球的体积与表面积 优秀教案
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计一、教学内容解析本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.本节课教学重点：研究球的体积和表面积.二、教学目标设置结合课标要求，本节课制定如下教学目标：1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.三、学生学情分析(一)已具备的认知基础1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.（二）可能存在的认知困难对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.五、教具准备各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.六、教学过程设计（一）复习引入、提出问题1.复习引入前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？2.提出问题问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？预设回答1：测量法求周长.预设回答2：极限法求周长.【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测量法研究球的体积做铺垫；2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？预设回答：极限法求面积.a) 如图1所示.图1b) 如图2所示.图2c) 如图3所示.图3【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.（二）自主探究、合作交流问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.预设回答1：测量法求球的体积.预设回答2：极限法求球体积.a) 如图4所示.图4b) 如图5所示.图5c) 如图6所示.图6【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.（三）数学建模、公式推导以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.如图7所示.图7祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.师：怎样通过祖暅原理求球的体积？师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.图8问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.图9师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.图10师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.图11师：请同学们一起推导球体积与半径的关系，由学生代表到黑板前演示推导过程.生：12V球=V柱−V锥=23πR3，所以V球=43πR3.师：我们运用祖暅原理得到了球体积与半径之间的关系V球=43πR3，通过之前推导出的球体积和表面积的关系，可以得到球表面积S球=4πR2.师：还有哪些构造与球等体积的几何体的方式？可以课下再进行研究. 如图12所示.图12师：我们今天能够推导出球的体积公式，都要归功于祖暅.让我们怀着敬意，一起来回顾祖暅的生平.【设计意图】利用祖暅原理，推导出球的体积公式，进而得到球的表面积公式.介绍祖暅原理蕴含的数学思想方法. 通过介绍中国古代优秀的数学家，增强民族文化自信，激发学生勤奋好学的斗志.（四）知识总结、心得体会1.师生共同进行知识总结2.学生谈体会和收获（五）作业布置、拓广探索1.复习巩固：教材119页练习2,3,4题；2.拓广探索：教材120页9题；3.合作探究：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式.结束语：学习是无止境的，科学探索的道路是充满艰辛、充满乐趣的，希望同学们能勤于钻研、勇于创新，创造出属于我们更加卓越的未来.。
球的体积和表面积教案
球的体积和表面积教案教案名称：球的体积和表面积教学目标：1.了解球体积和表面积的概念以及计算公式。
2.通过具体实例，培养学生计算球体积和表面积的能力。
3.通过合作学习和讨论，提高学生的动手能力和分析问题的能力。
教学内容：1.球的体积和表面积概念介绍。
2.球体积的计算公式。
3.球表面积的计算公式。
4.实例讲解和练习。
教学过程：Step 1：引入教学（5分钟）教师可以通过问题引入，如“同学们是否知道什么是球的体积和表面积？”等，激发学生的学习兴趣。
Step 2：概念介绍（10分钟）通过教师的介绍和板书，向学生简单介绍球的体积和表面积的概念，并引导学生理解。
Step 3：计算公式（15分钟）教师通过示意图和具体的计算公式，向学生讲解球体积和表面积的计算方法，并强调公式的推导过程。
Step 4：实例讲解（15分钟）教师通过几个具体的实例，向学生讲解如何根据给定数据计算球的体积和表面积。
教师可以提供一些复杂的例子，并引导学生一步步解决问题。
Step 5：合作学习（15分钟）将学生分成小组，通过合作学习的方式进行练习。
每个小组选择一道题目进行讨论和解答，学生可以自由讨论并分享解题思路。
Step 6：展示与总结（10分钟）请几个小组派代表上台展示他们的解答思路，并进行讨论和解答。
教师总结和讲解正确答案，并强调问题的解题思路和技巧。
Step 7：拓展联系（15分钟）通过提出一些拓展问题，帮助学生巩固所学知识，并培养学生分析问题和解决问题的能力。
Step 8：课堂巩固（5分钟）布置相关的作业题，让学生在课后继续巩固和复习所学知识。
教学资源：1.教师教案和课件。
2.黑板和彩色粉笔。
3.计算器和几何器具。
4.课堂练习题和作业题。
教学评价方法：1.课堂参与度评价：观察学生是否积极参与课堂讨论和学习，参与度高者评价较好。
2.问题解答能力评价：观察学生在课堂上解答问题的能力，解答准确且思路清晰者评价较好。
3.作业完成情况评价：评价学生对所学知识的掌握情况，作业完成准确且规范者评价较好。
球的表面积与体积教案修订
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
教后反思
8.将一钢球放入底面半径为 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 ，则钢球的半径是.
