用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版
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《空间直线、平面的平行》立体几何初步 PPT教学课件(直线与平面平行)
8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．如图，下列正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 M，N，P 分别为 其所在棱的中点，则不能得出 AB∥平面 MNP 的是( )
解析：选 C.在题图 A，B 中，易知 AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP；在图 D 中，易 知 AB∥PN，PN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的 是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公共点， 故 b∥α.
第八章 立体几何初步
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直 线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方 法，体现了数学中的转化与化归的思想．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行．( × ) (2)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l∥平面 α.( × ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线平
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．如图，下列正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 M，N，P 分别为 其所在棱的中点，则不能得出 AB∥平面 MNP 的是( )
解析：选 C.在题图 A，B 中，易知 AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP；在图 D 中，易 知 AB∥PN，PN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的 是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公共点， 故 b∥α.
第八章 立体几何初步
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直 线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方 法，体现了数学中的转化与化归的思想．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行．( × ) (2)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l∥平面 α.( × ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线平
人教A版高中数学必修二 《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT课件(直线与直线平行)
答案：D
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，与棱 BC 平行的棱共有________条．
答案：3 5．直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置关系是________． 解析：∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由基本事实 4 可知 a∥d. 答案：平行
探究一 基本事实 4 [例 1] 空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[典例] 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC∥AD 且 BC＝12AD，BE ∥FA 且 BE＝12FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
[解析] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD， 可得 GH∥AD 且 GH＝12AD. 又 BC∥AD 且 BC＝12AD， ∴GH∥BC 且 GH＝BC，Hale Waihona Puke ∴四边形 BCHG 为平行四边形．
[自主检测] 1．下列结论正确的是( ) A．没有公共点的两条直线是平行直线 B．两条直线不相交就平行 C．两条直线有既不相交又不平行的情况 D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行 解析：A、B 均不正确，满足条件的两直线可能是异面直线；C 正确，既不相交，又 不平行，可能异面；D 不正确，如果这条直线与两条相交直线都平行，由平行公理， 两条相交直线就平行了． 答案：C
[提示] DC∥A′B′，这说明空间中的平行直线具有和平面内的平行直线类似的传 递性．
知识梳理 文字叙述：平行于同一条直线的两条直线 平行 ．
图形表示： 符号表示：直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c . 作用：证明两直线平行．
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，与棱 BC 平行的棱共有________条．
答案：3 5．直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置关系是________． 解析：∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由基本事实 4 可知 a∥d. 答案：平行
探究一 基本事实 4 [例 1] 空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[典例] 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC∥AD 且 BC＝12AD，BE ∥FA 且 BE＝12FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
[解析] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD， 可得 GH∥AD 且 GH＝12AD. 又 BC∥AD 且 BC＝12AD， ∴GH∥BC 且 GH＝BC，Hale Waihona Puke ∴四边形 BCHG 为平行四边形．
[自主检测] 1．下列结论正确的是( ) A．没有公共点的两条直线是平行直线 B．两条直线不相交就平行 C．两条直线有既不相交又不平行的情况 D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行 解析：A、B 均不正确，满足条件的两直线可能是异面直线；C 正确，既不相交，又 不平行，可能异面；D 不正确，如果这条直线与两条相交直线都平行，由平行公理， 两条相交直线就平行了． 答案：C
[提示] DC∥A′B′，这说明空间中的平行直线具有和平面内的平行直线类似的传 递性．
知识梳理 文字叙述：平行于同一条直线的两条直线 平行 ．
图形表示： 符号表示：直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c . 作用：证明两直线平行．
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算 人教课标版精品课件
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
六、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直课件.ppt
17
→
→
→
∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，
→ →→ 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴tt＝ －2s＝，0， －t＝－2，
解得s＝t＝2。
→→→ ∴PB＝2FE＋2FG，
→→ 又∵FE与FG不共线，
→→→ ∴PB、FE与FG共面。 ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG。
23
证明：(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)， 又 C(0,4,0)，D(2,0,2)，
→ ∴DE＝(－2,4,0)， → NC ＝(－2,4,0)，
→→ ∴DE＝NC。 ∴DE∥NC， 又NC⊂平面ABC内，DE⊄面ABC， 故DE∥平面ABC。
24
(2)B1F⊥平面AEF。
→
→
→
→→
证明：(2) B1F ＝(－2,2，－4)， EF ＝(2，－2，－2)， AF ＝(2,2,0)， B1F ·EF ＝(－
16
通关特训1 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直 角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。求证：PB ∥平面EFG。
