【竞赛】解析几何3——曲线系

高二数学竞赛——曲线系曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法．曲线系：如果两条曲线方程是 f 1(x ,y )＝0和 f 2(x ,y )＝0, 它们的交点是P (x 0,y 0)，则方程 f 1(x ,y )＋f 2(x ,y )＝0的曲线也经过点P (x 0,y 0) (是任意常数)．证明：由方程⎩⎨⎧f 1(x ,y )＝0·······①f 2(x ,y )＝0·······②得到 f 1(x ,y )＋ f 2(x ,y )＝0·······③ 只须将（x 0, y 0）代入证明．◆ 设圆C 1∶x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋ (x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0( 为参数，圆系中不包括圆C 2， ＝－1为两圆的公共弦所在直线方程)．◆ 设圆C ∶x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋ (Ax ＋By ＋C )＝0( 为参数)． 曲线系方程③不能包含过两曲线公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程③中呢? ——m ·f 1(x ,y )＋n ·f 2(x ,y )＝0由直线生成的二次曲线系：设f i ＝A i x ＋B i y ＋C i （i ＝1,2,3,···）（1）若三角形三边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3），则经过三角形三个顶点的二次曲线系为：f 1·f 2＋ f 2·f 3＋ f 3·f 1＝0（ 、 为参数）（2）若四边形四条边的方程为：f i ＝0（i ＝1,2,3,4），则经过四边形四个顶点的二次曲线系为：f 1·f 3＋ f 2·f 4＝0（ 为参数）， 其中f 1＝0与f 3＝0、f 2＝0与f 4＝0分别为四边形的对边所在直线方程． （3）与两条直线f 1＝0、f 2＝0分别相切于M 1、M 2的二次曲线系为：f 1·f 2＋ f 3·f 3＝0（ 为参数）， 其中f 3＝0是过M 1、M 2的直线方程．（3）过直线f 1＝0、f 2＝0与一个二次曲线F (x ,y )＝0的4个交点的二次曲线系为：F (x ,y )＋ f 1·f 2＝0（ 为参数）．【例题选讲】例1. 求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解： 构造方程 x 2＋y 2＋6x －4＋ (x 2＋y 2＋6y －28)＝0即：(1＋ )x 2＋(1＋ )y 2＋6x ＋6 y －(4＋28 )＝0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为(－31＋ ,－3 1＋)当该圆心在直线x －y －4＝0上时，即 －31＋ ＋3 1＋ －4＝0，解得： ＝－7．∴ 所求圆方程为 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0例2. 求与圆x 2＋y 2－4x －2y －20＝0切于A (―1,―3)，且过B (2,0)的圆的方程．解法一：视A (―1,―3)为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2，当r →0时，极限圆(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝0构造圆系：(x 2＋y 2－4x －2y －20)＋ [(x ＋1)2＋(y ＋3)2]＝0∵曲线过B (2,0) ∴ ＝43∴所求的方程为：7x 2＋7y 2－4x ＋18y －20＝0解法二：过A (―1,―3)的圆的切线为：3x ＋4y ＋15＝0与已知圆构造圆系：x 2＋y 2－4x －2y －20＋ (3x ＋4y ＋15)＝0∵曲线过B (2,0) ∴ ＝87 ∴所求的方程为：7x 2＋7y 2－4x ＋18y －20＝0例3. 求证：两椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2、a 2x 2＋b 2y 2＝a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．解：设(b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2)＋ (a 2x 2＋b 2y 2－a 2b 2)＝0令 ＝1，得：(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2a 2b 2，即：(x 2＋y 2)＝2a 2b2a 2＋b 2此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点．即原题得证． 注意：由以上分析可以看出，利用曲线系解题，可以快速求解，但有时却是失效的．例4. 求以圆x 2＋y 2＝5与抛物线y 2＝4x 的公共弦为直径的圆的方程.解法一：联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 2＝5y 2＝4x ，解得：⎩⎨⎧x 1＝1y 1＝2或⎩⎨⎧x 2＝1y 2＝－2以这两点为直径的圆的方程是：(x －1)2＋y 2＝4解法二：构造方程 (x 2＋y 2－5)＋ (y 2－4x )＝0即：x 2＋(1＋ )y 2－4 x －5＝0 (*)显然， ＝0不是所求圆方程，而在 ≠0时，方程(*)已不是圆方程了． ∴ 由(*)得不出所求结果．例5. 【书P .131/16】过不在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 作两条直线l 1、l 2分别交椭圆于A 、B和C 、D 四点，若l 1、l 2的倾斜角分别为α、β，且α＋β＝π，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．