9.已知正方体的每个顶点都在球面上，球的体积是 ，求正方体的表面积.
10.（1）如图，，红色圆环的大圆半径为 ,小圆半径为 ，现
将圆环绕直径所在直线旋转 ，请计算旋转得到几何体的体积.
（2）一种空心钢球的质量是142 ,外径是 ,求它的内径
（A） （B） （C） （D）
3.直径是 的一个大金属球，溶化后铸成若干个直径为 的小球，如果不计损失，可铸成这样的小球（）.
（A)123个（B）124个（C）125个（D）126个
4.已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）.
（A） （B） （C） （D）
问题解决最佳方案
5.如果球的过球心截面圆的面积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大为原来的4倍，那么球的表面积扩大为原来球的表面积的（）.
（A） 倍（B） 倍（C） 倍（D) 倍
6.如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得几何体的表面积是（）.
（A) （B）
（C） （D）
7.两球表面积之差为 ，大圆（过球心的截面）周长之和为 ，则两球直径之差为.
（A） （B） （C） （D）
2.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的倍.
3.球的体积是 ，试计算它的表面积（ 取 ，结果精确到 ，可用计算器）.
4.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 ，求球的体积.
问题解决最佳方案
问题解决最佳方案
【典型例题】
例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
示范教案(球的体积和表面积)
一、教学目标：1. 让学生掌握球体体积和表面积的计算公式。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对球的体积和表面积概念的理解。
二、教学内容：1. 球的体积计算公式：V = 4/3πr³2. 球的表面积计算公式：S = 4πr²3. 实际例子：计算篮球、足球等球的体积和表面积。
三、教学重点与难点：1. 重点：球的体积和表面积计算公式的掌握。
2. 难点：如何将实际问题转化为球的体积和表面积的计算问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法讲解球的体积和表面积的计算公式。
2. 利用多媒体展示实例，引导学生运用公式计算。
3. 分组讨论，让学生互相交流解题方法。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示篮球、足球等球体，引导学生思考如何计算它们的体积和表面积。
2. 讲解球的体积计算公式：V = 4/3πr³，解释公式的推导过程。
3. 讲解球的表面积计算公式：S = 4πr²，解释公式的推导过程。
4. 实例分析：计算篮球、足球等球的体积和表面积，引导学生运用公式解决问题。
5. 练习环节：布置一些有关球体积和表面积的练习题，让学生独立完成。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调球的体积和表面积的计算公式及应用。
7. 作业布置：让学生课后总结球的体积和表面积的计算方法，并找出生活中有关球体积和表面积的实际问题进行解答。
六、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对球体积和表面积计算公式的掌握程度。
2. 观察学生在实际问题中运用公式的能力，以及对篮球、足球等球体体积和表面积的计算准确性。
七、教学拓展：1. 引导学生思考：除了球体，还有哪些几何体的体积和表面积可以运用类似的公式进行计算？2. 探讨其他几何体的体积和表面积计算方法，如圆柱、圆锥等。
八、教学资源：1. 多媒体课件：包括球体的图片、公式推导过程、实例分析等。
2. 练习题：包括不同难度的球体积和表面积计算题目。
球的表面积和体积教案
球的表面积和体积教案教案标题：球的表面积和体积教案教案目标：1. 通过本课的学习，学生将能够理解球的表面积和体积的概念。
2. 学生将能够运用适当的公式计算球的表面积和体积。
3. 学生将能够将所学知识应用于实际问题，并进行问题解决。
教学资源：1. 白板、黑板或投影仪2. 球模型或球图片3. 教学课件或教材4. 学生练习题和解答教学步骤：引入：1. 在白板上绘制一个球体的图形，引导学生思考并分享他们对球的认识和特点。
2. 提问学生，他们是否知道如何计算球的表面积和体积。
讲解：1. 通过使用球模型或球图片，向学生展示球的表面积和体积的定义。
2. 解释并推导出球的表面积和体积的公式。
表面积公式为4πr²，体积公式为(4/3)πr³，其中r为球的半径。
3. 通过示例问题演示如何使用公式计算球的表面积和体积。
练习：1. 分发学生练习题，并要求学生独立或合作完成。
2. 监督学生的练习过程，及时解答他们的问题。
3. 收集学生的练习作业，并给予适当的反馈。
拓展：1. 提供一些拓展问题，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
2. 引导学生思考和讨论球的表面积和体积在现实生活中的应用。
总结：1. 总结本课的重点内容，强调球的表面积和体积的计算方法和公式。
2. 鼓励学生复习和巩固所学知识，以便能够灵活运用。
评估：1. 设计一些评估题目，测试学生对球的表面积和体积的理解和计算能力。
2. 根据学生的回答和解答，评估他们的学习情况，并提供适当的反馈和指导。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实践和探索，例如测量和计算不同球体的表面积和体积。
2. 引导学生了解其他几何体的表面积和体积计算方法，扩展他们的数学知识。
注意事项：1. 在讲解过程中，使用简单清晰的语言和示例，确保学生能够理解和掌握。
2. 确保学生参与课堂互动，鼓励他们提问和分享自己的思考。
3. 在评估过程中，注重学生的思维过程和解决问题的能力，而不仅仅是答案的准确性。
高中数学1.3.2 球的表面积与体积优秀教案