证明：∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形， ∴AB、AP、AD两两垂直，பைடு நூலகம்A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、 G(1,2,0)。
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a。 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥D→P，有a2－az0＝0， 解得z0＝12。又DP⊄平面B1AE， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12。
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∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，
→ →→ 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴tt＝ －2s＝，0， －t＝－2，
解得s＝t＝2。
→→→ ∴PB＝2FE＋2FG，
→→ 又∵FE与FG不共线，
→→→ ∴PB、FE与FG共面。 ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG。
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证明：(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)， 又 C(0,4,0)，D(2,0,2)，
→ ∴DE＝(－2,4,0)， → NC ＝(－2,4,0)，
→→ ∴DE＝NC。 ∴DE∥NC， 又NC⊂平面ABC内，DE⊄面ABC， 故DE∥平面ABC。
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(2)B1F⊥平面AEF。
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证明：(2) B1F ＝(－2,2，－4)， EF ＝(2，－2，－2)， AF ＝(2,2,0)， B1F ·EF ＝(－
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通关特训1 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直 角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。求证：PB ∥平面EFG。
证明：∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形， ∴AB、AP、AD两两垂直，பைடு நூலகம்A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、 G(1,2,0)。
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a。 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥D→P，有a2－az0＝0， 解得z0＝12。又DP⊄平面B1AE， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12。
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
高考数学大一轮总复习 第九章 第7讲 空间向量的应用(一)证明平行与垂直课件 理
完整版ppt
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解析：要使 l∥α，则必须 a⊥n，故 a·n＝0，
经验算，仅选项 D 符合要求，故选 D.
完整版ppt
9
4.若 a＝(2,1，－ 3)，b＝(－1,5， 3)，则以 a，b 为邻边
的平行四边形的面积为
.
完整版ppt
10
解析：因为 a·b＝(2,1，－ 3)·(－1,5， 3)＝0， 所以 a⊥b，又|a|＝2 2，|a|＝ 29， 所以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|·|b|＝2 2× 29＝2 58.
于是 MN ＝(21，0，21)， DA1 ＝(1,0,1)， DB1 ＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
则 n DA1 ＝0，且 n DB1完＝整版0p，pt 可得xx＋＋zy＝＝00 .
17
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1， 所以 n＝(1，－1，－1)．
又 MN n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
所以 MN ⊥n.
又因为 MN⊄平面 A1BD，所以 MN∥A1BD.
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18
【温馨提示】 用向量证明线面平行的方法有：(1)证明 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线 的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．注：合理建立 坐标系能简化计算．
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19
【跟踪训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2， E、F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
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6
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，
3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
于是������������ =
1 2
,0,
1 2
, ������������1=(1,0,1),������������=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
则
������·������������1 = 0, 得 ������·������������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯 形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,12试建立适当
的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量.
解以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
明������������与平面 A1BD 中的������������1是共线向量;思路三:可通过平面 A1BD 的法向量来证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:∵������������
=
������1������
−
������1������
=
1 2
������������
−
1 2
������1������
12,0,0 ,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴������������=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角ppt 人教课标版
●
意一点P。
法向量：若 a ，则 a 叫做平面
的法向量。
平面
a
●
A
过点A，以 a 为法向量
的平面是完全确定的
二、线线、线面、面面间的位置关系与向 量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为 ，b， a 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
探究1：平行关系
三、简单应用
设直线 l，m的方向向量分别 练习1： 为a ， b，根据下列条件判断 l，m的位置关系：
( 1 ) a ( 2 , 1 , 2 ), b ( 6 , 3 , 6 ) ( 2 ) a ( 1 , 2 , 2 ), b ( 2 , 3 , 2 ) ( 3 ) a ( 0 , 0 , 1 ), b ( 0 , 0 , 3 )
设平面 ， 的法向量分别 练习2： 为u ， ，根据下列条件判 v 断 ， 的位置关系：
( 1 ) u ( 2 , 2 , 5 ), v ( 6 , 4 , 4 ) ( 2 ) u ( 1 , 2 , 2 ), v ( 2 , 4 , 4 ) ( 3 ) u ( 2 , 3 , 5 ), v ( 3 , 1 , 4 )
线线平行 l //m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v
设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
u
v
// u // v u v
l
意一点P。
法向量：若 a ，则 a 叫做平面
的法向量。
平面
a
●
A
过点A，以 a 为法向量
的平面是完全确定的
二、线线、线面、面面间的位置关系与向 量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为 ，b， a 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
探究1：平行关系
三、简单应用
