可线性化的回归分析
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数是用来衡量模型解释变量变异性的比例，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差是用来衡量模型预测值与观测值之间的平均误差。
标准误差越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量是用来检验模型的显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的显著性越高。
四、模型应用线性回归分析可以用于预测和推断。
通过拟合一条直线，可以根据自变量的取值来预测因变量的值。
回归分析概述
例 1：某保险公司承保汽车 x 万辆，每辆保费
为 1000 元，如果记保险公司的承保总收入为
y ，则 y 与 x 之间表现为一种确定性的关系：
y 1000x
变量之间具有密切关联而又不能由一个 或若干个变量唯一确定另外一个变量, 这样 的一种联系称为变量之间的相关关系.
例如，父亲身材较高时儿子的身材也较高，但是 父子身高之间的关系不能用一个确定的函数关系 来表达．又如，人的血压与年龄之间有密切的关 系，但是两者之间的关系不能用一个确定的函数 关系来表达．
回归分析是考察两个变量之间统计联系的一种重要 方法，它在许多领域中都有极其广泛的应用。本章 主要介绍回归分析中最基本的部分 — —（线性）回 归分析，内容包括一元（线性）回归分析与多元 （线性）回归分析，以及某些可以线性化的非线性 回归分析问题，回归分析的基本形式仍然是估计与 检验。因此，不妨把本章的内容视作估计与检验方 法在特殊的一类统计问题中的应用。
概率论中简化处理随机变量的常用方法是求其
数学期望.因此,我们来研究自变量 x 与因变量
Y 的均值E Y 之间的关系.当自变量x 的值给定 时,相应的均值E Y 跟着确定,即x 与给定 x 时
Y 的均值 E Y x ˆ y 之间存在一种函数关系, 记
这个函数关系为 y f x,并称它为回归函数.
回归函数反映了自变量 x 与因变量 Y 的均值E Y
之间的函数关系, 因此它近似地描述了自变量 x 与 因变量Y 之间的数量关系.
回归函数f x是未知的,为了数学上处理的方便,
首先假定回归函数是线性的,即 y 0 1x, 其中 0 , 1 待定, 称1 为这个一元线性回归函数的回归
系数.也即E Y 0 1x, 引进随机误差项 ,那么
回归分析的基本方法
回归分析的基本方法回归分析是一种用于分析变量之间关系的统计方法，可以帮助我们预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。
它可以用于描述变量之间的相互依赖关系，并据此进行预测和解释。
回归分析的基本方法有简单线性回归、多元线性回归和逻辑回归等。
简单线性回归是回归分析的最简单形式，用于探索两个变量之间的线性关系。
它假设两个变量之间存在一个直线关系，通过最小二乘法拟合一条直线来拟合这种关系。
简单线性回归模型的基本形式为：Y=β0+β1X+ε。
其中，Y是被解释变量，X是解释变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数β0和β1可以通过最小二乘法估计得到，从而得到最佳拟合直线。
多元线性回归是在简单线性回归的基础上进行扩展，用于分析多个解释变量对一个被解释变量的影响。
它假设被解释变量与解释变量之间存在一个线性关系，通过最小二乘法拟合一个多元线性模型。
多元线性回归模型的基本形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε。
其中，Y是被解释变量，X1、X2、..、Xn是解释变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
通过最小二乘法，我们可以估计出回归系数β0、β1、β2、..、βn，从而得到最佳拟合模型。
逻辑回归是一种常用于处理二分类问题的回归方法，它用于预测二分类变量的概率。
逻辑回归将线性回归模型的输出值转换为0和1之间的概率值，并根据概率值进行分类。
逻辑回归模型的基本形式为：P(Y=1，X)= 1 / (1+exp(-β0-β1X1-β2X2-...-βnXn))。
其中，P(Y=1，X)是当给定解释变量X时，被解释变量Y等于1的概率，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。
在回归分析中，我们需要进行变量选择来判断哪些解释变量对被解释变量的影响最为显著。
常用的变量选择方法有前向选择、后向删除和逐步回归等。
此外，还可以通过检验回归系数的显著性和分析残差来评估回归模型的拟合程度和预测能力。
常用的检验方法包括t检验、F检验和R方等。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。
在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。
一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。
它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。
在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。
通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。
当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。
在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。
通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。
三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。
逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。
逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。
逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。
四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。
岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。
五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。
高考冲刺作业(80)(答案)回归分析、独立性检验
高考冲刺作业（80）2020年3月20日 （回归分析、独立性检验）考点1线性回归分析提示：由最小二乘法得回归直线方程：（认真阅读、深刻理解）y a bx =+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.有时这样表述：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其线性回归方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.1.（2015·重庆卷·文理）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程y bt a =+； 1.2 3.6y t =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款. 10.8 2.已知x ，y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为 3.5y bx =+，则b = . 0.5b = 3.（2011·陕西卷·理科）设11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 DA.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B.x 和y 的相关系数在0到1之间C.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D.直线l过点(,)x y Array4.已知x，y的取值如下表根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归直线方程为0.80.4y x=+,那么表中t的值为 CA.4.8B.5.2C.5.5D.5.65.设有一个线性回归方程为3 2.5y x=-,则变量x增加一个单位时 C A.y平均增加2.5个单位 B.y平均增加1个单位C.y平均减少2.5个单位D.y平均减少1个单位6.（2015·福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查=+，其中0.76b=，a y bx社区一户收入为15万元家庭年支出为 BA.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元7.对四组变量,x y进行相关性检验，r是相关系数，已知①0.96r=，r=，②0.30③0.99r=-，④0.48r=-.则,x y线性相关程度最高的两组是 .8.（2010·湖南卷·文科）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 AA.$10200=-- D.$10200y x=+ y xy x=-+ B.$10200y x=+ C.$10200考点2可线性化回归分析1.（2015·全国卷Ⅰ·文理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8)i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑.（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？解析：（Ⅰ）根据散点图判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；年宣传费／千元（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，令w =y c d ω=+，81821()()()iii ii w w y y d w w ==--==-∑∑108.8681.6=，56368 6.8100.6c y d ω=+=-⨯=，所以100.668y ω=+，于是y 关于x的回归方程是：100.6y =+（Ⅲ）（i ）由0.2z y x =-及当49x =时，100.6y =+，0.2576.6z =⨯-4966.32=，年销售量576.6千元及年利润的预报值是66.32千元.（ii ）由0.2z y x =-及100.6y =+0.2(100.6z x x =⨯+-=-+20.04+t =，2()13.620.04h t t t =-++，当 6.8t =，即46.24x =时，年利率的预报值最大.2.已知某种细菌的适宜生长温度为1025C C o o :，为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温度x （温度：C o ）变化的规律，收集数据如下：对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中，ln i i k y =，7117i i k k ==∑.参考数据： 5.5245e ≈.（Ⅰ）绘出y 关于x 的散点图，并根据散点图判断，y a bx =+与21c x y c e =哪一个适宜作为该种细菌的繁殖数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（结果精确到0.1）.（Ⅲ）当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为多少？ 解析：（Ⅰ）根据散点图可知：21c x y c e =比较合适；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21c x y c e =得12ln ln y c c x =+，即2k m c x =+，712721()()()iii ii x x kk c x x ==--=-∑∑20.50.1830.2112=≈≈， 3.80.183180.5m k bx =-=-⨯≈，即1ln 0.5c =，所以 ln 0.50.2y x =+，于是y 关于x 的回归方程是：0.50.2x y e +=.（Ⅲ）当25x =时，0.50.225 5.5245y e e +⨯==≈，即当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为245.3.噪音污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I （1,2,,10i =L ）数据作了初步处理，得到下面的散点图即一些统计量的值.（Ⅰ）根据散点图判断，D c dI =+与lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（Ⅱ）根据表中数据，建立D 关于I 的回归方程；（Ⅲ）当声音强度大于60分贝时，属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共DIg g g gg g g ggg 1020 10 0 20 30 30 40 50 40 50 60受到两个声源的影响，这两个声音能量分别为1I ，2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，请根据（Ⅰ）中回归方程，判断点P 是否受到噪音污染的干扰，并说明理由.参考数据：其中表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑，截距的最小二乘估计分别为：v u αβ=-，121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知，lg D a b I =+适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg D a b I =+，D a bW =+,1011021()()5.1100.51()iii ii W W D D b W W ==--===-∑∑， 45.710(11.5)160.7a D bW =-=-⨯=，所以D 关于I 的回归方程为：160.710lg D I =+（Ⅲ）点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，101212121410()()I I I I I I I -=+=++ 10102112410[5()]109I I I I --=++≥⨯，10min 160.710lg(109)60.710lg 960D -=+⨯=+>，P 会受到噪音污染的干扰.4．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（ 2019Corona Virus Disease ， 2019COVID ），简称“新冠肺炎”．下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，L ，10），建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅.（Ⅰ）根据散点图判断，$y c dt =+和$ 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及附表中数据，建立y 关于t 的回归方程； （Ⅲ）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（Ⅱ）的结果时间1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据19752744451559747111①当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1，则认为模型可靠，请判断（Ⅱ）的回归方程是否可靠？②2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知：$ 1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变t 的回归方程类型；（Ⅱ）令 1.5tω=，$y a b ω=+⋅，1011021()()()iii ii y y bωωωω==--=-∑∑$101102211010i ii ii y yωωωω==-=-∑∑，215470010193902076401019-⨯⨯==-⨯，390201910a y b ω=-=-⨯=，$1020y ω=+⋅，即 $1020 1.5t y =+⨯；（Ⅲ）①当11t =时，111.5100=，10201002010y =+⨯=，201019753519752010-=0.0170.1≈<，当12t =时，121.5150=，10201503010y =+⨯=，301027442744-=2660.0970.12744≈<，当13t =时，131.5225=，10202254510y =+⨯=，451045154515-50.14515=<.所以（Ⅱ）的回归方程可靠； ②当15t =时，$10150y =,远大于7111，所以防护措施有效．考点3独立性检验构造随机变量（卡方统计量）统计量2χ（也可表示2K），来判断“两个分类变量有关联”的方法称为独立性检验.其中22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.1.（2010·课标全国卷·文科）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014% 500=.（Ⅱ）22500(4027030160)9.96720030070430K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.2.（2014·辽宁卷）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.22100(60102010)100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯, 710p =.3.（2018·全国卷Ⅲ·文理科）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ，并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？ 解析：（Ⅰ）第二中生产方式效率更高.（Ⅱ）7981802m +==.（Ⅲ）2240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有99％把握认为两种生产方式的效率有差异.4.（2019·全国卷Ⅰ·文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（Ⅰ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（Ⅱ）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？第一种生产方式第二种生产方式 8 8765 56 8 90 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 099 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0解析：（Ⅰ）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95％的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 5.