§球的体积和外表积班级姓名小组【学习目标】；1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的根本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和〞2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题3、培养学生的空间思维能力和空间想象能力教学重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的根本思想方法教学难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成【导学流程】一、了解感知阅读教材P27－28，答复：1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝ .2．球的外表积球的半径为R，那么它的外表积S＝ .3．与球的关的组合体问题(1)假设一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，假设正方体内接于球，则2R＝3a(a为正方体的棱长)；(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a.[知识拓展]对球的外表积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的外表积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故外表积和体积是关于R的函数．(2)由于球的外表不能展开成平面，所以，球的外表积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的外表积公式的推导方法是不一样的．(3)球的外表积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．二、深入学习4、一个球的体积为36πcm3，则此球的外表积为________．5、(1)火星的直径约为地球直径的一半，地球的体积约是火星体积的多少倍？(2)木星的外表积约为地球外表积的120倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？6、某个几何体的三视图如下图(单位：m)(1)求该几何体的外表积；(2)求该几何体的体积．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何的特殊位置，比方中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点〞和“接点〞，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(3)此类问题的具体解题流程：7、(20xx·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的外表积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2。
球的体积和表面积 优秀教案
性质1球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质2球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有下面关系：
（演示模型给学生看，不作证明）
在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系？
当 时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当 时弦长为0，这时直线与圆相切．
在球中，球心到截面的难看出：球面的两种定义和圆有联系．比如说：从点的集合的观点看圆与球的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质？我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？
5．例题分析
例1我国首都北京靠近北纬 ，求北纬 纬线的长度．（地球半径约为6370km）
（解答见课本第66页）
例2过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面积为 ，求球的半径．
解：如图1，为球的轴截面图，设截面半径为 ，球半径为 ，则： ∴ ， ， ， ，且 ，在 中，由于 ，故由射影定理可知： 即： 解得
当 时，截面过球心，这时 ，截面圆最大，这个圆叫大圆；当 增大时截面圆越来越小，当 时，截面是小圆，当 时，截面圆缩为一个点，这时截面与球相切．
3．地球仪中的经纬度（边演示模型，边讲解）
如图1，纬度—— 点的纬度，也是 或 的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度．
如图1，经度—— 点的经度，也是 或 的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
答：球的半径为 ．
【演练反馈】
示范教案(球的体积和表面积)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解球的体积和表面积的概念；（2）掌握球体积和表面积的计算公式；（3）能够运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等方法，引导学生发现球的体积和表面积的计算规律；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神；（2）培养学生合作、交流的能力，提高学生的团队协作意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）球的体积和表面积的概念；（2）球的体积和表面积的计算公式；（3）运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 教学难点：（1）球的体积和表面积公式的推导；（2）运用球的体积和表面积公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教具准备：（1）篮球、足球等球类；（2）体积和表面积的计算工具。
2. 学具准备：（1）学生用书；（2）练习本；（3）计算器。
四、教学过程1. 导入新课：（1）引导学生观察篮球、足球等球类，提出问题：“你们知道这些球类的体积和表面积是如何计算的吗？”；（2）学生回答后，教师总结并板书球的体积和表面积的计算公式。
2. 探究球的体积和表面积公式：（1）学生分组讨论，尝试推导球的体积和表面积公式；（2）各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 运用球的体积和表面积公式解决实际问题：（1）教师出示实际问题，如“一个篮球的半径为10cm，求它的体积和表面积”；（2）学生独立计算，教师巡回指导；（3）学生汇报计算结果，教师点评。
五、课堂小结本节课我们学习了球的体积和表面积的计算方法，掌握了球的体积和表面积公式，并能运用这些知识解决实际问题。
希望大家在课后继续探究，发现更多有趣的数学知识。
