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2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题18 解析几何中的双曲线问题(解析版)

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题18 解析几何中的双曲线问题(解析版)

专题18 解析几何中的双曲线问题【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________． 1．答案 3- 解析 对于双曲线221x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m-=-，则1a =，b =，又双曲线221x ym +=的渐近线方程为y =，所以a b =，=解得3m =-；故答案为3-．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．2．答案解析 双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d ==，解得m =或m =． 3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 3．答案 2（满足1e <≤） 解析 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为by x a=±, 结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”，所以c e a ===1e >，所以1e <≤2（满足1e <≤4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D4．答案 C 解析 依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥， 因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=，又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==．故选C ．5．(2022·浙江)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点 ()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．5．答案 解析 过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a =+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a=，所以离心率e =． 【知识总结】1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)．(3)焦点：两个定点F 1，F 2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝11．答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52，①．由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋ b 2＝9，②．由①②可得a 2＝4，b 2＝5．所以C 的方程为x 24－y 25＝1．故选B ．2．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝12．答案 A 解析 依题意得b a ＝12，①，又a 2＋b 2＝c 2＝5，②，联立①②得a ＝2，b ＝1．∴所求双曲线 的方程为x 24－y 2＝1．3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以ca ＝2，c ＝2a ，b ＝3a ，不妨令A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 双曲线其中一条渐近线方程为y ＝3x ，所以d 1＝|23a －3a |(3)2＋(－1)2＝23a －3a 2，d 2＝|23a ＋3a |(3)2＋(－1)2＝23a ＋3a 2；依题意得：23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得：a ＝3，b ＝3，所以双曲线方程为：x 23－y 29＝1．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝14．答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示⎝⎛ 不妨设点A⎭⎫在渐近线y ＝ba x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2．又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a ＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝15．答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D ． 6．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=6．答案 B 解析 设双曲线方程为22222222221, x y b x a y a b a b-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y ，由221b x -221a y =2222222222, a b b x a y a b -=得，2212121212()()()0()y y b x x a y y x x -+-+=-，1215AB PN N k k =又中点（-，-）,，212b ∴-+222150, 45a b a ==即，22+9b a =，所以224, =5a b =．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝17．答案 Ｄ 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得 49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①．又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，②．由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D ．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝1 8．答案 C 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25＝1．故选C ．9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝19．答案 D 解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得x 2a 2－(x －1)27－a 2＝1，(7－a 2)x 2－a 2(x －1)2＝a 2(7－a 2)，整理得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0．又MN 中点的横坐标为－23，故x 0＝x 1＋x 22＝－2a 22(7－2a 2)＝－23，即3a 2＝2(7－2a 2)，所以a 2＝2，故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1．10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝110．答案 B 解析 ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|P Q|，P ，F 2，Q 三点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|P Q|－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q|＝2＝2a ，解得a ＝1．又e ＝c a ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1．故选B ． 题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A ．32 B ．3 C ．23 D ．411．答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x ．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α ＝13＝33，所以α＝30°．所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan60°＝3．故选B ．12．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324 B ．322C ．22D ．3212．答案 A 解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324．故选A ． 13．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π413．答案 B 解析 ∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2．∵A (a ,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2．故选B ．14．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 14．答案 34 解析 化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－162×22×42＝34．15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．15．答案 714 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝ca＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝3a ，所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →＝(－2a ，3a )，结合题图可知，cos ∠BDF ＝cos ＜BA →，CF →＞＝BA →·CF →|BA →|·|CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a ＝714．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4316．答案 D 解析 法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k 1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．17．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．答案 D 解析 易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y －2＝k (x －4)，代入双曲线C ：x 22－y 2＝1，整理得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0，设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝8k (2k －1)2k 2－1，又P (4，2)为AB 的中点，所以8k (2k －1)2k 2－1＝8，解得k ＝1，当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的Δ＞0，所求直线AB 的方程为y －2＝x －4化成一般式为x －y －2＝0，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·82－40＝43．故选D ．18．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1218．答案 A 解析 在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2．不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1．故选A ．19．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2 19．答案 B 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14．又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2．20．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－220．答案 B 解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2．故选B ．题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或221．答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为33．∴e ＝1＋k 2＝233．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．故选D ．通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴b a ＝tan 30°＝33或ba ＝tan 60°＝3．由b a ＝33，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝13，∴e ＝233(舍负)；由b a ＝3，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，∴e ＝2(舍负)．故选D ．22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°22．答案 D 解析 秒杀 由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°．故选D ．23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．23．答案 2 解析 秒杀 由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．通法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ．∵点B 在直线y＝－b a x 上，∴b a ＝3，∴离心率e ＝ca＝2．通法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c ，0)．又∵F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．224．答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．通法 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a ．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝2．故选A ．25．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．625．答案 C 解析 秒杀 由已知△F 1PF 2是直角三角形，∠F 2PF 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝b c ，∠PF 2F 1＝ac，∴e ＝c a ＝sin90°|sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1|＝1|b c －a c|．即b a＝2，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．故选C ．通法 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝ba x 的交点为N ，易知N ⎝⎛⎭⎫a 2c ，abc ．又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝⎛⎭⎫2a 2－c 2c ，2ab c ．因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝5．故选C ．26．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．10 26．答案 A 解析 秒杀 ∵k 1·k 2＝e 2－1．∴3＝e 2－1．∴e ＝2．故选A ．通法 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21．因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2，两式相减可得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a 2＝3，于是b 2＝3a 2．又因为c 2＝a 2＋b 2，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2．故选A ．27．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5227．答案 B 解析 秒杀 由题意得，k 0·k ＝e 2－1．∴e ＝32．故选B ．通法 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32．故选B ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 28．答案 A 解析 秒杀 由题可知，|31||cos ||31|e θ-=+，即1||2c b a c ⋅=，即12b a =所以e＝52，故选B ．通法 由题意得直线l 的方程为x ＝ba y ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1．将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b 2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3cb 4－1，y 1y 2＝b 4b 4－1．由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎨⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c ＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A ．29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17429．答案 C 解析 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396．故选C ． 30．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．1030．答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |．又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′．∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN ．∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|．设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a ．在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a ．在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2，∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7．故选B ． 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 31．答案 A 解析 法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A ．法二：由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A ．32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 32．答案 A 解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a ．∴ba ＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ．故选A ．33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．33．答案 y ＝±22x 解析 由题意得|AB |＝2b 2a ，∵S △AOB ＝83，∴12×2b 2a ×1＝83，∴b 2a ＝83①，又a 2＋b 2＝1②，由①②得a ＝13，b ＝223，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±22x .34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x34．答案 A 解析 由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±b a x ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c ，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b 2＝bc c ＝b ，∴d 1∶d 2＝ab c ∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则ba ＝c 2－a 2a ＝aa ＝1，∴双曲线渐近线方程为y ＝±x ．故选A ．35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x35．答案 B 解析 不妨取F (c ，0)，l 1：bx －ay ＝0，设其对称点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，由对称性可得⎩⎨⎧b ·m ＋c 2－a ·n 2＝0n m －c ·ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2a 2＋b2cn ＝2abca 2＋b2，点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，则a 2－b 2a 2＋b 2·bc ＋2a 2bca 2＋b2＝0，整理可得b 2a 2＝3，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为：y ＝±bax ＝±3x .故选B.36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x36．答案 D 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ．又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6．由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 37．答案 D 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x ．38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝038．答案 A 解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0． 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 39．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1．故选D ．40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 40．答案 B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10． 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．1941．答案 B 解析 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13．故选B ． 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．742．答案 C 解析 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4，0)，半径为r 2＝1．设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2．又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5．又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6．故选C ．43．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．43．答案 [3＋23，＋∞) 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2， y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．44．答案 (0，3] 解析 由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2a t －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2a t －1≥2c ，整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2．又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba ≤3．∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3]．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．45．答案 ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 解析 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2．又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1．由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34．。

高考数学复习考点知识归纳专题解析18等比数列(解析版)

高考数学复习考点知识归纳专题解析18等比数列(解析版)

高考数学复习考点知识归纳专题解析 专题18等比数列及其前n 项和考点知识归纳常考点01 等比数列中的基本运算 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 2 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 3 常考点02等比数列基本性质的应用 . (3)【典例2】 ................................................................................................................................................ 3 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 4 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 4 常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和 (5)【典例3】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 6 【变式演练3】 ........................................................................................................................................ 6 常考点04 等差等比混合应用 (7)【典例4】 ................................................................................................................................................ 7 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 8 【变式演练4】 ........................................................................................................................................ 9 【冲关突破训练】 .. (10)常考点01 等比数列中的基本运算【典例1】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】1.A 2.C【解析】1.∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=，∴641167S S =+=+=. 故选：A.2.设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【考点总结与提高】（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． （2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q q q≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把nq ，11a q-当成整体求解. 【变式演练1】1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A ．2B ．1C ．12D ．182．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】1.C 2.B【解析】1.由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.2.24242135121(1)21172a a a a q q q q q ++=++=∴++=∴=得2357135+()22142a a a q a a a +=++=⨯=，选B.常考点02等比数列基本性质的应用【典例2】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12B ．24C ．30D ．322．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-【答案】1.D 2.D【解析】1.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.2.56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====- 1107a a ∴+=-故选D.【考点总结与提高】等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.【变式演练2】1．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝（） A ．5B ．10C ．15D ．202．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为___________． 【答案】1.A 2.64【解析】1.数列{a n }是等比数列，所以22243465,a a a a a a ==，所以()2222435463355352225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=， 又因为0n a >，所以350a a +>，所以355a a +=，故选：A.2.设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和【典例3】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B.2．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．21n n S a =- B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D 【解析】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n .【考点总结与提高】1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式11n n a a q -=来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2()n n N 且各项符号相同，则这个数列可设为21na q ，…，3a q ，,aaq q，3aq ，…，21n aq ； 若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q，…，,,aa aq q ，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101q a p -≠-时，数列{}1n qa p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．【变式演练3】1．数列{A n }中，A 1＝2，A m ＋n ＝A m A n .若A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝215－25，则k ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 【答案】1.C 2.D【解析】1.令m ＝1，则由A m ＋n ＝A m A n ，得A n ＋1＝A 1A n ，即1n n A A +＝A 1＝2，所以数列{A n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以A n ＝2n，所以A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝A k (A 1＋A 2＋…＋A 10)＝2k×102(12)12⨯--＝12k +×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4.故选：C 2.由题得35211,82a q q a ==∴=.所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=， 所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=.所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D常考点04 等差等比混合应用【典例4】1.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．82．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（） A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >【答案】1.A 2.B【解析】1.设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A2.设等差数列公差为d ，等比数列公比为q ，由题意可得：2326226835212262(1+7)b a a d q d a b b q d q =+=⎧⎧=+⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 1,2-∴==n n n a n bA. 100100,2，==>99100100a 100b b a ,故A 不正确；B. ,2==10102411a 1024b =1024，故B 正确；C. ,2==4105a 10b =16，故C 不正确；D. ,2==8999a 99b =256，故D 不正确.故选：B【考点总结与提高】等差、等比数列混合题型属于常规题型，解题思路基本相同∶按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可;至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项，要根据实际题意以及计算方便与否来决定。

2022年新高考全国一卷数学第18题说题课件

2022年新高考全国一卷数学第18题说题课件

cos A cos Acos2B sin Asin 2B sin 2B，
即cos(A 2B) cos A sin 2B，
又C 2 ， A B，
3
3
cos( B) cos( B) sin 2B，2 cos cosB sin 2B 2sin B cosB，
3
3
3
sin B 1 ， B (0， )，所以B
题目展示 命题立意 考查知识
命题立意
解题策略
拓展提升
反思总结
题目展示 命题立意 考查知识
考查知识
解题策略
拓展提升
反思总结
思想能力
化归转化思想、运算求解能力、
知识内容
逻辑思维能力、分析问题及解 02
正余弦定理、
决问题的能力、推理论证能力
二倍角公式、
核心素养
01
边角转换、
03
基本不等式求最值
逻辑推理、数学运算、 数据分析、数学抽象
解题策略
18.记ABC的内角A, B,C的对边分别为 a,b, c，已知 cos A sin 2B . 1 sin A 1 cos 2B
（1）若C 2 ,求B；（2）求 a2 b2 的最小值.
3
c2
1（8 2）.解法2：由 cos A sin 2B ，可得A 2B ，所以B C ，A 3 2C
（1）若C 2 ,求B；（2）求 a2 b2 的最小值.
3
c2
1（8 2）.解法1：由 cos A sin 2B ，可得A 2B，所以C B，
1 sin A 1 cos2B
2
2
由正弦定理可得a2 b2 c2
sin 2 A sin 2 sin 2 C
B

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解18 数列中的奇、偶项问题

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解18 数列中的奇、偶项问题

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第18讲数列中的奇、偶项问题高考定位数列的奇、偶项问题，是近年来的高考的热点问题，考察了学生的分类与整合能力，考察了学生的探究发现的能力，也是今后考察的热点。