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；0.62（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.6.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的/kg旧养殖法kg新养殖法产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）7.（2013·福建卷）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：)[50,60，)[60,70，)[70,80，)[80,90，)[90,100， 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完/kg旧养殖法kg新养殖法成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？710p =,22100(45152515)25 1.797030604014K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.没有把握.8.（2010·辽宁卷·理科）为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果.（疱疹面积单位：2mm ）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的25周岁以上组25周岁以下组注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,210.828K >.有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.。
线性回归分析
3.用参数估计值替代初始值，将方程再次展开，进行线性化，从而又可 一点的导数求得。
以求出一批参数估计值。
4.如此反复，直至参数估计值收敛为止。
04 总结
回归模型的原理及应用
模型表达形式
模型的基本 假定
模型的估计
模型的检验
05 案例
05 案例
05 案例
学生化残差是残差除以它的标准差 后得到的数值，用以直观地判断误 差项服从正态分布这一假定是否成 立 ，若假定成立，学生化残差的 分布也应服从正态分布。学生化残 差由普通残差推导出，在数据诊断 与残差分析 为零、方差为σ2正态分布。 即，μi ∼ N（0，σ2）
Part 03
多元线性回归模 型
03 多元线性回归模型
03 最小二乘法原理
原理：利用样本回归函数估计总体回归函数，是根据一个给定的包含n组X和Y观测数据的样 本，建立样本回归函数，使估计值尽可能接近观测值YiYˆi。最小二乘原理就是根据使样本剩 余的平方和达到最小的准则，确定模型中的参数，建立样本回归函数（回归系数的最小二乘 估计，包括截距系数和斜率系数）。
2.回归模型的分类 （1）按模型中自变量的多少，分为一元回归模型和多元回归模型。 （2）按模型中参数与被解释变量之间是否线性，分为线性回归模型和非线性回归模型。
01 相关方法演示
“分析”
“相关”
“双变量” “偏相关”
“距离”
双变量：用于进行两个/多个变量间的参 数/非参数相关分析，计算两个变量之间 相关性的强弱,如果是多个变量，则给出 两两相关的分析结果。 偏相关：如果需要进行相关分析的两个 变量其取值均受到其他变量的影响，就 可以利用偏相关分析对其他变量进行控 制，输出控制其他变量影响后的相关系 数。 距离：比较特殊的中间过程，调用此过 程可对同一变量内部各观察单位间的数 值或各个不同变量间进行相似性或不相 似性（距离）分析，前者用于检测观测 值的接近程度，后者则常用于考察各变 量的内在联系和结构。
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
3.1.3 可线性化的回归分析
3.1.3 可线性化的回归分析1．函数y ＝ax b 两边取自然对数，结果如何？ 【提示】 ln y ＝ln a ＋b ln x .2．对上述问题作适当变换，得出一个线性函数． 【提示】 令u ＝ln y ，v ＝ln x ，c ＝ln a ，则u ＝c ＋b v . 3．作变换，将函数y ＝a e bx 线性化． 【提示】 ∵y ＝a e bx ， ∴ln y ＝ln a ＋bx ，∴作变换：u ＝ln y ，c ＝ln a ，则u ＝c ＋bx . 4．作变换，将函数y ＝a e bx 线性化．【提示】 ∵y ＝a e b x ，∴ln y ＝ln a ＋bx ，∴作变换u ＝ln y ，c ＝ln a ，v ＝1x ，则u ＝c ＋b v .5．作变换，将函数y ＝a ＋b ln x 线性化． 【提示】 ∵y ＝a ＋b ln x ， ∴作变换v ＝ln x ，则y ＝a ＋b v .对于非线性回归模型一般可转化为线性回归模型，从而得到相应的回归方程．常见的有： (1)幂函数曲线y ＝ax b ，则作变换u ＝ln_y ，v ＝ln_x ，c ＝ln_a ，得线性函数u ＝c ＋b v . (2)指数曲线y ＝a ·e bx ，则作变换u ＝ln y ，c ＝ln a ，得线性函数u ＝c ＋b v . (3)倒指数曲线y ＝a e b x ，则作变换u ＝ln y ，c ＝ln a ，v ＝1x ，得线性函数u ＝c ＋b v .(4)对数曲线y ＝a ＋b ln x ，则作变换v ＝ln x ，得线性函数y ＝a ＋b v .某地今年上半年患某种传染病人数y 与月份x 之间满足的函数关系模型为y ＝a e bx ，确定这个函数解析式．月份x 1 2 3 4 5 6 【自主解答】 设u ＝ln y ，c ＝ln a ，则u ＝c ＋bx . 由已知得下表：∑i ＝1x i ＝21，∑i ＝1u i ≈25.361 1，∑i ＝1x 2i ＝91，∑i ＝1u 2i ≈107.346 7，∑i ＝1x i u i ≈90.343 8，x ＝3.5，u ≈4.226 9，b ＝∑6i ＝1x i u i －6x u ∑6i ＝1x 2i －6x2＝90.343 8－6×3.5×4.226 991－6×3.52≈0.090 2，c ＝u －b x ＝4.226 9－0.090 2×3.5＝3.911 2， ∴u ＝3.911 2＋0.090 2x ， ∴y ＝e 3.911 2·e 0.090 2x .基础函数模型为指数函数型，可两边取对数转化为线性函数关系式，求出回归方程．在彩显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式y ＝A e b x (b <0)表示．现测得试验数据如下：试求y 对x 的回归方程．【解】 由题意知，对于给定的公式y ＝A e b x (b <0)两边取自然对数，得ln y ＝ln A ＋bx .与线性回归方程相对照可以看出，只要取u ＝1x ，v ＝ln y ，a ＝ln A ，就有v ＝a ＋bu .这是v 关于u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求出回归系数b 和a .题目中所给出的数据由变量置换u ＝1x，v ＝ln y ，得到如下数据：由于|r |≈0.998接近于1，可知u 和v 具有很强的线性相关性．再求出b ≈－0.146，a ≈0.548.所以A ＝e a ＝e 0.548，y ＝e 0.548e －0.146x ＝e0.548－0.146x .、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x /cm 60 70 80 90 100 110 (2)能否建立适当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？【思路探究】 可先依据表中数据画出散点图，从图中观察探究其适合那种函数模型，确定函数模拟，作变换转化为有线性相关关系的量，再由公式计算所求量．【自主解答】 (1)作出散点图如下(2)从散点图可看出函数曲线符合指数曲线y＝a e bx. 设u＝ln y，c＝ln a，则u＝c＋bx.∑i＝1x i＝1 380，∑i＝1u i＝35.542 8，∑i＝1x2i＝173 000，∑i＝1x i u i＝4 369.283，x＝115，u＝2.961 9，b＝∑12i＝1x i u i－12x u ∑12i＝1x2i－12x2＝4 369.283－12×115×2.961 9173 000－12×1152≈0.019 6，c＝u－b x＝2.961 9－0.019 6×115＝0.7079，∴u＝0.707 9＋0.019 6x，y＝e0.707 9·e0.019 6x.(3)∵x＝175时，u＝4.137 9，∴y＝e u＝e4.137 9≈62.671 1.7862.671 1≈1.245>1.2，此男子偏胖．1．在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析．2．可线性化的回归分析：非线性回归问题的非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化线性回归是解决问题的好方法；把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值．寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2013年2月1日在网上给网友发了张帖子，(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)如果此人打算在2013年2月12日(即帖子传播时间共10天)进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人．