《杨辉三角》导学案1
杨辉三角学案
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学案主备人：张伟审核人：陈建鹏时间：2020年6月15日学习目标1、二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和二项式系数的和。
）（重点）2、理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法（由特殊到一般、由一般到特殊）的渗透.（难点）核心素养1、通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2、借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养。
学习方法1、通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生体会应用由特殊到一般进行归纳、由一般到特殊进行赋值等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.2、通过从函数的角度、数列的角度研究二项式系数的性质，使学生建立知识的前后联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力.教学过程学习环节学习内容师生活动设计意图自问引思（引发思考）1、二项式定理：2、二项式系数：3、通项：4、组合数的两个性质：5、问题1：完成()na b（n=1，2，3，4，5，6）的二项展开式的二项式系数表，你能发现什么？（二项式系数表）（杨辉三角）问题2：你能列举几个中国古代数学的突出成就吗？老师提问，引导，多媒体展示，逐步导入新课。
学生观察，思考，叙述，允许互相讨论。
1.引导学生了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2.寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.【问题提出】怎样证明展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）展开式的二项式系数，可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？（2）画出和7时函数的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：增减性与最大值：【继续探究】问题：展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算展开式的二项式系数的和（=1，2，3，4，5，6）.（2）猜想展开式的二项式系数的和.（3）怎样证明你猜想的结论成立？赋值法：【问题拓展】你能求吗？。
人教B版高中数学选修杨辉三角教案(1)
1.3.2二项式定理----杨辉三角学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L二、讲解范例：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ②∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅．例3．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=， 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例4．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除 三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()953399632+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82256=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计（略） 七、课后记：。
七年级数学下册《杨辉三角》教案、教学设计
-题2：运用杨辉三角解决一个简单的组合问题。
-题3：利用杨辉三角的性质，填写一个特定形状的数字图案。
2.提高作业：请学生尝试完成课后习题4、5，这两题难度较高，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
-题4：证明杨辉三角的对称性，并找出其他有趣的性质。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养他们的自我反思能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将采用以下方法引发学生对杨辉三角的学习兴趣：
1.通过一个有趣的故事，介绍我国古代数学家杨辉及其在数学领域的贡献，从而引出杨辉三角的概念。
2.利用多媒体展示杨辉三角的图像，让学生初步认识这个神秘的数学图形，并提出问题：“你们觉得这个图形有什么特别之处？”
3.然后，通过实例讲解杨辉三角在实际问题中的应用，如组合问题、整数划分等，使学生认识到杨辉三角的重要性。
4.最后，强调杨辉三角在数学发展史上的地位和价值，提高学生的民族自豪感。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将组织以下活动：
1.将学生分成若干小组，让他们根据已发现的杨辉三角规律，共同探讨更多有趣的性质和应用。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重培养学生对数学美的欣赏，让学生体验数学的内在和谐高学生对数学学科价值的认识。
-通过对杨辉三角的学习，培养学生的科学精神和探究意识，激发他们追求真理的热情。
6.评价方式：
-采用多元化的评价方式，包括课堂提问、小组讨论、课后作业和期末考试等，全面评估学生的学习效果。
3.挑战题：让学生尝试证明杨辉三角的其他性质，如对称性、斜线上的数字规律等。
4.组织学生进行互评和讨论，共同解决练习中遇到的问题。
《杨辉三角》教案1
《杨辉三角》教案1【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n=________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2 (121)(a+b)3 (1331)(a+b)4 (14641)(a+b)5 (15101051)(a+b)6 (1615201561)……………………………爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。
杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
杨辉三角教案
《杨辉三角》教案教学目标1、知识目标：（1）了解杨辉及杨辉三角。
（2）初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。
2、能力目标：（1）培养学生查阅资料，运用图表和数学语言的能力；（2）培养学生观察能力，提出问题，分析问题的能力，归纳能力与增强创新意识。
3、情感目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。
教学重难点：引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，从而培养学生自主学习的能力。
教学方法：以学生自己探索研究为主，教师重在点拨指导。
教学手段：多媒体辅助教学，导学提纲课堂研究一、引入１、（有一位数学家说过：哪里有数，哪里就有美）用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣112=121 1+2+1=221112=12321 1+2+3+2+1=3211112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42２、介绍杨辉（激发爱国热情）杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。
在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。
他著名的数学书共五种二十一卷。
著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。
他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。
杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。
高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修
高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修1、3、2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、知道“杨辉三角”的特征，并能记住二项式系数规律2、能够记住二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题【重点难点】重点：二项式系数的性质及其应用难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1、二项式定理2、二项展开式的特征【学习过程】阅读教材第32页至第33页的内容，回答下列问题知识点一：杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，试根据杨辉三角的特点说说二项式系数有何性质？对于( a+b)n展开式的二项式系数____________________，从函数角度看，可阅读教材第33页至第35页的内容，回答下列问题知识点二：二项式系数的重要性质问题1:对称性：二项展开式中，与首末两端“_______”的两项的_____________；即=，=，……，=、问题2:增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。
