与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算

1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF .

(1)求证：BC 是⊙O 的切线；

(2)若∠B ＝30°，求CE

CD

的值．

第1题图

(1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ，

∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；

第1题解图

(2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ，

∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°，

又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中，

∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE

CD

＝3，

∴

CE

CD

＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD .

(1)求证：GF 是⊙O 的切线；

(2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数．

第2题图

(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°，

∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1

2AE ＝23，

∵OA ＝OB ，

∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4，

∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形，

∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3

3，

∴∠DBF ＝30°.

3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1

2∠ABD .

(1)求证：CD 是⊙O 的切线；

(2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．

(1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵∠DAC ＝30°， ∴∠ABD ＝60°， ∴∠BDC ＝1

2

∠ABD ＝30°.

∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝60°，

∴∠ODC ＝∠ODB ＋∠BDC ＝90°，即OD ⊥DC ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；

第3题解图

(2)解：∵OF ∥AD ，∠ADB ＝90°， ∴OF ⊥BD ，∠BOE ＝∠A ＝30°， ∵OD ＝OB ，∴DE ＝BE ＝1

2BD ＝1.

∵在Rt △OEB 中，∠BOE ＝30°， ∴OB ＝2BE ＝2，

∴OE ＝OB 2－BE 2＝22－12＝ 3.

∵OD ＝OB ＝2，∠C ＝∠ABD －∠BDC ＝30°，∠DOF ＝30°， ∴CD ＝OD tan30°＝23，DF ＝OD ·tan30°＝233，

∴CF ＝CD －DF ＝23－233＝43

3

.

4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，⊙O 经过B ，D 两点，

交BC 于点E .

(1)求证：AC 是⊙O 的切线；

(2)若AB ＝6，sin ∠BAC ＝2

3

，求BE 的长．

(1)证明：如解图，连接OD ，

∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2，

∵OB ＝OD ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DO ∥BC ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ADO ＝90°，即AC ⊥OD ， ∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；

第4题解图

(2)解：设⊙O 的半径为R ，

在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin ∠BAC ＝BC AB ＝2

3，

∵AB ＝6，

∴BC ＝AB sin ∠BAC ＝6×2

3＝4，

由(1)知，OD ∥BC ，

∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝AO AB ，∴R 4＝6－R

6，

解得R ＝12

5

，

如解图，过点O 作OF ⊥BC 于点F ， 则BE ＝2BF ，OF ∥AC ， ∴∠BOF ＝∠BAC ，

∴sin ∠BOF ＝BF OB ＝23，∴BF ＝23×125＝85，∴BE ＝2BF ＝16

5

.

5. 如图，等腰△ACD 内接于⊙O ，其中AC ＝CD ，AB 是⊙O 的直径，连接BC ，BD ，过点C 作BD 的

垂线，分别交AB 、DB 的延长线于点E 、F .

(1)求证：CE 是⊙O 的切线；

(2)若AB ＝5，BD ＝3，求CE 的长．

第5题图

(1)证明：如解图，连接CO 并延长交AD 于点M ， ∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵

，∴CM ⊥AD ，