室，其中G 、M 分别在AB 和AD 上，H 在EF 上，设矩形AGHM 的面积为S ，HCF θ∠=.（1）将S 表示为θ的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H 在EF 何处？【答案】（1）400[2520(sin cos )16sin cos ]S θθθθ=-++，[0,]2πθ∈；（2）最大面积为22000m ，此时点H 在EF 的端点E 或F 处时．【解析】【分析】（1）延长GH 交CD 于N ，则80sin NH θ=，80cos CN θ=，由此可求出答案；（2）令sin cos 2sin()4t πθθθ=+=+，则21sin cos 2t θθ-=，1,2t ⎡⎤∈⎣⎦，化简函数并利用二次函数求出最值．【详解】解：（1）延长GH 交CD 于N ，则80sin NH θ=，80cos CN θ=，10080cos HM ND θ∴==-，10080sin AM θ=-，∴(10080cos )(10080sin )S θθ=--400[2520(sin cos )16sin cos ]θθθθ=-++，02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；（2）令sin cos )4t πθθθ=+=+， 则21sin cos 2t θθ-=，t ⎡∈⎣， 2400[25208(1)]S t t ∴=-+-253200()18004t =-+， ∴当1t =)14πθ+=时，S 取得最大值2000，∴sin()42πθ+=，3444πππθ≤+≤， ∴44ππθ+=，或344ππθ+=， 即02πθθ==或，∴当点H 在EF 的端点E 或F 处时，该健身室的面积最大，最大面积为22000m ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查二倍角公式的应用，属于中档题．21.已知{}n a 是等差数列，11a =，{}n b 是等比数列，n n n c a b =+，13c =，28c =，315c =.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）若n n na n db n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数，求当n 是偶数时，数列{}n d 的前n 项和n T ； （3）若n e =，是否存在实数a 使得不等式1sin cos 2n e a x x <-++对任意的*n ∈N ，x ∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数a ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）322nn c n =-+；（2）2+2342-443n n n n T -=+；（3）a >【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，由13c =得12b =，从而有212812215d q d q ++=⎧⎨++=⎩，解方程组即可求出答案；（2）由（1）可得322n n n n d n -⎧=⎨⎩是奇数是偶数，利用分组求和法即可求出答案； （3）由（1）得，2322n ne n -==，由邻项比较法可求得()4max 52n e e ==，由辅助角公式可求得11sin cos 2x x ≤++ 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，∵11a =，n n n c a b =+，13c =，∴111113c a b b =+=+=，得12b =，又28c =，315c =，∴212812215d q d q ++=⎧⎨++=⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， ∴()13132n a n n =+-=-，1222n n n b -=⨯=，∴322n n n n c a b n =+=-+；（2）由（1）可得322n n n n d n -⎧=⎨⎩是奇数是偶数， 当n 是偶数时，123n n d d d d T +++⋅⋅⋅+=()241272352n n =++++⋅⋅⋅+-+()()241735222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()2221352222212n n n +--⋅=+- 2+2342-443n n n -=+；（3）由（1）得，2322n ne n -==， 由122122323522323122n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨-+⎪≥⎪⎩，解得5833n +≤≤， ∵*n ∈N ，∴当4n =时，有()4max 10542n e e ===，∵sin cos 224x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭2⎡∈+⎣，∴11sin cos 2x x ≤=+++ 若不等式1sin cos 2n e a x x <-++对任意的*n ∈N ，x ∈R 恒成立， 则()max max 1sin cos 2n a e x x ⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭512=+=，∴存在实数a > 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，考查分组（并项）法求数列的和，考查恒成立问题，考查转化与化归思想，属于中档题．。
上海高一下学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分） 解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知7174tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值（2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分）已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π（1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里 （1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++= 3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ）A. tan ||y x =B. cos()y x =-C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6π B. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π 16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ） A. αβ> B. 0αβ+> C. αβ< D. 22αβ>三. 简答题17.求证：sin(2)sin2cos()sin sinαββαβαα+-+=.18.已知tan2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tanθ的值；（2）求22cos sin12sin()4θθπθ--+的值.19.写出函数222sin cosy x x x x=+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. 5-2. sin 2α 3. 23π 4. 直角 5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π 9. 10. 2 11. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题17. 略.18.（1）2； （2）3.19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.。
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。
9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。
上海中学2019学年第二学期期中考试高一数学试题含答案word版
上海中学期中考试（时间 90 分钟，满分 100 分）高一年级数学试卷2014年3月一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．若2013α=o，则与α具有相同终边的最小正角为 。
2. 已知扇形的圆心角为32π，半径为5，则扇形的面积为 。
3．已知角α的终边经过点()4,3P -，则=αcos 。
4. 函数(02)y x =≤≤π的定义域为 。
5．若22tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα 。
6．若)23,(ππα∈，化简：=+++αααα22cot 1sin tan 1cos 。
7.已知2-=αtan ，则sin(7)5cos(2)33sin()sin()2παπαπαα-+-+--= 。
8.在ABC ∆中,1tan tan <⋅B A ,则这个三角形的形状是 。
9．在ABC ∆中,已知,2,60a b A ===o ，则这样的三角形的有____ ___个。
10．在(0,2)π内，使cos sin tan x x x >>的成立的x 的取值范围是 。
11．凸函数的性质定理为：如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，则对D 内的任意n x x x ,,,21Λ，有n x f x f x f n )()()(21+++Λ12()nx x x f n+++≤L .函数x x f sin )(=在区间),0(π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值为 。
12．方程0cos 2=-x x 的解可视为函数x y cos =的图像与函数2x y =的图像的交点的横坐标，方程012sin102=+-xx x π的实数解的个数为 。
二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13．“23πα≠”是“tan α≠成立的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件。
2019年上海市向明中学高一下数学期中测试
2019年向明中学高一下期中一.填空题1.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数为2.已知点(sin ,cos )P αα在第二象限，则角α的终边在第象限3.将sin αα化成sin()A αϕ+（0A >）的形式，则最小正角ϕ=4.已知1cos 1sin 2θθ+=，则tan 2θ=5.设函数()cos 3f x x π=，x ∈Z ，则函数的值域为6.若函数()3sin(2)f x x θ=+为奇函数，则θ的取值组成的集合为7.函数cot 2y x =的最小正周期为8.函数tan(24y x π=-的单调递增区间为9.已知θ为锐角，则2219sin cos θθ+的最小值为10.已知tan 1α=，3sin sin(2)βαβ=+，则tan()αβ+=11.已知函数sin cos |sin cos |()22x x x x f x +-=+，对任意的x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列命题正确的是①若2ab c >，则3C π<；②若2a b c +>，则3C π<；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2a b c ab +<，则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<，则3C π>二.选择题13.下列关系式中正确的是（）A .sin11cos10sin168︒<︒<︒B .sin168sin11cos10︒<︒<︒C .sin11sin168cos10︒<︒<︒D .cos10sin168sin11︒<︒<︒14.“4παβ+=”是“(1tan )(1tan )2αβ++=”（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件15.设锐角△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1a =，2B A =，则b 的取值范围为（）A.B.C.2)D .(0,2)16.