当时，二项式系数是逐渐________，由对称性可知它的后半部分是逐渐_______的，且在中间取到最大值；当n为偶数时，中间一项的二项式系数________取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数_____________相等，且同时取得最大值、问题3:各项二项式系数的和：( a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n（1）的展开式为___________________________________；（2）在上式中令得___________________；（3）=____________________、【例题精析】例1、已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数、例2、设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(1)a1＋a2＋…＋a8＝________；(2)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝________；(3)a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________、例3、求的展开式中系数最大的项、【基础达标】A1、已知=a，=b，那么=__________；A2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；B3、(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为()A、1B、64C、243D、729B4、设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A、2B、3C、4D、5C5、设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2、D6、若的展开式的二项式系数之和为64，求展开式中的常数项、【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（）（A）第15项 (B)第16项 (C)第17项 (D)第18项B2、已知（1—2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7则a1+a2+…+a7=___________a1+a3+ a5+a7=__________a0+a2+a4+a6=__________【学习反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《杨辉三角》教案1
1.3.2杨辉三角
教学目标：
1．掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。
2．通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。
通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。
3．鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。
同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。
教学重、难点：
教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。
教学难点：如何发现、证明规律。
通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。
通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。
教学过程
计算
展开式的二。
全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角导学案
“杨辉三角”中的一些秘密阅读材料：杨辉三角的历史《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。
”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。
大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。
河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。
数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。
世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角”，于是才有了“杨辉三角”的说法。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。
,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？一:回顾杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第8行_________________________________________……………………………..我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？____________________________________________________________________________________________________________________________三:初探杨辉三角研究角度一：第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________……………………………..第n+1行_______________________________________________________________________012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1nn n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 四:再探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 841 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________五:三探杨辉三角1 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________七:课后探索1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
杨辉三角(教(学)案)
辉三角〔1〕目的要求1．了解有关辉三角的简史，掌握辉三角的根本性质。
2．通过研究辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜测能力。
3．通过小组讨论，培养学生发现问题。
探究知识、建构知识的研究型学习习惯与合作化学习的团队精神。
容分析本课的主要容是总结辉三角的三个根本性质与研究发现辉三角横行的假设干规律。
辉三角的三个根本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究辉三角其他规律的根底。
辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。
组合关系以与不同横行数字之间的联系。
研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进展研究。
目的在于培养学生的创新精神和创造能力。
它要求教师给学生提供研究的问题与背景，让学生自主探究知识的发生开展过。
从问题的提出、探索的过程与猜测的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
教师首先简介辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关辉三角的根本知识〔研究的根底〕与介绍发现数字规律的主要方法〔研究的策略〕，并类比数列的通项与求和，让学生对n阶辉三角进展初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。
以下主要分小组合作研究辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。
教学过程〔一〕回忆旧知1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图〔附后〕，同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角〞进展高次开方运算，南宋数学家辉在《详解九章算法》〔1961年〕记载并保存了“贾宪三角〞，故称辉三角。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》〔1303年〕扩大了“贾宪三角〞成“古法七乘方图〞。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角〞。
2．用电脑展示15阶辉三角或事先印好15阶辉三角分发给学生。
【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
第13时
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
学习目标
掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.
学习过程
一、学前准备
复习：（本P37B2）求证：
.
