幂指对函数复习专题讲座

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幂指对函数复习专题讲座

一．幂函数

1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形.

2.幂函数互质）q p p

q

n Q n x y n ,,,(=

∈=的性质如表1-1.

3.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q p

y x =的性质.

（1）图的增大，函数图像向y 轴方向延伸.（2）

在第一象限是增函数.

（3） 1q

p

=时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函

数.）

（4）10q

p >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数.

（5）0q

p

<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象

限是减函数.

二．指数函数和对数函数

1.幂的有关概念：

(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *);② )0(10≠=a a ; n 个 ③∈=-p a

a

p p

(1Q ）;④m a a a n m n m

,0(>=、∈n N *

且)1>n (2)指数运算性质： ①r a a

a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a a

a s r s r

∈>=-；

③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）;

⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s

∈>>=⎪⎭⎫

⎝⎛.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用.

2．对数的概念：

(1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，

②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ;

.

③1log =a a ;④对数恒等式：N a N a =log . (3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

①N M MN a a a log log )(log +=;②N M N

M

a a a

log log log -=; ③M n M a n a log log =;④n a n a =log ; ⑤N n

N a a n log 1

log =

⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N

N m m a ⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N m

n

N a n a m log log =

3.指数函数

（1）指数函数的定义

一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象

a > ）

1

(0

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.

（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.

④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 4.

对数函数

（1）对数函数的定义

函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象

a <11))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.

（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .

③过点（1，0），即当x =1时，y =0.

④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

5.指数函数y=a x

(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y=log a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如表1-2．

(注)指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数． 6.抽象函数

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数： （1）

（2

（3）对数函数型抽象函数

.

（5

三．典型例题

【例1】 图中曲线是幂函数n x y =在第一象限的图象，已知n 取±2、±2

1

四个值，则相应于曲线C 1，

C 2，C 3，

C 4的

n 依次为（ ）

（A ） -2，

-

21

，21，

2. （B ）

2,

21, -21

,-2.

（C ） -21,-2, 2, 2

1

. （D ） 2,

21, -2，-2

1.

【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象

（1）2

3x y = ；（2）x

1

y = ；（3）32

x y = ；（4）2x y -= ；（5） y = x 1/2 ；

（6） y = x 1/3 ；（7） y = x 4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x 5/3 . （ ） （ ） （ ）

【例3】解答下述问题： （1）计算：

25.021

21

32

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

4

5()833[(÷⨯÷+---