函数sin(4()sin cos |sin cos x f x x x x xπ-=⋅⋅-是（）A .周期为2π的偶函数B .周期为π的偶函数C .周期为2π的非奇非偶函数D .周期为π的非奇非偶函数三.解答题17.在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos a A b B =，判断△ABC 的形状.18.已知02πβ-<<，02πα<<，若1cos()7αβ-=，11cos 214α=-，求αβ+的值.19.求下列函数的值域.（1）2sec 2tan 1y x x =++，[,]34x ππ∈-；（2）sin cos sin cos y x x x x =++⋅20.在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin A C p B +=⋅，0p >，且214ac b =.（1）当54p =，1b =时，求a 、c 的值；（2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.21.如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB（1）若点A 的坐标为34(,)55，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）若△ABC 的面积为34，求锐角α的大小；（3）用锐角α表示||BC ，并求||BC 的取值范围.参考答案一.填空题1.4π-2.四3.53π 4.2 5.11{1,1,,}22--6.{|,}k k θθπ=∈Z 7.2π8.3(,)2828k k ππππ-+，k ∈Z 9.1610.211.34π12.①②③二.选择题13.C14.D 15.A 16.D 三.解答题17.等腰或直角三角形.18.3π.19.（1）[1,5]；（2）221[1,]2-.20.（1）1a =，14c =或14a =，1c =；（2）2.21.（1）4918；（2）3π；（3）(1,2.。
2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知点A（2，-1）在角α的终边上，则sinα=___ ．2.（填空题，3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题，3分）设扇形半径为2cm，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为___ ．4.（填空题，3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为___ ．5.（填空题，3分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= 13，则cos（α-β）=___ ．6.（填空题，3分）已知sin（x- π4）= 35，则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题，3分）设x，y∈（0，π），且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1，则x-y=___ ．8.（填空题，3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0，且a2-b2-c2=2，则△ABC的面积为___ ．9.（填空题，3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1，x2，则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题，3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题，3分）已知cosα=k，k∈R，α∈（π2，π），则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题，3分）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题，3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2），为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题，3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题，3分）已知α，β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|，下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞，0]上为增函数，在（0，+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数16.（单选题，3分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边的长，若a2+b2=2020c2，则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题，0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题，0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象，并写出f（x）的值域，最小正周期，对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题，0分）如图，矩形ABCD中，E，F两点分别在边AB，BC上，∠DEF=90°，设∠ADE=α，∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4)，且sin（3π4+x）= 513，cos（π4-y）= 45，求cos（x-y）的值．20.（问答题，0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π，∠ACD= π3，路宽AD=24米．设∠BAC=θ(π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题，0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6，求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下，设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)，其中λ＞0，ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心，试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知点A（2，-1）在角α的终边上，则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点，因为A（2，-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5，∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．2.（填空题，3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．3.（填空题，3分）设扇形半径为2cm，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm，圆心角α的弧度数为2，则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．4.（填空题，3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）= 12tanx的图象，可得A（0，0），B（π，0），令sinx= 12 tanx，解得C（π3，√32），所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力．5.（填空题，3分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= 13，则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13，cosα=-cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ= 13，cosα=-cosβ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= 13，cosβ=-cosα=- 2√23， ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 ，当α在第二象限时，cosα=-2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= 13 ，cosβ=-cosα= 2√23， ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α，β角的终边关于y 轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z ，∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79 ． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题6.（填空题，3分）已知sin （x- π4 ）= 35 ，则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925，从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35， ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925， ∴1-sin2x= 1825， ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦，考查诱导公式的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．7.（填空题，3分）设x，y∈（0，π），且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1，则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件，利用和差角公式，平方关系化简可得sin（x-y）=1，进而得到答案．【解答】：解：∵x，y∈（0，π），且-π＜x-y＜π，∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π），故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值，考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用，考查运算能力，属于基础题．8.（填空题，3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0，且a2-b2-c2=2，则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0，整理得：acosB+bcosA=-3ccosA，故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA，故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2，整理得bc=3，所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.（填空题，3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1，x2，则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题，作出两个函数的图象，可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1，x2，即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1，x2，也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点，横坐标分别为x1，x2，数形结合可知，x1+x22=π6，1−a∈[1，2)，∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，以及利用数形结合思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．