设直线 l，m的方向向量分别 练习1： 为a ， b，根据下列条件判断 l，m的位置关系：
( 1 ) a ( 2 , 1 , 2 ), b ( 6 , 3 , 6 ) ( 2 ) a ( 1 , 2 , 2 ), b ( 2 , 3 , 2 ) ( 3 ) a ( 0 , 0 , 1 ), b ( 0 , 0 , 3 )
设平面 ， 的法向量分别 练习2： 为u ， ，根据下列条件判 v 断 ， 的位置关系：
( 1 ) u ( 2 , 2 , 5 ), v ( 6 , 4 , 4 ) ( 2 ) u ( 1 , 2 , 2 ), v ( 2 , 4 , 4 ) ( 3 ) u ( 2 , 3 , 5 ), v ( 3 , 1 , 4 )
线线平行 l //m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v
设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
u
v
// u // v u v
l
《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT(直线与平面平行)
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与
此平面相交，那么_该__直__线___与__交__线____平行 a∥α，___a_⊂_β_，__α__∩_β_＝__b__________ ⇒a∥b
图形语言
栏目 导引
■名师点拨
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：www.1ppt.c om /zilia o/
个人简历：www.1ppt.c om /j ia nli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α.
(2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α.
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
2．直线与平面平行的性质定理
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/
空间立体几何中的平行垂直证明ppt课件
β
a
αl
a a
l
l
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
复习定理
空间中的平行
解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意 下面的转化关系：
空间平行之间的转化
⑤
② ①③ ④
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这 一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部 间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系． 2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易 忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、 面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证 垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理 计算证明．
3、如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为 平行四边形。DAB 60 , AB 2AD, PD 底面 ABCD ，证明： PA BD
练习：.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、
γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版PPT共21页
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
用空间向量证(解)立体几何题之——证 明线面平行ppt 人教课标版
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•பைடு நூலகம்
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版共21页
用空间向量证(解)立体几何题之—— 证明线面平行ppt 人教课标版
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——பைடு நூலகம் 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——பைடு நூலகம் 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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高中数学 第七章 第四节_空间中的平面平行关系课件 新人教版
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认
识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定 理．
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些
空间图形的位置关系的简单命题．
1．直线和平面的位置关系
2．平面与平面的位置关系
3．直线与平面平行的判定与性质
4．平面与平面平行的判定与性质
[思考探究]
能否由线线平行得到面面平行？
个平面内的任一直线平行于另一平面.
[特别警示] 线面平行关系没有传递性，即平行线中的一 条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面.
两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面 相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证： MN∥平面BCE. [思路点拨]
[课堂笔记] 法一：过M作MP⊥BC，
2.性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅 助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进 而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据.
如图所示，两条异面直线BA、 DC与两平行平面α、β分别交于B、A 和D、C，M、N分别是AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α.
[思路点拨]
[课堂笔记]
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
1.利用定义(常用反证法).
2.利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线.
3.利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一
法二：过M作MG∥AB交BB1于G，连接GN，则 ， ∵B1M＝C1N，B1A＝C1B， ∴ ，∴NG∥B1C1∥BC.
又MG∩NG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面MNG∥平面ABCD，
识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定 理．
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些
空间图形的位置关系的简单命题．
1．直线和平面的位置关系
2．平面与平面的位置关系
3．直线与平面平行的判定与性质
4．平面与平面平行的判定与性质
[思考探究]
能否由线线平行得到面面平行？
个平面内的任一直线平行于另一平面.
[特别警示] 线面平行关系没有传递性，即平行线中的一 条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面.
两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面 相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证： MN∥平面BCE. [思路点拨]
[课堂笔记] 法一：过M作MP⊥BC，
2.性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅 助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进 而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据.
如图所示，两条异面直线BA、 DC与两平行平面α、β分别交于B、A 和D、C，M、N分别是AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α.
[思路点拨]
[课堂笔记]
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
1.利用定义(常用反证法).
2.利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线.
3.利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一
法二：过M作MG∥AB交BB1于G，连接GN，则 ， ∵B1M＝C1N，B1A＝C1B， ∴ ，∴NG∥B1C1∥BC.