【解】(1)散点图略．从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线y＝k e mx的周围，其中k、m是参数．(2)对y＝k e mx两边取对数，把指数关系变成线性关系．令z＝ln y，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a(a＝ln k，b＝m)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了，数据可以转化为∴y＝e0.620x＋1.133.(3)截止到2013年2月12日，x＝10，此时y＝e0.620×10＋1.133≈1 530(人)．∴估计可去1 530人.转化与化归思想在可线性化的回归分析中的应用下表为收集到的一组数据：(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．【思路点拨】(1)可直接依据表中数据画出散点图；(2)可利用换元法，将两个变量转化为两个新的变量且成线性关系；得出关系式，再转化为x，y的关系式；(3)利用(2)中的式子，即可求出．【规范解答】(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：∴y＝e0.272x－3.849.(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.在寻找两变量之间的关系时，通过散点图先确定其关系满足的函数模型，如果不满足线性关系，则通过换元转化为线性关系，求出新元的关系式，再转化为原来的两个变量的关系．可化为线性回归的几种常用曲线 (1)幂函数曲线y ＝ax b ； (2)指数函数曲线y ＝ak bx ； (3)倒指数曲线y ＝a ·e bx ；(4)对数曲线y ＝a ＋b ln x .1．对于指数曲线y ＝a e bx 方程，令u ＝ln y ，c ＝ln a 经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )A ．u ＝c ＋bxB ．u ＝b ＋cxC ．y ＝b ＋cxD ．y ＝c ＋bx【解析】 对指数曲线y ＝a e bx 方程两边同时取对数，然后将u ＝ln y ，c ＝ln a 代入，不难得出u ＝c ＋bx .【答案】 A2．指数曲线y ＝a e bx 的图像可以是( )【解析】 ∵y ＝a e bx 为指数曲线， ∴y >0恒成立，∴排除选项C.又∵x ∈R ，∴A 、D 错误． 【答案】 B3．x ，y 的取值如下表：【解析】 作出散点图从图中可以看出，可选用y ＝x 2来进行拟合． 【答案】 y ＝x 24．在试验中得到变量y 与x 数据如下表：由试验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程，并预测当x 0＝0.038时y 0的值．【解】 令u ＝1x，由题目所给数据可得下表所示的数据：所以y ＝34.32＋0.29u .所求曲线方程为y ＝34.32＋0.29x. 当x 0＝0.038时，y 0＝34.32＋0.290.038≈41.95.一、选择题1．倒指数曲线y ＝a e bx的图像为( )【解析】 y ＝a e bx ，当a >0，b >0时，图像为A.【答案】 A 2．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观地判断两个变量之间的关系是否是线性相关关系； ③通过回归方程y ＝bx ＋a 及其回归系数b ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验． 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 由线性回归分析的意义知①、②、③正确，④错误． 【答案】 C3．幂函数曲线y ＝x b ，当b >1时的图像为( )【解析】 当b >1时，图像为选项A ，当0<b <1时为选项B ，当b <0时为选项C ，当b ＝1时为选项D.【答案】 A4．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－∞，＋∞)【解析】 由相关系数性质知，B 、C 正确．A 正确，因为拟合函数不是唯一的．D 错，因为相关系数|r |≤1.【答案】 D5．可以对下列数据x 、y 之间的关系进行拟合的函数( )A.y ＝2＋13xB ．y ＝2e xC ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋ln x【解析】 ∵y ＝2e 1x为减函数，∴选项C 错．又∵y ＝2e x 的增长速度极快，∴选项B 错误．由增长速度可知A 错，D 正确． 【答案】 D 二、填空题6．x ，y 的取值如下表：则x ，y 【解析】 由x 与y 值的对应关系可知：该函数应为指数函数，由其近似值可知y ＝2x较合适．【答案】 y ＝2x7．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：【解析】 将表中数据代入公式，可得b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x2≈0.880 9.【答案】 0.880 9 8．下列说法①当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系；②把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法；③当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系； ④当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．其中正确的序号为________．【解析】 此题考查解决线性相关问题的基本思路，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系，只是要通过适当的变换使其转化为线性相关问题，用线性回归分析问题来解决．因此②③④正确，①错误．【答案】 ②③④ 三、解答题9．某种书每册的成本费y 元与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1x 之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x 的回归方程．【解】 把1x 置换成z ，则有z ＝1x ，从而z 与y 的数据为：∴有z ＝110(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1y ＝110(10.15＋5.52＋4.08＋2.85＋2.11＋1.62＋1.41＋1.30＋1.21＋1.15)＝3.14， ∑10i ＝1z 2i ＝12＋0.52＋0.3332＋0.22＋0.12＋0.052＋0.0332＋0.022＋0.012＋0.0052≈1.415， ∑10i ＝1y 2i ＝10.152＋5.522＋4.082＋2.852＋2.112＋1.622＋1.412＋1.302＋1.212＋1.152＝171.803， ∑10i ＝1z i y i ＝1×10.15＋0.5×5.52＋0.333×4.08＋0.2×2.85＋0.1×2.11＋0.05×1.62＋0.033×1.41＋0.02×1.30＋0.01×1.21＋0.005×1.15≈15.221，∴r ≈0.999 8.∵|r |≈0.999 8接近于1，∴z 对y 具有很强的线性相关关系． ∴b ≈8.976，a ≈1.12.∴所求的z 与y 的回归方程为y ＝8.976z ＋1.12. 又∵z ＝1x ，∴y ＝8.976x＋1.12.10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y 与x 【解】 画出散点图如下图1所示，观察可知y 与x 近似是反比例函数关系． 设y ＝k x (k ≠0)，令t ＝1x，则y ＝kt .图1 图2可得到y 关于t 的数据如下表：画出散点图如图2型进行拟合，易得：b＝∑5i＝1t i y i－5t y∑5 i＝1t2i－5t2≈4.134 4，a＝y－b t≈0.791 7，所以y＝4.134 4t＋0.791 7，所以y与x的回归方程是y＝4.134 4x t＋0.791 711．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数y，收集数据如下：(1)(2)试求回归方程．【解】(1)根据数据得散点图，如图所示．(2)根据数的散点图可以发现样本点不是分布在某一条直线附近，而是分布在一条曲线附近．根据已学的函数知识，可以发现样本点分布在某一指数型函数y＝c1e c2x(c1>0，c2>0)附近，则将函数两边取对数得ln y＝c2x＋ln c1，则令u＝ln y，得u＝c2x＋ln c1，根据数据可得x和u的数据表：由上面x和从图中可以发现x和u之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型来拟合它们之间的关系．根据公式得到线性回归方程为：u＝1.112＋0.690 9x，即ln y＝1.112＋0.690 9x，则得y＝e0.690 9x＋1.112.故我们可以利用y＝e0.690 9x＋1.112来描述天数x与繁殖个数y之间的关系.(教师用书独具)(12分)在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y(单位：g/分)与一种催化剂的量x(单位：g)有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y与x之间回归方程．(2)两个变量间的关系是非线性的，要结合函数模型的应用来选择函数，然后利用变量代换化为直线型，从而解决问题．