10.（填空题，3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1]【解析】：根据题意，任取0＜α＜β＜π2，由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0，据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2，分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，任取0＜α＜β＜π2，若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减，则有f（α）-f（β）＞0，即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2，又由0＜α＜β＜π2，则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0，变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1，必有m≤1，即m的取值范围为（-∞，1]；故答案为（-∞，1]．【点评】：本题函数的单调性的性质，涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用，属于基础题11.（单选题，3分）已知cosα=k，k∈R，α∈（π2，π），则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．，π），【解答】：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（π2∴sinα= √1−cos2α = √1−k2，∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．12.（单选题，3分）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A，B中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题．13.（单选题，3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π），为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=cos2x的图象（）2A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象，可得A=1，14•2πω= π3- π12，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2× π12+φ= π2，∴φ= π3，故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位，可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象，故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.（单选题，3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0，π）上的单调递减区间，从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0，5π12）上单调递增，在（5π12，11π12）上单调递减，在（11π12，π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0，3π4）上单调递减，在（3π4，π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12，3π4）上单调递减，∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题，是中档题．15.（单选题，3分）已知α，β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|，下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞，0]上为增函数，在（0，+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α，β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ，cosβsinα的取值范围，再对x的值分类讨论，结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α，β为锐角且α+β＞π2，∴ π2＞α＞π2-β＞0，∴cosα＜cos（π2 -β），sinα＞sin（π2-β），即0＜cosα＜sinβ，sinα＞cosβ＞0，∴0＜cosαsinβ＜1，0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞，0]上，f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数，在（0，+∞）上，f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点，考查了三角函数的性质，属于基础题．16.（单选题，3分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边的长，若a2+b2=2020c2，则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边的长，若a2+b2=2020c2，所以a2+b2-c2=2019c2，则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB)，= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C，= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.（问答题，0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子，再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，要特别注意公式中的符号．18.（问答题，0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象，并写出f（x）的值域，最小正周期，对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象，利用余弦函数的性质即可求解其值域，最小正周期，对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6），列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2，2]，最小正周期为π，对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象，令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2，k∈Z，解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，矩形ABCD中，E，F两点分别在边AB，BC上，∠DEF=90°，设∠ADE=α，∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4)，且sin（3π4+x）= 513，cos（π4-y）= 45，求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系，即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α，所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0)，从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213，sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35，所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题，也考查了三角函数化简求值问题，是中档题．20.（问答题，0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π，∠ACD= π3，路宽AD=24米．设∠BAC=θ(π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中，分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中，利用正弦定理可得：BC，再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中，∠CDA=θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)，在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3，∵ π12≤θ≤π6，∴ π6≤2θ≤π3，∴当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6，求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下，设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)，其中λ＞0，ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心，试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ，f（x）是偶函数，∴（4tanθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立，∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1），其最小值为-6，此时sinθ=35，cosx=−1，∴f（x）=3（cosx-1），从而f（x）的最大值为0，此时x的取值为x=2kπ，k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值，知g（x）的图象关于x=π6对称，有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0，且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0，从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3)，则ωπ3=kπ−2ωπ3，即ω=k（k∈Z）又ω＞0，则ω是正整数，∵λ＞0，ω是正整数，∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3，当ω=1时，g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然，g（x）在x=π6处有最大值，而不是最小值，矛盾．当ω=4时，g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3，显然，g（x）在x=π6处有最大值，而不是最小值，矛盾．当ω=7时，g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3，显然，g（x）g（x）在x=π6处有最小值，且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称，∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
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向明中学高一期中数学试卷
2020.06
一. 填空题
1. 求值：cos(arcsin0)=
2. 在等差数列{}n a 中，411a =-，68a =-，则8a =
3. 函数()tan()4
f x x π
=-
的单调增区间是
4. 已知α是第四象限角，3
cos 5
α=，则tan2α= 5. 已知1
sin 3
α=，[0,2]απ∈，则α= （用反三角函数表示） 6.
