高观点下的几何学练习题及参考答案

《高观点下的几何学》练习题参考答案

一

一、填空题。

1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。

2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。

3．仿射变换把矩形变成平行四边形

4．仿射变换把平行线变成平行线

5．仿射变换把正三角形变成三角形

二、简答题。

1．试给一个罗氏几何的数学模型。

答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型

在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。

罗氏平面几何的原始概念解释成：

罗氏点：圆内的点；

罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。

结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；

介于关系：圆内弦上三点的介于关系；

运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。

罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。

2．试给一个黎曼几何的数学模型

答：黎曼几何的（F.KLein）模型

黎曼几何的原始概念解释成：

黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；

黎氏直线：球面上的大圆；

黎氏平面：改造后的球面。

黎氏点与黎氏直线的基本关系：

(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；

(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；

(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。

黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。

3．简述公理法的基本思想。

答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。

4．简述公理系统的独立性

答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理

系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。 5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？

答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。

6．简述公理系统的完备性。

答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。 7．简述公理系统的相容性。

答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。 任何一个公理系统都要满足无矛盾性。 证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。 三、选择题。

1．三角形内角和等于180度与（ A ）

A 欧氏平行公理等价

B 罗氏平行公理等价

C 椭圆几何平行公设等价

D 不

可判定

2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）

A 平行公设不同

B 结合公理相同

C 绝对公设不同

D 结合公理不同

3．设点,,A B C 共线，且在仿射变换下分别变成',','A B C ，则',','A B C 三点（ A ）

A ．共线

B ．三角形顶点

C ．可能不共线

D ．可能重合 4．正方形在仿射变换下变成（ B ）

A ．正方形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．矩形 5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 )

（1）对边平行； （2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分； （5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积 6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C ，D ）

A ．长度

B ．角度

C ．单比

D ．交比

四、计算与证明题。

1．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180y x y --+=上。

解：设所求的旋转变换为

'cos sin 'sin cos x x y y x y θθ

θθ

=-⎧⎨

=+⎩ 则 2

πθ=

于是所求的旋转变换为''x y y x =-⎧⎨=⎩ 即'

'x y y x =⎧⎨=-⎩

将此变换用于所给的抛物线得

2'8''180x x y +-+=。

2． 试确定仿射变换，使y 轴、x 轴的象分别为直线10x y ++=和10x y --=，且点(1,1) 的象为原点。 解：所求变换的公式为

111

222

''''x x y y x y αβγαβγ=++⎧⎨

=++⎩ 其中 11

22

0αβαβ≠ 则0x =变成直线111''0x y αβγ++=

但由题设0x =变成''10x y ++=可知，111''0x y αβγ++=与''10x y ++=表示同一直线。 所以

1

1

1

1111

h

αβγ=

=

=

因此 ''1hx x y =++

同理 ''1ky x y =--

此处,h k 是参数。

又因为点（1，1）的象为原点，于是1,1h k ==-，所以，所求变换的逆式为

''1

(''1)x x y y x y =++⎧⎨

=---⎩

由此得出所求的仿射变换为

'22

'122

x y x x y y ⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=+-⎪⎩

3．求出将点(2,3)变成点(0,1)-的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180y x y --+=变成什么曲线？ 解：设所求的平移变换为

''x x a

y y b

=+⎧⎨

=+⎩ 将已知对应点的坐标代入上式得

0213a

b =+⎧⎨

-=+⎩

于是 2, 4a b =-=-

所以所求的平移变换为 '2'4x x y y =-⎧⎨

=-⎩ 即 '2

'4x x y y =+⎧⎨=+⎩

将此变换用于所给的抛物线上

2('4)('2)8('4)180y x y +-+-++=