专题解析（1）求通项和求和时，分奇数项与偶数项分别表达；（2）求S n时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.专项突破类型一、数列中连续两项和或积的问题(a n＋a n＋1＝f(n)或a n·a n＋1＝f(n))；例1-1.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＋a n＝4n.(1)求数列{a n}的前100项和S100；(2)求数列{a n}的通项公式.解(1)∵a1＝1，a n＋1＋a n＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋...＋4×99＝4×(1＋3＋5＋ (99)＝4×502＝10 000.(2)由题意，a n ＋1＋a n ＝4n ，①a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)，② 由②－①得，a n ＋2－a n ＝4， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝4，所以a 2＝3.当n 为奇数时，a n ＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×4＝2n －1， 当n 为偶数时，a n ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×4＝2n －1.综上所述，a n ＝2n －1.练．设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差d ；（2）数列{}n b 满足1n n n b b a ++=，且111b a +=，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】 （1）1d =；（2）()11124n n n b -+-=+.【分析】（1）根据2a ，61a -，11a 成等比数列可得()262111a a a -=，利用1,a d 表示出520S =和()262111a a a -=，解方程组可求得1,a d ，结合0n a >可得结果；（2）由（1）可得11n n b b n +=-++，整理得()1131312424n n b n b n +⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭，可知数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，2a Q ，61a -，11a 成等比数列，()262111a a a ∴-=，即()()()21115110a d a d a d +-=++，又51545202S a d ⨯=+=，解得：121a d =⎧⎨=⎩或18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；当18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，13182842120171717a a d =+=-=-<，与0n a >矛盾，121a d =⎧∴⎨=⎩，即等差数列{}n a 的公差1d =； （2）由（1）得：1n a n =+，11n n b b n +∴+=+，即11n n b b n +=-++，()1131312424n n b n b n +⎛⎫∴--=---- ⎪⎝⎭，又1121b a +==，解得：11b =，∴数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭是以13144b -=为首项，1-为公比的等比数列， ()()113111244n n b n -∴---=-⨯，整理可得：()11124n n n b -+-=+.练．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．40412022【答案】B 【分析】首先根据已知条件求得n a ，然后求得n S ，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a a n ++=+，则2132a a =-=. 所以2123n n a a n +++=+，两式相减得：22n n a a +-=，且11a =，22a =， 当n 为奇数时，11121122n n a a n n +⎛⎫=+-⨯=++-=⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，212222n na a n n ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，所以n a n =，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列. 所以(1)2n n n S +=， 故12112()(1)1n S n n n n ==-++，所以121111111112(1)2(1)22311n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++，则2020140402(1)20212021T =-=. 故选：B例1-2.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n .解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列.因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12，n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2，n 为偶数.(3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3－32n2，n 为偶数，3－42n ＋12，n 为奇数.练．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n nn aa S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记*n c n N =∈122n c c c +++<.【答案】 （1）(*)n a n n N =∈ （2）证明见解析 【分析】（1）根据题意得到12n n n a a S +=和112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，解得答案.（2）计算1(1)n b n n =+，n c =n c <和n c >，利用裂项相消法计算得到证明. （1）由12n n n a a S +=得112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =，得22a =，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列， 当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，n a n =. 综上所述(*)n a n n N =∈. （2） 由1211n n n a nb b b a n ++++==+，1211n n b b b n --+++=，2n ≥，112b =， 两式相减得1(1)n b n n =+，2n ≥，验证112b =成立，故1(1)n b n n =+.则n c那么n c =，故12111112(1)2231n c c c nn +++<-+-++-+=2(12<，同理n c，故121111112()233412n c c c n n +++>-+-+-++.类型二、含有(－1)n 的类型；例2-1.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n ，n ∈N *. (1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前100项和S 100； (2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)∵{a n }为等差数列，且a 1＝1，a 2＝2，∴公差d ＝1，∴a n ＝n .∴b n ＝⎩⎨⎧a n ＋1－a n ＝1，n 为奇数，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，n 为偶数，即b n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n ＋1，n 为偶数，∴b n 的前100项和S 100＝(b 1＋b 3＋...＋b 99)＋(b 2＋b 4＋...＋b 100) ＝50＋(5＋9＋13＋ (201)＝50＋50×5＋50×（50－1）2×4＝5 200.(2)由题意得，b 1＝a 2－a 1＝1，公差d ＝2， ∴b n ＝2n －1.∴⎩⎨⎧b 2n －1＝a 2n －a 2n －1＝4n －3， ①b 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＝4n －1， ② 由②－①得，a 2n ＋1＋a 2n －1＝2， ∴a 2n ＋1＝2－a 2n －1，又∵a 1＝1，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝1， ∴a 2n －1＝1，∴a 2n ＝4n －2， 综上所述，a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数.例2-2.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N *.(1)求a 3；(2)求S 1＋S 2＋…＋S 100.解(1)令n＝4，则S4＝a4－124，∴S3＝－124.令n＝3，则S3＝－a3－1 23，∴a3＝－S3－123＝－124.(2)当n＝1时，a1＝－1 4；当n≥2时，a n ＝S n－S n－1＝(－1)n·a n－12n－(－1)n－1·a n－1＋12n－1＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n ，即a n＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n.(*)①当n为偶数时，由*式可得a n－1＋12n＝0，则a n－1＝－12n ，∴a n＝－12n＋1，此时n为奇数.②当n为奇数时，由*式可得a n－1＝－2a n＋12n＝－2·⎝⎛⎭⎪⎫－12n＋1＋12n＝12n－1，∴a n＝12n，此时n为偶数.综上所述，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，12n，n 为偶数.∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋116＋…＋12100－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 练 .数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝1－5＋9－…－397＝4×(－50)＝－200.练.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0， 即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列. 所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0， 即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n （n －1）×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.类型三、含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；例3-1.已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)S 2n －1＝（2n －1）（a 1＋a 2n －1）2＝a n (2n －1)＝a 2n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ＝n （2n －1）（2n ＋1）(－1)n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1(－1)n ，当n 为偶数时T n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…＋12n －1＋12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋12n ＋1＝－n4n ＋2，当n 为奇数时T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…－12n －1－12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－12n ＋1＝－n －14n ＋2. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 4n ＋2，n 为偶数，－n ＋14n ＋2，n 为奇数.练．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123n n n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-【答案】D 【分析】根据给定条件求出21{}n a -与2{}n a 的通项，进而求得212n n a a ++即可求出数列{}n a 的前2017项的和. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+，*N n ∈， 则有1122212(1)3(1)n n n n n n a a a ++++=+-=++-，即12223(1)n n n n a a ++-=+-，而20a =，于是得2242642224222()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-223211[3(1)][3(1)][3(1)][3(1)]n n n n ---=+-++-+++-++-221231[3333][(1)(1)(1)(1)]n n n n ---=+++++-+-++-+-113(13)1(1)113(1)1131(1)22n n n n -----=+=⋅+⋅-----，因此，212222113232[3(1)1]322n n n n nn n n n n a a a a a ++=++=+=⋅+⋅--+23(1)2n n =⋅+--，则2017123456720162017()()()()S a a a a a a a a a =+++++++++2233100810081[23(1)2][23(1)2][23(1)2][23(1)2]=+⋅+--+⋅+--+⋅+--++⋅+--23100823100812(3333)[(1)(1)(1)(1)]21008=++++++-+-+-++--⋅100810093(13)12020163201813-=+⋅+-=--，数列{}n a 的前2017项的和为100932018-. 故选：D练．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．4950【答案】D 【分析】由数列{}21n a -为递增数列，得到()()2122210n n n n a a a a +--+->，进而得出2120n n a a +->，又由数列{}2n a 为递减数列，得到()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，得到22210n n a a ++-<， 得出当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=，当n 为偶数时，21n n a a n --=-，即可求解．【详解】因为数列{}21n a -为递增数列，所以2121n n a a -+<，即21210n n a a +-->，则()()2122210n n n n a a a a +--+->，由题意22212221(21)(2)n n n n a a n n a a +--=+>=-，则由()()212221212221n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎧-+->⎪⎨->-⎪⎩得2120n n a a +->，*n N ∈，因为数列{}2n a 为递减数列，所以222n n a a +>，即2220n n a a +-<， 则()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，由题意得，222221(22)(21)n n a a n n ++-=+>+212n n a a +=-，由()()222121222213120n n n n n n n na a a a a a a a ++++++⎧-+-<⎪⎨->-⎪⎩，可得22210n n a a ++-<，*n N ∈，又12a a >，即210a a -<，所以当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=； 当n 为偶数时，21n n a a n --=-． 所以99a =()()()()999898979796211a a a a a a a a a -+-+-++-+…2222229998979632199=-+-++-+=+…9897963214950++++++=…．故选：D ．类型四、已知条件明确的奇偶项问题. 例4-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ＋n －1，n 为奇数，a n－2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式.证明 ∵b n ＋1＝a 2(n ＋1)＝12a 2n ＋1＋2n ＋1－1＝12a 2n ＋1＋2n＝12(a 2n －2·2n )＋2n ＝12a 2n ＝12b n ， ∴{b n }为等比数列，且公比q ＝12.又b 1＝12a 1＝12，可得b n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以，当n 为偶数时，a n ＝b n2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n；当n 为奇数且n ≥3时，a n ＝a (n －1)＋1＝a (n －1)－2(n －1)＝b n －12－2(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2(n －1)，可验证a 1＝1也符合上式，综上所述，a n＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2（n －1），n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n 为偶数.练.已知数列{a n }满足a n＝⎩⎨⎧n2an ＋12＋12，n 为正奇数，2a n 2＋n2，n 为正偶数.(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是等差数列，并求数列{a 2n }的通项公式.(1)解 由a 1＝12a 1＋12＋12＝12a 1＋12⇒a 1＝1，a 2＝2a 22＋22＝2a 1＋1＝3，a 3＝32a 3＋12＋12＝32a 2＋12＝5，a 4＝2a 42＋42＝2a 2＋2＝8.∵a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，∴a 3－a 2≠a 4－a 3， ∴数列{a n }不是等差数列.又∵a 2a 1＝3，a 3a 2＝53，∴a 2a 1≠a 3a 2，∴数列{a n }也不是等比数列.(2)证明 ∵对任意正整数n ，a 2n ＋1＝2a 2n ＋2n ， ∴a 2n ＋12n ＋1－a 2n 2n＝12，a 22＝32，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是首项为32，公差为12的等差数列，从而对∀n ∈N *，a 2n 2n＝32＋n －12，则a 2n ＝(n ＋2)·2n －1. ∴数列{a 2n }的通项公式是a 2n ＝(n ＋2)·2n －1(n ∈N *).练．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.【答案】30342023【分析】由题意，当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭；当n 为偶数时，sin 4n n a π=.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.【详解】解：数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，②当n 为偶数时，sin4n n a π=，24680a a a a +++=，则偶数项和为()()246810121416a a a a a a a a ++++++++()20102012201420162018202020182024201a a a a a a a a a a +++++++==+=，所以()()2021132021242020S a a a a a a =+++++++1111111233520212023⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭101130341120232023+=+=， 故答案为:30342023. 练．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A ．B ．4C ．D ．2018【答案】B 【分析】由21(1)n n n a a n ++=-，可得2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得可求得()12345201820192a a a a a a a +++++++，结合201920192101020192019S a μ-=-，根据均值不等式，即可求得答案. 【详解】21(1)n n n a a n ++=-∴2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得，()22222212345201820192123420172018a a a a a a a +++++++=-+-+--+，()()()2222222019120192123420172018S a a ∴--=-++-+++-+(21)(21)(43)(43)(20182017)(20182017)=-⨯++-⨯+++-⨯+，12342017201820191009=++++++=⨯20192019121009201920192019S a a∴-=+ 又201920192101020192019S a μ-=-， 1100910102019a μ∴+=-， 即112019a μ+=， 又1a λ=，20191201912019λμλμλμ⎛⎫⎛⎫∴+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201911242019μλλμ=++++…， 当且仅当20192019μλλμ=时等号成立，故选：B ．练．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（） A ．32 B ．43C ．34D ．35【答案】C 【分析】讨论n 为奇数、偶数的情况数列{}n a 的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，公差为2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯34=. 故选：C练．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【分析】由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入*1(1),2n n n nS a n N =--∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】由*1(1),2n n a n S a n =--∈N ，当1n =时，1112S a =--，得114a =-；当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n nn n n na a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n nn a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n na =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==，所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A练．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n n S S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．【答案】32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】根据n n S a ，之间关系可得数列{}n a 为等差数列并得到n a ，然后得到n b ，根据裂项相消可得数列{}n b 前n 项和，最后进行判断即可. 【详解】由21n n n S S a -+=①，则211n n n S S a +++=②②-①化简可得：()()1110n n n n a a a a ++--+=，又0n a >，所以()112n n a a n +-=≥当2n =时，21212122222a a S S a a a a +=⇒++=⇒= 所以211a a -=符号11n n a a +-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列 所以n a n =，则()12n n nS +=所以()()()()2112111112nn n n n b n n n ⋅-+==⋅⎛⎫+ ⎪+⎝+⎭- 令设数列{}n b 前n 项和n T 所以()()111111121...11223341n nn T n n ⎡⎤=--++--++-⋅+-⋅⎢⎥+⎣⎦所以11,1111n n n T n n ⎧-⎪⎪+=⎨⎪--⎪+⎩为偶数，为奇数， 当n 为偶数时，111n T n =-+，则12133n T ≤-=-且1n T >- 当n 为奇数时，111n T n =--+，则13122n T ≥--=-且1n T <- 综上所述：32,11,23n T ⎡⎫⎛⎤∈--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故答案为：32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦练．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n n S a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____. 【答案】13654096 【分析】运用数列的递推式，讨论n 为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：()112n n n nS a =-+， 当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =，2n ≥时，1n n n a S S -=-， 可得()()1112n n n n nS S S -=--+， 当n 为偶数时，112n n n S S S π-=-+，即有1n12n S -=； 当n 为奇数（3n ≥）时，()112n n n S S S π-=--+， 可得1122n n n S S -=-=1112022n n +⋅-=， 即有121114S S S +++=110001664+++++++1212 61111365441409614⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为13654096.。

2021-2023北京高考真题数学汇编：第三道解答题(第18题)

2021-2023北京高考真题数学汇编：第三道解答题(第18题)

【分析】（1）计算表格中的 + 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 41天的情况. 【详解】（1）根据表格数据可以看出， 40 天里，有16 个 + ，也就是有16 天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： 16 = 0.4 40
时段
价格变化
第 1 天到第 20 天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第 21 天到第 40 天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天 中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和 “不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 2．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9．50m 以上（含 9．50m ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙 以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 3．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k 合 1” 混采核酸检测是指：先将 k 个人的样本混合在一起 进行 1 次检测,如果这 k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检 测结束:如果这 k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的 检测结果，检测结束. 现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为 1 .设 X 是检测的总次数，求 X 的

