精选-时间序列分析课件-条件异方差模型
合集下载
时间序列条件异方差模型
时间序列条件异方差模型时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究时间变量之间的关系。
在金融、经济学、气象学和其他领域，时间序列分析都扮演着重要的角色。
而条件异方差模型则是一种用于捕捉时间序列数据中异方差性质的模型。
本文将介绍时间序列条件异方差模型的概念、原理、应用以及在金融领域的重要性。
一、条件异方差模型的概念条件异方差模型，全称为条件异方差自回归移动平均模型（ARCH），是由Robert F. Engle于1982年提出的一种用于描述时间序列数据中异方差性质的模型。
它认为时间序列数据中的方差是随时间变化的，并受到之前残差的影响，即当前的方差是过去残差的函数。
而在实际应用中，ARCH模型的延伸GARCH模型则是被广泛使用的一种工具，它不仅可以捕捉时间序列数据中的异方差性质，还可以考虑到长期记忆性和其他特征。
二、条件异方差模型的原理条件异方差模型的原理在于将时间序列数据的方差建模为过去残差的函数。
以GARCH(1,1)模型为例，其方差可以表示为：σ^2_t = ω + αε^2_(t-1) + βσ^2_(t-1)其中，σ^2_t为时间t的方差，ω为模型中的常数项，α和β分别表示过去残差和过去方差的权重。
这个模型说明当前的方差受到上一个时期残差的影响，而且方差是随时间变化的。
通过对时间序列数据进行拟合，可以得到最优的α、β和ω参数，从而建立条件异方差模型。
三、条件异方差模型的应用条件异方差模型在金融领域得到了广泛的应用。
由于金融市场的波动性较高，时间序列数据中经常存在着异方差性质。
而条件异方差模型可以帮助金融从业者更好地理解和预测市场的波动性，从而做出更为准确的决策。
例如，投资者可以利用条件异方差模型对金融资产的风险进行度量和管理，而交易员可以利用该模型进行波动性的预测和交易策略的制定。
四、条件异方差模型在金融领域的重要性金融时间序列数据中的异方差性质是一个重要的问题。
大量的实证研究表明，金融资产的收益率往往表现出高度的异方差性，这给投资者和决策者带来了很大的挑战。
《时间序列模型》课件
对于非线性时间序列，可能需要使用 其他复杂的模型，如神经网络、支持 向量机或深度学习模型。
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型
出 Ψ中s 所有元素。
33
第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票 价格等金融时间序列时，都发现时间序 列模型扰动方差的稳定性比通常认为的 差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称 为波动集聚性（volatility clustering）， 对于研究和控制金融风险等非常有用。
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
24
阶H滞0 ：后一的组高变斯量向数量据自由回p归0 阶生而成不。是p1 p0 H1 ：这组变量数据是由 p1 p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。
f (Y , YT , ,Y1 Y0 , ,Y p1 T , Y1 Y0 , , Y p1 ; θ)
因为 η Φ1Yt1 Φ pYt p 在时期t为常 数，而 εt ~ iidN[0,Ω]，因此
Yt Yt1, Yt2,, Y p1 ~ N[η Φ1Yt1 ΦpYt p ,Ω]
17
1
n1 1,t 1
Y (1)
nn n,t 1
Y ( p)
n1 1,t p
Y ( p) nn n,t p
nt
8
这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模 型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理 论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分， 每个方程都包含所有的变量；
18
向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ)
f YT ,
,Y1 Y0 ,
(Y , ,Y p1
33
第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票 价格等金融时间序列时，都发现时间序 列模型扰动方差的稳定性比通常认为的 差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称 为波动集聚性（volatility clustering）， 对于研究和控制金融风险等非常有用。