六、教学拓展1. 球内切立方体：（1）教师展示一个球内切立方体的模型，引导学生观察；（2）学生分组讨论，探究球内切立方体的体积和表面积之间的关系。
2. 球与圆柱、圆锥的关系：（1）教师出示一个球切开成圆柱和圆锥的模型，引导学生观察；（2）学生分组讨论，探究球、圆柱和圆锥的体积和表面积之间的关系。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)第一章：球的定义与性质一、教学目标：1. 了解球的定义及其在几何中的重要性。
2. 掌握球的基本性质，如球心、半径等。
3. 能够识别和描述球的各种相关术语。
二、教学内容：1. 球的定义及特点。
2. 球心、半径等基本性质的介绍。
3. 球的相关术语，如球面、球体等。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解球的定义及性质。
2. 利用实物模型或图形，帮助学生直观理解球的特点。
3. 进行小组讨论，让学生互相交流对球的理解。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的概念和性质的理解。
2. 学生作业，要求学生绘制球的图形并描述其性质。
第二章：球的体积计算一、教学目标：1. 理解球的体积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的体积公式进行计算。
3. 能够应用球的体积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的体积的定义及计算公式。
2. 球的体积公式的推导过程。
3. 应用球的体积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的体积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的体积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的体积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的体积定义和计算公式的理解。
2. 学生作业，要求学生应用球的体积公式进行计算和解决实际问题。
第三章：球的表面积计算一、教学目标：1. 理解球的表面积的定义及其计算公式。
2. 学会使用球的表面积公式进行计算。
3. 能够应用球的表面积公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 球的表面积的定义及计算公式。
2. 球的表面积公式的推导过程。
3. 应用球的表面积公式解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解球的表面积的定义及计算公式。
2. 通过数学推导，展示球的表面积公式的推导过程。
3. 提供实际问题，让学生应用球的表面积公式进行计算和解决。
四、教学评估：1. 课堂提问，检查学生对球的表面积定义和计算公式的理解。
球的体积与表面积 优秀教案
1.3.2球的体积与表面积【课题】：§1.3.2球的体积与表面积A 【教学目标】：１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】：1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。
并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。
2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：练习与测试：1. 球的体积是323π，则此球的表面积是 ( ) A. 12π B. 16π C. 163π D. 643π2. 两个球的表面积之比为1：9， 则此两球的体积之比为 （ ）A. 1: 729B. 1: 27C. 1: 9D. 1: 33. 一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为 （ ） A. 1: B. 1: 3 C. D. 1: 24. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则此几何体的表面积是 ；体积是 。
球的表面积与体积计算教案
球的表面积与体积计算教案教学目标：1. 理解球体的基本概念和特征。
2. 掌握计算球体表面积和体积的方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学内容：1. 球体的定义和性质介绍。
2. 球体的表面积计算方法。
3. 球体的体积计算方法。
4. 实际问题应用。
教学过程：一、引入（5分钟）教师可通过展示一个球体实物或者图片，向学生介绍球体的形状和特征。
引导学生思考球体的表面积与体积之间的关系。
二、理论讲解（15分钟）1. 球体的定义和性质：球体是由所有离球心距离小于或等于半径的点组成，具有圆形平面的特点。
球体的半径是由球心到球面上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 球体的表面积计算方法：球体的表面积公式为S = 4πr²，其中π取近似值3.14。
解释公式的各个部分含义，强调半径的重要性。
3. 球体的体积计算方法：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中π取近似值3.14。
解释公式的各个部分含义，与表面积的公式进行对比。
三、计算示范与练习（20分钟）1. 教师通过几个实际例题的计算示范，引导学生掌握球体表面积和体积的计算方法。
示例题1：求半径为5cm的球体的表面积和体积。
解：表面积S = 4πr² = 4π(5)² = 4π×25 = 100π ≈ 314cm²体积V = (4/3)πr³ = (4/3)π(5)³ = (4/3)π×125 ≈ 523.33cm³2. 学生进行练习，巩固计算方法。
请学生计算不同球体半径的表面积和体积，并在课后进行检查。
四、实际问题应用（15分钟）教师出示一些和球体相关的实际问题，引导学生应用所学知识解决问题，如：1. 有一个球形鱼缸，直径为60cm，求球形鱼缸的表面积和体积。
2. 一个篮球的表面积是486cm²，求篮球的半径和体积。
五、总结与拓展（5分钟）教师对本节课所学的内容进行总结，并提出一些拓展问题供学生思考，如球体表面积和体积的应用领域有哪些？附加练习题：1. 求球体的表面积和体积：a) 半径为8cm的球体；b) 直径为12cm的球体。
球的表面积和体积教案
球的表面积和体积教案一、教学目标1. 理解球的表面积和体积的概念。
2. 利用公式计算球的表面积和体积。
3. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1. 确定球的表面积和体积的计算公式。