新高考数学复习考点知识与题型专题练习18---任意角 弧度制(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专题练习18---任意角 弧度制(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专题练习18 任意角 弧度制一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ）A ．2παβ=-B ．12()2k k Z απβ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭ C ．2απβ=-D ．(21)()k k Z απβ=+-∈【答案】D【解析】由题意，角α和β的终边关于y 轴对称，可得2,k k Z αβππ+=+∈， 即(21)()k k Z απβ=+-∈.故选：D.2．若α是第三象限的角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第二象限D ．第二象限或第四象限【答案】D【解析】因为α是第三象限的角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，所以2α所在象限是第二象限或第四象限. 故选：D.3．若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π. 故选：D4．下列命题中，正确的是（ ）A ．终边在第二象限的角是钝角B ．终边相同的角必相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同【答案】C【解析】-240°在第二象限但不是钝角，A 错误；60°和420°终边相同，但不相等，B 错误；由定义可知，C 正确；60°和420°不相等，但终边相同，D 错误故选：C.5．终边在坐标轴上的角的集合是（ ）A ．{}|2π,k k αα=∈ZB ．{}π,k k αα=∈ZC ．ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZD ．1π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D【解析】解：任取一个角使其终边落在坐标轴上，不妨设为0，则该角每增加2π后终点依然落在坐标轴上， 故终边落在坐标轴上的角的集合为1π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．6．若α＝－2，则α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.7．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈，所以5557.3=286.5rad ≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.8．下列选项中，满足αβ<的是（ ）A ．1α=，2β=︒B ．1α=，60β=-︒C ．225α=︒，4β=D ．180α=︒，πβ=【答案】C【解析】解：对于选项B ，有αβ>，对于D ，有αβ=；对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈【答案】BE【解析】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.10．下列与412︒角的终边相同的角是（ ）A ．52︒B ．778︒C ．308-︒D ．1132︒【答案】ACD【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈，当1k =-时，308β=-︒，当0k =时，52β=︒，当2k =时，772β=︒，当3k =时，1132β=︒，当4k =时，1492β=︒，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.11．(多选)下列与94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245(k k Z π+︒∈)B ．·360k ︒+94π( k Z ∈) C ．·360315k ︒-︒(k Z ∈)D ．2k π+4π( k Z ∈) 【答案】CD 【解析】A ，B 中弧度与角度混用，不正确；9244πππ=+，所以94π与4π终边相同. 31536045-︒=-︒+︒，所以315-︒也与45︒终边相同，即与94π终边相同. 故选：CD .12．关于角度，下列说法正确的是（ ）A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角【答案】BD【解析】对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是60-︒，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90︒，是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，角α的终边在第二象限，π2π2ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ， ππππ422k k α∴+<<+， 当k 为偶数时，ππ2π2π422n n α+<<+，n ∈Z ，得2α是第一象限角； 当k 为奇数时，()()ππ21π21π422n n α++<<++，n ∈Z ，得2α是第三象限角，故正确． 故选：BD三、填空题：本题共4小题13．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． 【答案】7,,5315A B C πππ=== 【解析】因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以3577,,3575357335715A B C ππππππ======++++++， 故答案为：7,,5315A B C πππ=== 14．已知120︒的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2．【答案】12π 【解析】由题意，21203π︒=，且圆心角所对的弧长为4m π，∴243R ππ=， 解得6R =，∴扇形的面积为214612()2S m ππ=⨯⨯=． 故答案为：12π．15．若α是第四象限，则180α︒-是第__．【答案】三象限角【解析】因为是第四象限的角，所以α-是第一象限角，则由任意角的定义知，180α︒-是第三象限角．故答案为：三象限角．16．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________． 【答案】|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】y 轴对应的角可用2π-，2π表示，所以y 轴右侧角的集合为|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭．四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度（1）133π，（2）263π-，（3）67.5︒，（4）103π-，（5）12π，（6）74π． 【答案】（1）780︒；（2）1560-︒；（3）38π；（4）600-︒；（5）15︒；（6）315︒． 【解析】（1）780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， （2）156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度，（3）67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． （4）103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒， （5）12π弧度1801512︒==︒， （6）74π弧度71803154=⨯︒=︒． 18．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）－720°到－360°的角．【答案】（1）－190°；（2）170°；（3）－550°. 【解析】与530°终边相同的角为k ·360°＋530°，k ∈Z.（1）由－360°＜k ·360°＋530°＜0°且k ∈Z ，可得k ＝－2，故所求的最大负角为－190°. （2）由0°＜k ·360°＋530°＜360°且k ∈Z ，可得k ＝－1，故所求的最小正角为170°. （3）由－720°≤k ·360°＋530°≤－360°且k ∈Z ，可得k ＝－3，故所求的角为－550°.19．已知集合ππ,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，π3π2π2π,44B k k k ββ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}|1010C γγ=-. （1）若A θ∈，且角3θ与π2θ-的终边垂直，求θ； （2）求B C ⋂. 【答案】（1）π2-或π4-或π4或0或π2；（2）7π5ππ3π9π11π,,,444444⎛⎤⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦. 【解析】解：（1）由3θ与2θπ-终边垂直， 可得3222k ππθθπ=-++，或3222k ππθθπ-=++，即42k θππ=+，k Z ∈或2k πθ=，k Z ∈． ①由2422k ππππ-≤+≤，得3122k -≤≤， k Z ∈， ∴4πθ=-或4π． ②由222k πππ-≤≤，得11k -≤≤， k Z ∈， ∴2πθ=±或0．∴所有θ的为：π2-或π4-或π4或0或π2； （2）3{|2244B k k ππβπβπ=+<+，}k Z ∈， 当1k =-时，75{|}44B ππββ=-<-， 当0k =时，3{|}44B ππββ=<， 当1k =时，911{|}44B ππββ=<， 又{|1010}C γγ=-．7(4B C π∴=-,5](44ππ-⋃,39](44ππ⋃,11]4π．20．已知角α＝2010°.（1）将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； （2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 【答案】（1）752+6ππ⨯，第三象限的角；（2）答案见解析. 【解析】（1）6772010=2010rad==(52+)rad 18066rad ππππ︒⨯⨯，又73<62πππ<， ∴α与76π终边相同，是第三象限的角． （2）与α终边相同的角可以写成72()6k k Z πγπ=+∈， 又50πγ-≤<，∴当k ＝－3时，296πγ=-；当k ＝－2时，176πγ=-；当k ＝－1时，56πγ=-.。

专题18 解析几何(选填压轴题)(教师版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)

专题18 解析几何(选填压轴题)(教师版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)