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
24
阶H滞0 ：后一的组高变斯量向数量据自由回p归0 阶生而成不。是p1 p0 H1 ：这组变量数据是由 p1 p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。
f (Y , YT , ,Y1 Y0 , ,Y p1 T , Y1 Y0 , , Y p1 ; θ)
因为 η Φ1Yt1 Φ pYt p 在时期t为常 数，而 εt ~ iidN[0,Ω]，因此
Yt Yt1, Yt2,, Y p1 ~ N[η Φ1Yt1 ΦpYt p ,Ω]
17
1
n1 1,t 1
Y (1)
nn n,t 1
Y ( p)
n1 1,t p
Y ( p) nn n,t p
nt
8
这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模 型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理 论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分， 每个方程都包含所有的变量；
18
向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ)
f YT ,
,Y1 Y0 ,
(Y , ,Y p1
《异方差教学》课件
White检验
基于最小二乘法的残差，通过构造统计量检验异方差的存在 性。该方法适用于多种类型的数据，尤其适用于面板数据。
非参数检验法
Park检验
利用数据中的信息，通过比较不同阶数的自回归模型对数据的拟合效果，判断 是否存在异方差。该方法不需要预设模型形式，较为灵活。
ARCH模型
利用自回归条件异方差模型进行异方差的检验，通过比较不同滞后阶数的模型 拟合效果，判断是否存在异方差。该方法适用于波动性较大的数据。
Box-Cox变换法
总结词
Box-Cox变换法是一种通用的修正异方 差的方法，通过选择适当的λ值进行变换 ，使数据的方差变得相等。
VS
详细描述
Box-Cox变换法是一种灵活的修正异方差 的方法，适用于不同类型的异方差数据。 通过选择适当的λ值进行变换，可以使数 据的方差变得相等，从而消除异方差的影 响。Box-Cox变换法的优点在于能够自动 选择最佳的λ值进行变换，使得数据的同 方差性得到最大程度的保持。在回归模型 中，可以使用Box-Cox变换法来处理因变 量的异方差问题。
PART 03
异方差的修正
对数变换法
总结词
对数变换法是一种常用的修正异方差的方法，通过取对数将异方差转化为同方差 。
详细描述
对数变换法适用于正态分布的异方差数据，通过取自然对数或对数变换，可以使 方差变得相等，从而消除异方差的影响。在回归模型中，可以使用对数变换法来 处理因变量的异方差问题。
平方根变换法
提出相应的解决策略。
PART 06
总结与展望
异方差研究的意义
揭示数据内在规律
异方差研究有助于揭示数据分布的内在规律，为数据分析和预测 提供更准确的模型。
提高统计推断的准确性
基于最小二乘法的残差，通过构造统计量检验异方差的存在 性。该方法适用于多种类型的数据，尤其适用于面板数据。
非参数检验法
Park检验
利用数据中的信息，通过比较不同阶数的自回归模型对数据的拟合效果，判断 是否存在异方差。该方法不需要预设模型形式，较为灵活。
ARCH模型
利用自回归条件异方差模型进行异方差的检验，通过比较不同滞后阶数的模型 拟合效果，判断是否存在异方差。该方法适用于波动性较大的数据。
Box-Cox变换法
总结词
Box-Cox变换法是一种通用的修正异方 差的方法，通过选择适当的λ值进行变换 ，使数据的方差变得相等。
VS
详细描述
Box-Cox变换法是一种灵活的修正异方差 的方法，适用于不同类型的异方差数据。 通过选择适当的λ值进行变换，可以使数 据的方差变得相等，从而消除异方差的影 响。Box-Cox变换法的优点在于能够自动 选择最佳的λ值进行变换，使得数据的同 方差性得到最大程度的保持。在回归模型 中，可以使用Box-Cox变换法来处理因变 量的异方差问题。
PART 03
异方差的修正
对数变换法
总结词
对数变换法是一种常用的修正异方差的方法，通过取对数将异方差转化为同方差 。
详细描述
对数变换法适用于正态分布的异方差数据，通过取自然对数或对数变换，可以使 方差变得相等，从而消除异方差的影响。在回归模型中，可以使用对数变换法来 处理因变量的异方差问题。
平方根变换法
提出相应的解决策略。
PART 06
总结与展望
异方差研究的意义
