平面向量的概念及线性运算ppt

(7)相反向量一定是平行向量;
(8)平面内4个不同点A､B､C､D共线的充要条件是存在非零实 数k,使得
AB kCD;
(9)已知a是任一个非零向量,则
a 是一个单位向量. |a|
[解](1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相 同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.
AB AC CB常用于向量式的化
3.实数与向量的积:(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记 作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.由此可
见,总有λa与a平行;(2)运算律 :λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λa+ua,λ(பைடு நூலகம்+b)=λa+λb.
(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大 小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向
量的相反向量是0.
(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为 1的向量叫做单位向量.
2.向量的线性运算 (1)向量加法的定义
AB a, BCb, 再作
答案:B
3.平面上有三点A､B､C, 设m AB BC , n AB BC , 若向 量m, n的长度恰好相等, 则有(
A.A､B､C三点必在同一直线上
)
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶点
C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形
已知向量a､b,如图,平面内任取一点A,作 叫做a与b的和,记作a+b. AC,则 AC
即
求两个向量和的运算叫做向量的 a b AB BC AC .
加法.
(2)向量求和的三角形法则 利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求
AB 与
(3)正确,∵a=b,∴a､b的长度相等且方向相同. 又∵b=c,∴b､c的长度相等且方向相同.
∴a､c的长度相等且方向相同,故a=c.
(4)不正确,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|也不能得到a=b. 故 (5)正确,∵|a|=|b|⇏a=b,但a=b⇒|a|=|b|. ∴|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.
| | a || b不是 a=b的充要条件,而是必要不充分条件. a ∥ b
(6)正确.不同于平面几何中的平行与共线的概念,向量的平行 与共线是同一概念.
(7)正确.由相反向量的定义可知(7)正确.
(8)不正确.点的共线与向量的共线是不同的概念. (9)正确.由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量 a 1. ,而 |a| [答案](1)(4)(8)不正确,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正确
答案:C
4.已知平面上不共线的四点O, A, B, C.若OA 3OB 2OC 0, | AB | 等于( ) 则 | BC | 1 1 A. B. C.1 D.2 3 2 解析 : OA 3OB 2OC 0 (OA OB) 2(OC OB) 0 | AB | 2. BA 2 BC 0 BA 2 BC , | BC |
答案:C
类型一
向量的有关概念
解题准备:准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.
共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,两个向
量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,两个向 量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向量或相等向 量均与向量起点无关.
【典例1】判断下列命题是否正确 (1)若|a|=|b|,则a=b;
AB DC, | AB || DC | ,且
AB ∥ DC
(2)正确,∵
又
∵A､B､C､D是不共线的四点, ∴四边形ABCD是平行四边形.
反之,若四边形ABCD是平行四边形,则 AB ∥ DC, 且 AB DC. DC 方向相同,因此
[反思感悟]在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形 中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运
用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等
向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四 边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边
成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量
一实数λ使a=λb.
考点陪练
1.(2010 全国Ⅱ) ABC中, 点D在边AB上, CD平分ACB, 若 CB a, CA b, a 1, b 2, 则CD ( ) 1 2 A. a b 3 3 3 4 C. a b 5 5 2 1 B. a b 3 3 4 3 D. a b 5 5
解析 : 如图, CD平分ACB,由角平分线定理得 2 AD AC | b | 2, 所以 AD 2 DB AB, 所以CD DB BC | a | 3 2 2 2 1 CA AD CA AB CA (CB CA) CB CA 3 3 3 3 2 1 a b. 3 3
第五模块平面向量
第二十三讲
平面向量的概念及线性运算
回归课本
1.向量的概念 (1)把既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)把只有大小,没有方向的量(如年龄､身高､长度､面积､体积
､质量等),称为数量. (3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向 量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行( 共线).
AC=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四
(4)向量的减法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若 则 OA a, OB b, a b BA. (5)实数与向量积的定义: 实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时 ,λa与a方向相同;λ<0时,λa与a方向相反;λ=0时,λa=0.
解析 : 如图, AF AD DF
由题意知, DE : BE 1: 3 DF : AB, 1 DF AB. 3 1 1 1 1 1 2 1 AF a b ( a b) a b. 2 2 3 2 2 3 3
和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即
两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量 终点的向量.
(3)向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线向量a､b,作 的向量是 边形法则.
对 AB a, AD b , A､B､D三点
不共线,以AB､AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上
答案:D
5.已知 ABC的三个顶点A､B､C及平面内一点P满足 PA PB PC 0, 则P点是 ABC的( ) A.外心 C.重心 B.内心 D.垂心
解析 : 以PA､PB为邻边作平行四边形APBD.如图所示, 则 PA PB PD,即PD PC , C､P､D三点共线且 | PC | | PD |, 又AB､PD互相平分,| PC | 2 | PO |, 即P为重心.
答案:B
2.在平行四边形ABCD中, AC与BD交于点O, E是线段OD 的中点, AE的延长线与CD交于点F, 若 AC a, BD b, 则 AF等于( ) 1 1 A. a b 4 2 1 1 C. a b 2 4 2 1 B. a b 3 3 1 2 D. a b 3 3
【典例3】设两个非零向量a与b不共线, 1 若 AB a b, BC 2a 8b, CD 3(a b). 求证 : A､B､D三点共线.
解析 : 以向量 AB, BC为邻边构造平行四边形ABCD, 如图, 则BC AD, 所以m AB BC , n AB BC DB,向量m, n 的长度相等,即平行四边形ABCD对角线长度相等, 所以AB CD为矩形, 故 ABC必为直角三角形且B为直角.
有直接关系的向量来求解.
类型三
数乘向量与共线向量定理的应用
解题准备:(1)向量共线是指存在实数λ使两向量互相表示.
(2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之
共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共 线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线.
(6)向量的加法､减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量 的线性运算.向量加法的交换律表达式为a+b=b+a;向量加
法的结合律表达式为(a+b)+c=a+(b+c).
若λ,μ为实数,则 (λ+μ)a=λa+μa λ(μa)=λμa λ(a+b)=λa+λb.
3.向量共线的条件 平行向量基本定理:如a=λb,则a∥b,如果a∥b(b≠0),则存在惟
[反思感悟]熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键.
类型二
向量的线性运算及应用
解题准备:1.向量的加法:(1)定义:求两个向量和的运算,叫做
向量的加法;(2)法则:三角形法则,平行四边形法则;(3)运算
律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ;(2)法则:三角形法则.(3) 简.
1 [解]由三角形中位线定理知DE ∥ BC. 2 1 1 故 DE BC , 即DE a.CE CB BD DE 2 2 1 1 a b a a b. 2 2 1 1 MN MD DB BN ED DB BC 2 2 1 1 1 a b a a b. 4 2 4
4.线段中点的向量表示 : 若M是线段AB的中点, O是平面 1 内任一点, 则OM (OA OB). 2
【典例2】如图所示, D、E分别是 ABC中AB、AC边的中点, M、N分别是DE、BC的中点,已知BC a, BD b, 试用a、b 分别表示 DE、 CE和MN .
(2)若A､B､C､D是不共线的四点,则
为平行四边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)a=b的充要条件是
是四边形ABCD AB DC
| a || b | ; a ∥ b
(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分条件. (6)平行向量就是共线向量;