专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（）A．13B．12【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan tc aα=-，tan tc aβ-=+.12F MF βα∠=- ，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t t ct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B 【详解】由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d ==所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1B C 的中点，F 是棱11A D 上的动点，P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值是（）B．12C．6D．2【答案】C 【详解】在11D C 上取点1F 使得111D F D F =，由对称性可知1PF PF =.连接1BC ，则11BC B C E = ，点P 、E 、1F 都在平面11BC D 内，且111BC C D ⊥，11=1C D ，1BC =在11Rt BC D 所在平面内，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.则1(1,0)D，B，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以直线1BD的方程为1x =.设点E 关于直线1BD 的对称点为(,)E m n '，则22122n m n m ⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得236m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,36E ⎛' ⎝⎭.因此，1116PE PF PE PF PE PF E F ''+=+=+≥≥所以，当且仅当1,,E P F '三点共线且111E F C D '⊥时，PE PF +有最小值6.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A．15B．25C．35D．45【详解】由双曲线方程知，12a =，b =，2c =，设2MF x =，则11MF x =+，12F F 120MF MF →→⋅=，则22(1)13x x ++=，解得2x =或-3（舍），设折叠后点1F 达到F 点，如图所示，作FA MN ⊥于A 点，易知FA ⊥平面12MF F ，1FAN F AN ≅ ，1F A MA ⊥，设1F MN α∠=，则22F MN πα∠=-，在1Rt MAF 中，13sin FA F A α==，3cos MA α=，在2MAF 中，由余弦定理知，222222222cos (3cos )423cos 2sin AF MA MF MA MF F MN ααα=+-⋅∠=+-⨯⨯29cos 6sin 24αα=-+，则2222222(3sin )9cos 6sin 24136sin 27FF AF AF αααα=+=+-+=-≥，当且仅当sin 21α=，即4πα=时，等号成立，折叠后点1F ，2F 距离最小.此时MN 为12F MF ∠的角平分线，由角平分线定理知，112232F N MF NF MF ==，则11235F N F F →→=，35λ=故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点,M N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A．当01e <<时，2πα<B．当0e <2πα>C．当12e <<23πα>1e <<时，34πα>【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β，则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a ⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=，故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211Ma k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+，同理3222221N a k ax a k -=+，故222221N ak y a k -=+，因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac ca k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+，故2πα<.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（）A．AC BC⊥B．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅C．AF BF AF BF +=⋅D．直线AC 与抛物线相切【答案】B 【详解】如图，由题意可得()1,0F ，抛物线的准线方程为1x =-．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，利用根与系数的关系得124y y =-，因为线段MN 的中点为C ，所以121,2y y C +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21121,42y y y CA ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，22211,42y y y CB ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ，所以，()()2222121212121111210444162y y y y y y y yCA CB -⎛⎫⎛⎫⋅=++-=++=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AC BC ⊥，A 选项正确；对于B 选项，因为()11,M y -，所以()12,MF y =-，所以()2112112220222y y y y y yCA MF -⋅=+-=+= ，所以AC MF ⊥，所以四边形AMCF 的面积等于12AC BF ⋅，B 选项错误；对于C 选项，根据抛物线的定义知2114y AF AM ==+，2214y BF BN ==+，所以221224y y AF BF ++=+，22222222121212121112441644y y y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫++⋅=++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，AF BF AF BF +=⋅，C 选项正确；对于D 选项，直线AC 的斜率为()12111212221111422224414ACy y y y y y y k y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭====+++，抛物线24y x =在点A 处的切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 可得2211440ky y y ky -+-=，由题意可得()211016440k k y ky ≠⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，可得12ky =，即12k y =，则AC k k =.所以，直线AC 与抛物线24y x =相切，D 选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x yb a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53ce a==．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（）B．3C．2D．1【答案】B 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M TNT M N d ''+=+≥≥，由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离，因为111111333D ACE ACE V S '-=⨯⨯==⨯⨯= ，而21346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故3d =，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点P 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB =，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D 【详解】如图，在平面PAB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠,又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以2PN AN PA MN PN MP ===22,2AN MN PN =,所以22AM AN MN PN =-=.因为112AM AB ==，所以2,1PN MN ==,所以B、N 重合且2BP PN ==所以点P 落在以B 2作BH AC ⊥于H ，则222BH AB ==因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ，又因为1AA AC A = ，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC 的距离为=2=BH BP ，所以球面与面11AA CC 相切，而122BB π=>所以球面不会与面111A B C 相交，则31142833V BP π== ，111=222222V AB BC AA ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以2125222=33V V V πππ=-=-三棱柱，所以12V V =15.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是（）A．13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞，则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =，当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增.所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==.故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆22:143x y C +=，P 是直线4x =-上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是（）437B．86565721032【答案】A 【详解】设11(,)A x y 若A 在椭圆的上半部分，则2314xy =-22332214144x x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=---A 在椭圆上，2211143x y +=，111211334414x x x x y y x ===--'．∴过A 点的切线方程是11113()4x y y x x y -=--，221111343412x x y y x y +=+=，即11143x x y y+=，同理可证当A 在下半圆时，过A 的切线方程也是11143x x y y+=，A 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论A 在椭圆的何处，切线方程都是11143x x y y +=．设22(,)B x y ，则过B 点的切线方程是22143x x y y +=，P 在直线4x =-，设(4,)P m -，则由两切线都过P 点∴11221313y m x y m x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴直线AB 方程是13my x -+=，易知直线AB 过定点(1,0)-，该定点为椭圆左焦点F ．直线OP 方程为4m y x =-，则由134my x m y x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221212312x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22123,1212m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，3AB k m=，4(1)3PF m m k ==----，1AB PF k k =-，∴PF AB ⊥，PF =PM =∴2sin PFPMB PM =7===≥=．当且仅当22144m m =，即m =±时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)2，【答案】A 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a⎛⎫+≥+-=-= ⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以12e >>故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=【答案】D 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-= ，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知O 为坐标原点，抛物线()220C y px p =>：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（）A．①③④B．②③C．①③D．②③④【答案】C 【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ，4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直，所以60AMF AFM ∠=∠= ，则30FMN ∠= ，所以12NF MF =,而NF p =，即122p MF ==，所以①正确；对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -= ，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧，点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误；对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示：由抛物线定义可知4AE AF ==，根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MAAE=，即344p =，解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值，由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -，代入抛物线可知22242A p y AHp ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为1342pO H NH O N '=+'=+，则22O O AHA H '='+，即(224241322p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，当p =12时，不满足点A 到焦点F 的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A．{}5B．{}1-C．()0,1D．(){}0,11- 【答案】D 【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -==，又圆心O 1到A 的距离O 1A=，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r=（）A．12C．12-D．2【答案】D 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11ABC D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r=，得12r =-所以122r r =-故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线()220y px p =>的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A．54B．43C．32D．2【答案】C 【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若12PF F ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A．2【答案】A 【详解】画出图形如图所示，设12PF F ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ F Q F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内，∵G 是12PF F ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =，∴G 点坐标为02(,33x a ．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a F Q F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=，∴12||,||F M c a F M c a =+=-，∴M 为双曲线的右顶点．又I 是12PF F ∆的内心，∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴，∴3x a =，故03x a =，∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ==．故选A ．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =A．12B．12+【答案】B 【详解】由题意12F P F P ⊥，则222212124F P F P F F c +==①，又122PF PF b -=②，2①－②得12PF PF ＝22a ，∵P 在渐近线上且OP c =，设A 为双曲线右顶点，如图，则PA b =，且12PA F F ⊥，由1212PF PF F F PA =得222a cb =，于是422222()a b c c c a ==-，变形为4210e e --=，解得212e =（12舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是C．3D．2【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=，设1PF x =，2PF y =(x >0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c =()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()*,()i i P x y i N ∈．则1ni i x =∑的取值范围为(【答案】ACD 【详解】由题设得：曲线C 为()()()22222210,010,010,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=<>⎩，A：由0x y +=是221x y -=和221y x -=的渐近线，且0x y +=与()2210,0y x y x +=≥≥没有公共点，故正确；B：由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若x y m +=与曲线C 有两个公共点或一个公共点，当0m <<x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线y x =对称，则12y x =，∴1211x x x y =，（1）当01m <<时，120x x -∞<<．（2）当12m ≤<时，由12x x ≠，则21112112122x y x x x y +=<=．（3）当2m =l 与曲线C 只有一个公共点，不合题意．（4）当2m >0m ≤时，直线l 与曲线C 无公共点，综上可知，C 正确；D：由C 的分析，02m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则12111nii xx x x y m ==+=+=∑，即102ni i x =<∑．当2m =x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．此时(111222ni x x ===∑．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于,M N 两点，过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a，故A 错误；B：联立243202x y p y px--=⎧⎨=⎩，则22163440x px p -+=，解得12,28px x p ==，由题意可知25||2222p p p AF x p =+=+= ，15||2828p p p pFB x =+=+= ，故55428p p=⨯，所以4λ=，故B 正确；C：由题意可知直线1l ，2l 的斜率均存在，且不为0，设直线1:2pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则2220y pmy p --=，设两交点为()()1122,,,A x y B x y ，结合韦达定理122y y pm +=，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+；同理2121DE p m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()22111212122ADBE S AB DE p m p m ⎛⎫=⋅=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭222122p m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222p ⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭28p =，当且仅当1m =±时，等号成立；所以四边形ADBE 面积的最小值为28p ，故C 正确；D：设221212,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设120,0y y ><因为22y px =（0p >），若0y >，则y =y '，所以在点M1p y =，因此在M 处的切线方程为21112y p y y x y p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即112y p y x y =+，同理在N 处的切线方程为222y py x y =+，则112222y py x y y py x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y x p=，因为直线MN 过点F ，所以122212002222y y y y p p p p --=--，即212y y p =-，所以2p x =-，故点P 在定直线2px =-上，故D 正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点F 为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A．4e =B．4e =C．12916k k =-D．12916k k =【答案】AC 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e ==．设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为(4,0)F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若2PB BF →→=，则（）A．8m =B．点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭C．50||3AB =D．弦AB 的中点到y 轴的距离为133【答案】CD 【详解】由于(4,0)F 得到16m =，故A 错误；抛物线方程为216y x =，过B 点作BD 垂直于y 轴，垂足为D 点，则//BD OF ,因为2PB BF →→=，所以23PB BD PFOF==,所以83BD =，即83B x =,代入抛物线方程216y x =，解得B y =B 错误；不妨取点B 的坐标为8,3⎛ ⎝⎭，所以直线AB 的方程为：4)y x =-，联立抛物线方程得到：2326480x x -+=，韦达定理可知：12263x x +=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|AB x x ++=+==，故C 正确；弦AB 的中点到y 轴的距离为121323x x +=，故D 正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A．双曲线CB．点1FC．21PF F ∆的面积为D．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD 【详解】解：∵双曲线222:105()x y C a a -=＞，∴225c a =+，又圆222:5O x y a +=+，∴圆O 的半径为c ，∴12||F F 为圆O 的直径，∴122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∵21tan 3PF F ∠=，∴1212tan 3PF PF F PF ∠==，∴123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∴()22221231||0F F m m m =+=，∴12||2F F c ==，又12||22m PF PF a -==，∴双曲线C的离心率2222c e a m ===，故A 正确；对于B，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ===B 正确；对于C，由离心率2e a ==得2103a =，21025533c =+=，∴122||F F c ===，∴2||m PF ==，1||3PF m ==，∴21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=①，(),M p q到两条渐近线的距离1d =，2d =，∴22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为,A B ，则以下选项正确的是（）A．当00x =时，直线AB 方程为1y =B．直线AB 过定点()0,1C．AB 中点轨迹为抛物线D．PAB ∆的面积的最小值为2【答案】ACD 【详解】解析：214y x =Q ，12y x '∴=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1111:()2PA y y x x x -=-，即211111111222y x x x y x x y =-+=-，同理221:2PB y x x y =-，PA PB 、都过点00(,)P x y ，010102021212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线001:2AB y x x y =-，即0012y x x y =-，当000,1x y ==-时，:1AB y =.故A 正确；00112y x =- ，01:(1)12AB y x x ∴=-+，∴直线AB 过定点(1,1)，故B 错误；联立021(1)124y x x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2002240x x x x -+-=，1202x x x ∴+=，12024x x x ⋅=-，212002y y x x +=-+，A B ∴、中点坐标为200011(,1)22x x x -+，故其轨迹方程为211122y x x =-+，故C正确；AB ==d2001122S x x ∴=-+∴当01x =时，min 2S =，故D 正确；故选：ACD 三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.【详解】设点D 在底面ABC 的射影点为O ，连接OA，则132sin3OA π==，OD =以点O 为坐标原点，CB 、AO 、OD uuu r分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则30,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、13,026B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、13,26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、360,66E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,6F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设点(),,0P x y ，则3636EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，6,,3DP x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，223133cos 2223y DP EFDP EFx y θ+⋅==⋅++整理可得2222121231cos 23399x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程2222121231cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2122313999x y ++，可得23326y x =，则()22222423335331344242AP x y x x x x ⎛⎫=++++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当0x =时，等号成立，故AP 323228．（2021·全国高三开学考试（理））设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.【答案】2【详解】设1||(0)F B k k =>，则1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k ∴=-，2||2BF a k =-.23cos 5AF B ∠= ，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k ∴=-+----，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =，21||||3AF AF k ∴==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB ∴=+，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △是等腰直角三角形，2c a ∴=，∴椭圆的离心率c e a ==，故答案为：2.29．（2021·黑龙江大庆中学高三模拟预测（理））已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C上存在两点,A B 满足2MA AB = ，则实数t 的取值范围___________【答案】⎡⎣【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB = 知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∴22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点，∴两圆的圆心距离为243t d +=，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意，∴2021t ≤≤，即t ∈[21,21]-.故答案为：[21,21].30．（2021·全国高三专题练习（理））焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆()()2222:10C x y R R -+=>交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程()22224,1,A A y x x x x y R x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，C 是圆2C 与x 轴的交点，O 是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角()0,απ∈，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠>；②对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<；③对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ；④当2021R >时，存在面积大于2021的内接正△O P Q .【答案】①②③【详解】联立抛物线与圆的方程，消去y 得22(1)4x x R -+=，即22(1)x R +=，而0R >且0x ≥，∴11R x =+≥，即A 、B 横坐标与半径R 的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即11R x =+>，∴当2,1R x ==时，AFB πα∠=>，①正确；∵由题意知：,A B 关于x 轴对称，则对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R 使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，即只需存在R 使)3AFB π∠∈(0,即可.∴令||2210sin 212A y AFB x x R R x ∠<==<，则10x x ->23x >+23x <，1、当0743x <<-AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，23x >+x →+∞时0AFB ∠→︒，故AFB ∠在如下图阴影部分变化，有)3AFB π∠∈(0,，∴7x >+07x <<-10sin 22AFB ∠<<即)3AFB π∠∈(0,，所以对于给定的角0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在R ，使得圆弧 ACB 所对的圆心角AFB α∠<，故②正确；由OP OQ =，于是PQ x ⊥轴，直线：:OP y x =，同理:OQ y =，∴,OP OQ 与Γ分别都只有一个交点，即对于任意R ，该曲线有且仅有一个内接正△O P Q ，③正确；当1R =时，如下图示，抛物线1C 与圆2C 只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴当113R <≤时，,OP OQ 与Γ的交点在圆2C 上，OPQ S 会一直增大，如下图示，直到13R =，即,P Q 与A 、B 重合分别为(12,、(12,-，此时1||||sin 23OPQ S OP OQ π==∴OPQ S ∈ (4.当13R >时，,OP OQ 与Γ的交点在抛物线1C 上，R 的变化对OPQ S 没有影响，如下图示，OPQ S =∴④错误.。

2020高考数学题型整理分类《(18)函数的概念与性质》解析版(含历年真题)

2020高考数学题型整理分类《(18)函数的概念与性质》解析版(含历年真题)

（十八） 小题考法——函数的概念与性质A 组——10＋7提速练一、选择题1．(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D. 4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，故选B.5．(2019届高三·镇海中学测试)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3x ＋a (a ∈R)，则f (－2)＝( )A ．－1B ．－5C ．1D ．5解析：选D 因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝1＋a ＝0，即a ＝－1. 故f (x )＝log 2(x ＋2)－3x －1(x ≥0)， 所以f (－2)＝－f (2)＝5.故选D.6．(2018·诸暨高三期末)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且f (x )为奇函数，g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则下列四个命题中错误的是( )A ．y ＝g (f (x )＋1)为偶函数B ．y ＝g (f (x ))为奇函数C ．函数y ＝f (g (x ))的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (g (x ＋1))为偶函数解析：选B 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (2＋x ).选项A ，g (f (－x )＋1)＝g (－f (x )＋1)＝g (1＋f (x ))，所以y ＝g (f (x )＋1)为偶函数，正确； 选项B ，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (2＋f (x ))， 所以y ＝g (f (x ))不一定为奇函数，错误；选项C ，f (g (－x ))＝f (g (2＋x ))，所以y ＝f (g (x ))的图象关于直线x ＝1对称，正确； 选项D ，f (g (－x ＋1))＝f (g (x ＋1))，所以y ＝f (g (x ＋1))为偶函数，正确． 综上，故选B. 7．函数y ＝ln |x |x 2＋1x2在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 当x ∈(0,2]时，函数y ＝ln |x |＋1x 2＝ln x ＋1x 2，x 2>0恒成立，令g (x )＝ln x ＋1，则g (x )在(0,2]上单调递增，当x ＝1e 时，y ＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ＝ln x ＋1x 2<0，x ∈⎝⎛⎦⎤1e ，2时，y ＝ln x ＋1x 2>0，∴函数y ＝ln x ＋1x 2在(0,2]上只有一个零点1e ，排除A 、C 、D ，只有选项B 符合题意．8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：选C 法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A ∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )， 满足f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 若a ≤0，∵a >b >c ，∴b <0，c <0，则有a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴a >0成立． 若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾， ∴c <0成立．∵a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0， ∴[a ＋f (m 1)]·[a ＋f (m 2)]＝0， ∴m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两根， ∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0， 而a >0，c <0，∴3a －c >0，∴b ≥0.故选A.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A. 二、填空题11．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (0)＝________，f (6)＝________. 解析：函数f (x )在[－1,1]上为奇函数，故f (0)＝0， 又由题意知当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2. 答案：0 212．(2018·台州第一次调考)若函数f (x )＝a －22x－1(a ∈R )是奇函数，则a ＝________，函数f (x )的值域为____________．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －22－x －1＝－⎝⎛⎭⎫a －22x －1恒成立， ∴a ＝12x －1＋12－x －1＝12x －1＋2x 1－2x ＝1－2x 2x －1＝－1.∴f (x )＝－1－22x－1，当x ∈(0，＋∞)时，2x >1， ∴2x －1>0，∴12x－1>0，∴f (x )<－1； 当x ∈(－∞，0)时，0<2x <1， ∴－1<2x －1<0，∴12x－1<－1， ∴－22x －1>2，∴f (x )>1， 故函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：－1 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．(2018·绍兴柯桥区模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －2)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)＝0，则不等式f (x －2)>0，等价为f (|x －2|)>f (2)， ∴|x －2|<2，即－2<x －2<2，即0<x <4， ∴x 的取值范围是(0,4)． 答案：(0,4) 14．已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x－2)≤g (x )，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y 1＝e |x－2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：⎝⎛⎦⎤1，72＋ln 2 15．在实数集R 上定义一种运算“★”，对于任意给定的a ，b ∈R ，a ★b 为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a ★b ＝b ★a ；(2)a ★0＝a ；(3)(a ★b )★c ＝c ★(ab )＋(a ★c )＋(c ★b )－2c . 关于函数f (x )＝x ★1x ，有如下说法： ①函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数； ③函数f (x )为奇函数；④函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； ⑤函数f (x )不是周期函数． 其中正确说法的序号为________．解析：对于新运算“★”的性质(3)，令c ＝0，则(a ★b )★0＝0★(ab )＋(a ★0)＋(0★b )＝ab ＋a ＋b ，即a ★b ＝ab ＋a ＋b .∴f (x )＝x ★1x ＝1＋x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝1＋x ＋1x ≥1＋2 x ·1x ＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，∴函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝1＋1＋1＝3，f (－1)＝1－1－1＝－1，∴f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f (x )＝1＋x ＋1x 的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f (x )＝1＋x ＋1x 不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的序号为①④⑤.答案：①④⑤16．(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋e24x －2，g (x )和f (x )的图象关于原点对称，将函数g (x )的图象向右平移a (a >0)个单位长度，再向下平移b (b >0)个单位长度，若对于任意实数a ，平移后g (x )和f (x )的图象最多只有一个交点，则b 的最小值为________．解析：由f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋e 24x －2，知x >0，f (x )≥ln e －2＝－1，∴f (x )min ＝－1，此时x ＝e2. 在同一直角坐标系中，作出f (x )，g (x )的图象(图略)，若对于任意的a ，平移后g (x )和f (x )的图象最多只有一个交点，则平移后g (x )的图象的最高点不能在f (x )图象的最低点的上方，则1－b ≤－1，则b 的最小值为2.答案：217．(2017·山东高考)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x 2＋2.解析：设g (x )＝e x f (x )，对于①，g (x )＝e x ·2－x ， 则g ′(x )＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x (1－ln 2)>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求； 对于②，g (x )＝e x ·3－x ，则g ′(x )＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x (1－ln 3)<0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求； 对于③，g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数g (x )在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求； 对于④，g (x )＝e x ·(x 2＋2)，则g ′(x )＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x ·[(x ＋1)2＋1]>0， 所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④B 组——能力小题保分练1．(2019届高三·浙江新高考名校联考)函数f (x )＝ln |x |＋12x 2的大致图象是( )解析：选A 因为f (－x )＝ln |－x |＋12(－x )2＝ln |x |＋12x 2＝f (x )，所以f (x )是偶函数，于是其图象关于y 轴对称，排除D ；当x >0时，f (x )＝ln x ＋12x 2，f ′(x )＝1x ＋x ≥2，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>2，且f ′(x )是减函数，当x >1时，f ′(x )>2，且f ′(x )是增函数，因此，当x 趋近于0或x 趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝x 2－2ln |x | B ．f (x )＝x 2－ln |x | C ．f (x )＝|x |－2ln |x | D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B 由图象知，函数f (x )是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x >0时的图象即可．对于选项A ，当x >0时，f (x )＝x 2－2lnx ，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故A 错误；对于选项B ，当x >0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，因此f (x )在x ＝22处取得极小值，故B 正确；对于选项C ，当x >0时，f (x )＝x －2ln x ，所以f ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，故C 错误；对于选项D ，当x >0时，f (x )＝x －ln x ，所以f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，因此f (x )在x ＝1处取得极小值，故D 错误．故选B.4．定义：F (x )＝max{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，G (x )＝min{f (t )|－1≤t ≤x ≤1}，其中max{m ，n }表示m ，n 中的较大者，min{m ，n }表示m ，n 中的较小者．已知函数f (x )＝2ax 2＋bx ⎝⎛⎭⎫|b ||a |≤4，则下列说法一定正确的是( )A ．若F (－1)＝F (1)，则f (－1)>f (1)B ．若G (1)＝F (－1)，则F (－1)<F (1)C ．若f (－1)＝f (1)，则G (－1)>G (1)D ．若G (－1)＝G (1)，则f (－1)>f (1)解析：选B 依据题意，由|b ||a |≤4可得f (x )＝2ax 2＋bx 的图象的对称轴x ＝－b4a ∈[－1,1]，由F (－1)＝F (1)知f (－1)＝F (1)，F (1)为f (t )在t ∈[－1,1]上的最大值，无法排除f (－1)＝f (1)的可能，所以A 错误；由G (1)＝F (－1)＝f (－1)知，f (t )在t ∈[－1,1]上的最小值为f (－1)，所以F (－1)＝f (－1)<F (1)，B 正确；由f (－1)＝f (1)可知，f (x )＝2ax 2，当a <0时，显然G (－1)＝G (1)，所以C 错误；由G (－1)＝G (1)知，f (－1)＝G (1)，G (1)为f (t )在t ∈[－1,1]上的最小值，无法排除f (－1)＝f (1)的可能，所以D 错误．5．(2018·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R }，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊆B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合． 答案：⎣⎡⎭⎫－2，14 6．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2， 令t ＝x ＋1x ，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2， 由题意知，2a 2－4a ＋2＝8， 解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍去)， 综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10。