函数()f x =
的定义域是
7. 函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是
8. 已知是等差数列{}n a ，n S 表示前n 项和，371115a a a ++=，则13S =
9. 化简
23cot(
)cos()sin(2)2tan()sec()(1cos )
2
π
θθπθπ
θπθθ-⋅-⋅-=+⋅-⋅- 10. 已知数列{}n a 的通项公式为12
n n
mn m a -+=（*
n ∈N ），若数列{}n a 是递减数列， 则实数m 的取值范围是
11. 已知数列{}n a ，n ∏表示前n 项之积，13a =，21a =，11n n n a a a +-=⋅（2n ≥）， 则2011∏=
12. 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{|,n S x x b ==
*}n ∈N ，若12
a π
=
，集合S 中恰好有两个元素，则d =
二. 选择题 13.“6
k π
απ=
+（k ∈Z ）”是“1
cos22
α=
”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14.
函数)4y x π
=-
的图像可以由)4
y x π
=+的图像（ ）个单位得到 A. 向左平移
2π B. 向右平移2π C. 向左平移4π D. 向右平移4
π
15. 当函数()3cos 4sin f x x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）
A.
43 B. 43- C. 34 D. 34
-
16. 实数a 、b 满足0a b <<，按顺序a 、2
a b
+、b ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列
B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
三. 解答题
17. 已知tan 3α=，求值： （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）2221
sin cos 34
αα+.
18. 已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（x ∈R ）. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在区间[0,]2
π
上的最大值与最小值.
19. 已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，3n
n S a =+（a ∈R ）.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）请讨论a 的值说明，数列{}n a 是否为等比数列？若是，请证明，若不是，请说明理由.
20. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径是80m ，矩形AGHM 就是拟建
的健身室，其中G 、M 分别在AB 和AD 上，H 在»EF
上，设矩形AGHM 的面积为S ，HCF θ∠=.
（1）将S 表示为θ的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H 在»EF
何处？
21. 已知{}n a 是等差数列，11a =，{}n b 是等比数列，n n n c a b =+，13c =，28c =，315c =. （1）求数列{}n c 的通项公式； （2）若n
n n a n d b n ⎧=⎨⎩是奇数
是偶数
，求当n 是偶数时，数列{}n d 的前n 项和n T ；
（3）若n n n
e b =
，是否存在实数a 使得不等式1
sin cos 2
n e a x x <-
++对任意的*n ∈N ，
x ∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数a ，若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 1
2. 5-
3. 3(,)4
4
k k π
π
ππ-
+
，k ∈Z 4. 247 5. 1
arcsin 3或1arcsin 3π- 6. [2,2]k k πππ-，k ∈Z 7. 3[3,]4
-- 8. 65 9. sin θ- 10. [0,1) 11. 3 12. π或23
π
二. 选择题
13. A 14. D 15. B 16. B
三. 解答题 17.（1）
57；（2）58
. 18.（1）T π=，5[,]3
6
k k π
π
ππ+
+
，k ∈Z ；（2）max ()2f x =，min ()1f x =-. 19.（1）1
31
23
2n n a n a n -+=⎧=⎨
⋅≥⎩；（2）1a =-时，数列{}n a 是等比数列； 1a ≠-时，数列{}n a 不是等比数列.
20.（1）400[2520(sin cos )16sin cos ]S θθθθ=-++，[0,]2
π
θ∈；
（2）2(100-，在»EF
中点处.
21.（1）322n
n c n =-+；（2）2+2342-443n n n n T -=+；（3）a >.。