2. 运用公式计算球的表面积和体积。
三、教学难点1. 确定球的表面积和体积的计算公式。
2. 运用所学知识解决实际问题。
四、教学过程Step 1 引入新知1. 引入球的表面积的概念：“同学们，你们平时在打篮球或足球时，有没有观察过球的表面？球的表面是光滑而圆润的，我们今天就来学习如何计算球的表面积。
”2. 引入求球的体积的概念：“那么，同学们，我们再思考一个问题，球的内部空间有多大呢？我们可以用体积来表示。
下面我们就来学习求球的体积。
”Step 2 讲解球的表面积的计算公式1. “同学们，请看这个球，球的每一个点都与球心的距离相等，我们称这个距离为半径。
我们可以用R来表示球的半径。
”2. “球的表面由许多小面元组成，每个小面元都是一个小圆，根据几何知识，我们可以知道每个小圆的面积是πR²。
”3. “考虑球的所有小圆，我们可以算出球的表面积。
由于球表面上每个小圆的面积相等，所以球的表面积等于小圆面积乘以球表面的个数。
”4. “根据上面的讲解，我们可以得出球的表面积公式：表面积 =4πR²。
”Step 3 讲解球的体积的计算公式1. “同学们，请思考一下，如果把球切成无数个很小的小块，每个小块的体积是什么？”2. “根据几何知识，我们可以知道每个小块的体积是半径为R的球冠体积的一部分。
”3. “考虑球的所有小块，我们可以得到球的体积。
由于球的所有小块的体积相等，所以球的体积等于小块体积乘以球内小块的个数。
”4. “根据上面的讲解，我们可以得出球的体积公式：体积 =(4/3)πR³。
”Step 4 练习计算球的表面积和体积1. 分发练习题，让学生在教师的指导下进行计算球的表面积和体积的练习。
2. 强调计算过程中的注意事项，例如要注意单位的转换，保留适当的有效数字等。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)一、教学目标1. 知识与技能：理解球的体积和表面积的概念。
学会计算球的体积和表面积。
能够应用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察和实验，探究球的体积和表面积的计算方法。
利用数学软件或工具，验证球的体积和表面积的计算结果。
3. 情感态度价值观：培养学生的空间想象能力。
培养学生的合作探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：球的体积和表面积的计算公式。
应用球的体积和表面积公式解决实际问题。
2. 教学难点：理解球的体积和表面积的概念。
球的体积和表面积公式的推导。
三、教学准备1. 教具准备：球体模型。
数学软件或工具。
2. 学生准备：了解平面几何的基本知识。
掌握代数的基本运算。
四、教学过程1. 导入：通过展示球体模型，引导学生观察和描述球体的特点。
提问：球的体积和表面积是什么？如何计算？2. 探究球的体积和表面积：引导学生通过实验或观察，探究球的体积和表面积的计算方法。
引导学生推导球的体积和表面积的计算公式。
3. 讲解与应用：讲解球的体积和表面积的计算公式。
通过例题，演示如何应用球的体积和表面积公式解决实际问题。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生独立完成。
学生之间互相讨论和解答疑问。
五、教学反思1. 教师反思：教学过程中是否清晰讲解球的体积和表面积的概念和计算方法？学生是否能够理解和应用球的体积和表面积公式？是否有针对性地解决学生的疑问和难点？自己是否理解和掌握了球的体积和表面积的概念和计算方法？在解决实际问题时，是否能够正确应用球的体积和表面积公式？自己在学习过程中遇到的困难和疑问是否得到解决？六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对球体积和表面积概念的理解。
评估学生对球体积和表面积计算公式的掌握情况。
2. 练习题：布置不同难度的练习题，评估学生应用公式解决问题的能力。
观察学生的解题过程，了解其在应用知识时的思维过程。
七、练习与拓展1. 小组活动：学生分组，进行合作探究，解决更复杂的球体积和表面积问题。
球的表面积和体积教案
课题： 1.3.2 球的表面积与体积(一)教学目标1.了解球的表面积与体积公式,培养学生空间想象能力和思维能力2. 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3. 会用球的表面积和体积公式进行计算；会求一些简单几何体的表面积和体积.4. 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.(二)教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合（四）教学过程<1> 新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.<2> 探索新知球的体积：343V R π=球的表面积：24S R π= 总结：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R 惟一确定.其中球的体积是半径R 的三次函数，球的表面积是半径R 的二次函数.随堂练习：（1）设球的半径约8cm ，则球的表面积为 （2562cm π）（2）若球的体积为363cm π，则球的表面积为 （362cm π） <3> 典例分析（课本P27页）例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为 R ，高为2R . 因为，343V R π=球 2322V R R R ππ=⋅=圆柱，所以，23V V =球圆柱（2）因为，24S R π=球2224S R R R ππ=⋅=圆柱侧所以，=S S 球圆柱侧<4> 课堂练习（课本P28页）：1.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的多少倍？2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm ，求球的体积。
<变式题>在球面上有四个点 , , , ,如果 , , ，两 两垂直且 ，求这个球的体积。
3.一个球的体积是100 ，试计算它的表面积。