坐标系与参数方程 高考数学必刷真题分类大全-专题18

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专题18坐标系与参数方程考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y =，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C的极坐标方程为ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B，已知)1P-，求PA PB ⋅.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是11cos221sin2xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1()ρθρ=∈R．(1)求曲线1C和曲线2C除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A，B分别为曲线1C和2C上的异于极点O的两点，且OA OB⊥，求OAB面积的最大值．10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且π2,6P⎛⎫-⎪⎝⎭，π2,6Q⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线1C的参数方程为2112x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和OQ所在圆2C的直角坐标方程；(2)已知点M的直角坐标为()0,1-，曲线1C和圆2C相交于A，B两点，求11||||MA MB-．1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos 2α=±，进而可求tan α.(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos 2α=，进而tan 1k α==±因此斜率为±1．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，半径为2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin r q q =+，又，2C 的极坐标方程为222cos ρθ=，即2222x y +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-=-1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C =-=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin r q q =+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=，即tan 21θ=，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-；22280x y x +--=(2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=．(2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++=整理得()23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P-，求PA PB ⋅.【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4.(2)12【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x =，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）.曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程332112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得2231311622t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】52(2)5151(,0))22⋃【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围.(1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭==+当12s =±时，d 52，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 52；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：1152k +>1152k -解得：5151()22k ---∈⋃6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y (2)344【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得22202t t --=，∴12122,22t t t t +==-，显然12,t t 异号.由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==，∴()212121212121212121841111342||||24t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为222222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB =(2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214xy +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由22222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=，1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 4522αϕ--==25sin 5α=，5cos 5α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 52d =，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 1152245222AB d ⋅⋅=⨯=．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13sin ()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31+；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎫=-+⎪⎪⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；33112>OAB 31.10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和 OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出 PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出 OQ所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可.(1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以 OQ所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注： PQ的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t 因为120t t <，由t 的几何意义得：121212121111113||||+-=-=+==t tMA MB t t t t t t。

2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何 含解析

2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何 含解析

专题突破 立体几何过关检测一、单项选择题1.(2020山东德州一模,4)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 是C 1D 1的中点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x+y 的值为( ) A.-32B.-12C.12D.322.(2020山西晋中一模,5)给定下列四个命题,其中真命题是( ) A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 3.(2020山东临沂一模,7)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中《商功》有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”,意思是“有粟若干,堆积在平地上,底面圆周长为12丈,高为2丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1 000钱,则主人卖后可得银子( )A.800两B.1 600两C.2 400两D.3 200两4.(2020福建厦门质量检查,8)如图,在圆柱OO 1中,OO 1=2,OA=1,OA ⊥O 1B ,则AB 与下底面所成角的正切值为( )A.2B.√2C.√22D.125.(2020湖南怀化三模,7)已知一块形状为正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱)的实心木材,AB=2,AA 1=3.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为( ) A.92π B.8√23π C.43πD.17√176π 6.(2020青海西宁一模,10)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的半径是( ) A.2B.4C.2√6D.4√67.(2020广东湛江二模,7)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( ) A.2√23π B.4√23π C.4√2πD.83π8.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个定点,∠ABC=60°,AC=2,P 为球O 的球面上的动点,记三棱锥P-ABC 的体积为V 1,三棱锥O-ABC 的体积为V 2,若V1V 2的最大值为3,则球O 的表面积为( ) A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、多项选择题9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,其中正确的结论为()A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60°10.(2020山东潍坊三模,10)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α∥βD.若n⊂α,n⊥β,则α⊥β11.(2020山东青岛二模,11)如图,正方形SG1G2G3的边长为1,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,SG2交EF于点D,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-GEF中必有()A.SG⊥平面EFGB.设线段SF的中点为H,则DH∥平面SGEC.四面体S-GEF的体积为112πD.四面体S-GEF的外接球的表面积为3212.(2020山东济宁三模,10)线段AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1.则()A.DF∥平面BCEB.异面直线BF与DC所成的角为30°C.△EFC为直角三角形D.V C-BEF∶V F-ABCD=1∶4三、填空题13.(2020宁夏银川联考,14)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:×底面圆的周长的平方×高,则由此可推得圆周率π的取值圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=112为.14.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2 m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P点,蚂蚁爬行的最短路径为2√3 m,则圆锥的底面圆半径为.15.(2019天津,文12)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.16.(2020江西南昌三模,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,AD=2,AA1=2√3,已知P是2,设点P形成的轨迹长度为α,则tan 矩形ABCD内一动点,PA1与平面ABCD所成角为π3α=.四、解答题17.(2020广东珠海三模,19)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形CDEF为矩形,BC=2AD=2,CF=2√3,AB=√13,BE=2√6.(1)求证:AD⊥平面BDE;(2)求点D到平面BEF的距离.18.BC,将直(2020山东济南三模,17)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=12角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°,形成如图所示的几何体,⏜的中点.其中M为CE(1)求证:BM⊥DF;(2)求异面直线BM与EF所成角的大小.19.(2020河北唐山二模,18)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2AB=2BC=2,AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,CF=2AE.(1)求证:CD⊥EF;(2)若二面角B-EF-D是直二面角,求AE的长.20.(2020江西重点中学协作体第一次联考,18)如图所示,正方形ABCD边长为2,将△ABD沿BD翻折到△PBD的位置,使得二面角P-BD-A的大小为120°.(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;,求二面角M-BC-P (2)点M在直线PD上,且直线BM与平面ABCD所成角的正弦值为√32的余弦值.21.(2019北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC =13.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB =23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.22.(2020天津静海一中期中,18)如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求证:DF∥平面ABE;(2)求二面角B-EF-D的正弦值;(3)在线段BE上是否存在点P,使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为√66?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由.答案及解析1.D 解析AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x=12,y=1,x+y=32.2.D 解析正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A 错误;若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面互相平行,故B 错误;正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,故C 错误;若两个平面α,β垂直,假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线l 1与另一个平面β垂直,因为l 1⊥β,且平面α,β的交线l ⊂β,所以可得l 1⊥l ,这与题设l 与l 1不垂直相互矛盾,所以假设不成立,原命题成立,故D 正确.3.A 解析底面半径为r=122×3=2(丈),V=13×3×22×2=8(立方丈)=8×106(立方寸)=8000027(斛),故8000027×270÷1000=800(两).4.B 解析由题意,作BB'垂直于底面,连接OB',AB',如图所示.在圆柱OO 1中,OO 1=2,OA=1,OA ⊥O 1B ,则∠BAB'即为AB 与下底面所成角, 而OA ⊥OB',所以AB'=2+12=√2,所以tan ∠BAB'=BB 'AB '=√2=√2.5.C 解析根据题意,当球内切于棱长为2的正方体时,球的体积最大,故该球体积最大时,半径为1,体积为V=43πR 3=4π3.6.B 解析设截面圆半径为r ,球的半径为R ,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2√3,根据截面圆的周长可得4π=2πr ,得r=2,故由题意知R 2=r 2+(2√3)2,即R 2=22+(2√3)2=16,所以R=4.7.A 解析由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一,∴底面周长为2π×33=2π.∴圆锥的底面半径为1,母线长为3,∴高为√32-1=2√2.∴体积V 圆锥=13×π×12×2√2=2√23π. 8.B 解析如图,设△ABC 的外接圆圆心为O',其半径为r ,球O 的半径为R ,当球心O 在三棱锥P-ABC 内时,由题意可知,V 1V 2max =√R 2-r 2√R 22=3,可得R=√3r.∵2r=AC sin∠ABC =√3,∴r=√3,∴R=43,∴S 球=4π×169=64π9.当球心O 在三棱锥P-ABC 外时,结果不变.故选B .9.CD 解析结合图形,显然直线AM 与C 1C 是异面直线,直线AM 与BN 是异面直线,直线BN 与MB 1是异面直线,直线MN 与AC 所成的角即直线D 1C 与AC 所成的角.在等边三角形AD 1C 中,∠ACD 1=60°,所以直线MN 与AC 所成的角为60°.综上正确的结论为CD .10.AD 解析∵m ⊥α,α∥β,∴m ⊥β.又n ⊥β,∴m ∥n ,故A 正确;B 选项中,α,β可能平行,也可能相交,故B 不正确;C 选项中,当m ∥n 时,α,β可能相交,故C 不正确;由面面垂直判定定理,知D 正确.11.ABD 解析如图所示,SG ⊥GF ,SG ⊥GE ,GE ∩GF=G ,∴SG ⊥平面EFG ,故A 正确;∵DH 为△SEF 的中位线,则DH ∥SE ,DH ⊄平面SGE , ∴DH ∥平面SGE ,故B 正确;由题知,SG=1,GE=GF=12,V S-GEF =13×S △GEF ×SG=13×12×12×12×1=124,故C 不正确;∵GE ,GF ,GS 两两垂直,故外接球直径2R=√12+(12)2+(12)2=√62,所以S=4πR 2=32π,故D 正确.12.BD 解析因为AB ∥EF ,AB ∥CD ,所以四边形CDEF 确定一个平面,由于DC ,EF 长度不相等,则DF ,CE 不平行,即DF 与平面BCE 有公共点,故A 错误;连接OF ,OE ,OE 交BF 于点G ,因为OB ∥EF ,OB=EF ,OB=OF=1,所以四边形OBEF 为菱形,则BE=OF=1,所以△OBE 为等边三角形,由于G 为OE 的中点,则∠OBG=12∠OBE=30°,因为AB ∥CD ,所以异面直线BF 与DC 所成的角为∠ABF=∠OBG=30°,故B 正确;由于四边形OBEF 为菱形,则BF=2BG=2√12-(12)2=√3,由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知,BC ⊥BE ,BC ⊥BF , 所以CF=√12+(√3)2=2,CE=√12+12=√2,又因为EF 2+CE 2=3≠CF 2,所以△EFC 不是直角三角形,故C 错误; 因为BF=√3,BE=1,EF=1,所以S △BEF =12×√3×√12-(√32)2=√34, 由面面垂直的性质可知,BC ⊥平面BEF ,所以V C-BEF =13×√34×1=√312,过点F 作AB 的垂线,垂足为H ,则FH=12BF=√32, 根据面面垂直的性质可知HF ⊥平面ABCD , 则V F-ABCD =13×2×1×√32=√33,即V C-BEF ∶V F-ABCD =1∶4,故D 正确.13.3解析设圆柱底面圆的半径为r,圆柱的高为h,由题意知112×(2πr)2h=πr2h,解得π=3.14.23m解析将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形,蚂蚁从P爬行一周后回到P(记作P1),作OM⊥PP1,如图所示.由最短路径为2√3m,即PP1=2√3m,OP=2m,由圆的性质可得∠POM=∠P1OM=π3,即扇形所对的圆心角为2π3,则圆锥底面圆的周长为l=2π3×2=4π3(m),则底面圆的半径为r=l2π=4π32π=23(m).15.π4解析如图,由底面边长为√2,可得OC=1.设M 为VC 的中点,则O 1M=12OC=12,O 1O=12VO ,VO=√VC 2-OC 2=2,∴O 1O=1.∴V 圆柱=π·O 1M 2·O 1O=π×122×1=π4. 16.-3√7 解析因为在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,所以PA 1与平面ABCD 所成角为∠APA 1.因为PA 1与平面ABCD 所成角为π3,所以∠APA 1=π3. 因为AA 1=2√3,所以AP=2.从而点P 形成的轨迹为以A 为圆心,2为半径的圆在矩形ABCD 内一段圆弧DM ⏜,设其圆心角为θ,则sin θ=322=34,所以tan θ=√7.所以tan α=tan2θ=2tanθ1-tan 2θ=2×3√71-97=-3√7.17.(1)证明∵ED ⊥CD ,平面EDCF ⊥平面ABCD ,且平面EDCF ∩平面ABCD=CD ,ED ⊂平面EDCF ,∴ED ⊥平面ABCD.又AD ,BD ⊂平面ABCD ,∴ED ⊥BD ,AD ⊥ED.∵在Rt △BDE 中,ED=2√3,BE=2√6,∴BD=2√3.在△ABD 中,BD=2√3,AD=1,AB=√13,∵AB 2=AD 2+BD 2,∴AD ⊥BD. 又ED ∩BD=D ,ED ,BD ⊂平面BDE ,∴AD ⊥平面BDE. (2)解由(1)可知△BCD 为直角三角形,且BD=2√3,BC=2,∴CD=√BD 2+BC 2=4,作BH ⊥CD 于点H ,则BH=BC ·BD CD=√3.由已知平面EDCF ⊥平面ABCD ,且平面EDCF ∩平面ABCD=CD ,BH ⊂平面ABCD ,∴BH ⊥平面CDEF ,∴V B-DEF =13S △DEF ×BH=13×(12×4×2√3)×√3=4.在△BEF 中,BF=2+CF 2=4,EF=CD=4,BE=2√6,∴S △BEF =12×2√6×√42-(√6)2=2√15.设点D 到平面BEF 的距离为h ,则13S △BEF h=V B-DEF ,即13×2√15h=4,解得h=2√155,所以点D 到平面BEF 的距离为2√155.18.(1)证明(方法一)连接CE ,CE 与BM 交于点N ,根据题意,该几何体为圆台的一部分,且CD 与EF 相交.故C ,D ,F ,E 四点共面.因为平面ADF ∥平面BCE , 所以CE ∥DF.因为M 为CE ⏜的中点, 所以∠CBM=∠EBM ,所以N 为CE 的中点,又BC=BE , 所以BN ⊥CE ,即BM ⊥CE , 所以BM ⊥DF.(方法二)如图,以B 为坐标原点,BE ,BC ,BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BC=BE=2,所以B (0,0,0),M (√2,√2,0),D (0,1,1),F (1,0,1),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2−√2=0,所以BM ⊥DF.(2)解如图,以B 为坐标原点,BE ,BC ,BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则AD=AF=1,BE=2,所以B (0,0,0),M (√2,√2,0),E (2,0,0),F (1,0,1),所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),所以cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22×√2=-12,所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60°.19.(1)证明连接AC ,∵CF ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴CF ⊥CD.∵AD=2,AB=BC=1,∴AC=CD=√2,∴AC 2+CD 2=AD 2,可得AC ⊥CD. ∵AE ⊥平面ABCD ,CF ⊥平面ABCD , ∴AE ∥CF ,∴A ,C ,F ,E 四点共面. 又AC ∩CF=C ,∴CD ⊥平面ACFE.∵EF ⊂平面ACFE ,∴CD ⊥EF.(2)解如图所示,以A 为原点,A B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设AE=t ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,0,t ),F (1,1,2t ).则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,t ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2t ),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,t ),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2t ). 设平面BEF 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x1+tz1=0,y1+2tz1=0,取z1=1,x1=t,y1=-2t,则平面BEF的一个法向量m=(t,-2t,1).设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则{n·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2y2+tz2=0,x2-y2+2tz2=0,取z2=2,x2=-3t,y2=t,则平面DEF的一个法向量n=(-3t,t,2).由二面角B-EF-D是直二面角,则m·n=0,即5t2=2,解得t=√105.所以AE=√105.20.(1)证明设AC交BD于点E,连接PE,即E为BD中点,又AB=AD,∴AE⊥BD,∵PD=PB,∴PE⊥BD.∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,AE∩PE=E,∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.(2)解∵AE⊥BD,PE⊥BD,∴∠PEA即为二面角P-BD-A的平面角,即∠PEA=120°,得∠PEC=60°.∵AB=2,∴EP=EC=PC=√2.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D (0,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),P 12,32,√62.设DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12B ,32B ,√62B ,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B -2,32B -2,√62B .易得平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1).∵直线BM 与平面ABCD 所成角的正弦值为√32,∴|cos <n ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|√62λ√(12λ-2)2+(32λ-2)2+(√62λ)|=√32,解得λ=2,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√6),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). 设平面MBC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{n 1·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x 1+y 1+√6z 1=0,2x 1=0,令y 1=√6,得平面MBC 的一个法向量n 1=(0,√6,-1).∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,-12,√62,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),设平面PBC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12x 2-12y 2+√62z 2=0,2x 2=0,令y 2=√6,得平面PBC 的一个法向量n 2=(0,√6,1). 设二面角M-BC-P 的平面角为θ,∴cos θ=|n 1·n 2|n 1||n 2||=|√7×√7|=57,即二面角M-BC-P 的余弦值为57. 21.(1)证明因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD.又因为AD ⊥CD ,PA ∩AD=A , 所以CD ⊥平面PAD.(2)解过A 作AD 的垂线交BC 于点M.因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AM ,PA ⊥AD.如图,建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (2,-1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2). 因为E 为PD 的中点,所以E (0,1,1). 所以B E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,-23,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,43.设平面AEF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +z =0,23x +23y +43z =0. 令z=1,则y=-1,x=-1.于是平面AEF 的一个法向量n =(-1,-1,1).又因为平面PAD 的一个法向量为p =(1,0,0),所以cos <n ,p >=n ·p|n ||p |=-√33.由题知,二面角F-AE-P 的平面角为锐角,所以其余弦值为√33. (3)解直线AG 在平面AEF 内.因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),所以PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,-43,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,23.由(2)知,平面AEF 的一个法向量n =(-1,-1,1).所以AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-43+23+23=0.所以直线AG 在平面AEF 内. 22.(1)证明∵四边形EDCF 为矩形,∴DE ⊥CD.又平面EDCF ⊥平面ABCD ,平面EDCF ∩平面ABCD=CD , ∴ED ⊥平面ABCD.以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (-1,2,0),E (0,0,2),F (-1,2,2).设平面ABE 的法向量为m =(x ,y ,z ), ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x -2y +2z =0,2y =0,取z=1,得m =(2,0,1).又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,2),∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m .又DF ⊄平面ABE ,∴DF ∥平面ABE.(2)解DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,2),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),设平面BEF 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x 1-2y 1+2z 1=0,-2x 1+2z 1=0,取x 1=1,得平面BEF 的一个法向量n =(1,12,1).设平面DEF 的法向量为p =(x 2,y 2,z 2),则{p ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,p ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2z 2=0,-x 2+2y 2+2z 2=0,取y 2=1,得平面DEF 的一个法向量p =(2,1,0).设二面角B-EF-D 的平面角为θ,则cos θ=|n ·p ||n ||p |=52√94×√5=√53, ∴二面角B-EF-D 的正弦值sin θ=√1-(√53)2=23.(3)解存在.假设在线段BE 上存在点P ,使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,设P (x 1,y 1,z 1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =B BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x 1-1,y 1-2,z 1)=λ(-1,-2,2),解得x 1=1-λ,y 1=2-2λ,z 1=2λ, ∴P (1-λ,2-2λ,2λ).由(2)知平面BEF 的法向量n =(1,12,1),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,2-2λ,2λ), ∵直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,∴|n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√94·√(-λ)+(2-2λ)+(2λ)=√66,解得λ=29或λ=23, ∵BE=3,∴BP=23或BP=2.∴在线段BE 上存在点P ,使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为√66,此时BP=23或BP=2.。