二、新导学
◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处）
问题1：计算展开式的二项式系数并填入下表：
展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
◆应用示例
例1．（本P34例3）试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
◆反馈练习
1. （本P35练1）填空：
（1）的各二项式系数的最大值是；
（2） ;
(3) .
2. （本P35练2）证明（是偶数）.
三、当堂检测
1. （本P40A(7)）的展开式中，系数最大的项是第项.
2.已知为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 .
3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.
A.-7
B.7
C.-28
D.28
2.（本P35练3）写出从1到10的二项式系数表.
后作业
1．（本P37A7）利用杨辉三角，画出函数
的图象.
2. （本P37A8）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
3.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人民教育A版选修2-3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案导学案
1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案制作朱春梅高二数学组 2016-05-23【学习目标】1.了解杨辉三角，并能有它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用.【重点难点】重点：二项式系数性质的应用.难点：杨辉三角的特点.【预习导航】1.计算展开式的二次项系数填入下表1.你能发现什么规律？2.通过查资料认识“杨辉三角”.3.复习二项式定理与二项式系数.探究活动一：“杨辉三角”1）．“杨辉三角”的来历.2）.你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗？探究活动二：函数角度下的二项式系数探究活动三：二项式系数的性质1）.2）.3）.()nb a+【应用训练】例1 证明：在()nb a + 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 二项式系数的和．例2 已知nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的 二项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项系数．变式：()nx 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【课堂巩固练习】1.n nn n n n C C C C 1321242-++++ 等于（ ） 2.()9b a +的展开式中，二项式系数的最大值为____________.3.若()n b a +的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=_________.4.已知二项式 nx x ⎪⎭⎫⎝⎛+212的展开式中，前三项的二项式系数 和是56.求： （1）n 的值；（2）求展开式中的常数项.【总结概括】本节课的收获：【课后作业】习题1.3 P37A 组第8题 B 组第 1题nA 3.13.-n B 213.-nC 123.-n D。
杨辉三角学案
学案:杨辉三角【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材，用红色笔勾画；再针对导学案问题导学部分阅读并回答，时间不超过15分钟2.限时完成导学案合作探究部分，书写规划3.找出自己的疑惑点【学习目标】1、了解杨辉三角形；会应用杨辉三角形求二项式次数不大时的各项的二项式系数。
2、通过对杨辉三角的观察，猜想二项式系数的性质，并通过杨辉三角方便记忆和理解二项式的性质，并会灵活应用。
【学习重、难点】重点：理解杨辉三角形的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。
难点：二项式系数的性质的应用。
【自主学习】二项式系数的性质1、每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和0111,1,n m m m n n n nn C C C C C -+===+反映了 2、每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等m n m n nC C -=反映了 3、如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12n T +的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项11122n n T T +++与的二项式系数相等且最大4、二项展开式的二项式系数的和等于2n[课内探究]例1、试证明:0n C +1n C +2n C +……+n n C =2n（2）求9)1(xx -的展开式中3x 的系数和中间项；例2、在二项式 的展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含6x 的项。
变式：2(1)n x -展开式的各项系数和等于多少？例3、()81x -求的展开式中二项式系数最大的项练习：n x )21(+的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。
2(1)n x -。
人教A版高中数学选修长春实验“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
【学习目标】通过对“杨辉三角”中的规律的探索，理解、掌握二项式系数的3条性质；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重点难点】重点：二项式系数的性质的理解.难点：二项式系数性质的证明.知识链接：1. n b a )(+展开式的通项公是共有________项;2.组合数的两个性质是 ， .模块一：自主学习，明确目标自学教材第32页-----33页,并回答下列问题：问题1. 请写出n 从1到6时的“杨辉三角”;问题2. 观察“杨辉三角”,发现什么规律？模块二：问题探究探究1 ： nn k n n n C C C C ,...,,...,,10中, 证明:n 为奇数时,中间两项最大,n 为偶数时,中间一项最大?探究2:试证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和模块三：巩固训练，整理提高练习:1.已知nx )1(+的展开式第4项与第8项的二项式系数相等,求这两项.2．求值(1)1111211111C C C +++(2) 1111511311111C C C C +++ (3) 11211101210+++++++++++++n n n n n n nn n n C C C C C C C C3. .⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是 ( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第5、6项 D ．第6、7项 ⎝⎛⎭⎫x －1x 11展开式中系数最大的项是哪一项? （实验班）三． 课堂总结：1．知识：2．思想方法：【作业】1．教材37页习题1.3 B 组第2题2．已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1） 求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。
《杨辉三角》导学案doc