【自主解答】根据收集的数据作散点图：2分根据x与y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线y＝c1e c2x的周围. 4分令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，由y与x数据表可得z与x的数据表：8分由散点图可观察到样本数据点大致在一条直线上，所以可用线性回归方程来拟合它．由z与x数据表，得到线性回归方程，z＝0.181 2x－0.848 5，10分所以非线性回归方程为y＝e0.181 2x－0.848 5. 11分因此，该化学物质反应速度对催化剂的量的非线性回归方程为y＝e0.181 2x－0.848 5. 12分1．解决非线性回归分析的关键是根据散点图选择正确的函数模型．2．解决非线性回归分析问题的方法步骤(1)确定变量：确定变量x，y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)写出非线性回归方程．为了研究某种细菌繁殖的个数y(个)与时间x(天)的关系，收集数据如下：(2)建立时间与细菌繁殖个数之间的回归方程．【解】(1)以时间为横轴，细菌繁殖个数为纵轴绘制散点图如下．由图猜想样本点分布在一条指数函数曲线y＝c e bx的周围．(2)令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a且变换后的样本数据表如下：y＝e0.69x＋1.112.拓展阅读脚印与统计在这个逐步实现现代化的社会里，统计信息越来越多，这促使人们去探索对一些统计信息进行分析、推断的方法．在《福尔摩斯探案集》中著名的一个探案故事《血字的研究》有这样的情节：福尔摩斯应英格兰探长的求助，帮忙侦破一起杀人案．一到案发现场，福尔摩斯就开始仔细地搜寻罪犯的脚印，其理由是他可以根据一个人的脚印长度来估计他的身高．这里就用到了统计的有关知识．因为，统计学家经过对大量数据的统计分析得出这样的结论：一个人的身高大约是其脚印长度的7倍．另外步幅长度与身高也有一定关系．人的脚印与人的体形、性别也有一定的关系．人脚的大小和手臂前臂的长度差不多，如果知道一个人的身高，就可以算出他脚印的长度；如果不知道一个人的身高，可以通过他脚印的长度推算出他的身高．《血字的研究》是柯南道尔于1886年写成，可见有关根据人的脚印长度估计其身高的方法在那时已经初步成型．由于这一方法对于破案起着至关重要的作用，所以在犯罪率不断升高的今天，刑警到达案发现场的第一件事情也是仔细地搜寻罪犯的脚印．。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，以及预测因变量的值。
回归分析有多种方法和技术，本文将对几种常用的回归分析方法进行总结和介绍。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究单个自变量与因变量之间的关系。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且通过拟合一条直线来描述这种关系。
简单线性回归分析使用最小二乘法来估计直线的参数，最小化观测值与模型预测值之间的差异。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是回归分析的一种拓展形式，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它假设各个自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来描述这种关系。
多元线性回归分析使用最小二乘法来估计模型的参数。
3. 逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于研究二分类变量与一系列自变量之间的关系。
它通过拟合一个Logistic函数来描述二分类变量与自变量之间的概率关系。
逻辑回归分析可以用于预测二分类变量的概率或进行分类。
4. 多项式回归分析多项式回归分析是回归分析的一种变体，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过引入自变量的高次项来拟合一个多项式模型，以描述非线性关系。
多项式回归分析可以帮助我们探索自变量与因变量之间的复杂关系。
5. 非线性回归分析非线性回归分析是回归分析的一种广义形式，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过拟合一个非线性模型来描述这种关系。
非线性回归分析可以用于分析复杂的现象或数据，但需要更复杂的参数估计方法。
6. 岭回归分析岭回归分析是回归分析的一种正则化方法，用于处理自变量之间存在共线性的情况。
共线性会导致参数估计不稳定或不准确，岭回归通过加入一个正则化项来缩小参数估计的方差。
岭回归分析可以帮助我们在共线性存在的情况下得到更可靠的结果。
7. 主成分回归分析主成分回归分析是回归分析的一种降维方法，用于处理高维数据或自变量之间存在相关性的情况。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系，并用这些关系来预测或解释一个或多个因变量。
它可以帮助我们理解自变量与因变量之间的线性关系，并根据这种关系进行预测和解释。
回归分析的核心原理是建立一个线性方程来描述自变量和因变量之间的关系。
这个线性方程也称为回归方程。
回归方程的一般形式如下：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xk表示自变量，β0、β1、β2、..、βk表示模型的系数，ε表示误差项。
回归方程中，自变量的系数β表示因变量在自变量变化一个单位时的变化量。
例如，假设自变量为X1，系数β1为2，那么当X1增加1个单位时，因变量Y将增加2个单位。
回归分析的目标是通过拟合回归方程来估计模型的系数，并使用这些系数进行预测或解释。
常用的回归分析方法有最小二乘法和最大似然估计法。
最小二乘法是一种常用的回归估计方法。
它通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定最佳的回归系数。
最小二乘法的优点是计算简单，并且能够提供估计系数的置信区间和显著性检验。
最大似然估计法是另一种常用的回归估计方法。
它通过寻找使得观测值出现的概率最大的回归系数来进行估计。
最大似然估计法的优点是可以处理更加复杂的模型，并且提供了参数的置信区间和假设检验。
在进行回归分析之前，需要满足一些基本的假设。
其中最重要的是线性性和正态性假设。
线性性假设指的是自变量和因变量之间的关系是线性的，正态性假设则指的是误差项ε服从正态分布。
在回归分析中，还需要评估模型的拟合优度。
常用的指标包括决定系数（R-squared）和调整决定系数（adjusted R-squared）。
决定系数表示回归方程对因变量变异的解释程度，取值范围从0到1，越接近1表示模型的拟合优度越好。
调整决定系数则对变量的个数进行了修正，避免过拟合。
回归分析有很多应用领域，例如经济学、社会学、生物学和工程学等。
第三章 1.3可线性化的回归分析
可线性化的回归分析[学习目标]1．进一步体会回归分析的基本思想．2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．[知识链接]1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．（[预习导引]1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数y＝ax b·c＝ln av＝ln xu＝ln yu＝c＋bvy ＝a e bxc ＝ln a u ＝ln yu ＝c ＋bxy ＝a e b x.c ＝ln a v ＝1xu ＝ln yu ＝c ＋bvy ＝a ＋b ln xv ＝ln x u ＝yu ＝a ＋bv#要点一 线性回归分析例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 35 销售额y (万元)4926…3954(1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝，y －＝49＋26＋39＋544＝42，∴a ＝y －－b x －＝42－×＝ ∴回归直线方程为y ＝＋. (2)当x ＝4时，y ＝＋×4＝， 故广告费用为6万元时销售额为万元．跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：(1)对变量x，y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．解制表.(1)r＝∑6i＝1xiyi－6x－y－（∑6i＝1x2i－6x－2）（∑6i＝1y2i－6y－2）≈－ 8.由|r|＞，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．(2)b＝错误!≈－，a＝错误!－b错误!≈.所以，线性回归方程为y＝－.当x＝27时，y＝－×27＝.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．"要点二可线性化的回归分析例2 在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g15182124273033\ 36化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．令z＝ln y，则z＝ln y＝ln c1＋c2x，即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝ln c1，b＝c2)的周围．由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x15182124!27303336z，作出z与x的散点图(如图)．由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．