曲线方程的表示方法

曲线方程的表示方法 Prepared on 22 November 2020

第一章 曲线论

§曲线方程的表示方法

曲线的概念：曲线是点按照某

一规律在空间中运动的轨迹。

现实中的各种轨迹曲线图形。 在空间直角坐标系Oxyz 中，

点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。

向量r OP xi yj zk ==++，可简记

为),,(z y x r = 。 222z y x r ++= 。

对任意向量,a b ，成立三角形不等式

||||||||||||a b a b +≤+，

||||a b a b -≤-。

补充知识：

（1） 向量的内积

设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ⋅=⋅→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→⋅b a 或),(→→b a ，其

中θ是向量→a 与→b 的夹角。

可以证明：332211b a b a b a b a ++=⋅→→。 2322212),(||||a a a a a a ++==→→→；

22||||),(2||||→

→→→++=b b a a 。 （2） 向量的外积（或叉积）

定义向量→

c 的大小为

θsin ||||||||⋅，(0)θπ≤≤， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→⨯b a ；

在直角坐标系中，可以证明：

设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则12312

3i j k a b a a a b b b →→⨯= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。 外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算

2

22),(||||||||→→→→-=b a b a 。 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 123(,,)c c c c →=。

混合积

1

231

23123()a a a a b c b b b c c c ⋅⨯=，

记()(,,)a b c a b c ⋅⨯=，

显然有()()()a b c a b c c a b ⋅⨯=⨯⋅=⨯⋅。 几何意义

二重外积展开式

()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅，

()()a c b b c a =⋅-⋅。

Lagrange 恒等式

()()a c a d a b c d b c b d ⋅⋅⨯⋅⨯=⋅⋅。

(,,)(,,)c d a b c d b a =-。

定理设123

(,,)T ααα=为三阶正交矩阵，123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，

则有()()sgn(det )()aT bT T a b T ⨯=⨯。 证明

123123(,,)(,,)aT a a a a αααααα==⋅⋅⋅，

123123(,,)(,,)bT b b b b αααααα==⋅⋅⋅，

由外积的计算公式，并利用

Lagrange 恒等式，

可得

sgn(det )()T a b T =⨯，

这是由于123

,,ααα构成右手系，或构成左手系。

求z =

+小值.

= 是点(),,0P x y 与点()1,2,2A 的距离，

= 是点(),,0P x y 与点()3,1,1B --的距离也是点(),,0P x y 与点()3,1,1C -的距离，

由于AB PA PB ≤+,故z 的最小值为AB =.

注意点()1,2,2A 与点()3,1,1C -同在xOy 平面的一侧,在xOy 平面上寻找一点(),,0P x y ,使PA PC +最小,点

()3,1,1B --是点()3,1,1C -关于xOy 平面的对称

点,PC PB =,AC =此题的几何意义是经典熟知的.

一、 平面曲线的几种表示方法 1°显表达：)(x f y =，函数

)(x f y =的图象)(f G 说成

是一段曲线。)(x f y =是

该曲线的表达式，如果某

曲线是函数)(x f y =的图

象，则)(x f y =称为该曲线

的显表达式。

2°隐表达式：如果曲线上的点

是由方程0),(=y x F 的解

),(y x 所构成，则方程

0),(=y x F 表示该曲线。

例如：

表示一个圆的曲线，

0),(=++=c by ax y x F ，

表示一个直线。

3°曲线的参数表示：

如果曲线上的点可由

⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点)

,(y x 来描绘，则称它为曲线的参数方程。

例如:单位圆

221x y +=有参数表达式

sin ,cos x y θθ=⎧⎨=⎩,[0,2]θπ∈；

或2

221,121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩),(+∞-∞∈t . 在2tan 12

tan 2sin 2θθ

θ+==x 221tan 2

cos 1tan 2y θθθ-==+中,令2tan θ

=t ,(即是万有代换), 则有212t t x +=,2

211t y t -=+. 单位圆的参数方程的几何意

义：

过(1,0)-作斜率为k 的直线与

单位圆的交点坐标。

设斜率为k ，则过点(1,0)-的直线方程为(1)y k x =+，求它与圆22

=1x y +的交点，

联立得 利用求根公式解得，2

21,1k x k -=+