揭示数据内在规律
异方差研究有助于揭示数据分布的内在规律，为数据分析和预测 提供更准确的模型。
提高统计推断的准确性
条件异方差模型
型来描述数据的波动性。
LM检验
总结词
LM检验（拉格朗日乘数检验）是另一种常用的检验条件异方差性的方法。
详细描述
LM检验基于残差的自回归模型，通过构造拉格朗日乘数统计量来检验残差是否存在条件异方差性。如果LM检验 的P值较小，则说明存在条件异方差性，适合使用条件异方差模型。
AIC准则
总结词
AIC准则（赤池信息准则）是一种用于模型 选择的准则，也可以用于选择适合的条件异 方差模型。
资产定价
资产定价
条件异方差模型可以用于资产定价，帮助投资者确定资 产的合理价格。
投资决策
基于资产定价结果，投资者可以做出更加明智的投资决 策，提高投资收益。
06
条件异方差模型的局限性与
未来发展
数据依赖性
模型的有效性依赖于数据的准确性和 完整性，如果数据存在误差或缺失， 可能导致模型预测结果的不准确。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理 的参数估计方法，通过将模型中的未 知参数视为随机变量，并为其指定一 个先验分布，然后利用观测数据更新 该先验分布，从而得到未知参数的后 验分布。在条件异方差模型中，贝叶 斯估计法可以用来估计模型中的未知 参数。
VS
贝叶斯估计法的优点是灵活且能够处 理不确定性，可以考虑到未知参数的 不确定性，并为其提供一个概率描述。 然而，它对数据和先验分布的要求较 高，且计算复杂度较高，需要借助数 值计算方法进行求解。
TARCH模型
总结词
TARCH模型（门限自回归条件异方差 模型）是条件异方差模型的一种，用 于描述金融时间序列数据的波动性。
详细描述
TARCH模型由Zakoian于1994年提出， 它通过引入门限项来描述波动性的非 对称性。TARCH模型能够较好地拟合 金融时间序列数据的波动性，并预测 未来的波动情况。
LM检验
总结词
LM检验（拉格朗日乘数检验）是另一种常用的检验条件异方差性的方法。
详细描述
LM检验基于残差的自回归模型，通过构造拉格朗日乘数统计量来检验残差是否存在条件异方差性。如果LM检验 的P值较小，则说明存在条件异方差性，适合使用条件异方差模型。
AIC准则
总结词
AIC准则（赤池信息准则）是一种用于模型 选择的准则，也可以用于选择适合的条件异 方差模型。
资产定价
资产定价
条件异方差模型可以用于资产定价，帮助投资者确定资 产的合理价格。
投资决策
基于资产定价结果，投资者可以做出更加明智的投资决 策，提高投资收益。
06
条件异方差模型的局限性与
未来发展
数据依赖性
模型的有效性依赖于数据的准确性和 完整性，如果数据存在误差或缺失， 可能导致模型预测结果的不准确。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理 的参数估计方法，通过将模型中的未 知参数视为随机变量，并为其指定一 个先验分布，然后利用观测数据更新 该先验分布，从而得到未知参数的后 验分布。在条件异方差模型中，贝叶 斯估计法可以用来估计模型中的未知 参数。
VS
贝叶斯估计法的优点是灵活且能够处 理不确定性，可以考虑到未知参数的 不确定性，并为其提供一个概率描述。 然而，它对数据和先验分布的要求较 高，且计算复杂度较高，需要借助数 值计算方法进行求解。
TARCH模型
总结词
TARCH模型（门限自回归条件异方差 模型）是条件异方差模型的一种，用 于描述金融时间序列数据的波动性。
详细描述
TARCH模型由Zakoian于1994年提出， 它通过引入门限项来描述波动性的非 对称性。TARCH模型能够较好地拟合 金融时间序列数据的波动性，并预测 未来的波动情况。
异方差课件
• 注意：应用加权最小二乘法要求异方差的形式是已 知的，事实上这是一个很强的假定，一般情况下模 型的异方差的形式是未知的。
4 异方差的修正方法（WLS）
（2）利用Glejser检验结果确定异方差形式，消除异方差
假设 Glejser 检验结果是
| uˆt | = aˆ0 + aˆ1 xt
说明异方差形式是 Var(ut) = ( aˆ0 + aˆ1 xt)22。用 ( aˆ0 + aˆ1 xt) 除原模型各项，
SSR2 SSR1
•
n1 n2
k k
，k为模型中被估参数个数
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k)
④ 判别规则如下，
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意：
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
2 异方差来源与后果
① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
② 此法只适用于递增型异方差。
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
3 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
4 异方差的修正方法（WLS）
（2）利用Glejser检验结果确定异方差形式，消除异方差
假设 Glejser 检验结果是
| uˆt | = aˆ0 + aˆ1 xt
说明异方差形式是 Var(ut) = ( aˆ0 + aˆ1 xt)22。用 ( aˆ0 + aˆ1 xt) 除原模型各项，
SSR2 SSR1
•
n1 n2
k k
，k为模型中被估参数个数
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k)
④ 判别规则如下，
若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意：
异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回
归型。 7
6
Y 6
4
DJ P Y
5
2
4
0
3
-2
2
-4
1
-6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
2 异方差来源与后果
① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
② 此法只适用于递增型异方差。
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
3 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不
应用时间序列分析(第6版)PPTch7
对数序列时序图
对数序列1阶差分后时序图
异方差变换的普适性和局限性
• 普适性
• 由于很多经济和金融变量都具有方差随着均值递增而递增的特点，所以在实务领域，经 济学家和金融研究人员都会在建模之前先对序列进行对数变换，希望能消除方差非齐。
• 局限性
• 残差序列的方差与原序列均值之间的关系非有各种可能，不一定就是线性递增关系。所 以并不是所有序列都能使用对数变换进行异方差信息提取。
• 集群效应是很多经济和金融序列都具有的波动特征。1963年，Benoit Mandelbrot就 指出: 在金融市场中数据通常比正态分布存在更多异常值，且具有集群效应。
• 集群效应的产生原因，通常认为是经济市场和金融市场的波动易受谣言、政局变动、政府 货币与财政政策变化等诸多因素的影响
• 一旦某个影响因素出现，市场会大幅波动，以消化这个影响，这就出现密集的大幅波 动。
• 在方差齐性的假定下，向前做1期预测，很容易预测出1977年3季度物价指数的 95%的波动范围为
(Pˆt1 1.96 23106 , Pˆt1 1.96 23106 )
波动性分析产生的背景
• 但是Engle以经济学家的经验，认为这个预测的置信区间偏小，与实际情况严重不 符。因为从1974年开始物价指数的平均波动等于
条件异方差模型
07
本章内容
01
异方差的问题
02
方差齐性变换
03
ARCH模型
04
GARCH模型Βιβλιοθήκη 05GARCH衍生模型
方差齐性假定的重要性
• 我们在前面介绍的模型拟合方法（ARIMA模型，因素分解模型）都属于对序列均 值的拟合方法
xˆt1 =E(xt1)
第三讲+条件异方差模型
件方差，方差方程也被称作条件方差方程 。
23
条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得 到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
t2-1 （GARCH项）。
GARCH(1,1) 模型中的 (1,1) 是指阶数为 1 的 GARCH 项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的 第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个 特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预 测方差t2-1的说明。
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；
9
普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中
得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：
19
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶 ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 均值方程：
ˆt cpit 1.088cpit 1 0.13cpit 2 3.098m1rt 1 0.062Rt 2 u
观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群” 现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大， 这说明误差项可能具有条件异方差性。
18
2的自相关（AC）和偏自相关（PAC） 因此计算残差平方û t
系数，结果如下：
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在
时间序列回归中的序列相关与异方差课件
➢序列相关与OLS估计量的性质
❖ 无偏性和一致性
❖ 有效性和统计推断
考虑如下模型：
yt = 0 + 1xt+ ut ， 估计量的方差：
ut=ut-1+ et
||<1
ˆ1 SSTx1
n t 1
xt
(1
xt
ut )
1
SSTx1
n t 1
xt
ut
Var(ˆ1) SSTx2Var(
n t 1
❖ OLS和FGLS的比较
对于平稳的时间序列，考虑如下模型：
yt = 0 + 1xt+ ut
OLS估计量的一致性：
❖Cov(xt, ut)=0
FGLS估计量的一致性：
yt–yt-1 = (1-)0 + 1(xt-xt-1)+(ut-ut-1)
❖保证FGLS估计量具有一致性的条件：
Cov(xt-xt-1, ut-ut-1)=0
广义差分变换
yt 0 1xt ut
1 yt-1 10 11xt-1 1ut-1 2 yt-1 20 21xt-1 2ut-1
yt 1yt-1 2 yt-2 (1 1 - 2 )0 1(xt 1xt-1 2xt-2 ) et， t 3
1和2的估计：
❖ût对ût-1和ût-2回归
为什么uˆ要t 假 定ˆu回ˆt归1 元严格外生？
❖ û取决于估计量
❖ 假定回归元严格外ˆ生0 , ，ˆ1,.用.., ûˆ代k 替u不影响t统计量的渐近分布。
若Var(et |ut-1)不是常数，可使用异方差-稳健t统计量。
第6页，共18页。
❖ 经典假定条件下的DW检验
DW2(1- ˆ) DW检验和基于 ˆ 的t检验：
第9章 条件异方差模型上课讲义
9.5.1 成分GARCH模型介绍
•
此外，在成分GARCH模型的条件方差中，可以包含外生变量 ，外生变量既可以放在长期方程中，也可以放在短期方程 中。
短期方程中的外生变量将对波动产生短期影响，长期方程中 的外生变量将对波动产生长期影响。
非对称成分GARCH模型 •
9.6 多元GARCH模型
随着经济的全球化，很少有国家或地区的金融市场是封闭或孤立的，当 某国出现金融危机后，通常会迅速传导到其它金融市场，多个金融资 产会沿时间方向呈现波动集聚，不同金融资产之间会出现风险交叉传 递。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。
非对称成分garch模型96多元garch模型随着经济的全球化很少有国家或地区的金融市场是封闭或孤立的当某国出现金融危机后通常会迅速传导到其它金融市场多个金融资产会沿时间方向呈现波动集聚不同金融资产之间会出现风险交叉传一元garch模型无法捕捉到这种跨市场的风险传递或波动溢出
第九章 条件异方差模型（ARCH）
9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
9.4.3 EGARCH模型
时间序列条件异方差模型
时间序列条件异方差模型The Time Series Conditional Heteroskedasticity Model, also known as ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) model, is a statistical technique widely used in financial economics to model the time-varying volatility of asset returns. This model captures the phenomenon where the variance of a time series is not constant but depends on its past values. The ARCH model assumes that the variance of the current error term is a function of the squared errors from a fixed number of past periods.时间序列条件异方差模型，也被称为自回归条件异方差（ARCH）模型，是金融经济学中广泛应用的统计技术，用于模拟资产收益的时变波动性。