由z与x的数据表，可得线性回归方程：z＝＋，所以y与x之间的非线性回归方程为y＝e－＋.*规律方法 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．跟踪演练2 电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt (b ＜0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：t /s 0 1 2 3 4 56(7 8910U /V 100 75 55 40 30$2015101055试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解 对U ＝A e bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，得y 与x 的数据如下表：x.1 2345678910{y/根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较强的线性相关关系，由表中数据求得x －＝5，y －≈，进而可以求得b ≈－，a ＝y －－bx －＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－.由y ＝ln U ，得U ＝e y ，U ＝－＝·e －，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ＝·e－.要点三非线性回归模型的综合应用例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60【708090100110体重y/kg-身高x/cm120130140150160170体重y/kg(试建立y与x之间的回归方程．解根据题干表中数据画出散点图如图所示．由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y. *x 60708090100110120130140￥150160170z&画出散点图如图所示．由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z＝＋，则有y＝＋.规律方法根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．*跟踪演练3 对两个变量x ，y 取得4组数据(1，1)，(2，，(3，，(4，，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝＋1， 乙 y ＝－＋＋，丙 y ＝－·＋，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际． 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.1．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2，3，4，5，则y 与1x的回归方程为( )A ．y ＝1x ＋1B ．y ＝2x＋3C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x －1 答案 A解析 由数据可得，四个点都在曲线y ＝1x＋1上．2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：广告费2~5 6 84销售额3040605070@则广告费与销售额间的相关系数为( )A． B．0.919 C． D．答案B3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1996200120062011产量·根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( )A．y＝ax＋b(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)C．y＝a x(a>0且a≠1) D．y＝log a x(a>0且a≠1)答案A4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.x/万元)24568y/万元3040605070答案(6，50)一、基础达标1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝＋，那么表中t的值是( )x3456，yt4A.4.5 B．4 C．3 D．答案C2．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x1$2345678910y 。
线性回归分析
1
在研究问题时，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变 量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关系数可记作：
行元素构成的行向量，上式对 k 1,2, , K 都成立，bk 正是被解释变量观测值Yi 的
线性组合，也就是多元线性回归参数的最小二乘估计是线性估计。 （2）无偏性：
多元线性回归的最小二乘估计也是无偏估计，即参数最小二乘估计的数学期 望都等于相应参数的真实值，最小二乘估计向量的数学期望等于参数真实值的向 量，参数真实值是参数估计量的概率分布中心。
i
bk zki )](1) 0, bk zki )](z1i ) 0,
2[Yi (b0 b1z1i bk zki )](zki ) 0
i
同时成立时，V 有最小值。对这个方程组整理，可得到如下的正规方程组：
4
b0 Y (b1z1 bK zK ), S11b1 S12b2 S1KbK S10,
(2)成立为前提)。 (4) 对应不同观测数据的误差项不相关，即
Cov(i , j ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i j 0) 对任意的 i j 都成立(假设(1) 成立为前提)。
(5) 解释变量 Xi (i 1, 2, ,r)是确定性变量而非随机变量。当存在多个解释 变量 (r 1) 时假设不同解释变量之间不存在线性关系，包括严格的线性关系和强 的近似线性关系。
Yi 0 1X1i 2 X2i 3X3i k Zki i ，其中 i 是随机误差项。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是一种常用的统计学方法，旨在分析变量之间的关系并预测一个变量如何受其他变量的影响。
回归分析可以用于描述和探索变量之间的关系，也可以应用于预测和解释数据。
在统计学中，有多种回归分析方法可供选择，本文将介绍其中几种常见的方法。
一、简单线性回归分析方法简单线性回归是最基本、最常见的回归分析方法。
它探究了两个变量之间的线性关系。
简单线性回归模型的方程为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是残差项。
简单线性回归的目标是通过拟合直线来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合线。
二、多元线性回归分析方法多元线性回归是简单线性回归的扩展形式，适用于多个自变量与一个因变量之间的关系分析。
多元线性回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中X1, X2, ..., Xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是残差项。
多元线性回归的目标是通过拟合超平面来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合超平面。
三、逻辑回归分析方法逻辑回归是一种广义线性回归模型，主要用于处理二分类问题。
逻辑回归将线性回归模型的输出通过逻辑函数（如Sigmoid函数）映射到概率范围内，从而实现分类预测。
逻辑回归模型的方程为：P(Y=1|X) =1 / (1 + exp(-β0 - β1X))，其中P(Y=1|X)是给定X条件下Y=1的概率，β0和β1是回归系数。
逻辑回归的目标是通过最大似然估计来拟合回归系数，从而实现对未知样本的分类预测。
四、岭回归分析方法岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这会导致估计出的回归系数不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的目标函数中引入一个正则化项（L2范数），从而降低回归系数的方差。
岭回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε + λ∑(β^2)，其中λ是正则化参数，∑(β^2)是回归系数的平方和。
北师大版高中数学选修1-2 同步练习：第1章 1 第2课时 可线性化的回归分析
