清华大学测试与检测技术基础_王伯雄_第3章相关分析

五、工程应用
1. 求取系统的频响(frequency response)函数
线性系统的传递函数H(s)或频响函数H(jω) 十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用 到它。 例1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中 会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳 外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机 壳的传递函数。 例2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系 统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识
图2.55 典型信号的自相关函数
相关滤波(filtering by correlation)
图4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距
图2.56 相关法测量声传播距离
图2.57 带钢测速系统
测量流速和流量
图2.58 相在法测定流量
2.2.7.4 功率谱分析
1 S x f lim x f T T

2
（2.172）
对于单边功率谱 G(f) 也应满足巴塞伐 尔定理，故有
P S x f df G x f df

（2.173）
由此规定
G x ( f ) 2S x ( f ) f 0
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析
一、自功率谱密度函数 二、巴塞伐尔（Parseval）定理 三、互功率谱密度函数 四、自谱和互谱的估计 五、工程应用
一、自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中 无周期性分量，则其自相关函数Rx(τ)在当 τ→∞时有
Rx ( ) 0
二、互相关函数与自相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t) 的互协方差(cross-covariance)函数为
C xy E x t x y t y


1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
j 2 kt




2



x(t)为实函数，故X(-f)=X*(f)，于是有


x 2 t dt X f X * f df




Xf
2 df
（2.170）
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总
能量等于它在频域中计算的总能量。
Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函
数(auto power spectrum)，简称 自谱或功率谱。 功率谱Sx(f)与自相关函数Rx(τ) 之间是傅里叶变换对的关系， 亦即 FT
Rx ( ) S x ( f )
IFT
式（2.167）和（2.168）称为
维纳——辛钦（WienerKhintchine）公式。 由于Rx(τ)为实偶函数，因此亦 为Sx(f)实偶函数。
其中
* f S yx f S xy f S xy

（2.179）
1 S xy f lim X ( f ) Y * ( f ) t T
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中 也常取只含非负频率的单边互谱Gxy(f)，由此规定
G xy f 2 S xy f
频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率 信息，但失去了原信号的相位信息。 自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期 分量。
ˆ ( ) ˆ ( ) 和 R 自相关和互相关函数的估计 R xy x
1 T ˆ R x x t x t dt T 0 1 T ˆ R xy x t y t dt T 0
该自相关函数 R ( τ ) 满足傅里叶变换的条 x 件 Rx ( ) d 。对作傅里叶变换可得
S源自文库x f R x e j 2 f d

（2.167）
其逆变换为
R x S x f e j 2 f df


（2.168）

相关函数ρxy：
xy xy
式中σx、σy分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差σx2和 σy2则分别为
2 2 x E x x
2 2 y E x y
x y
1 xy 1
（2.143）




（2.144）
（2.145）
利用柯西—许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz inequality) 2 2 2 （2.146） E x x y y E x x E y y 可知|ρxy|≤1。 当ρxy=1时，所有数据点均落在y-μy=m(xμx)的直线上，因此x,y两变量是理想的线性 相关。 当ρxy=0时，(xi-μx)与(yi-μy)的正积之和等于 其负积之和，因而其平均积σxy为0，表示 x,y之间完全不相关。
T 2 R x x
T 0
（2.149）
（2.150）
1 其中 R x Tlim T
x t x t dt
称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两
者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。
Gx(f)的图形如图2.59 中所示。
根据信号功率（或能量）在频域中的分
布情况，将随机过程区分为窄带随机、 宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某 一中心频率附近，宽带过程的能量则分 布在较宽的频率上，而白噪声过程的能 量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数
（2.177） （2.178）
因此互谱和幅值谱的关系为 1 S xy f lim Y f X * f T
T
正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换 时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳— 辛钦关系式，不难证明：
图2.53 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
例1 求正弦函数x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。 解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过 程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。 1 R ( ) lim x ( t ) x ( t ) dt T
式（2.170）又称信号能量等式。|X(f)|2称能 量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整 个时间轴上信号的平均功率可计算为 T 1 2 2 1 2 P lim T x t dt lim x f df （2.171） T T T T 2 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为

f 0
（2.180）
自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部 Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱 (quad spectrum)，即
G xy f C xy f jQ xy f

（2.181）
写为幅频和相频的形式：
G f G f e j xy f xy xy 2 2 G xy f C xy f Q xy f Q xy f xy f arctg C xy f
（2.147）
式中 称x(t)与y(t)的互相关(cross-correlation)函数，自变 量τ称为时移。
1 R xy lim T T
x t y t dt
T 0
（2.148）
当y(t) ≡x(t)时，得自协方差(auto-covariance) 函数 1 T C x lim x t x x t x dt 0 T
评价变量x和y间线性相关程度的经典方法：

协方差σxy： E x y 1 lim x y
xy x y N N
N
i 1
i
x
i
y

（2.142）
式中，E表示数学期望值； μx=E[x]为随机变量x的均值； μy=E[y]为随机变量y的均值；
（2.182）
四、自谱和互谱的估计
定义功率谱亦即自谱的估计值
1 ˆ Sx f X f T

2
（2.183）
互谱的估计为
ˆ f 1 X * f Y f S xy T ˆ f 1 Y * f X f S yx T


（2.184） （2.185）
2.2.7.3 相关分析
一、相关 二、互相关函数与自相关函数 三、相关函数的工程意义及应用
一、相关(correlation)
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时 刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻 状态间线性依从关系的数字特征。
图2.52 变量x和y的相关性 （a）精确相关 （b）中等程度相关 （c）不相关
（2.160） （2.161）
具有限个数据点N的相关函数估计的数字处 理表达式则为： N 1 1 ˆ r x n x n r （2.162） R x N
n o
N 1 1 ˆ r x n y n r R xy N n o
（2.163）
r 0,1,2,, r N
Rxy ( ) S xy ( f )
IFT FT
因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
R xy

S xy f e j 2 f df
（2.176）
定义信号x(t)和y(t)的互功率为
1 T2 P lim T x t y t dt T T 2 1 lim Y f X * f df T T
号的平均功率； Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布， 故也称为功率谱。
二、巴塞伐尔（Parseval）定理
设有变换对：
x(t ) X ( f ) h(t ) H ( f )
按频域卷积定理有
x(t )h(t ) X ( f ) * H ( f )
x ( t ) h ( t ) e dt X ( f ) H ( k f ) df 令k=0，有 x ( t ) h ( t ) dt X ( f ) H ( f ) df 又令h(t)=x(t)，得 x ( t ) dt X ( f ) X ( f ) df
若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的 条件 Rxy ( ) d ，则定义Rxy(τ)的傅里叶 变换 j 2 ft S xy df （2.175） R xy e 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称 互谱密度函数(cross power spectrum)或互谱。 根据维纳—辛钦关系，互谱与互相关函 数也是一个傅里叶变换对，即
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功 率谱密度函数Sx(f)的定义，可得
1 R x 0 lim T T
T 2 T 2
x 2 t dt

S x f df
（2.169）
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信
T x T 0
A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt 令ωt+υ=θ,则dt=dθ/ω,由此得
0
1 T0
T0
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同
0
A2 Rx ( ) 2
2
A2 sin sin( )d cos 2