行列式的基本概念与性质docx

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行列式知识点

行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。

本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。

一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。

二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。

2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。

3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。

4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。

三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。

对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。

2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。

具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。

四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。

若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。

2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。

3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。

例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。

五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。

行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。

通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。

行列式的认识

行列式的认识行列式（Determinant）是线性代数中的重要概念，它是一个方阵的一个标量值。

行列式可以用于描述线性方程组的解的情况，它能够衡量矩阵的几何性质和线性方程组的解的个数。

一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i和j的取值范围都是1到n，行列式的定义如下：当n=1时，行列式的取值就是矩阵中唯一的元素a_11。

当n>1时，行列式的取值等于所有排列的乘积之和，即det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn + a_11 * a_23 * ... * a_nn-1 + ... + (-1)^(1+n) * a_1n * a_22 * ... * a_n-1n在上述定义中，排列的符号为(-1)^(1+i)。

二、行列式的性质1. 行列式与转置：行列式的值不变，当A的转置记为A_T时，有det(A) = det(A_T)。

2. 行列式与倍数：若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以一个数k，则行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 行列式与行（列）的互换：若交换矩阵A的两行（列），则行列式的值变号，即det(A') = -det(A)，其中A'是A经过行（列）交换得到的矩阵。

4. 行列式与行（列）的线性组合：若将矩阵A的两行（列）相加（减），则行列式的值不变，即det(A'') = det(A)，其中A''是A的两行（列）进行线性组合后得到的矩阵。

5. 上三角矩阵和下三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素的乘积，下三角矩阵的行列式也同样。

三、行列式的应用1. 判断矩阵是否可逆：若一个n阶矩阵A的行列式不等于0，那么矩阵A可逆，有唯一解。

2. 线性方程组的解：对于一个n阶的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，那么此方程组有唯一解。

当行列式等于0时，方程组可能有无穷多个解或无解。

行列式与行列式的性质

行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。

本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。

对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。

二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。

这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。

2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。

这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。

3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。

这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。

4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。

5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。

三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。

2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。

这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。

3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。

行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。

4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。

大一线性代数行列式知识点

大一线性代数行列式知识点线性代数是大学数学课程中的重要内容之一，而线性代数中的行列式更是一个关键的概念。

行列式具有广泛的应用，在矩阵运算、方程求解、向量空间等方面都发挥着重要的作用。

本文将介绍一些大一学生常见的线性代数行列式知识点，包括行列式的定义、性质以及计算方法。

一、行列式的定义行列式可以看作是一个方阵的一个具体的实数值。

对于一个n阶方阵A，行列式的定义如下：det(A)=∑(−1)^σP(a1,σ(1))a2,σ(2)...an,σ(n)其中，det(A)表示方阵A的行列式，σ表示一个置换，P表示这个置换的奇偶性，a1, a2, ..., an表示A的元素。

二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，下面将介绍其中一些常见的性质。

1. 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

这意味着行列式的值不受行、列次序的影响，只取决于方阵中元素的值。

2. 互换某两行（列）的位置，行列式的值变号。

这个性质说明了方阵中交换两行（列）的位置对行列式的值有影响。

3. 方阵中某行（列）的元素都乘以一个数k，行列式的值乘以k。

这个性质说明了方阵某行（列）的元素乘以一个数k对行列式的值有影响。

4. 方阵中某行（列）的元素表示为两个数之和，可以将行列式分成两项之和。

这个性质可以用于简化行列式的计算。

三、行列式的计算方法计算行列式的值是线性代数中的重要技能之一，下面将介绍两种常见的计算行列式的方法。

1. 代数余子式法代数余子式法是一种逐步缩小行列式规模的计算方法。

具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于第一行（列）的每个元素aij，计算其代数余子式Mij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijMij，计算行列式的值。

2. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种从行或列展开的计算方法。

具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于每个选定的元素aij，计算其余子式Aij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijAij，计算行列式的值。

行列式的性质与运算法则

行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。

行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。

一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。

2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。

3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。

4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。

二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。

1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。

2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。

4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。

三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。

1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。

利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。

2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。

一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。

对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。

对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。

对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。

对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。

二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。

2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。

3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。

4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。

5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

线性代数-行列式(完整版)

01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及将系数矩阵的某一列替换为常数项列后得到的新矩阵的行列式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用

行列式的认识

行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。

本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。

一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。

二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。

2. 行（列）成比例，行列式的值为0。

3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。

4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。

5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。

三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。

1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。

2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。

行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。

四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。

2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。

3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。

关于行列式的一般定义和计算方法(Word)

关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc ,ba d c =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

行列式的基本概念

行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。

本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。

1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。

它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。

2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。

3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。

2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。

2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。

即det(A)!=0。

5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。

即det(A)>0。

6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。

即det(A)<0。

7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。

即det(A)>=0。

8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。

即det(A)<=0。

初中行列式的基本概念知识点

初中行列式的基本概念知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，也是初中数学学科中的一部分内容。