数学实践课（2）----杨辉三角及其简单应用教学内容：杨辉三角的理解和应用教学目标：1.理解杨辉三角的数字规律，培养学生从特殊到一般的数学归纳、猜想能力.2.进一步巩固多项式乘多项式的运算，明确().n n n b a b a +≠+3.在小组讨论的过程中培养合作意识，在独立思考的过程中发展创造思维能力.4.通过课前的阅读，培养学生的自学能力.教学过程：一．课前准备1.阅读课本113页《杨辉三角》的内容；2.利用多项式×多项式法则计算3)(b a +和4)(b a +；二．杨辉三角及其特征的探究1.计算并观察 ()10=+b a()b a b a +=+12222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+展开式中共有几项？：问题n b a )(1+的次数有什么特点？母的次数有什么特点？字每项中，字母问题b a :2 问题3：展开式中各项的系数依次是什么？他们有什么特征？结论：1.nb a )(+展开式中共有 项，每项的次数都是 .2.各项系数依次组成的图形就是杨辉三角，他们的主要特征是：（1）杨辉三角具有 性；（2）每一行的首、末都是 ；（3）中间各数都等于它们两肩上的数的 .三．辨析：()?555吗b a b a +=+四．杨辉三角的简单应用1.观察下列各式及其展开式：2222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+…()66.55.45.36.10D C B A b a ）是（的展开式第三项的系数请你猜想+2.在(a ＋b)6展开式中，与倒数第3项二项式系数相等的是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项3.若n b a )+（的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等， 则n=_________4.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．1205. 若()929012912x a a x a x a x -=++++ ，则 129a a a +++ ＝ ．6.若7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++710a a a .。
导学案：杨辉三角
杨辉三角导学案学习目标①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；学习重难点二项式系数的性质及其应用；杨辉三角的基本性质的探索和发现。
学习过程（一）杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？（二）二项式系数的重要性质1、“肩和”性质2、对程性2、增减性与最大值3、各项二项式系数的和（三）典型例题例1试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
例2已知，数和为展开式的所有二项式系12812nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-求展开式中二项式系数最大的项变式训练：二项式9)32(y x -的展开式中，求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和； （3）所有奇数项系数之和.（四）巩固检测1、已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；3、111C +311C +…+1111C =________；4、=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C __________；5、（a+b ）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（ ）（A ）第15项 (B) 第16项(C) 第17项 (D) 第18项6、若n C 19与mn C 同时取得最大值，则m=_____________7、已知（1—2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7则a 1+a 2+…+a 7=____ a 1+a 3+ a 5+a 7=____ a 0+a 2+ a 4+a 6=__________8、证明：+++…+ =2n-1 (n 是偶数) ；9、已知(124x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．。
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《杨辉三角》导学案1
课前预习学案
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。
二、预习内容
1、二项式定理：________________________________________________；
二项式系数：______________________________________________；
2、( 1+x) n=________________________________________________；
练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。
想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
课内探究学案
一、学习目标
①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；
②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点：
学习重点：二项式系数的性质及其应用；
学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
三、学习过程
（一）、杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a+b)
n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现
什么规律？
问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n}
问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
（二）二项式系数的重要性质
1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
即m n C =m n n C -
分析：
2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。
提示：（1）讨论k n C 与1-k n
C 的大小关系。
（2）讨论k
k n )1(+-与1的大小关系。
3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n 分析：赋值法的应用。
四、典型例题（性质4）
试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
分析：奇数项的二项式系数的和为0n C +2n C +4n C +…，
偶数项的二项式系数的和为1n C +3n C +5
n C +…，
由于(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+n n C b n 中的a,b 可以取任意实数，因
此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。
五、当堂检测
1、已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；
2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；
3、111C +311C +…+11
11C =________；
4、=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C __________；
5、证明：0n C +2n C +4n C +…+
n n C =2n-1 (n 是偶数) ；。