该模型捕捉了时间序列方差并非恒定，而是依赖于其过去值的现象。
ARCH模型假设当前误差项的方差是过去固定数量时期的平方误差的函数。
The key advantage of the ARCH model lies in its ability to account for clusters of volatility in financial markets. In periods of high volatility, the model predicts larger errors, and conversely, in calm markets, it anticipates smaller errors. This characteristic allows investors and economists to better understand and forecast market risks.ARCH模型的主要优势在于它能够解释金融市场中波动性的集群现象。
异方差模型
从这，我们可以看出 ε t 是高峰和肥尾的。 估计 在 ε t = z t ht 中，若 zt 服从标准的正态分布，则伪似然估计 （Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：
LT = − T 1 T ln 2π − ∑ ln ht2 + zt2 2 2 t =1
2
值，即 E (rt | Ft −1 ) = μ t ，相应地可以定义 rt 的条件方差 ht ：
2
ht ≡ Var (rt | Ft −1 ) = E[(rt − μ t ) 2 | Ft −1 ] = E (ε t | Ft −1 )
2 2
(2)
式(2)是 GARCH 类波动率模型的核心部分，Engle(1982)首先提出了以 AR(q)结构 来对 ht 建模，这就是著名的自回归条件异方差模型(Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity,ARCH)。Engle 定义条件均值的残差序列 {ε t } 为：
无条件方差
E (ε t ) =
2
α0 1 − (α + β )
峰度 如果 1 − (α + β ) 2 − 2α 2 ，则峰度系数 E (ε t4 ) 3[1 − (α + β ) 2 ] == >3 [Var (ε t )]2 1 − (α + β ) 2 − 2α 2 从这，我们可以看出 ε t 是高峰和肥尾的。 估计 在 ε t = z t ht 中，若 zt 服从标准的正态分布，则伪似然估计 （Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：
可以写成为
ε t2 = α 0 + (α + β )ε t −1 2 + ε t2 − ht 2 − β (ε t2−1 − ht2−1 )
条件异方差模型
条件异方差模型介绍条件异方差模型是一种用于建模和分析时间序列数据的统计模型。
在时间序列分析中，我们通常假设序列的方差是恒定的，即服从同方差假设。
然而，在实际应用中，我们经常遇到方差不恒定的情况，这时就需要使用条件异方差模型。
什么是条件异方差条件异方差指的是时间序列数据的方差在不同条件下发生变化。
换句话说，条件异方差模型允许我们在建模过程中考虑方差的非恒定性。
这在金融领域特别常见，因为金融数据通常具有波动性较大的特点。
条件异方差模型的应用条件异方差模型在金融风险管理、投资组合优化、期权定价等领域都有广泛的应用。
通过考虑方差的非恒定性，条件异方差模型能够更准确地捕捉到金融市场的波动性，从而提高模型的预测能力和风险控制能力。
常见的条件异方差模型ARCH模型ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是最早被提出的条件异方差模型之一。
ARCH模型假设序列的方差是过去方差的线性函数，并且具有自回归结构。
ARCH模型的一阶形式可以表示为：2σt2=α0+α1ϵt−12是时间点t-1的残差的平其中，σt2是时间点t的方差，α0和α1是模型的参数，ϵt−1方。
GARCH模型GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是对ARCH模型的拓展，能够更好地捕捉到方差的非恒定性。
GARCH模型引入了条件方差的滞后项，并且具有自回归滑动平均结构。
GARCH模型的一阶形式可以表示为：σt2=α0+∑αipi=1ϵt−i2+∑βjqj=1σt−j2其中，α0,α1,...,αp和β1,β2,...,βq是模型的参数，p和q分别表示条件方差和滞后项的阶数。
EGARCH模型EGARCH（Exponential GARCH）模型是对GARCH模型的改进，能够更好地对称和非对称的影响进行建模。
第12章-时间序列回归中的序列相关和异方差PPT课件
2021
2
12.1 含序列相关误差时OLS性质
n
OLS估计量为： ˆ1 1SSTx1 xtut
序列相关下方差为：
t1
n 1n t
v a rˆ 12/S S T x 22/S S T x 2
jx tx t j
t 1j 1
由此可见，在序列相关下通常的方差估计量
都是var ˆ1 的有偏估计。通常的t-统计量，
对变换后的方程采用OLS估计，由此得出的 估计量为BLUE，因为变换后的方程是序列 无关和同方差，这是GLS的一种形式。
2021
11
12.3 回归元严格外生时序列相关的修正
➢AR（1）模型的可行GLS估计：
（1）作yt xt1,xt2, ,xtk 的OLS回归，求出OLS
残差
ut t1,2, ,n
2021
17
12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断
如果我们坚信解释变量是严格外生的，可使 用FGLS。如果对某些解释变稳健标准误最为有用， 特别是存在滞后因变量的模型。
2021
18
12.6 时间序列回归中的异方差
异方差也可能出现在时间序列模型中，只是 受到的关注不多，因为序列相关问题往往 更亟待解决。
2021
20
此检验方法也可用于其它类型的序列相关
2021
7
12.2 序列相关的检验
➢ 经典假定条件下德宾-沃森检验：
DW
n
uˆ t uˆ t 1 2
t2
n
uˆ
2 t
t 1
与上一部分检验的关系： DW21ˆ
DW检验依赖于全部CLM假定，且其分布取决于自
变量的值（还取决于样本容量、回归元的个数和
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
• 在实际经济问题中，随机扰动项ui往往是异方差 的，
异方差的后果
• 在古典回归模型的假定下，普通最小二乘估计量是线性、 无偏、有效估计量，即在所有无偏估量中，最小二乘估计 量具有最小方差性——它是有效估计量。
• 若线性回归模型存在异方差性，则用传统的最小二乘法估 计模型，就违背了最小二乘法估计的高斯——马尔柯夫假 设，因此，
E[ 0
a2 1 t1
]
0
1
E
(
a
2
t 1
)
因为at是平稳过程，且E(at ) 0.
所以Var(at
)
V ar(at 1 )
E(a2 t 1
).
因此，V
ar(at
)
1
0 1
.
又由于at的方差必须为正，因此要求0 1 1.
在有些应用中，还要求at高阶矩的存在，因此1还要有其他的约束条件。
ARCH(1)模型
差。 • 股票波动率不能被直接观测。这给评价条件异方差
模型的预测表现带来了困难。
理论意义
➢处理那些不相关但是不独立（dependent,相 依）的序列。即序列的相依性是非线性的 。
• 例：资产对数收益率序列及其平方序列/绝 对值序列的ACF。
➢一个时间序列波动率的建模能改进参数估 计的有效性和区间预测的精确度。
行拟和。 4. 对拟和模型进行检验和改进
ARCH效应的检验
记at X t t为均值方程的残差。
用平方序列a2来检验条件异方差性，即ARCH效应。 t 1. 残差平方的Ljung-Box检验 2. 检验统计量ARCH LM检验
方法1：残差平方的Ljung-Box检验
对残差平方序列{at2}进行Ljung - Box检验 (Mcleod and Li1983). H0 :{at2}序列前m个间隔的ACF都为0。
① 得到的参数估计量不是有效估计量，甚至也不是渐近有 效的估计量；
② 此时也无法对模型参数Βιβλιοθήκη 行有关显著性检验（t检验失去 作用）；
③ 模型的预测作用遭到破坏。
异方差的类型
• 异方差一般可归结为三种类型：
• (1）单调递增型：随X的增大而增大，即在X 与Y的散点图中，表现为随着X值的增大Y值 的波动越来越大
at
t
是一列iid的随机变量序列。
因此，
我们用a~t的Ljung Box检验来验证均值方程的充分性。 用a~2的Ljung Box检验来验证波动率方程的正确性。
t
预测
GARCH
• Bollerslev(1986)扩展了Engle（1982）的原始模 型，引入了一种允许条件方差转化为一个 ARMA过程的方法。
0 0.对i 0,i 0.
系数
必须满足一些正则性条件以
i
保证at的无条件方差有限。
ARCH模型的其他形式
• ARCH(q)模型结构
t
ht et
ht
q
j
2 t
j
j 1
et ~ WN (0,1)
。
• 假定
t ht ~ WN(0,1)
• 原理
– 通过构造残差平方序列 的自回归模型来拟合异 方差函数
Fitted
GRACH类模型的扩展
• 自从GARCH模型提出以来，就出现了非常多的模
型加以扩展和变化。这些扩展模型大多数是对 GARCH有关条件的改变，从而产生了不同的条件 异方差的表达方式，因而产生了不同的GARCH类 扩展模型。
但不是有效的。
当样本容量小的时候，at2的PACF可能不是有效的。
思考
• 这个结论有什么用？
参数估计
• 条件极大似然 • 拟极大似然 • ……
• 其他分布情况，计算类似。
• 教材P93 3.4.3 “ARCH模型的建立”中有详细描述 。
模型的检验
对一个正确拟和的ARCH模型，标准化的残差
a~t
• 在GARCH模型中，要考虑两个不同的假设：一个是条 件均值；一个是条件方差。
GARCH(m,s)模型的具体形式
at tt
m
s
2
t
0
a 2 i ti
2 j t j
i 1
j 1
（*）
其中 t的均值为0，方差为1，iid，
m ax(m,s)
0 0,i 0, j 0, (i i ) 1 i 1
F (SSR0 SSR1) / m 渐近服从 2 (m)分布。
SSR1 /(T 2m 1)
条件异方差模型
• ARCH模型 • GARCH模型 • GARCH模型的变体
– EGARCH模型 – IGARCH模型 – GARCH-M模型 – AR-GARCH模型 – ……
背景
• ARCH模型（autoregessive conditonally heteroscedastic，ARCH），即自回归条件异方差模 型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模 型。
• 如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同 的方差，则称线性回归模型存在异方差性。
异方差的定义
• 回归模型的随机扰动项ui在不同的观测值中的方差 不等于一个常数，即Var(ui)= 常数（i=1，2，…，n ），或者Var（ ui ）不等于 Var（ uj ）（I, j=1，2， …，n），这时我们就称随机扰动项ui具有异方差 性（Heteroskedasticity）。
0,i 0, j 0
• 参数有界
p
q
i j 1
i 1
j 1
定义t
at2
2 t
,即
2 t
at2
。
t
把
2 t i
a2 t i
t-i (i
0,
, s)代入(*)式，
于是GARCH模型变成
m ax(m,s)
s
at2 0
(i i )at2i t jt j ,
i 1
j 1
可以验证{t}是一个鞅差序列（即：Et 0，Cov(t ,t-j) 0）.
第八章 条件异方差模型
1. 异方差 2. 条件异方差 3. 条件异方差的检验
1.异方差
• 异方差性（heteroscedasticity ）是相对于同方差而 言的。
• 为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质， 经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函 数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相 同的方差。
方差齐性变换
• 使用场合
– 序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有
某种函数关系
2 t
h(t )
其中：h() 是某个已知函数
• 处理思路
– 尝试寻找一个转换函数g() ，使得经转换后的变量满足
方差齐性
Var[g(xt )] 2
2.条件异方差
实际意义
➢ 主要解决时间序列波动率的建模方法问题。 ➢ 期权交易中，波动率是标的资产收益率的条件标准
这里，对i m,i 0;对j s，i 0。
系数i
必须满足
i
一些正则性条件以保证at的无条件方差有限，
同时它的条件方差是随时间变化的。
GARCH 模型的其他形式
• 模型结构
t
ht et
ht
p
ihti
q
j
2 t
j
i 1
j 1
et ~ WN (0,1)
GARCH模型的约束条件