又MG∩NG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面MNG∥平面ABCD，
高考数学一轮复习 第9单元第52讲 用向量方法证明空间中的平行与垂直课件 理 湘教
n1·D E =(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,
所以2x1 0,2x1 2y1 z1 0. 令y1 1，得n1 (0,1， 2)．
同理可得平面A1FD1的法向量n2 0,2,1．
因为n1n2 0，所以平面AED平面A1FD1.
题型三 用坐标法解决立体几何中的综合问题
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD
证明方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系．设正方体的棱长为1，则可得M(0,1， 1)，N(1， 1,1)， 22
D0,0,0，A11,0,1，B1,1,0． 于是MN (1 ，0，1)，DA1 1, 0,1，DB 1,1, 0．
22 设平面A1BD的法向量是n (x，y，z)．
则 O 0, 0, 0 ， A (0， 8, 0 )， B 8, 0, 0 ， C 0, 8, 0 ，
P 0, 0, 6 ， E (0， 4, 3)， F 4, 0, 3 ． 由 题 意 ， 得 G 0, 4, 0 ．
因 为 O B = 8, 0, 0 , O E (0， 4, 3)，
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就会 影 响 到 对 他 的 教 育 和对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/182022/1/18
所以2x1 0,2x1 2y1 z1 0. 令y1 1，得n1 (0,1， 2)．
同理可得平面A1FD1的法向量n2 0,2,1．
因为n1n2 0，所以平面AED平面A1FD1.
题型三 用坐标法解决立体几何中的综合问题
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD
证明方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系．设正方体的棱长为1，则可得M(0,1， 1)，N(1， 1,1)， 22
D0,0,0，A11,0,1，B1,1,0． 于是MN (1 ，0，1)，DA1 1, 0,1，DB 1,1, 0．
22 设平面A1BD的法向量是n (x，y，z)．
则 O 0, 0, 0 ， A (0， 8, 0 )， B 8, 0, 0 ， C 0, 8, 0 ，
P 0, 0, 6 ， E (0， 4, 3)， F 4, 0, 3 ． 由 题 意 ， 得 G 0, 4, 0 ．
因 为 O B = 8, 0, 0 , O E (0， 4, 3)，
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就会 影 响 到 对 他 的 教 育 和对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/182022/1/18
1、4、1用空间向量研究直线、平面的位置关系课件-21-22学年高二上学期数学人教A版必修第一册
例 3 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 4 ， BC 3 ，CC1 2 . 线段 B1C 上是否存在点 P，使得 A1P 平面 ACD1 ？
证明：以 D 为原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 A，C， D1 的坐标分别为 (3,0,0) ， (0, 4, 0) ， (0, 0, 2) ， 所以 AC (3,4,0) ， AD1 (3,0,2) .
B. EF 与 A1D ， AC 都垂直 D. EF 与 BD1 异面
答案：B 解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 Dxyz ，设正方体的棱长为 3， 则 A(3,0,0) ， C(0,3,0) ， D(0,0,0) ， A1(3,0,3) ， E(1,0,1) ， F(2,1,0) ， B(3,3,0) ， D1(0,0,3) ， A1D (3,0,3) ， AC (3,3,0) ， EF (1,1,1) ， A1D EF 0 ， AC EF 0 ，即 A1D EF ， AC EF ，即 A1D EF ， AC EF . 又 BD1 (3, 3,3) ，BD1 3EF ，BD1 EF .故选 B.
1 所以 a2 b2 c2 1， a b b c c a .
2 在平面 BDD1B1 上，取 BD ， BB1 为基向量，
对于平面 BDD1B1 上任意一点 P，存在唯一有序实数对 (, ) ，使得 BP BD BB1 . 所以 A1C BP A1C BD A1C BB1 (a b c) (b a) (a b c) c 0 .
3.空间中平面的向量表示：
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通过本例的练习，同学们要进一步 掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG
MH∥NG CH:CA=BG:BF
PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE
C
D
H B E G
HG∥平面CBE
P
F
A
C
oB G
2 2 ( 1 a , 0 , a ),而平面CBE的法向 故 HG H 2 2 n 量为n (0,1,0), 故 HG ,而 平面CBE
D1 H
G F B1
C1
A1
E
D A B
C
AD∥GF，AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 AEF的法向 量为 n ( 2 , 2 , 1 )
z F
G(1-
2 2
a , 1-
2 2
x
a,0),
故
HG∥平面CBE
z
H
证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故 可建立如图所示的空 间直角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E
D
A
y
F
例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC.