第一章 §1 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．由一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^,则下列说法不正确的是( B )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ,y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线2．对于指数曲线y ＝ae bx,令u ＝lny,c ＝lna,经过非线性化回归分析之后,可以转化成的形式为( A ) A ．u ＝c ＋bx B ．u ＝b ＋cx C ．y ＝b ＋cxD ．y ＝c ＋bx[解析] 对方程y ＝ae bx 两边同时取对数,然后将u ＝lny,c ＝lna 代入,不难得出u ＝c ＋bx. 3．某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01对于表中数据,A ．y ＝2x －2 B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 代入检验,当x 取相应的值时,所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的． 4．下列数据符合的函数模型为( D )x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y22.6933.383.63.844.084.24.3A ．y ＝2＋3xB ．y ＝2e xC ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋lnx[解析] 分别将x 的值代入解析式判断知满足y ＝2＋lnx. 二、填空题5．在两个变量的回归分析中,作散点图的目的是__从散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合__；相关系数是度量__两个变量之间线性相关程度__的量．6．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时,则相关系数r 的值为__0__.[解析] 若b ＝0,则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0,∴r ＝0.三、解答题7．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量,可用函数y ＝ae bx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x 的关系,求模拟函数．[解析] 设μ＝lny,c ＝lna,则μ＝c ＋bx.∑i ＝14x i ＝10,∑i ＝14μi ＝0.759 5,∑i ＝14x 2i＝30,∑i ＝14μ2i ≈0.201 2, ∑i ＝14x i μi ＝2.411,x ＝2.5,μ≈0.189 9,相关系数r ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x)2∑i ＝14μ2i －4(μ)2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52×0.201 2－4×0.189 92≈0.959 7,相关程度较强．b ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x )2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52＝0.102 4,c ＝μ－b x ≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1,所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x,y ＝e－0.066 1＋0.0102 4x.B 级 素养提升一、选择题1．我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：A ．y ＝ae kxB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝ax bD ．y ＝ae bx[解析] 画出散点图,观察可用y ＝a ＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．2．设由线性相关的样本点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),求得的回归直线方程为y ^＝bx ＋a,定义残差e i ＝y i －y ^i ＝y i －bx i －a,i ＝1,2,…,n,残差平方和m ＝e 21＋e 22＋…＋e 2n .已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁[解析] r 越接近1,相关性越强,残差平方和m 越小,相关性越强,故选D ． 二、填空题3．若一函数模型为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),则作变换t ＝__(x ＋b 2a )2 才能转为y 是t 的线性回归方程．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ,∴令t ＝(x ＋b 2a )2,则y ＝at ＋4ac －b24a,此时y 为t 的线性回归方程．4．若x 、y 满足则可用来描述__y ＝2e __. [解析] 画出散点图,形如y ＝a·e bx,其中a≈2,b≈1. ∴y ＝2e x. 5．若x 、y 满足x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5 y2096420.940.650.510.45则可用来描述x 与y 之间关系的函数解析式为__y ＝2x.[解析] 画出散点图,观察图像形如y ＝b x ,通过计算知b≈2,∴y ＝2x .三、解答题6．如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N,试建立N 对x 的回归方程,并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数 28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7 地震数14898574125[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出,震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性,随着x 的减少,所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y ＝lgN.得到的数据如下表所示．图1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 y2.1701.9911.7561.6131.398x图2从散点图2中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性,因此由最小二乘法得a≈6.704,b≈－0.741,故线性回归方程为y ＝－0.741x ＋6.704.因此,所求的回归方程为：lgN ＝－0.741x ＋6.704,故N ^＝10－0.741x ＋6.704.7．下表所示是一组试验数据：x 0.5 0.25 16 0.125 0.1 y64138205285360(1)作出散点图,并猜测y 与x 之间的关系； (2)利用所得的函数模型,预测x ＝10时y 的值．[解析] (1)散点图如图所示,从散点图可以看出y 与x 不具有线性相关关系．根据已有知识发现样本点分布在函数y ＝b x ＋a 的图像的周围,其中a,b 为待定参数．令x′＝1x ,y′＝y,由已知数据制成下表：序号i x i ′ y i ′ x′2i y′2i x′i y′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝6,y ′＝210.4,故∑i ＝15x ′2i－5(x ′)2＝40,∑i ＝15y ′2i －5y ′2＝54 649.2,r ＝779 0－5×6×210.440×54 649.2≈0.999 7,由于r 非常接近于1,∴x′与y′具有很强的线性关系,计算知b≈36.95,a ＝210.4－36.95×6＝－11.3, ∴y′＝－11.3＋36.95x′,∴y 对x 的回归曲线方程为y ＝36.95x －11.3.(2)当x ＝10时,y ＝36.9510－11.3＝－7.605.C 级 能力提高1．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109,l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1 570,y ＝23.2,l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2,a ^＝y －b ^x ＝1.816 6.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2),当x ＝150 m 2时,销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．2．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出x 与y ,流通率y 决定于商品的零售额x,体现着经营规模效益,假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据,求出a 与b 的估计值,并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．[解析] 设u ＝1x,则y≈a＋bu,得下表数据：进而可得n ＝10,u ≈0.060 4,y ＝3.21,∑i ＝110u 2i －10u 2≈0.004 557 3, ∑i ＝110u i y i －10uy ≈0.256 35,b≈0.256 350.004 557 3≈56.25, a ＝y －b·u ≈－0.187 5,所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时,y ＝1.687 5,即商品零售额为30万元时,商品流通率为1.687 5%.。
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，有许多不同的回归分析方法可供选择。