（ 取3.14，结果精确到1 ) （参考答案：（1）8；（2）π233a ，变式题：π233a ；（3）104.） <5> 补充高考题（1）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积.解：由三视图可知，该几何体是半径为2 的半球体，其表面积为（2）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，求该几何体的表面积？424侧（左）视图正（主）视图a PC PB PA ===PC PB PA 俯视图 底面半球S S S +=84ππ=+12π=232侧(左)视图正(主)视 图 C B A P3cm π2cm 2解：几何体的表面积为：<6> 课后思考题球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（A ）A ．6:13B ．5:14C ．3:4D ．7:15<7> 课堂小结（1）球的表面积公式，球的体积公式.（2）球的体积公式和表面积的一些运用.(3）轴截面的应用（与其他几何体外接内切）.<8> 布置作业1 一个球的体积是100 ，试计算它的表面积。
示范教案(球的体积和表面积)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解球的体积和表面积的概念；（2）掌握球体积和表面积的计算公式；（3）能够运用球体积和表面积的知识解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力；（2）学会用数学语言表达问题，提高学生的数学表达能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）球体积和表面积的概念；（2）球体积和表面积的计算公式。
2. 教学难点：（1）球体积和表面积公式的推导过程；（2）运用球体积和表面积知识解决实际问题。
三、教学准备1. 教具：（1）篮球、足球等球类；（2）体积和表面积的计算器；（3）黑板、粉笔。
2. 学具：（1）学生用书；（2）练习本；（3）测量工具（如卷尺、量筒等）。
四、教学过程1. 导入新课（1）教师出示各种球类，引导学生观察球的形状；（2）提问：同学们，你们知道球有什么特性吗？今天我们要学习球的体积和表面积。
2. 探究球体积和表面积的概念（1）教师引导学生思考：如何计算球的体积和表面积？；（2）学生通过观察、操作、思考，得出球体积和表面积的定义。
3. 推导球体积和表面积的计算公式（1）教师引导学生观察球体的特点，引导学生思考如何推导公式；（2）学生通过小组讨论、操作，推导出球体积和表面积的计算公式。
4. 应用球体积和表面积的知识（1）教师出示实际问题，引导学生运用球体积和表面积的知识解决问题；（2）学生独立思考、解答问题，交流解题过程和方法。
5. 课堂小结（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结球体积和表面积的计算方法；（2）学生分享学习收获，反思学习过程。
五、课后作业1. 完成学生用书上的练习题；2. 观察生活中常见的球体，尝试计算其体积和表面积；六、教学策略1. 情境创设：利用实物展示和多媒体课件，为学生提供丰富的感性材料，激发学生的学习兴趣。
《球的体积和表面积》教案
《球的体积和表面积》教案教学目标1、知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题. ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力. 2、过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝4πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.3、情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.教学重难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法. 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程一、创设情景提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.二、探究新知 1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P 32页).球的体积公式：343π=V R .2.探究球的表面积公式设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积:S =12i S S S ∆+∆+++∆以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13i i i V h S =⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+，又∵i h R ≈，且S =12i S S S∆+∆+++∆∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S Rπ=即为球的表面积公式 三、例题示范例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2A B B C C A ===，求球的表面积.解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ， 则223O A '==， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+， ∴22214R R =+，∴43R =，∴26449S R ππ==． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球，求球的表面积和体积.''解：作轴截面如图所示，CC '=，AC ==，设球半径为R ， 则222R OC CC '=+ 229=+= ∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球． 例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =， ∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．例4. 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的23； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积与表面积教案设计(参考)章节一：引言与概念介绍教学目标：1. 让学生理解球的基本概念。
2. 让学生了解球体体积与表面积的定义。
教学内容：1. 引出球体的概念，展示图片并让学生观察。
2. 介绍球体的体积与表面积的定义及计算公式。
教学活动：1. 展示球体模型，引导学生观察并描述球体的特征。
2. 讲解球体的体积与表面积的定义及计算公式。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体体积与表面积的概念。