D1
E
G
H C1 B1
求得平面 BDGH的法向 A 量为 m ( 2 , 2 , 1 )x 显然有
oD
C
y
m n
B
故 平面AEH∥平面BDGF
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题，是近年来很“时髦”的话题，其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子，结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证 明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。
z
D1 B1
C1
设平面 BDA1的法向 A B x n ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ( 1 , 1 , 1 ) 故平面BDA1的法向量为 n
DB (1 ,1 ,0)
oD
C
y
m 则显然有 n 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
用空间向量证(解)立体几何题之 (五 )
-----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。
作业： 1.在正方体ABCDA1 A1B1C1D1中,E、F 分别是A1D1 、 BB1 的中点，问:在边 CC1上是否存在一 点P，使AC∥平面 A EFP？若存在，求 出P的位置；若不 存在，请说明理由。
D1
E
C1
B1 P D
F B C
2.在四棱锥P-ABCD中， P 底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= M PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 D 是PA、BD上的 A 动点， 且 PM:MA=BN:ND。问： 直线MN与平面PBC有什 么关系？请证明你的结论.
M是中点，N是中点
D1
C1
B1
P
M D
N Q R B C
MN∥RQ
MN∥平面AC
作PP1⊥AB于P1， 作MM1 ⊥AB于M1，A1 连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1， 连结M1N1
NN1∥PP1 MM1∥AA1AD1C1 B1
P
M D P1 M1
N N1 B Q C
又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC
用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
↑
n
m
→
m
↑
n m 0
↑
n
m n
C 例1.如图：ABCD与 ABEF是正方形， CB⊥平面ABEF，H、 M G分别是AC、BF上 B 的点，且AH=GF. N 求证： E HG∥平面CBE.
D
H
A G F
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M Q(2-2x，2，0) o C y D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 n n 0 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN ∴MN 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG
MH∥NG CH:CA=BG:BF
PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE
C
D
H B E G
HG∥平面CBE
P
F
A
C
oB G
2 2 ( 1 a , 0 , a ),而平面CBE的法向 故 HG H 2 2 n 量为n (0,1,0), 故 HG ,而 平面CBE
D1 H
G F B1
C1
A1
E
D A B
C
AD∥GF，AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 AEF的法向 量为 n ( 2 , 2 , 1 )
z F
G(1-
2 2
a , 1-
2 2
x
a,0),
故
HG∥平面CBE
z
H
证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故 可建立如图所示的空 间直角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E
D
A
y
F
例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC.
D1
E
G
H C1 B1
求得平面 BDGH的法向 A 量为 m ( 2 , 2 , 1 )x 显然有
oD
C
y
m n
B
故 平面AEH∥平面BDGF
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题，是近年来很“时髦”的话题，其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子，结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证 明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。
z
D1 B1
C1
设平面 BDA1的法向 A B x n ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ( 1 , 1 , 1 ) 故平面BDA1的法向量为 n
DB (1 ,1 ,0)
oD
C
y
m 则显然有 n 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
用空间向量证(解)立体几何题之 (五 )
-----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。
作业： 1.在正方体ABCDA1 A1B1C1D1中,E、F 分别是A1D1 、 BB1 的中点，问:在边 CC1上是否存在一 点P，使AC∥平面 A EFP？若存在，求 出P的位置；若不 存在，请说明理由。
D1
E
C1
B1 P D
F B C
2.在四棱锥P-ABCD中， P 底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= M PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 D 是PA、BD上的 A 动点， 且 PM:MA=BN:ND。问： 直线MN与平面PBC有什 么关系？请证明你的结论.
M是中点，N是中点
D1
C1
B1
P
M D
N Q R B C
MN∥RQ
MN∥平面AC
作PP1⊥AB于P1， 作MM1 ⊥AB于M1，A1 连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1， 连结M1N1
NN1∥PP1 MM1∥AA1AD1C1 B1
P
M D P1 M1
N N1 B Q C
又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC
用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
↑
n
m
→
m
↑
n m 0
↑
n
m n
C 例1.如图：ABCD与 ABEF是正方形， CB⊥平面ABEF，H、 M G分别是AC、BF上 B 的点，且AH=GF. N 求证： E HG∥平面CBE.
D
H
A G F
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M Q(2-2x，2，0) o C y D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 n n 0 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN ∴MN 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC