动量与角动量守恒
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圆盘的转动惯量 1 I r dm 2r hdr hR 4 0 2 又因为整个圆盘的质量 为m R 2 h
2 R 3
O
r
dr
R
1 所以I m R2 2
例3 一质量为m半径为R的匀质圆球，求通 过任一直径为轴的转动惯量。 解 选用球坐标, 质元为 dm dV r 2 sin drdd
第二章 动量与角动量守恒
2.1 动量定理 动量守恒定律
2.1.1 动量 冲量和质点动量定理
d mv dP 根据牛顿第二定律F dt dt
改写为
Fdt dP
冲量
dJ Fdt
当作用时间为 t0 t ，合外力的冲量为
t I Fdt P P0
l
x
dx
同理,绕中心轴的转动惯量
1 3 1 2 I x dm l x dx l ml 2 12 12
2
l 2
2
例2 求 圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转 轴的转动惯量，设圆盘的半径为R，质量为m， 密度均匀。 设圆盘厚度为h,将圆板分成一系 解 列的同心细圆环，半径为r, 宽度 为dr的细圆环的质量为： dm 2r dr h
i
线分布， I r d l， 为线密度
2
面分布， I r d s， 为面密度
2
体分布， I r 2 d V， 为体密度
平行轴定理：
与质心平行的转轴，其相应的 转动惯量I与质心轴的转动惯量Ic之 间的关系
I I c md
2
定轴转动定律
根据质点系的角动量定律
N
x
l
T
m
T P
dm
dP
x
重力
M P xg l
M xg T N 0 l M N xg T l
N
m
(1)
得
T
P
求 T ：取 dt 内落至桌面的 dx 为 研究对象，受力如图所示：
T
dm
dP
M 重力 dP dxg l
由动量定理： 得
R
O
N
m A mB
v
mg
r
解 小球受到重力和圆 环对其支撑力, 但支撑 力对圆心的力矩为零. 选圆心为参考点, 由质 点角动量定理
dL dL d dL mgR cos dt d dt d
小球对环心的角动量为
L mR 2
代入上式可得 两边积分
g d cos d R
即
M T dt 0 vdx l M dx M 2 T v v l dt l M M 2 gx 2 xg l l M T T 2 xg l
2
将（2）式代入（1）式得
即
M M M N xg 2 xg 3 xg l l l M N N 3 xg l
t0
即
I mv mv0
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于
质点动量的增量。——质点动量定理
说明：
（1）冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们相互 作用的时间很短，相互作用的力很 大，而且变化非常迅速，这种力称 F 为冲力。
F
F t
平均冲力
F
1 t t0
t
t0
Fdt
o
t0
t
t
（2）只适用于惯性系。
（3）SI制中，冲量的单位
牛顿 秒N s
动量的单位是 千克 米 秒1 kg m s 1
F n 个质点质点系，第 i 个质点受合外力为 i ，受
合内力为
2.1.2
质点系的动量定理
fi 。
根据质点动量定理，对第 i 个质点，有
A O
B
解 选杆与子弹为系统, 外力相对于轴O的合力矩
为零, 故角动量守恒.
v 1 2 lmv lm Ml 2 3
由上式可得杆的角速度为
3mv 2 Ml
t t0
t
Fi fi dt mvi mvi 0
对所有质点求和，得
n n n n Fi f i dt mi vi mi vi 0 t0 i 1 i 1 i 1 i 1
因为
i 1
n
fi 0
单位： 牛顿 米N m
有心力 : r // F , 作用线穿过定点 对力心的力矩总是为零。
SI
2.2.3 质点角动量定理
dL d d mv dr r mv r mv dt dt dt dt r F v mv
（3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观 和微观领域。
例 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬Байду номын сангаас着，绳的下端刚
好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。 试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等 于已落到桌面上绳重量的三倍。
证
O 如图建立坐标系 假定 t 时刻，已落到桌面上 的绳长为 x ，质量为 m=M x / l， 以此为研究对象。受力如图所示：
L r mv
由于
于是得
v mv 0, r F M dL M dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2.2.4
质点系角动量定理
dL M dt
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。——质点系角动量定理
如果对于某一定点O 质点所受的合外力矩为零， 则此质点对该点的角动量保持不变。——质点
角动量守恒定律
在有心力场中，如万有引力场 、静 电引力场中，角动量守恒。
对于刚体, 若Mz=0，则Lz=c, 角动量守恒
绕某定轴 z 转动的刚体，如果在 z 轴 上所受的合外力矩为零，刚体相对于 z 轴 的角动量不变。——角动量守恒定律
当
F
i 1 n
n
ix
0时
m v
i 1 n
n
i ix
Px 常量；
当 当
F
i 1 n
iy
0时 0时
m v
i 1 n
i iy
Py 常量； Pz 常量。
F
i 1
iz
m v
i 1
i iz
某方向所受合外力为零，则此方向的总动 量的分量守恒。
（2）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如 碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；
2.2 角动量定理
2.2.1 质点的角动量
质点对惯性参考系中某一 固定点O 的角动量。
角动量守恒
L
O
L r P r mv
大小：
P
m
r
L rP sin mrvsin
方向 ： 右手螺旋法则。
说明：
（1）角动量必须指明对那一个固定点而言。
说明：1）定律是瞬时对应关系； 2）M , I , 应是对同一轴而言的
例4 AB是放在光滑水平面上的匀质细杆，其 长度为l，质量为M，B端固定于竖直轴O上， 使它可绕轴自由转动。一质量为m的子弹在水 平面内沿与杆相垂直的方向，以速率v射入A端， 子弹击穿A后速率减为v/2，其运动方向不变。 求细杆的角速度。
法向加速度
a r
n
2
刚体定轴转动定律
（1）定轴角动量：
质元 i对于O点的角动量为
L
Li
ri
O
Z Liz
vi
Li Ri mi i
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究 L z
刚体上质元 i相对于转轴的 角动量为
m i Ri
Li z Li cos Ri mi vi cos ri mi vi mi ri 2
2
I d d
0 0
R
0
8 dr (r sin ) r sin R 5 15
2 2
考虑到
m 4 3 R 3
得
2 I mR 2 5
2.2.6
dL 如果 M 0， 则 0, 因而 dt
角动量守恒定律
L r mv 常矢量
dS 1 2 r dt 2
也为常量.
例3 用绳系小物块使之在光滑水平面上作圆周 运动（如图），圆半径为r0，速率为v0。今缓慢 地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆 半径至 r 时，小物块的速率v是多大？
r
r0
解 滑块受到绳子的拉力通过圆心,对圆心而言, 滑块所受合力矩为零,故角动量守恒,即
mr 0 v0 mrv
r0 于是, v v0 r
2.2.5
刚体绕固定轴的转动
刚体模型： 在受力和运动时形状和大小不变，内部 质点间没有相对运动。 刚体的运动 刚体运动:平动+转动。
（1）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动中始 终保持方向不变。可用质心代表整个刚体的运动。
（2）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直 线（转轴）作圆周运动。
2 i
i
i
转动惯量
I mi ri
i
2
例1 求长为l，质量为m的均匀细杆绕中心轴 的转动惯量，和绕端点的转动惯量。
解 取杆上长为dx的一段, 绕端点的转动惯量
1 3 I x dm x dx l 0 3 m l 1 I m l2 3
2 l 2
dm=ρ dx
（2）当质点作圆周运动时，
2
, L rP rmv
（3）单位（SI）： 千克 米2 秒1 kg m 2 s 1
L
O
v
r
m
2.2.2
定义： 大小：
力矩
M r F
M Fr sin
M
O
d
r
F
方向： 右手螺旋法则。
若 M 0，
L 常矢量 质点系角动量守恒
例1 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直平 面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆 环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该点 在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。设 小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时对 环心的角动量和角速度。
转轴位置不变，刚体上的每 个质元都以同样的角速度 和角 加速度绕定轴作圆周运动。
O’
一、 角速度矢量：
d 角速度 dt
O
角加速度
d d 2 dt dt
2
距轴 r 处的质元
速度
v r
r
mi
切向加速度
dv d at r r dt dt
整个刚体定轴角动量为
Lz Li z mi ri
2
( mi ri ) I
2 i
i
i
转动惯量
I mi ri
i
2
（2）转动惯量的计算 转动惯量的普遍表达式为
I mi ri r d m
2 2 i
ri mi M
离散分布， I mi ri2
0
d
0
g cos d R
2g sin , L mR 2 m R 2 gR sin R
例2 证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时 间内扫过相同的面积。 证 太阳位于行星轨道的一个焦点上.如图所示.
取太阳为参考点,由于 d r 太阳与行星之间的引力 为有心力,所以角动量守 恒, 即 d dr 2 r mv r m er m r e m r en 常矢量 dt dt 1 2 d S r d 当行星转过 d 角度时扫过的面积为 2 因为行星质量为常量, 所以单位时间扫过的面积
t
t0
Fi dt P P0 P
n i 1
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增 量。——质点系动量定理
2.1.3
如果
动量守恒定律
Fi 0
mi vi 常矢量
i 1 n
则有
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持
不变。
——动量守恒定律
说明： （1）直角坐标系中的分量式：
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。
dL M dt
合外力对于轴的合力矩
d Lz d( I ) Mz I dt dt
整个刚体定轴角动量为
Lz Li z mi ri
2
( mi ri ) I
2 R 3
O
r
dr
R
1 所以I m R2 2
例3 一质量为m半径为R的匀质圆球，求通 过任一直径为轴的转动惯量。 解 选用球坐标, 质元为 dm dV r 2 sin drdd
第二章 动量与角动量守恒
2.1 动量定理 动量守恒定律
2.1.1 动量 冲量和质点动量定理
d mv dP 根据牛顿第二定律F dt dt
改写为
Fdt dP
冲量
dJ Fdt
当作用时间为 t0 t ，合外力的冲量为
t I Fdt P P0
l
x
dx
同理,绕中心轴的转动惯量
1 3 1 2 I x dm l x dx l ml 2 12 12
2
l 2
2
例2 求 圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转 轴的转动惯量，设圆盘的半径为R，质量为m， 密度均匀。 设圆盘厚度为h,将圆板分成一系 解 列的同心细圆环，半径为r, 宽度 为dr的细圆环的质量为： dm 2r dr h
i
线分布， I r d l， 为线密度
2
面分布， I r d s， 为面密度
2
体分布， I r 2 d V， 为体密度
平行轴定理：
与质心平行的转轴，其相应的 转动惯量I与质心轴的转动惯量Ic之 间的关系
I I c md
2
定轴转动定律
根据质点系的角动量定律
N
x
l
T
m
T P
dm
dP
x
重力
M P xg l
M xg T N 0 l M N xg T l
N
m
(1)
得
T
P
求 T ：取 dt 内落至桌面的 dx 为 研究对象，受力如图所示：
T
dm
dP
M 重力 dP dxg l
由动量定理： 得
R
O
N
m A mB
v
mg
r
解 小球受到重力和圆 环对其支撑力, 但支撑 力对圆心的力矩为零. 选圆心为参考点, 由质 点角动量定理
dL dL d dL mgR cos dt d dt d
小球对环心的角动量为
L mR 2
代入上式可得 两边积分
g d cos d R
即
M T dt 0 vdx l M dx M 2 T v v l dt l M M 2 gx 2 xg l l M T T 2 xg l
2
将（2）式代入（1）式得
即
M M M N xg 2 xg 3 xg l l l M N N 3 xg l
t0
即
I mv mv0
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于
质点动量的增量。——质点动量定理
说明：
（1）冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们相互 作用的时间很短，相互作用的力很 大，而且变化非常迅速，这种力称 F 为冲力。
F
F t
平均冲力
F
1 t t0
t
t0
Fdt
o
t0
t
t
（2）只适用于惯性系。
（3）SI制中，冲量的单位
牛顿 秒N s
动量的单位是 千克 米 秒1 kg m s 1
F n 个质点质点系，第 i 个质点受合外力为 i ，受
合内力为
2.1.2
质点系的动量定理
fi 。
根据质点动量定理，对第 i 个质点，有
A O
B
解 选杆与子弹为系统, 外力相对于轴O的合力矩
为零, 故角动量守恒.
v 1 2 lmv lm Ml 2 3
由上式可得杆的角速度为
3mv 2 Ml
t t0
t
Fi fi dt mvi mvi 0
对所有质点求和，得
n n n n Fi f i dt mi vi mi vi 0 t0 i 1 i 1 i 1 i 1
因为
i 1
n
fi 0
单位： 牛顿 米N m
有心力 : r // F , 作用线穿过定点 对力心的力矩总是为零。
SI
2.2.3 质点角动量定理
dL d d mv dr r mv r mv dt dt dt dt r F v mv
（3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观 和微观领域。
例 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬Байду номын сангаас着，绳的下端刚
好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。 试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等 于已落到桌面上绳重量的三倍。
证
O 如图建立坐标系 假定 t 时刻，已落到桌面上 的绳长为 x ，质量为 m=M x / l， 以此为研究对象。受力如图所示：
L r mv
由于
于是得
v mv 0, r F M dL M dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2.2.4
质点系角动量定理
dL M dt
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。——质点系角动量定理
如果对于某一定点O 质点所受的合外力矩为零， 则此质点对该点的角动量保持不变。——质点
角动量守恒定律
在有心力场中，如万有引力场 、静 电引力场中，角动量守恒。
对于刚体, 若Mz=0，则Lz=c, 角动量守恒
绕某定轴 z 转动的刚体，如果在 z 轴 上所受的合外力矩为零，刚体相对于 z 轴 的角动量不变。——角动量守恒定律
当
F
i 1 n
n
ix
0时
m v
i 1 n
n
i ix
Px 常量；
当 当
F
i 1 n
iy
0时 0时
m v
i 1 n
i iy
Py 常量； Pz 常量。
F
i 1
iz
m v
i 1
i iz
某方向所受合外力为零，则此方向的总动 量的分量守恒。
（2）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如 碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；
2.2 角动量定理
2.2.1 质点的角动量
质点对惯性参考系中某一 固定点O 的角动量。
角动量守恒
L
O
L r P r mv
大小：
P
m
r
L rP sin mrvsin
方向 ： 右手螺旋法则。
说明：
（1）角动量必须指明对那一个固定点而言。
说明：1）定律是瞬时对应关系； 2）M , I , 应是对同一轴而言的
例4 AB是放在光滑水平面上的匀质细杆，其 长度为l，质量为M，B端固定于竖直轴O上， 使它可绕轴自由转动。一质量为m的子弹在水 平面内沿与杆相垂直的方向，以速率v射入A端， 子弹击穿A后速率减为v/2，其运动方向不变。 求细杆的角速度。
法向加速度
a r
n
2
刚体定轴转动定律
（1）定轴角动量：
质元 i对于O点的角动量为
L
Li
ri
O
Z Liz
vi
Li Ri mi i
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究 L z
刚体上质元 i相对于转轴的 角动量为
m i Ri
Li z Li cos Ri mi vi cos ri mi vi mi ri 2
2
I d d
0 0
R
0
8 dr (r sin ) r sin R 5 15
2 2
考虑到
m 4 3 R 3
得
2 I mR 2 5
2.2.6
dL 如果 M 0， 则 0, 因而 dt
角动量守恒定律
L r mv 常矢量
dS 1 2 r dt 2
也为常量.
例3 用绳系小物块使之在光滑水平面上作圆周 运动（如图），圆半径为r0，速率为v0。今缓慢 地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。求圆 半径至 r 时，小物块的速率v是多大？
r
r0
解 滑块受到绳子的拉力通过圆心,对圆心而言, 滑块所受合力矩为零,故角动量守恒,即
mr 0 v0 mrv
r0 于是, v v0 r
2.2.5
刚体绕固定轴的转动
刚体模型： 在受力和运动时形状和大小不变，内部 质点间没有相对运动。 刚体的运动 刚体运动:平动+转动。
（1）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动中始 终保持方向不变。可用质心代表整个刚体的运动。
（2）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直 线（转轴）作圆周运动。
2 i
i
i
转动惯量
I mi ri
i
2
例1 求长为l，质量为m的均匀细杆绕中心轴 的转动惯量，和绕端点的转动惯量。
解 取杆上长为dx的一段, 绕端点的转动惯量
1 3 I x dm x dx l 0 3 m l 1 I m l2 3
2 l 2
dm=ρ dx
（2）当质点作圆周运动时，
2
, L rP rmv
（3）单位（SI）： 千克 米2 秒1 kg m 2 s 1
L
O
v
r
m
2.2.2
定义： 大小：
力矩
M r F
M Fr sin
M
O
d
r
F
方向： 右手螺旋法则。
若 M 0，
L 常矢量 质点系角动量守恒
例1 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直平 面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆 环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该点 在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。设 小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时对 环心的角动量和角速度。
转轴位置不变，刚体上的每 个质元都以同样的角速度 和角 加速度绕定轴作圆周运动。
O’
一、 角速度矢量：
d 角速度 dt
O
角加速度
d d 2 dt dt
2
距轴 r 处的质元
速度
v r
r
mi
切向加速度
dv d at r r dt dt
整个刚体定轴角动量为
Lz Li z mi ri
2
( mi ri ) I
2 i
i
i
转动惯量
I mi ri
i
2
（2）转动惯量的计算 转动惯量的普遍表达式为
I mi ri r d m
2 2 i
ri mi M
离散分布， I mi ri2
0
d
0
g cos d R
2g sin , L mR 2 m R 2 gR sin R
例2 证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时 间内扫过相同的面积。 证 太阳位于行星轨道的一个焦点上.如图所示.
取太阳为参考点,由于 d r 太阳与行星之间的引力 为有心力,所以角动量守 恒, 即 d dr 2 r mv r m er m r e m r en 常矢量 dt dt 1 2 d S r d 当行星转过 d 角度时扫过的面积为 2 因为行星质量为常量, 所以单位时间扫过的面积
t
t0
Fi dt P P0 P
n i 1
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增 量。——质点系动量定理
2.1.3
如果
动量守恒定律
Fi 0
mi vi 常矢量
i 1 n
则有
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持
不变。
——动量守恒定律
说明： （1）直角坐标系中的分量式：
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。
dL M dt
合外力对于轴的合力矩
d Lz d( I ) Mz I dt dt
整个刚体定轴角动量为
Lz Li z mi ri
2
( mi ri ) I