曲线方程的表示方法

曲线方程的表示方法 Prepared on 22 November 2020
第一章 曲线论
§曲线方程的表示方法
曲线的概念：曲线是点按照某
一规律在空间中运动的轨迹。

现实中的各种轨迹曲线图形。

在空间直角坐标系Oxyz 中，
点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。

向量r OP xi yj zk ==++，可简记
为),,(z y x r = 。

222z y x r ++= 。

对任意向量,a b ，成立三角形不等式
||||||||||||a b a b +≤+，
||||a b a b -≤-。

补充知识：
（1） 向量的内积
设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ⋅=⋅→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→⋅b a 或),(→→b a ，其
中θ是向量→a 与→b 的夹角。

可以证明：332211b a b a b a b a ++=⋅→→。

2322212),(||||a a a a a a ++==→→→；
22||||),(2||||→
→→→++=b b a a 。

（2） 向量的外积（或叉积）
定义向量→
c 的大小为
θsin ||||||||⋅，(0)θπ≤≤， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→⨯b a ；
在直角坐标系中，可以证明：
设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则12312
3i j k a b a a a b b b →→⨯= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。

外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算
2
22),(||||||||→→→→-=b a b a 。

设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 123(,,)c c c c →=。

混合积
1
231
23123()a a a a b c b b b c c c ⋅⨯=，
记()(,,)a b c a b c ⋅⨯=，
显然有()()()a b c a b c c a b ⋅⨯=⨯⋅=⨯⋅。

几何意义
二重外积展开式
()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅，
()()a c b b c a =⋅-⋅。

Lagrange 恒等式
()()a c a d a b c d b c b d ⋅⋅⨯⋅⨯=⋅⋅。

(,,)(,,)c d a b c d b a =-。

定理设123
(,,)T ααα=为三阶正交矩阵，123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
则有()()sgn(det )()aT bT T a b T ⨯=⨯。

证明
123123(,,)(,,)aT a a a a αααααα==⋅⋅⋅，
123123(,,)(,,)bT b b b b αααααα==⋅⋅⋅，
由外积的计算公式，并利用
Lagrange 恒等式，
可得
sgn(det )()T a b T =⨯，
这是由于123
,,ααα构成右手系，或构成左手系。

求z =
+小值.
= 是点(),,0P x y 与点()1,2,2A 的距离，
= 是点(),,0P x y 与点()3,1,1B --的距离也是点(),,0P x y 与点()3,1,1C -的距离，
由于AB PA PB ≤+,故z 的最小值为AB =.
注意点()1,2,2A 与点()3,1,1C -同在xOy 平面的一侧,在xOy 平面上寻找一点(),,0P x y ,使PA PC +最小,点
()3,1,1B --是点()3,1,1C -关于xOy 平面的对称
点,PC PB =,AC =此题的几何意义是经典熟知的.
一、 平面曲线的几种表示方法 1°显表达：)(x f y =，函数
)(x f y =的图象)(f G 说成
是一段曲线。

)(x f y =是
该曲线的表达式，如果某
曲线是函数)(x f y =的图
象，则)(x f y =称为该曲线
的显表达式。

2°隐表达式：如果曲线上的点
是由方程0),(=y x F 的解
),(y x 所构成，则方程
0),(=y x F 表示该曲线。

例如：
表示一个圆的曲线，
0),(=++=c by ax y x F ，
表示一个直线。

3°曲线的参数表示：
如果曲线上的点可由
⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点)
,(y x 来描绘，则称它为曲线的参数方程。

例如:单位圆
221x y +=有参数表达式
sin ,cos x y θθ=⎧⎨=⎩,[0,2]θπ∈；
或2
221,121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩),(+∞-∞∈t . 在2tan 12
tan 2sin 2θθ
θ+==x 221tan 2
cos 1tan 2y θθθ-==+中,令2tan θ
=t ,(即是万有代换), 则有212t t x +=,2
211t y t -=+. 单位圆的参数方程的几何意
义：
过(1,0)-作斜率为k 的直线与
单位圆的交点坐标。

设斜率为k ，则过点(1,0)-的直线方程为(1)y k x =+，求它与圆22
=1x y +的交点，
联立得 利用求根公式解得，2
21,1k x k -=+
从而22,1k y k =+
2
221,12,1k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
为单位圆的参数方程。

例如：椭圆22
221x y a b
+=有参数表达式
sin ,cos x a t y b t =⎧⎨=⎩,[0,2]t π∈。

例1、由参数方程
⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ,π20≤≤t 所确定的曲线称为旋轮线（也称为摆线）。

来源背景，它的几何意义是：
当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点P 所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。

方程建立的过程。

手工操作运动法。

课外搜索阅读：摆线、最速降
线的文献资料。

4°曲线的极坐标表示：
βθαθ≤≤=),(r r .
O
极坐标表示与直坐标表
示可以互化，
()cos x r θθ=，
()sin y r θθ=。

几种表示的优缺点。

二、空间曲线的表示方法
1°参数表示法：
⎪⎩
⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，],[βα∈t 所形成的点)),(),(),((t z t y t x 描绘出空间中的一条曲线，称为曲线的参数表示。

例如：
由于2
22a y x =+，
它的几何意义：它的图形是圆柱螺线。

圆柱螺线的产生方式：将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。

螺线的运动产生方式。

列举常见的螺线。

2°曲线的向量表示法
向量：既有大小又有方向的量称为向量。

在选定坐标系下
向量的表示：123r x e y e z e →→→
=++，
或),,(z y x r = 。

把参数曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，],[βα∈t
改写成向量形式
))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，
],[βα∈t ，
两者表示的是同样一条曲线， ))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，],[βα∈t 称为该曲线的向量方程。

定义
如果)(),(),(t z z t y y t x x ===都是区间],[βα上的连续函数，那么曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，],[βα∈t 称为连续曲线。

空间曲线的一般定义:
设I 是一个区间，定义在I 上的向量值函数))(),(),(()(t z t y t x t r r == ，在空间3R 中构成的点集Γ，称为一条曲线，
称()r r t =为曲线Γ的向量方程。

多种多样的曲线已被人们所发现所认识，满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。

练习：试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处，用数学软件绘制出曲线的图形。