以下是应该掌握的7种回归分析方法：1. 简单线性回归分析(Simple Linear Regression)：简单线性回归是回归分析中最简单的方法之一、它是一种用于研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
简单线性回归可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。
2. 多元线性回归分析(Multiple Linear Regression)：多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法。
它可以用来研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元线性回归分析可以帮助我们确定哪些自变量对于因变量的解释最为重要。
3. 逻辑回归(Logistic Regression)：逻辑回归是一种用于预测二分类变量的回归分析方法。
逻辑回归可以用来预测一个事件发生的概率。
它的输出是一个介于0和1之间的概率值，可以使用阈值来进行分类。
4. 多项式回归(Polynomial Regression)：多项式回归是回归分析的一种扩展方法。
它可以用来研究变量之间的非线性关系。
多项式回归可以将自变量的幂次作为额外的变量添加到回归模型中。
5. 岭回归(Ridge Regression)：岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
岭回归通过对回归系数进行惩罚来减少共线性的影响。
6. Lasso回归(Lasso Regression)：Lasso回归是另一种可以处理多重共线性问题的回归分析方法。
与岭回归不同的是，Lasso回归通过对回归系数进行惩罚，并使用L1正则化来选择最重要的自变量。
7. Elastic Net回归(Elastic Net Regression)：Elastic Net回归是岭回归和Lasso回归的结合方法。
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立和预测两个变量之间的线性关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相互作用和影响，并进行未来的预测。
本文将介绍线性回归的基本原理、模型建立过程和一些应用实例。
一、线性回归的基本原理线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预测值和实际观测值之间的误差最小。
这条直线的方程可以表示为：y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并且误差项ε服从正态分布。
在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。
二、线性回归的模型建立过程1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量和准确性。
2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线性回归模型。
3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算出拟合直线的方程。
4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果和预测能力。
5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。
三、线性回归的应用实例线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用：1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。
2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。
3.医学研究：通过收集患者的生理指标（如血压、血糖水平）和疾病状况，可以建立生理指标与疾病发展程度的线性回归模型，帮助疾病诊断和治疗。
4.金融风险管理：通过分析利率、汇率等宏观经济变量与企业盈利、股价波动之间的关系，可以建立风险预警模型，帮助企业进行风险控制和决策。
回归分析中的线性模型选择与评估
回归分析中的线性模型选择与评估回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，线性模型的选择与评估是非常关键的环节。
本文将介绍回归分析中的线性模型选择与评估的方法和步骤。
一、线性模型选择在线性回归分析中，线性模型的选择是基于变量之间的关系和模型的拟合程度。
常见的线性模型选择方法有以下几种：1. 前向选择法（Forward Selection）：从一个空模型开始，逐步添加自变量，每次添加一个最相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
2. 后向消元法（Backward Elimination）：从一个包含所有自变量的完全模型开始，逐步剔除最不相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
3. 逐步回归法（Stepwise Regression）：结合前向选择法和后向消元法，既可以添加自变量，也可以剔除不相关的自变量。
4. 最优子集选择（Best Subset Selection）：遍历所有可能的子集模型，通过比较其拟合优度和准则选择最优的子集模型。
在选择线性模型时，需要考虑以下几个因素：1. 自变量与因变量之间的相关性：选择与因变量相关性较高、影响较大的自变量。
2. 自变量之间的共线性：避免选择存在共线性问题的自变量，以免降低模型的稳定性和可靠性。
3. 模型的解释力：选择能够提供较好解释因变量变化的自变量。
二、线性模型评估在选择线性模型后，需要对模型进行评估，判断其拟合程度和可靠性。
常用的线性模型评估方法有以下几种：1. 残差分析：通过分析模型的残差（观测值与模型预测值之间的差异）来评估模型的拟合程度和误差。
2. 拟合优度检验：利用F检验或多重判定系数R^2来判断模型是否能够解释因变量的变异。
3. 参数估计与显著性检验：对模型的系数进行估计，并进行显著性检验，判断模型中的自变量是否对因变量有统计显著影响。
4. 多重共线性检验：通过计算VIF（方差膨胀因子）来评估模型中自变量之间的共线性程度。
7种回归分析方法，数据分析师必须掌握！
7种回归分析方法，数据分析师必须掌握！风控说由上海新金融风险实验室出品作者：xiaoyu 数据挖掘工程师回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：它表明自变量和因变量之间的显著关系；它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：01 Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
最简单的线形回归模型
最简单的线形回归模型线性回归是一种基本的统计分析方法，用于研究两个或多个变量之间的线性关系。
它是一种预测模型，通过拟合一条直线，来描述自变量和因变量之间的关系。
线性回归模型可以用于预测因变量的值，并对自变量的影响进行量化。
线性回归模型的基本形式是y = β0 + β1x，其中y是因变量，x 是自变量，β0和β1是回归系数。
β0是截距，表示当自变量x为0时，因变量y的值。
β1是斜率，表示因变量y对自变量x的变化率。
通过最小化残差平方和，也就是实际值与预测值之间的差异的平方和，可以得到最佳拟合直线。
线性回归模型的建立需要满足一些假设条件，包括线性关系、独立性、常态性、同方差性等。
如果这些假设条件不满足，可能会导致回归结果不准确或失效。
因此，在进行线性回归分析时，需要对数据进行严格的前处理，检验假设条件的合理性。
线性回归模型的拟合程度可以通过R方值来衡量，R方值越接近1，说明模型拟合程度越好。
然而，R方值并不是唯一的评估指标，还可以通过残差分析、方差分析等方法来评估模型的准确性。
线性回归模型的应用非常广泛。
在经济学领域，线性回归模型可以用于分析不同因素对经济增长的影响；在医学领域，可以用于预测某种疾病的发生风险；在市场营销领域，可以用于分析广告投放对销售额的影响等。
线性回归模型还可以进行扩展，包括多元线性回归模型、多项式回归模型、非线性回归模型等。
这些模型可以更好地拟合数据，提高预测准确性。
在实际应用中，线性回归模型也存在一些局限性。
例如，线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际情况中很多关系是非线性的。
此外，线性回归模型对异常值和离群点比较敏感，需要进行异常值检测和处理。
线性回归模型是一种简单但常用的统计分析方法，可以用于研究变量之间的线性关系。
通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的关系，并对自变量的影响进行量化。
线性回归模型的应用广泛，但也需要满足一些假设条件，并进行严格的前处理和模型评估。
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【学习目标】
1．进一步体会回归分析的基本思想．
2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． 【教学重点】非线性回归分析的常用模型 【教学难点】非线性回归分析的常用模型 【学习方法】合作探究法，学案导学法
②处理方法：两边取对数得ln y ＝ln e bx ＋a
再根据线性回归模型的方法求出b ，a .
探究点一 非线性回归模型
问题1 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？问题2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y 与x 之间的回归方程．
x 0.25 0.5 y 16 12
A．1 B
3．变量x与y
A．x与y之间的函数关系
C．x与y之间的真实关系形式。