本文将介绍初中行列式的基本概念和知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握行列式的概念。

一、行列式的定义行列式是一个数学运算符号，用于将一个方阵转换成一个数。

对于一个n阶的方阵A(a_ij)，其行列式记作|A|或det(A)。

其中，a_ij表示A 矩阵中第i行第j列的元素。

例如，对于一个2阶矩阵A：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21。

二、行列式的性质行列式具有一些特殊的性质，可以用于简化运算或推导其他性质。

以下是行列式常用的性质：1. 交换行列式的两行（列），行列式的值不变。

2. 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变。

3. 行列式的某一行（列）的倍数取出来，行列式的值也要相应除以这个倍数。

4. 行列式的某一行（列）的倍数和另一行（列）的组合，等于这个行列式中对应位置元素的代数余子式乘以另一行（列）对应位置的元素之和。

三、行列式的计算方法初中阶段，我们主要关注2阶和3阶方阵的行列式计算。

对于2阶矩阵，行列式的计算方法已经在行列式的定义中给出。

对于3阶矩阵，行列式的计算方法有两种常用的形式：1. 代数余子式法：将3阶矩阵中的每个元素分别作为一个2阶矩阵，计算出每个2阶矩阵的行列式值，再按照符号规律相加减得到行列式的值。

2. 公式法：使用公式法计算3阶矩阵的行列式，可以简化计算过程。

公式如下：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32- a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a12四、行列式的应用行列式是线性代数中的重要概念，也有很多实际的应用。

以下是一些行列式在实际问题中的应用：1. 判断线性方程组的解的情况：对于一个n个未知量的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为0，则该线性方程组有唯一解。

(完整word版)线性代数行列式的计算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数.矩阵A 的行列式有时也记作｜A|。

绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆。

不过矩阵范数通常以双垂直线来表示(如：)，且可以使用下标。

此外，矩阵的绝对值是没有定义的。

因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式).例如，一个矩阵:A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ihgfedcba，行列式也写作，或明确的写作：A=ihgfedcba，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同.一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：其中，是集合{ 1, 2, 。

.，n ｝上置换的全体，即集合｛ 1, 2， ...，n }到自身上的一一映射（双射）的全体;表示对全部元素的求和,即对于每个，在加法算式中出现一次;对于每一对满足的数对，是矩阵 A 的第i 行第j 列的元素。

线性代数第一章教案.docx

线性代数教案第一章行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用.在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则).本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上, 熟练正确地计算三阶、四阶及简单的阶行列式.计算行列式的基木思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算.但在展开Z前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算.常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法.行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则).要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件.重点：行列式性质；行列式的计算。

难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

§1.1二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的.因此我们首先讨论解方程组的问题.设有二元线性方程组Q]]X| +d|2*l = Ea2l x} +^22兀2用加减消元法容易求出未知fi X],兀2的值，当。

]心22-0】2血工0时，有X\ =务為加21兀2 =这就是一般二元线性方程组的公式解.但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此, 我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源.我们称4个数组成的符号a \\ a2l为二阶行列式.它含有两行，两列.横的叫行，纵的叫列•行列式中的数叫做行列式的元素.从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号.根据定义，容易得知(2)屮的两个分子可分别写成象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆.首先(3)屮分母的行列式是从(1)式屮的系数按其原有的相对位置而排成的.分子中的行列式，门的分子是把系数行列式屮的第1列换成(1)的常数项得到的，而疋的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的.例1用二阶行列式解线性方程组2X| + 4 兀2 = 1 兀]+ 3花=2因此，方程组的解是D 2 _ 3 ~D~2对于三元一次线性方程组绚1兀1+绚2兀2+绚3兀3 =2a 2]x } + a 22x 2 十（723X 3 二b 2 Cl I Xj + ^39 ^2 +。

行列式及其性质

行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。

在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。

本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。

一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。

对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。

2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。

3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。

4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。

5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。

三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。

对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。

(完整word版)行列式知识点,推荐文档

行列式一、二阶行列式概念：形如11122122a a a a 的式子称为二阶行列式；数学规定1112112212212122a a a a a a a a =-；二、三阶行列式：形如111213212223313233a a a a a a a a a 的式子称为三阶行列式。

规定111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 111213212223313233a a a a a a a a a 112233233212233121331321322231()()()a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+- 222323212122111213323333313132a a a a a a a a a a a a a a a =++222321232122111213323331333132aa a a a aa a a a a a a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++三、n 阶行列式的定义定义：n 阶行列式111212122212=L L M M O M Ln n n n nna a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n p p np a a a L 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。

()()1112112222112211220100n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=L L L L L M M O M L 也可简记为()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）。

行列式性质及其计算方法

行列式性质及其计算方法
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Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的符号变化。以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时，需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。