章节二：球的体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体体积的计算方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 讲解球体体积的计算公式：V = 4/3πr³。
2. 举例说明球体体积的计算方法。
教学活动：1. 通过公式推导，讲解球体体积的计算方法。
2. 举实例，让学生演示如何计算球体体积。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体体积的计算方法。
2. 布置实际问题，让学生运用球体体积公式解决问题。
章节三：球的表面积计算教学目标：1. 让学生掌握球体表面积的计算方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 讲解球体表面积的计算公式：S = 4πr²。
2. 举例说明球体表面积的计算方法。
教学活动：1. 通过公式推导，讲解球体表面积的计算方法。
2. 举实例，让学生演示如何计算球体表面积。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体表面积的计算方法。
2. 布置实际问题，让学生运用球体表面积公式解决问题。
章节四：球体积与表面积在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生学会运用球体积与表面积公式解决实际问题。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 通过实例讲解球体积与表面积在实际问题中的应用。
2. 培养学生运用公式解决实际问题的能力。
教学活动：1. 讲解球体积与表面积在实际问题中的应用实例。
2. 让学生分组讨论，尝试解决实际问题。
作业与练习：1. 让学生完成课后练习题，巩固球体积与表面积公式的应用。
2022年 《学案6.3球的表面积和体积》优秀教案
球的外表积和体积1．球的截面用一个平面α去截半径为R 的球O 的球面得到的是圆，有以下性质： 1假设平面α过球心O ，那么截线是以O 为圆心的球的大圆．2假设平面α不过球心O ，如图，设OO ′⊥α，垂足为O ′，记OO ′＝d ，对于平面α与球面的任意一个公共点，那么它的体积为错误!π [由题意知其半径为R ＝错误!＝5cm ，故其体积为V ＝错误!πR 3＝错误!×π×53＝错误!πcm 3．]3．假设球的半径由R 增加为2R ，那么这个球的体积变为原来的________倍，外表积变为原来的________倍．8 4 [球的半径为R 时，球的体积为V 1＝错误!πR 3，外表积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝错误!π2R3＝错误!πR 3，外表积为S 2＝4π2R 2＝16πR 2所以错误!＝错误!＝8，错误!＝错误!＝4，即体积变为原来的8倍，外表积变为原来的4倍．]A ．36π，144πB ．36π，36πC ．144π，36πD ．144π，144πB[球的半径长为3，外表积S＝4π·32＝36π，体积V＝错误!π·33＝．]1球的半径，可直接利用公式求它的外表积和体积2球的外表积和体积，可以利用公式求它的半径错误!1．球的体积是错误!，那么此球的外表积是A．12πB．16πC．错误!D．错误!B[设球的半径为R，那么由得错误!πR3＝错误!，解得R＝2故球的外表积S＝4πR2＝16π]表球的截面问题口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，假设不计容器厚度，那么球的体积为A．错误!cm3B．错误!cm3C．错误!cm3D．错误!cm3A[如图，作出球的一个截面，那么MC＝8－6＝2cm，BM＝错误!AB＝错误!×8＝4cm．设球＝错误!π×53＝错误!πcm3．]的半径为R cm，那么R2＝OM2＋MB2＝R－22＋42，∴R＝5∴V球球截面问题的解题技巧1有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．2解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2错误!2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，那么该球的体积是A．错误!cm3B．错误!cm3C．错误!cm3D．错误!cm3C[根据球的截面的性质，得球的半径R＝错误!＝5cm，所以V球＝错误!πR3＝错误!cm3．]1．假设一个球内切于某个多面体的面，如何求出球的半径？提示：假设一个球内切于某个几何体，那么连接切点和球心的直线垂直于这个多面体的面，构造直角三角形，即可求出球的半径．2．假设一个球外接于某个多面体，如何求出球的半径？提示：假设一个球外接于某个多面体，那么连接球心和多面体的顶点就是球的半径，一般是找到截面，把问题平面化求解．【例3】直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，假设AB＝3，AC＝4，AB ⊥AC，AA1＝12，那么球O的直径为A．错误!B．2错误!C．13 D．3错误![思路点拨]错误!→错误!C[因为三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，假设AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直．△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝错误!＝13，所以球的直径为13]V内切球＝错误!πr3＝错误!π×23＝错误!2．本例假设将直三棱柱改为“正四面体〞，那么此正四面体的外表积S1与其内切球的外表积S2的比值为多少？[解]设正四面体棱长为a，那么正四面体外表积为S1＝4·错误!·a2＝错误!a2，其内切球半径r 为正四面体高的错误!，即r＝错误!·错误!a＝错误!a，因此内切球外表积为S2＝4πr2＝错误!，那么错误!＝错误!＝错误!3．本例中假设将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3错误!的正四棱锥〞，那么其外接球的半径是多少？[解]依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3错误!×错误!＝6，高为错误!＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2假设球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解其R 为球的半径1．球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．