解法一：【直线的参数方程】设P (x 0,y 0)，设l 1方程为：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α（t 为参数）直线l 2方程为：⎩⎨⎧x ＝x 0＋m cos βy ＝y 0＋m sin β（m 为参数）将l 1方程代入椭圆方程得：(x 0＋t cos α)2a 2＋(y 0＋t sin α)2b2＝1 整理得：(a 2sin 2α＋b 2cos 2α)t 2＋2(a 2y 0sin α＋b 2x 0cos α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2α，同理，|PC |·|PD |＝|m 1m 2|＝b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2a 2sin 2β＋b 2cos 2β∵α＋β＝π，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β ∴|PA |·|PB |＝|PC |·|PD |由平面几何知识知A 、B 、C 、D 四点共圆． 解法二：【二次曲线系】设P (x 0,y 0)，记k ＝tan α，设l 1：y ＝k (x －x 0)＋y 0，l 2：y ＝－k (x －x 0)＋y 0， ∴l 1：kx －y －kx 0＋y 0＝0，l 2：kx ＋y －kx 0－y 0＝0，∴过A 、B 、C 、D 四点的二次曲线设为：x 2a 2＋y 2b2－1＋ (kx －y －kx 0＋y 0)(kx ＋y －kx 0－y 0)＝0∴x 2a 2＋y 2b2－1＋ (kx －kx 0)2－ (y －y 0)2＝0 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋ k 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－ y 2－2 k 2x 0x ＋2 y 0y －1＋k 2 x 20－ y 20＝0∴1a 2＋ k 2＝1b 2－ 时，方程为圆的方程，此时， (k 2＋1)＝1b 2－1a 2，即 ＝c 2a 2b 2(k 2＋1)． ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．例6. 【2005年高考第21题】设A 、B 是椭圆3x 2＋y 2＝ 上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）确定 的取值围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由． 解：（Ⅰ）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，设AB ：y ＝k (x －1)＋3，代入椭圆得：(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－ ＝0 ∵x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3＝2x N ＝2 解得k∴△＝4k 2(k －3)2－4(k 2＋3)[(k －3)2－ ]＝4·42－4·4(16－ )＞0∴ ＞12 直线AB 的方程为y ＝－x ＋4【或】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由点差法【过程略】y 2－y 1x 2－x 1＝－3(x 1＋x 2)y 1＋y 2∵N (1,3)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝6∴k AB ＝－1又由N (1,3)在椭圆，∴3＋32＜ ∴ ＞12（下略）（Ⅱ）解法1：又设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，CD 的中点为M (x 0,y 0) ∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程整理得：4x 2＋4x ＋4－ ＝0 ∴x 3＋x 4＝－1∴x 0＝－12，y 0＝32∴M (－12,32)于是由弦长公式可得|CD |＝2|x 3－x 4|＝2( －3) ④将直线AB 的方程y ＝－x ＋4代入椭圆方程得4x 2－8x ＋16－ ＝0 ⑤ 同理可得 |AB |＝2|x 1－x 2|＝2( －12) ⑥ ∵当 ＞12时，2( －3)＞2( －12)∴|AB |＜|CD |假设存在 ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心. 点M (－12,32)到直线AB 的距离为d ＝|x 0＋y 0－4|2＝322 ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得|MA |2＝|MB |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝92＋ －122＝ －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22故当 ＞12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|CD |2为半径的圆上.【或】A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形⇔|AN |2＝|CN |·|DN |，【相交弦定理的应用】即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |2＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |2－d ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝ －122由④和⑦知，⑧式右边＝⎝⎛⎭⎪⎫2( －3)2＋322⎝ ⎛⎭⎪⎫2( －3)2－322＝ －32－92＝ －122∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.