本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。

对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。

（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。

（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。

（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。

二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。

如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。

利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。

2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。

对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。

3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。

矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。

行列式的基本概念与性质docx

a2 b2 ⑵ D= 2 c d2 1 ⑶ D= 1 0 1 1 −1 ⑷ D= 0 0 0 2 3 1 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 0 5 5 3 1 0 6 4
a11 ⋮ ak1 ⑸ 设 D= c11 ⋮ ck1
a1 1 − a1 −1 0 0 ⋯ a1k ⋮ ⋯ akk ⋯ c1k b11 ⋮ ⋮ ⋯ ckk bk1
21 22
n1 n2
nn
（ − 1）
τ i 1,i 2…i n
ai11ai22 … ainn =
（ − 1）
τ j 1,j 2…j n
a1j1a1j2 … a1jn = D
故 D=DT 性質 1：行列式 D 與它的轉置行列式相等由此性質表明，行列式中行與列的地位是對等的，因此行列式中行列互換，行列式不變（行列互換指行全部變成列，列全部變成行） 2.性質 2：互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號單獨取出行列式中的每一行（或者每一列），兩列（行）互換后，該排列的奇偶性改變，那麼行列式 D 的展開項的每一項都變號，也就 D 變成了-D。
a1j1a2j2 … annjn表示不同行不同列的 n 個數的乘積，并冠以符
τ j 1,j 2…j n
來決定該項的正負。
給出下列常用行列式 a11 0 0 ⋯ 0 0 a22 ⋯ 0 ⑴ 主對角線行列式 0 0 a33 ⋯ 0 =a11a22… ann ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ann a11 a12 a13 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⑵ 上三角形行列式 0 0 a33 ⋯ a3n =a11a22… ann ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ann a11 0 0 ⋯ a21 a22 ⋯ ⑶ 下三角形行列式 a31 a32 a33 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 an3 ⋯ ⑷ 0 ⋯ 0 a2 副對角線行列式 ⋮ ⋮ ⋰ ⋮ an ⋯ ⋯ 0 0 0 =a11a22… ann ⋮ ann

行列式的定义与性质(精)

02. 行列式的定义与性质一、完全展开式定义2.1 n 阶排列12n j j j共有!n 个n 阶排列.定义2.2 逆(顺)序、逆序数12()n j j j τ；奇排列、偶排列顺序数为12(1)/2()n n n j j j --τ.例2.1 1)(564312)4432013=++++=τ，所以564312为奇排列.2)三阶排列及其逆序数、奇偶性如下表：123123123()123231312132213321()022113(1)111111j j j j j j j j j -+++---ττ 三阶行列式123123123111213212223112233122331132132112332122133132231313233()1233(1).j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---=-∑为阶排列τ3)标准排列12n 为偶排列.4)2(21)C (1)/2n n n n ==-τ. 所以，当2,3,6,7,10,11,n =时，21n 为奇排列；当4,5,8,9,12,13,n =时，21n 为偶排列.定义2.3 n 阶(方阵的)行列式有完全展开式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n n nna a a a a a a a a a a a =-∑为阶排列τ.矩阵与行列式的区别例2.2 1)下(上)三角(矩阵的)行列式11111122212222(12)1122121122(1).OOn n n nnn n nnnnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==-=τ2)对角(矩阵的)行列式 1212|diag(,,,)|n n a a a a a a =.特别地，有|diag(1,1,,1)|1=.(行列式的规范性) 例2.3 次下(上)三角(矩阵的)行列式11,11112,122,121(21)12,11,111(1)OOn n nn n n nn n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a -----==-τ(1)/212,11(1)n n n n n a a a --=-.例2.4 设[]A ij n n a ⨯=的主对角元均为奇数，其他元素均为偶数，求证||0A ≠. 二、基本性质变形性质、等于零的性质n 阶行列式就是n 阶方阵的规范的、对行(列)有交错性和多重线性的函数.(——行列式的公理化定义)例2.5a b a cc d b d=. 例2.6 设,A B 均为四阶方阵，12341234[,,,],[,,,]A B αγγγβγγγ==，且||A 1,||2B ==，求||A B +.例2.7 用化三角形法计算数字行列式. 例2.8 箭形行列式三角化.例2.9 先化为箭形行列式，再三角化：计算n 阶行列式11112222n nnn na b a a a a b a D a a a b ++=+.例2.10 快速“打洞”：计算n 阶行列式n ab b b aD b b ba=.当4,1,2n a b ===时，12341122211111111()/722122212201007772212221200102222122210001i r r r r r r i +++--=--≥-.例2.11 逐行(列)相消：计算n 阶杨辉行列式111,,11,||i j ij n ij i j i j a a a a a a --⎛⎫==⎧ ⎪⎨ ⎪=+⎩⎝⎭.431111111111111111111234012301230123136100136001300134,3,24,31410200141000140001i i i i r r r r r r i i -----==1=.例2.12 求证奇数阶反对称(矩阵的)行列式必为零. 例2.13 计算n 阶行列式111222121212n n n n x x x n x x x n D x x x n++++++=+++，注意对阶数n 做讨论.。