2．要求球的体积或外表积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或外表积公式求解．3．处理与球有关的问题应注意下面几点：1截面问题．R2＝d2＋r2d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径．2接、切问题．确定球心的位置，球心到接、切点的距离等于球的半径．3轴截面问题．球是旋转体，轴截面通常是解决问题的平台．1．思考辨析正确的画“√〞，错误的画“×〞1两个球的半径之比为1∶2，那么其体积之比为1∶4．2球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．3经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．提示：1错误．两个球的半径之比为1∶2，那么其体积之比为1∶82正确．3正确．[答案]1×2√3√2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，那么圆柱的高为A．R B．2RC．3R D．4RD[设圆柱的高为h，那么πR2h＝3×错误!πR3，得h＝4R]3．设正方体的外表积为24，那么其外接球的体积是A．错误!π B．错误!C．4错误!π D．32错误!πC[由题意可知，6a2＝24，∴a＝2＝错误!πR3＝4错误!π]设正方体外接球的半径为R，那么错误!a＝2R，∴R＝错误!，∴V球4．1球的外表积为64π，求它的体积；2球的体积为错误!π，求它的外表积．[解]1设球的半径为R，那么4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝错误!πR3＝错误!π·43＝错误!π2设球的半径为R，那么错误!πR3＝错误!π，解得R＝5，所以球的外表积S＝4πR2＝4π×52＝100π。
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1.3球的体积与表面积
【课题】：§1.3.2球的体积与表面积B 【教学目标】：
１． 知识与技能
⑴通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导； ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法
通过运用祖暅原理得出球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式
Ｖ＝
3
4
πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法。
３． 情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【教学突破点】：球体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过诱导学生前面已有知识点的运用技巧，通过客观的诱导分析及具体动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用． 【教法、学法设计】：
1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识可以使用分割求和的方法得到球体的体积与表面积的运算公式。
并且能够运用基本公式来解决实际问题，培养解题技能。
2．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 【课前准备】：模型、课件 【教学过程设计】：
233R R R R ππ-=，
所以
这个结论可以通过“倒沙实验”得到．
设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥
这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径......的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积向于球的体积12311RS RS RS +++ (1)
RS =
练习与测试：
1. 球的体积是32
3
，则此球的表面积是( )
A. 12π
B. 16π
C. 16
3
π D.
64
3
π
2. 两个球的表面积之比为1：9，则此两球的体积之比为（）
A. 1: 729
B. 1: 27
C. 1: 9
D. 1: 3
3. 一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为（）
A. 1:
B. 1: 3
C.
D. 1: 2
4. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则此几何体的表面积是；体积是。
5．两个球的表面积之和为20π，且这两个球的大圆周长之和为6π，则这两个球的半径分别为；
6．三个球的半径之比为1：2：3，那么半径最大的球的体积是另两个球的体积之和的（）
A. 1倍
B. 2倍
C. 3倍
D. 8倍
7．棱台的上、下底面的面积分别为4和9，则这个棱台的高与截的棱台的原棱锥的高的比为（）
A. 1：2
B. 1：3
C. 2：3
D. 3：4
8球面上有三个点A、B、C，且AB＝3，BC=4, AC=5,球心到平面ABC的距离为球的半径
的1
2
，那么这球的半径是（）
A.
3
B.
5
3
C.
3
D.
10
3
9. 长方体中共顶点的3，求它的外接球的表面积和体积。
10．已知球的半径为2，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径为何值时，它的侧面积最大？
参考答案：1.B 2. B 3. B 4. 4π,4
3
π
5.1和2
6. C
7. B
8. C
9.解：设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则依题意得：
1
ab a
ac b
bc c
⎧==
⎧
⎪⎪
⎪
=⇒=
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩
⎪⎩
∴长方体的体对角线长l=3, 故其外接球的半径
3
2
r=
2
3
49
2
439
322
S
V
ππ
ππ
⎛⎫
∴⨯ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
球
3
球
＝＝
＝＝
10.解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2+h2=16,
故h=
4444 S r h r
ππ
===+圆柱侧
＝2
∴当
时，侧面积的最大值为8π。