高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题

高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。

专题18：函数的单调性新高考中的多项选择题专练(解析版)-2022年高考数学一轮复习

专题18：函数的单调性新高考中的多项选择题专练(解析版)-2022年高考数学一轮复习

【详解】
因为函数 y x2 2x 2 的值域是[1，2]，由 y 2 可得 x 0 或 x 2 ，由 y 1可得
x 1
所以其定义域可以为 A、B、C 中的集合 故选：ABC
8．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 4 f x ，若 y f x 1 的图象关于
直线 x 1 对称，且对任意的 x1, x2 0, 2 ，且 x1 x2 ，都有
对 C， f x x2 4x 3 的对称轴为 x 2 ， f x 在 , 2 上单调递减；
在[2, ) 上单调递增，故 C 错误；
对 D， f x x 1 ，由 y x 在 0, 上单调递增， y 1 在 0, 上单调递
x
x
增，
试卷第 6页，总 15页
所以 f x x 1 在 0, 上单调递增，故 D 正确．
所以 min{a, b} max{a, b} a b ，所以 B 是错误的；
对于 C 中，由 B 可知{min{a,b}, max{a,b}} {a,b} ，
所以 max{max{a,b}, min{a,b}} max{a,b}，所以 C 正确；
ab ab ab ab 对于 D 中，由 A 知 min{| a b |,| a b |}
x 故选:BD. 【点睛】
本题考查简单函数单调性的判断，是基础题.
7．已知函数 y x2 2x 2 的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[ 0,1 ]
【答案】ABC
B．[ 1, 2 ]
C．
1 4
,
2
D．[ 1,1]
【分析】
由 y 2 可得 x 0 或 x 2 ，由 y 1可得 x 1 ，然后可得答案.
然后利用函数解析式逐项判断.

高考数学18题

高考数学18题

高考数学18题高考数学18题一、题目介绍《2023年全国高考数学试题》中的第18题被一致评价为难度较高的一道题目。

该题目涉及到函数、导数以及三角函数等知识点，需要考生在有限的时间内灵活运用所学知识来解答。

二、题目内容已知函数f(x) = x^3 + (π/4)cosx在区间[0,2π]上的最大值为M，最小值为m，且M + m 的值为aπ，其中a为常数。

(1) 判断函数f(x)在区间[0,2π]上的单调性，并证明你的结论。

(2) 求函数f(x)在区间[0,2π]上的极值点，并给出相应值。

三、解题思路(1) 对于函数的单调性，我们首先可以对函数进行求导。

根据求导法则，f'(x) = 3x^2 - (π/4)sinx。

接下来，分析f'(x)的符号变化以判断函数f(x)的单调性。

由于x^2始终大于等于0，所以f'(x)的符号主要由sinx的符号决定。

根据函数sinx的周期性质，我们可以将区间[0,2π]分成多个小区间，并分别讨论sinx的符号。

(1.1) 当x在区间[0,π]上时，sinx大于0，因此f'(x) > 0，即f(x)在该区间上单调递增。

(1.2) 当x在区间[π,2π]上时，sinx小于0，因此f'(x) < 0，即f(x)在该区间上单调递减。

综上所述，函数f(x)在区间[0,π]上单调递增，在区间[π,2π]上单调递减。

(2) 对于函数的极值点，我们可以先求出函数f'(x)的解析式，即3x^2 - (π/4)sinx = 0。

由于该方程是一个二次方程和一个三角方程的组合，因此没有明确的解析解。

我们可以通过绘制函数图像或者利用数值计算的方法来求解。

通过绘制函数图像，我们可以大致找出函数f(x)在区间[0,2π]上的极值点的大致位置。

从函数图像可以发现，当x在区间[0,π/2]上和区间[3π/2,2π]上时，f'(x) = 0。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 18 导数的应用(二)

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 18 导数的应用(二)