【或二次曲线系】∵AB ：x ＋y －4＝0，CD ：x －y ＋2＝0，∴(x ＋y －4)(x －y ＋2)＝0过A 、B 、C 、D 四点∵3x 2＋y 2－ ＝0过A 、B 、C 、D 四点∴3x 2＋y 2－ ＋ (x ＋y －4)(x －y ＋2)＝0过A 、B 、C 、D 四点∴3x 2＋y 2－ ＋ (x 2－y 2－2x ＋6y －8)＝0∴(3＋ )x 2＋(1－ )y 2－2 x ＋6 y －8 － ＝0 ∴当3＋ ＝1－ ，即 ＝－1时，方程为2x 2＋2y 2＋2x －6y ＋8－ ＝0 ∴x 2＋y 2＋x －3y ＋4－2＝0∴(x ＋12)2＋(y －32)2＝ 2－4＋14＋94＝ 2－32＝ －32∴A 、B 、C 、D 四点都在圆(x ＋12)2＋(y －32)2＝ －32上．例7. 【2010卷18】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ,m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，其中m ＞0,y 1＞1,y 2＜0．（1）设动点P 满足PF 2－PB 2＝4,求点P 的轨迹；（2）设x 1＝2,x 2＝13，求点T 的坐标；（3）设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．解（1）（2）略（3）点T 的坐标为(9,m ) 直线TA 方程为：y ＝m 12(x ＋3)，TB ：y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程组，同时考虑到x A ＝－3，x B ＝3，【过程略】解得：M (3(80－m 2)m 2＋80,40m m 2＋80)，N (3(m 2－20)m 2＋20,－20mm 2＋20)．（方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：y ＋20m m 2＋20＝40m m 2＋80＋20mm 2＋203(80－m 2)m 2＋80－3(m 2－20)m 2＋20(x －3(m 2－20)m 2＋20)【整理略】 令y ＝0，解得：x ＝1．此时必过点D （1，0）；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为：x ＝1，与x 轴交点为D （1，0）． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）．（方法二）若x 1＝x 2，则由3(80－m 2)m 2＋80＝3(m 2－20)m 2＋20及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D （1，0）．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝10m 40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝10m40－m2，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）．解法三：由题意TA ：y ＝m 12(x ＋3)，TB ：y ＝m6(x －3)，AB ：y ＝0，设MN 方程为：px ＋qy ＋r ＝0，上述4条直线两两的交点即A 、B 、M 、N （任三点不共线），则经过这四点的二次曲线可表示为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －m 12(x ＋3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －m6(x －3)＋ y ·(px ＋qy ＋r )＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 12x －m 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 6x ＋m 2＋ (pxy ＋qy 2＋ry )＝0整理得：m 272x 2＋(1＋ q )y 2＋( p －m 4)xy ＋( r ＋m 4)y －m 28＝0······(*)当方程(*)表示椭圆x 29＋y 25－1＝0时，比较系数得：⎩⎪⎨⎪⎧ p －m4＝0 r ＋m4＝0m 272∶1＋ q ∶－m 28＝19∶15∶－1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝m4 r ＝－m 4m 28＝5(1＋ q )∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝m4 r ＝－m 4 q ＝m 2－4040∴MN ：m4x ＋m 2－4040y －m 4＝0 ∴mx ＋m 2－4010y －m ＝0∴MN ：m (x －1)＋m 2－4010y ＝0恒过定点(1,0)．例8. 【2011理21】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅰ）当|CD |＝322时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：→OP ·→OQ 为定值．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a 2＝2，则椭圆方程为x 2＋y 22＝1．直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立得：(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则△＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， |CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22(k 2＋1)k 2＋2．由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝±2x ＋1．（Ⅱ）直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1（k ≠0且k ≠±1），所以P 点的坐标为(－1k,0)．