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结18导数的应用(二)高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中、高等难度考纲研读1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3．会用导数解决实际问题一、基础小题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递增区间为()A．(－∞，0) B．(0，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 C解析函数的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝1－1x，令f′(x)>0，得x>1.故选C.2．已知奇函数f′(x)是连续函数f(x)(x∈R)的导函数，若x>0时，f′(x)>0，则() A．f(0)>f(log32)>f(－log23)B．f(log32)>f(0)>f(－log23)C．f(－log23)>f(log32)>f(0)D．f(－log23)>f(0)>f(log32)答案 C解析因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数．所以f(－log23)＝f(log23)，而log23>log22＝1，0<log32<1，所以0<log32<log23.又当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)<f(log32)<f(log23)，所以f(0)<f(log32)<f(－log23).3．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是()A．当x＝1ln 2时，f(x)取最大值B．当x＝1ln 2时，f(x)取最小值C．当x＝－1ln 2时，f(x)取最大值D．当x＝－1ln 2时，f(x)取最小值答案 D解析由题意知，f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2，又当x<－1ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当x＝－1ln 2时，f(x)取最小值.4．函数y ＝x ＋1e x 的图象大致为( )答案 C解析 因为y ＝x ＋1e x ，所以y ′＝－xe x ，令y ′>0，则x <0，令y ′<0，则x >0，所以函数y ＝x ＋1e x 在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，且0是函数的极大值点，结合4个函数的图象，知选C.5．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1，2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案 B解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.据题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.故选B. 6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，若y ＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若y＝f（x）x2在(0，＋∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2.若函数f(x)＝x3－2hx2－hx，且f(x)∈Ω1，f(x)∉Ω2，则实数h的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]答案 C解析因为f(x)∈Ω1且f(x)∉Ω2，即g(x)＝f（x）x＝x2－2hx－h在(0，＋∞)上是增函数，所以h≤0，而h(x)＝f（x）x2＝x－hx－2h在(0，＋∞)上不是增函数，因为h′(x)＝1＋hx2，所以当h(x)在(0，＋∞)上是增函数时，有h≥0，当h(x)在(0，＋∞)上不是增函数时，有h<0.综上所述，实数h的取值范围是(－∞，0).故选C.7．(多选)已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足f′（x）－f（x）x－1＞0(x≠1)，对于函数g(x)＝f（x）e x，下列结论正确的是() A．函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数B．1是函数g(x)的极小值点C．函数g(x)至多有两个零点D．当x≤0时，不等式f(x)≤e x恒成立答案ABC解析函数g(x)＝f（x）e x ，则g′(x)＝f′（x）－f（x）e x，当x＞1时，f′(x)－f(x)＞0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，A正确；当x＜1时，f′(x)－f(x)＜0，故g(x)在(－∞，1)上单调递减，故1是函数g(x)的极小值点，B正确；若g(1)＜0，则y＝g(x)至多有两个零点，若g(1)＝0，则y＝g(x)有一个零点，若g(1)＞0，则y＝g(x)没有零点，故C正确；g(x)在(－∞，1)上单调递减，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，g(0)＝f（0）e0＝1，可知x≤0时，g(x)≥g(0)，故f（x）e x≥1，即f(x)≥e x，D错误．故选ABC.8．(多选)已知函数f(x)＝2a ln x＋x2＋b.下列说法正确的是()A．当a＝－1时，f(x)的极小值点为(1，1＋b)B．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则a∈[－1，＋∞)C．若f(x)在定义域内不单调，则a∈(－∞，0)D．若a＝－32且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝－e x相切，则b＝－2答案BC解析极小值点为一个实数，故A错误；由f′(x)＝2ax＋2x≥0，可得a≥－x2.因为x≥1，所以a≥－1，故B正确；f′(x)＝2a＋2x2x，当a≥0时，f′(x)>0恒成立；当a<0时，f′(x)不恒为正数，所以f(x)不单调，故C正确；因为a＝－32，所以f(x)＝－3ln x＋x2＋b.因为f′(x)＝－3x＋2x2，所以f′(1)＝－1.因为f(1)＝b＋1，所以切线方程为y＝－x＋b＋2.设直线y＝－x＋b＋2与曲线y＝－e x相切的切点的横坐标为x0，则－e x0＝－1，所以x 0＝0，即切点坐标为(0，－1)，代入y ＝－x ＋b ＋2，可得b ＝－3，故D 错误．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1，1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．答案 (1，2)解析 ∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，且定义域为(－1，1)，又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2).二、高考小题10．(2022·全国乙卷)设a ＝2ln 1.01，b ＝ln 1.02，c ＝ 1.04－1，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 因为a ＝2ln 1.01＝ln 1.0201，b ＝ln 1.02，所以a >b .令f (x )＝2ln (1＋x )－(1＋4x －1)(x >0)，则f ′(x )＝21＋x －21＋4x，因为当0<x <2时，x 2<2x ，所以当0<x <2时，1＋2x ＋x 2<1＋2x ＋2x ，即1＋x <1＋4x ，所以当0<x <2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (0.01)>f (0)＝0，所以a >c .同理，令g (x )＝ln (1＋2x )－( 1＋4x －1)(x >0)，则g ′(x )＝21＋2x －21＋4x，因为当x >0时，(1＋2x )2>1＋4x ，所以当x >0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (0.01)<g (0)＝0，所以c >b .综上a >c >b .故选B.11．(2022·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，e]D ．[1，e] 答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1.综上，a ≥0.当x >1时，f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤xln x恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x >e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围为0≤a ≤e ，即[0，e].故选C.12．(2022·新高考Ⅰ卷)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞).①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，f ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x ，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当12<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，f ′(x )＝－2－2x ＝－2（x ＋1）x ＜0，此时函数f (x )＝1－2x －2ln x 为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的减函数．故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＞1.综上，f (x )min ＝f (1)＝1.13．(2022·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析 易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，∴f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e－x ＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2＝3x 2≥0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)，从而f (x )在R 上单调递增，∴f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)⇔－2a 2≥a －1，解得－1≤a ≤12.三、模拟小题14．(2022·辽宁沈阳东北育才学校高三第一次模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )<6f (x )，则必有( )A ．64f (1)<f (2)B ．81f (1)>16f (3)C ．4f (2)>f (4)D ．729f (2)>64f (3) 答案 D解析 由xf ′(x )<6f (x )，得x 6f ′(x )<6x 5·f (x ).设g (x )＝f （x ）x 6，x >0，则g ′(x )＝xf ′（x ）－6f （x ）x 7<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则g (1)>g (2)>g (3)>g (4)，则64f (1)>f (2)，729f (2)>64f (3)，64f (2)＞f (4)，729f (1)＞f (3)，但由于f (1)，f (2)，f (3)，f (4)的正负不确定，所以81f (1)>16f (3)，4f (2)>f (4)都未必成立．故选D.15．(2022·湖北黄石高三上调研)已知a ＝4ln 5π，b ＝5ln 4π，c ＝5ln π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <b <a 答案 A解析 令f (x )＝ln xx (x ≥e)，可得f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，当x ≥e 时，f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )＝ln x x 在[e ，＋∞)上单调递减，所以f (π)>f (4)>f (5)，即ln ππ>ln 44>ln 55，可得4ln π>πln 4，5ln 4>4ln 5，所以ln π4>ln 4π，5πln 4>4πln 5，所以5ln π4>5ln 4π，5ln 4π>4ln 5π，即c >b ，b >a ，所以a <b <c .故选A.16．(2022·山西太原高三模拟)点M 在曲线G ：y ＝3ln x 上，过M 作x 轴的垂线l ，设l 与曲线y ＝1x 交于点N ，OP →＝OM →＋ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 设M (t ，3ln t )，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t ，所以OP →＝OM →＋ON →3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 3，ln t ＋13t ，依题意可得ln t ＋13t ＝0，设g (t )＝ln t ＋13t ，则g ′(t )＝1t －13t 2＝3t －13t 2，当0<t <13时，g ′(t )<0，则g (t )单调递减；当t >13时，g ′(t )>0，则g (t )单调递增，所以g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－ln 3<0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－2＋e 23>0，g (1)＝13>0，所以g (t )＝ln t ＋13t ＝0有两个不同的解，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.17．(多选)(2022·新高考八省联考)已知函数f (x )＝x ln (1＋x )，则( ) A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增 B ．f (x )有两个零点C ．曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝⎛⎭⎪⎫－12处切线的斜率为－1－ln 2 D ．f (x )是偶函数 答案 AC解析 由f (x )＝x ln (1＋x )知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝ln (1＋x )＋x1＋x ，当x ∈(0，＋∞)时，ln (1＋x )>0，x1＋x>0，所以f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，A 正确；当－1<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，0)上单调递减．又因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝0.所以f (x )≥0，f (x )只有0一个零点，B 错误；令x ＝－12，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 12－1＝－ln 2－1，故曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝⎛⎭⎪⎫－12处切线的斜率为－1－ln 2，C 正确；由函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，可知f (x )不是偶函数，D 错误．故选AC.18．(多选)(2022·山东省潍坊一中高三开学检测)函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝f ′（x ）x ，下列命题中正确的是( )A ．不等式g (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞B ．函数g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减C ．若函数F (x )＝f (x )－ax 2有两个极值点，则a ∈(0，1)D ．若x 1＞x 2＞0时，总有m 2(x 21－x 22)＞f (x 1)－f (x 2)恒成立，则m ≥1 答案 AD解析 因为f (x )＝x ln x ，g (x )＝f ′（x ）x ＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，令g ′(x )＞0，可得x ∈(0，1)，故g (x )在该区间上单调递增；令g ′(x )＜0，可得x ∈(1，＋∞)，故g (x )在该区间上单调递减．又当x ＞1时，g (x )＞0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，g (1)＝1.故g (x )的图象如图所示：对于A ，数形结合可知g (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，故A 正确；对于B ，由上面分析可知，B 错误；对于C ，若函数F (x )＝f (x )－ax 2有两个极值点，即F (x )＝x ln x －ax 2有两个极值点，又F ′(x )＝ln x －2ax ＋1，要满足题意，则需ln x －2ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有两个根，即2a ＝ln x ＋1x 在(0，＋∞)上有两个根，也即直线y ＝2a 与y ＝g (x )的图象有两个交点．数形结合，则0＜2a ＜1，解得0＜a ＜12，故C 错误；对于D ，若x 1＞x 2＞0时，总有m 2(x 21－x 22)＞f (x 1)－f (x 2)恒成立，即m 2x 21－x 1ln x 1＞m 2x 22－x 2ln x 2恒成立．构造函数h (x )＝m2x 2－x ln x ，则h (x 1)＞h (x 2)对任意的x 1＞x 2＞0恒成立．故h (x )在(0，＋∞)上单调递增，则h ′(x )＝mx －ln x －1≥0在(0，＋∞)上恒成立．也即ln x ＋1x ≤m 在区间(0，＋∞)上恒成立，则m ≥g (x )max ＝1，故D 正确．故选AD.19．(2022·河北石家庄第一中学高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx 的导函数f ′(x )是偶函数，若方程f ′(x )－ln x ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e (其中e 为自然对数的底数)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1－12e 2，－12解析 ∵f (x )＝16x 3＋12bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝12x 2＋bx ＋c ，导函数y ＝f ′(x )的对称轴为直线x ＝－b ，由于该函数为偶函数，则－b ＝0⇒b ＝0，∴f ′(x )＝12x 2＋c ，令f ′(x )－ln x ＝0，即12x 2＋c －ln x ＝0，得c ＝ln x －12x 2.令g (x )＝ln x －12x 2，问题转化为当直线y ＝c 与函数g (x )＝ln x －12x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的图象有两个交点时，求实数c 的取值范围．g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1，列表如下：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 1 (1，e) g ′(x ) ＋ 0 － g (x )极大值所以函数y ＝g (x )在x ＝1处取得极大值，亦即最大值，g (x )max ＝g (1)＝－12，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－12e 2，g (e)＝1－e 22，显然，g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，如图所示，结合图象可知，当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤c <g (1)时，即当－1－12e 2≤c <－12时，直线y ＝c 与函数y＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的图象有两个交点，因此，实数c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1－12e 2，－12.一、高考大题1．(2022·全国乙卷)设函数f (x )＝ln (a －x )，已知x ＝0是函数y ＝xf (x )的极值点． (1)求a ；(2)设函数g (x )＝x ＋f （x ）xf （x ），证明：g (x )<1.解 (1)由题意，得y ＝xf (x )＝x ln (a －x )，x ∈(－∞，a )，y ′＝ln (a －x )＋x [ln (a －x )]′＝ln (a －x )＋x x －a. 因为x ＝0是函数y ＝xf (x )的极值点， 所以y ′|x ＝0＝ln a ＝0，所以a ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝ln (1－x )，要证g (x )<1，即证x ＋f （x ）xf （x ）<1，即需证x ＋ln （1－x ）x ln （1－x ）<1，x ∈(－∞，0)∪(0，1).因为当x ∈(－∞，0)时，x ln (1－x )<0，当x ∈(0，1)时，x ln (1－x )<0； 所以需证x ＋ln (1－x )>x ln (1－x )， 即x ＋(1－x )ln (1－x )>0.令h (x )＝x ＋(1－x )ln (1－x )，x ∈(－∞，1)且x ≠0， 则h ′(x )＝1＋(－1)ln (1－x )＋(1－x )·－11－x＝－ln (1－x )，所以当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以h (x )>h (0)＝0，即x ＋ln (1－x )>x ln (1－x )， 所以x ＋ln （1－x ）x ln （1－x ）<1成立，所以x ＋f （x ）xf （x ）<1，即g (x )<1.2．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x (1－ln x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a －a ln b ＝a －b ，证明：2<1a ＋1b <e. 解 (1)因为f (x )＝x (1－ln x )，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－ln x .当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 所以函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)证明：由题意，a，b是两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，两边同时除以ab，得ln aa －ln bb＝1b－1a，即ln a＋1a＝ln b＋1b，1a⎝⎛⎭⎪⎫1－ln1a＝1b⎝⎛⎭⎪⎫1－ln1b，即f⎝⎛⎭⎪⎫1a＝f⎝⎛⎭⎪⎫1b.令x1＝1a ，x2＝1b，由(1)知f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且当0<x<e时，f(x)>0，当x>e时，f(x)<0，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2<e.要证2<1a ＋1b<e，即证2<x1＋x2<e.先证x1＋x2>2，要证x1＋x2>2，即证x2>2－x1，因为0<x1<1<x2<e，所以2－x1>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以即证f(x2)<f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以即证f(x1)<f(2－x1)，即证当x∈(0，1)时，f(x)－f(2－x)<0.构造函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－ln x－ln (2－x)＝－ln [x(2－x)]，当0<x<1时，0<x(2－x)<1，则－ln[x(2－x)]>0，即当0<x<1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0，1)上单调递增，所以当0<x<1时，F(x)<F(1)＝0，所以当0<x <1时，f (x )－f (2－x )<0成立， 所以x 1＋x 2>2成立． 再证x 1＋x 2<e ，由(1)知，f (x )的极大值点为x ＝1，f (x )的极大值为f (1)＝1， 过点(0，0)，(1，1)的直线方程为y ＝x ，设f (x 1)＝f (x 2)＝m ，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x (1－ln x )>x ， 直线y ＝x 与直线y ＝m 的交点坐标为(m ，m )，则x 1<m . 欲证x 1＋x 2<e ，即证x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e ， 即证当1<x <e 时，f (x )＋x <e.构造函数h (x )＝f (x )＋x ，则h ′(x )＝1－ln x ，当1<x <e 时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(1，e)上单调递增，所以当1<x <e 时，h (x )<h (e)＝f (e)＋e ＝e ，即f (x )＋x <e 成立，所以x 1＋x 2<e 成立． 综上可知，2<1a ＋1b <e 成立．3．(2022·浙江高考)设a ，b 为实数，且a >1，函数f (x )＝a x －bx ＋e 2(x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意b >2e 2，函数f (x )有两个不同的零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝e 时，证明：对任意b >e 4，函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，满足x 2＞b ln b 2e 2x 1＋e 2b .注：e ＝2.71828…是自然对数的底数． 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a x ln a －b .因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以当b ≤0时，f ′(x )>0， 函数f (x )在R 上单调递增．当b >0时，令f ′(x )>0，则a x >b ln a ，所以x >log a b ln a ，令f ′(x )<0，得x <log a bln a ， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，log a b ln a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫log ab ln a ，＋∞上单调递增． 综上，当b ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增；当b >0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，log ab ln a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫log a b ln a ，＋∞上单调递增． (2)因为函数f (x )有两个不同的零点，所以a x －bx ＋e 2＝0有两个不同的根，即曲线y ＝a x 与直线y ＝bx －e 2有两个不同的交点．易知直线y ＝bx －e 2与y 轴交于点(0，－e 2). 先考虑曲线y ＝a x 与直线y ＝bx －e 2相切的情况. 设切点坐标为(t ，a t )，则切线的斜率为a t ln a ， 所以切线方程为y －a t ＝a t ln a (x －t )， 则y ＝(a t ln a )x ＋a t －ta t ln a ＝bx －e 2， 所以a t －ta t ln a ＝a t －a t ln a t ＝－e 2， 令a t ＝m ，则m －m ln m ＝－e 2，m >0， 令g (m )＝m －m ln m ＋e 2，则g ′(m )＝－ln m ， 当m ∈(0，1)时，g ′(m )>0， 当m ∈(1，＋∞)时，g ′(m )<0，故g(m)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g(e2)＝0，当m∈(0，1)时，g(m)＝m(1－ln m)＋e2>0，所以a t＝e2，所以要满足条件，则b>a t ln a＝e2ln a恒成立．因为b>2e2，所以2e2≥e2ln a，得1<a≤e2.故a的取值范围为(1，e2].(3)证明：当a＝e时，f(x)＝e x－bx＋e2，所以f′(x)＝e x－b，令f′(x)>0，得x>ln b，令f′(x)<0，得x<ln b，所以函数f(x)在(－∞，ln b)上单调递减，在(ln b，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(ln b)＝b－b ln b＋e2，由(2)得g(x)＝x－x ln x＋e2在(1，＋∞)上单调递减，又b>e4，所以b－b ln b＋e2<－3e4＋e2<0.＞0，设h(b)＝b－2ln b，b＞e4，则h′(b)＝1－2bh(b)在(e4，＋∞)上单调递增，所以h(b)＞h(e4)＝e4－8＞0，所以b＞2ln b，所以e b＞b2，所以f(b)＝e b－b2＋e2>e2>0，又f(0)＝1＋e2>0，f(x)min ＝f(ln b)＜0，0＜ln b＜b，所以函数f(x)在(0，ln b)和(ln b，b)上各存在一个零点，分别为x1，x2(x1<x2)，则e x1－bx1＋e2＝0，所以bx 1＝e x 1＋e 2， 所以要证x 2＞b ln b 2e 2x 1＋e 2b ，只需证x 2－e 2b ＞ln b 2e 2bx 1＝ln b 2e 2(e x1＋e 2). 因为f (2)＝2e 2－2b <2e 2－2e 4<0， 所以可知0<x 1<2，所以e x 1＋e 2<2e 2， 所以ln b 2e 2(e x 1＋e 2)＜ln b2e 2·2e 2＝ln b ， 故只需证x 2－e 2b >ln b ，即x 2>e 2b ＋ln b . f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2b ＋ln b ＝e －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2b ＋ln b ＋e 2 ＝e－b ln b ＝b，因为b >e 4，所以所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2b ＋ln b ＜0，所以x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2b ＋ln b ，b ，所以x 2>e 2b ＋ln b .所以x 2>b ln b 2e 2x 1＋e 2b 成立． 二、模拟大题4．(2022·河北衡水深州长江中学高三开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1x ，a ∈R .(1)求f (x )的单调区间，并求当a ＝1时，f (x )的最大值；(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )≤e x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f (x )＝ln x x ＋a ＋1x ，则f ′(x )＝－ln x x 2，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). 当a ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1＋a ＝2. (2)由题得当x >0时， ln x x ＋a ＋1x ≤e x恒成立，即a ≤x e x －ln x －1x 在(0，＋∞)上恒成立．令G (x )＝x e x －ln x －1x ＝e ln x e x －ln x －1x＝e x ＋ln x －ln x －1x，令h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1，当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． ∴h (x )≥h (0)＝0，∴e x ≥x ＋1，当x ＝0时取等号，∴e x ＋ln x ≥x ＋ln x ＋1，当x ＋ln x ＝0时取等号， ∴G (x )＝e x ＋ln x －ln x －1x ≥x ＋ln x ＋1－ln x －1x＝1，当x ＋ln x ＝0时等号成立，G (x )取到最小值．令H (x )＝x ＋ln x ，则H ′(x )＝1＋1x >0(x >0)，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增，又H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e －1<0，H (1)＝1>0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得H (x 0)＝0， ∴G (x )min ＝1.则a ≤G (x )min ＝1，∴实数a 的取值范围为(－∞，1].5．(2022·湖北武汉、襄阳、荆门、宜昌四地六校高三起点联考)设f (x )＝x sin x ＋cos x ，g (x )＝x 2＋4.(1)讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)令h (x )＝g (x )－4f (x )，试证明h (x )在R 上有且仅有三个零点．解 (1)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝±π2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)证明：h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ，h (0)＝0，∴x ＝0是h (x )的一个零点， ∵h (x )是偶函数，∴要确定h (x )在R 上的零点个数，只需确定x >0时，h (x )的零点个数即可．①当x >0时，h ′(x )＝2x －4x cos x ＝2x (1－2cos x ).令h ′(x )＝0，得cos x ＝12，x ＝π3＋2k π或x ＝－π3＋2k π(k ∈N ).x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝π29＋2－23π3<0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝25π29＋103π3＋2>0， ∴h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3内有唯一零点． ②当x ≥5π3时，由于sin x ≤1，cos x ≤1，h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ≥x 2＋4－4x－4＝x 2－4x ＝t (x )，而t (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，＋∞上单调递增，t (x )≥t ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3>0， ∴h (x )>0恒成立，故h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，＋∞内无零点， ∴h (x )在(0，＋∞)内有一个零点．由于h (x )是偶函数，∴h (x )在(－∞，0)内有一个零点，而h (0)＝0，∴h (x )在R 上有且仅有三个零点．6．(2022·广东省广州市执信、广雅、六中三校高三联考)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：f (x )≤x 2＋x －1；(3)试比较ln 2222＋ln 3232＋ln 4242＋…＋ln n 2n 2与（n －1）（2n ＋1）2（n ＋1）(n ∈N *且n ≥2)的大小，并证明你的结论.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x ＝a ＋2x 2x .①当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a 2， 当0<x < －a 2时，a ＋2x 2<0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a 2上单调递减； 当x > －a 2时，a ＋2x 2>0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上单调递增． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上单调递增． (2)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，要证明f (x )≤x 2＋x －1， 即证ln x ≤x －1，即证ln x －x ＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1－x x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以1为极大值点，且g (x )在x ＝1处取得最大值． 所以g (x )≤g (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，故f (x )≤x 2＋x －1. (3)ln 2222＋ln 3232＋ln 4242＋…＋ln n 2n 2<（n －1）（2n ＋1）2（n ＋1）. 证明：由(2)知ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，即ln x x ≤1－1x ，则有ln 2222＋ln 3232＋ln 4242＋…＋ln n 2n 2<1－122＋1－132＋…＋1－1n 2＝n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋132＋…＋1n 2 <n －1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1） ＝n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＝（n －1）（2n ＋1）2（n ＋1）， 故ln 2222＋ln 3232＋ln 4242＋…＋ln n 2n 2<（n －1）（2n ＋1）2（n ＋1）.。