设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，由（Ⅰ）知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为：y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为：y ＝y 2x 2－1(x －1)，方法一：联立方程⎩⎨⎧y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)y ＝y 2x 2－1(x －1)，设Q (x 0,y 0)，解得x 0＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2－1)y 2(x 1＋1)－y 1(x 2－1)，不妨设x 1＞x 2，则x 0＝(kx 2＋1)(x 1＋1)＋(kx 1＋1)(x 2－1)(kx 2＋1)(x 1＋1)－(kx 1＋1)(x 2－1)＝2kx 1x 2＋(x 1＋x 2)＋k (x 2－x 1)k (x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＋2＝－4k －2k 2(k 2＋1)22(k 2＋1)＋4＝－k ，∴Q (－k ,y 0)，又P (－1k ,0)，∴→OP ·→OQ ＝(－k )·(－1k)＋0＝1．故→OP ·→OQ 为定值．方法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)y ＝y 2x 2＋1(x －1)，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1)，∵－1＜x 1,x 2＜1，∴x ＋1x －1与y2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(x 1＋1)(x 2＋1)(1－x 1)(1－x 2)＝1－2k k 2＋2－1k 2＋21＋2k k 2＋2－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k ＋1k －1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k ＋1k －1同号，∴x ＋1x －1＝k ＋1k －1，解得x ＝－k ． 因此Q 点的坐标为(－k ,y 0)，又P (－1k,0)，∴→OP ·→OQ ＝1．故→OP·→OQ为定值．例9. 【2011理21】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：→OP ·→OQ 为定值．证法三：设直线CD 方程为：y ＝kx ＋1，与x 轴交点为P (－1k,0)．直线AC 方程为：y ＝k 1(x ＋1)，直线BD 方程为：y ＝k 2(x －1)解得：x Q ＝k 1＋k 2k 2－k 1，故→OP ·→OQ ＝－k 1＋k 2k (k 2－k 1)∵AC ：k 1x －y ＋k 1＝0，BD ：k 2x －y －k 2＝0，AB ：y ＝0，CD ：kx －y ＋1＝0 ∴经过A ，B ，C ，D 四点的二次曲线方程可设为： y ·(kx －y ＋1)＋ (k 1x －y ＋k 1)(k 2x －y －k 2)＝0∴kxy －y 2＋y ＋ k 1k 2x 2＋ y 2－ (k 1＋k 2)xy ＋ (k 2－k 1)y － k 1k 2＝0 ∴ k 1k 2x 2＋[k － (k 1＋k 2)]xy ＋( －1)y 2＋＋[ (k 2－k 1)＋1]y － k 1k 2＝0 与椭圆x 2＋y 22＝1比较系数得：⎩⎨⎧k － (k 1＋k 2)＝0 (k 2－k 1)＋1＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝kk 2－k 1＝－1代入→OP ·→OQ ＝－k 1＋k 2k (k 2－k 1)＝1（定值）．一般地．取曲线方程中的特征量（如直线方程中的斜率k ，截距b 等）为变数时，便可得出曲线系． 例10.已知有向线段PQ 的起点P 的终点Q 的坐标分别为(－1,1)和(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与PQ的延长线相交，求m 的取值围．分析：直线l 变形为x ＝0(m ＝0) 或y ＝－1m x －1(m ≠0)是过(0,－1)斜率为－1m 的直线， 只须找到与Q 点相交、与PQ 平行的直线的夹角围即可．解： ∵x ＋my ＋m ＝0 ∴直线l 经过M (0,－1)∴13＜－1m ＜32 ∴－3＜m ＜－23 思考：用定比分点的思想可以吗？例11.平面上有两个圆，它们的方程分别是x 2＋y 2＝16和x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，求这两个圆的公切线方程．分析：由x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0得：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，显然这两圆的关系是外切．解： ∵x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0 ∴(x －3)2＋(y ＋4)2＝1∴这两圆是外切∴(x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24)－(x 2＋y 2－16)＝0 ∴3x －4y －20＝0∴所求的两圆公切线的方程为：3x －4y －20＝0注意：对于不同心的两个圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0, C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，圆系方程C 1＋ C 2＝0例12.求证：如果两条抛物线有四个交点且对称轴垂直，则此四点共圆．分析：证明四点共圆，可以利用曲线系，得出一个四点满足的圆的方程即可．证明：取一条抛物线的顶点为原点，对称轴为x 轴，则它的方程为：y 2＝2px ①∴另一条抛物线的方程为：(x －a )2＝2k (y －b ) ②∴①＋②得：y 2＋(x －a )2－2px －2k (y －b )＝0 ③∵若①和②有四个解，即两条抛物线有四个交点时，这四个交点坐标一定满足方程③∴命题成立例13.已知A 、B 为定二次曲线ax 2＋bxy ＋cy 2＋ex ＋fy ＋g ＝0 (a ≠0)上的两点，过A 、B 任作一圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C 、D ，求证：CD 有定向．分析：可以把过A 、B 的曲线系表示出来，得到C 、D 满足的方程．解：取A 点为坐标原点，AB 为x 轴，设B 点的坐标为(l ,0)，不妨假定a ＝1，∴ax 2＋bxy ＋cy 2＋ex ＋fy ＋g ＝0 ∴ x 2＋bxy ＋cy 2－lx ＋fy ＝0 ①过A 、B 的圆的方程为：x 2＋y 2－lx ＋ky ＝0 ②∴过A 、B 的曲线系方程为：(x 2＋bxy ＋cy 2－lx ＋fy )＋ (x 2＋y 2－lx ＋ky )＝0∵曲线也过C 、D ∴取 ＝－1可得y [bx ＋(c －1)y ＋(f －k )]＝0 ③∵A 、B 、C 、D 的坐标必须满足③∵C 、D 不在AB （即x 轴）上 ∴y ≠0∴CD 的方程为：bx ＋(c －1)y ＋(f －k )＝0∵b , c －1都是定值 ∴直线CD 有定向例14.设0＜a ＜b ，过两定点A (a ,0)和B (b ,0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2＝x 有四个不同的交点，当这四个点共圆时，求这种直线l 和m 的交点P 的轨迹．分析：本题的关键是如何利用四点共圆的条件．思路一：设定点的两条直线方程，引进参数k 和k '，代入y 2＝x ，求出四个交点，由三个交点确定一个圆，代入第四点，化简，或求出定点的两条直线的交点，用相交弦定理求解，但计算量太大、太烦．思路二：利用直线系和圆系知识求解．解：设l 的的方程为：y －kx ＋ka ＝0, m 的的方程为：y －k 'x ＋k 'b ＝0∴过l,m 与y 2＝x 的四个不同交点为的二次曲线的方程为：(y 2－x )＋ (y －kx ＋ka )( y －k 'x ＋k 'b )＝∴(1＋ )y 2－ (k ＋k ')xy ＋ kk 'x 2＋ (ka ＋k 'b )y －[ kk '(a ＋b )＋1]x ＋ kk 'ab ＝0 ①∵①成为圆的条件是：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋k '＝01＋ ＝ kk ' ∴两条直线的交点坐标为P ⎝ ⎛a ＋b 2,⎭⎪⎫k 2(b －a ) ∴P 点在AB 线段的中垂线上 ∴点P 的轨迹是直线x ＝a ＋b 2除去与y ＝0或y 2＝x 的三个交点． 例15.给定曲线族2(2sin θ－cos θ＋3)x 2－(8sin θ＋cos θ＋1)y ＝0，θ为参数，求该曲线族在直线y＝2x 上截得的弦长的最大值．分析：显然此曲线族是过原点的抛物线系解：∵曲线族是过原点 ∴直线y ＝2x 也过原点∴曲线族在y ＝2x 上所截得的弦长公取决于曲线族与y ＝2x 的另一个交点的坐标∴将y ＝2x 代入曲线系得：(2sin θ－cos θ＋3)x 2－(8sin θ＋cos θ＋1)x ＝0∵2sin θ－cos θ＋3＝5sin(θ－arctan 12)＋3＞0 ∴当x ≠0时，x ＝8sin θ＋cos θ＋12sin θ－cos θ＋3令sin θ＝2u u 2＋1, cos θ＝1－u 21＋u 2，其中u ＝tan θ2∴x ＝8u ＋12u 2＋2u ＋1∴2xu 2＋2(x －4)u ＋(x －1)＝0 ∵u ∈R 且x ≠0 ∴△≥0 ∴[2(x －4)]2－8x (x －1)≥0∴x 2＋6x －16≤0∴－8≤x ≤2∴|x |max ＝8∵y ＝2x ∴|y |max ＝16 ∴所求弦长的最大值为82＋162＝85．练习：1、 对于边长a 、b 、c (对角依次是A 、B 、C )不定且⊿C 是钝角的⊿ABC 和直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，给出以下四个命题：①l 的倾斜角是钝角；②l 不穿过第一象限；③l 和单位圆相切；④l 过定点；其中，正确命题的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．42、 在平面直角坐标系中，若方程m (x 2＋y 2＋2y ＋1)＝(x －2y ＋3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值围为（）A ．(0,1)B ．(1,＋∞)C ．(0,5)D ．(5,＋∞)3、 设P 1、P 2是抛物线x 2＝y 的一条弦，如果P 1P 2的垂直平分方程是y ＝－x ＋3，则弦P 1P 2所在直线的方程是A ．y ＝x ＋3B ．y ＝x －3C ．y ＝x ＋2D ．无法确定4、 过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的圆心，并且和点A (―1,―2)、B (5,3)距离相等的直线l 的方程是 ．5、 从点A (4,3)向圆(x －2)2＋(y －1)2＝1作切线，设两切点分别为M 和N ，则过点M ，怕直线方程是 ．6、 从点A (－1,12)向圆4x 2＋4y 2－8x ＋4y －21＝0引两条切线，则过切点弦的方程是 ． 7、 对于任意的a ∈R ，曲线ax 2－2xy ―ax ―y ―2a ＋1＝0的所有曲线都经过两个定点，这两个定点的坐标是 ．8、 已知k ∈R ，关于x ,y 的方程y 4＋4y 3＋(2x ＋2kx －kx 2)y 2＋8xy ＋(4kx 2－2kx 3)＝0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系．答案：1、B2、D3、C4、x ＝2或5x ―6y ―16＝05、2x ＋2y －7＝06、不存在7、(―1,―1)和(2,15) 8、①当k ＝－1时，表示圆和抛物线；②当k ＞0且k ≠4时，表示双曲线和抛物线；③当k ＜0且k ≠－1时，表示椭圆和双曲线．。