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)

专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

高考数学总复习重点知识专题讲解与训练18---正态分布(解析版)

高考数学总复习重点知识专题讲解与训练18---正态分布(解析版)
“质量提升月”活动后，产品质量指标值 X 近似满足 X ~ N (218,140) ，则 E ( X ) = 218 .
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6
10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售 量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： oC ）的数据，如下表：
故 P (1 < ξ < 2) = 1 × 0.6 = 0.3 .
2 三、解答题
8．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某项质量
指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量
3 / 18
指标的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出答案）； （Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20； （Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 服从正态分布
P(90 < ξ < 100) 的值为（ ） A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0.46
7 / 18
【答案】D
【 解 析 】 依 据 题 设 条 件 及 正 太 分 布 的 对 称 性 可 知 P (ξ ≥ 110) = 1− 0.96 = 0.04，所 以 P (ξ ≤ 90) = 0.04 ，则 2P (90 < ξ < 100) = 1− 2× 0.04 = 0.92 ，所以 P (90 < ξ < 100) = 0.46 ，
我校成绩高于 120 分的有
人．
【答案】 78
【解析】我校成绩高于120 分的有 1− 0.8 × 780 = 78 人. 2
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考 点
后平移”所乘的系数要乘到x上，所加的量也要加到x
综 合
突 破
上，即都要“作用到单个的x上”．
训 练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要 点
◎变式训练
梳
创 新 设
理
计
· 基
1．(2014·浙江)为了得到函数
y＝sin
3x＋cos
3x
的图象，
· 素
础
能
落 实
力 提
结
升
答案 A
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点
新
梳 理
· 基
2．把函数 y＝sin5x－π2 的图象向右平移π4 个单位，
设 计 · 素
础 落 实
再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所
能 培 优
得的函数解析式为
A．y＝sin10x－3π 4
B．y＝sin10x－7π 2
创 新
梳
设
理
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 计
·
·
基 础
五个关键点，如下表所示.
素 能
落
培
实
优
x
－ωφ
－ωφ ＋2πω
π－φ ω
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
考 点
ωx＋φ
π
0
2
π
3
2π
2π
综 合
突
训
破 ·
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0 －A
0
练 ·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
综 合 训 练
·
·
规 律
答案 B
能 力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
4．将函数 f(x)＝sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移
要 点 梳 理
π4 个单位长度，所得图象经过点3π 4 ，0，则 ω 的最小
创 新 设 计
· 基
值是
· 素
础 落 实
1 A.3
B．1
要 考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
创
点
新
梳 理
(1)(2014· 四 川 ) 函 数 f(x) ＝ 2sin(ωx ＋
设 计
· 基 础 落 实
φ)ω>0，－π2 <φ<π2 的部分图象如图所示，则 ω，φ
的值分别是
· 素 能 培 优
考
点
突
破
π
· 规
A．2，－ 3
律 总 结
C．4，－π6
创 新 设
理
· 基 础
期 T＝π，又 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2.所以 y＝2sin(2x
计
· 素 能
落 实
培
＋φ)，又 y＝fπ8 ＝2sin2×π8 ＋φ＝2，所以 sinπ4 ＋φ＝ 优
π
π
π
1，即 4 ＋φ＝ 2 ＋2kπ，k∈Z，所以 φ＝ 4 ＋2kπ，所
考 点 突 破
以 y＝2sin2x＋π4 ，选 B.
可以将函数 y＝ 2cos 3x 的图象
培 优
A．向右平移π 12个单位 B．向右平移π4 个单位
π
π
考 点
C．向左平移12个单位 D．向左平移 4 个单位
综 合
突
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点
新
梳 理
· 基
解析
设
y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝
菜单
综
合
训
π
练
B．2，－ 6
· 能
力
π
提
D．4， 3
升
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点 梳 理
【解析】
34T＝51π2 ＋π3 ＝91π2 ＝3π 4 ，所以
T＝π，
新 设 计
·
·
基 础 落 实
所以2ωπ＝π，ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋4)，所以 2×－π3
素 能 培 优
练 · 能 力
总 结
D．30sinπ6 t－π2
提 升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点 梳
新
【解析】 由题意知 h(t)＝Asin(ωx＋φ)＋h，A>0， 设
计 ·
基
素
础
能
落
培
实
y＝Asin(ωx 振幅 周期
频率 相位 初相
优
＋φ)(A＞0，ω
考 点
＞0)，x∈[0，
＋∞)表示一 个振动量时
A
2π T＝_ω__
f＝T1＝_2ω_π_
ωx＋ φ
φ
突
综 合 训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要 点
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
素 能
落 实
A．向左平行移动1个单位长度
培 优
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
考
D．向右平行移动π个单位长度
综
点
合
突 破
解析 由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝sin(x
训 练
· 规
＋1)的图象，应该将函数y＝sin x图象上所有的点向左
· 能
律 总
平行移动1个单位长度，故选A.
5 C.3
D．2
能 培 优
π
解析 将函数 f(x)＝sin ωx 的图象向右平移 4 个单
位长度，得到的图象对应的函数解析式为 f(x)＝sin ω
考 点 突
x－π4 ＝sinωx－ω4π.又因为函数图象过点3π4 ，0，所
综 合 训
破
· 规 律
以 sin3ω4π－ω4π＝sin ω2π＝0，所以ω2π＝kπ，即 ω
能 培 优
所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函
考 点
数 y＝sin10x－7π4 的图象．
突
综 合 训
破
练
·
·
规
答案 D
律
能 力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要 点
3．函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所
创 新
梳
设
理 示，则此函数的解析式可能是
新 设 计
· 基 础 落
·
调性，且 fπ2 ＝f2π 3 ＝－fπ6 ，则 f(x)的最小正周期
素 能 培
实
为__解__析____结.合图象得T4＝π2 ＋223π－π2 ＋2 π6 ，即 T＝π.
优
考 点 突 破 · 规 律 总 结
答案 π
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
考 点 突 破
C．y＝sin10x－3π 2
D．y＝sin10x－7π 4
综 合 训 练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点
新
梳 理
设
π
计
· 基
解析 将原函数的图象向右平移 4 个单位，得到
· 素
础 落 实
函数 y＝sin5x－π4 －π2 ＝sin5x－7π4 的图象；再把
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点 梳
[辨析]
新 设
理
· 基 础
1．作函数
y＝sinx－π6 在一个周期内的函数图象时，
计
· 素 能
落 实
确定的五点是(0，0)，π2 ，1，(π，0)，3π2 ，－1，(2π，
培 优
0)，正确吗？
考 点
提示 不正确．确定的五个关键点应是π6 ，0，
综 合
突 破
· 规
练 · 能
律 总
则 ω 的最小正值是 3.Leabharlann 力 提结【答案】 D
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章 三角 函数、解三角形
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基
素
础
能
落 实
[规律方法] 三角函数的图象变换
培 优
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的
图象，无论是“先平移，后伸缩”，还是“先伸缩，
2π 3 ，1，7π6 ，0，5π 3 ，－1，136π，0.
训 练 · 能
律
力
总
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