武汉大学2014年线性代数真题解答
2014级线代试题及解答
线性代数期末试题一、填空题 （每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（ ）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）（A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关 （C ）1α可由βαα,,32线性表示 （D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、（10分） 已知2AB A B =+， 其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明： 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数 解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。
2014年10月04184自学考试线性代数试题(卷)与答案
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
2014年10月自考《线性代数》考前题库和答案
《线性代数》复习题一、 填空题：1、行列式D =111213212223313233a a a a a a a a a 的转置行列式T D = 。
2、若()ij n n A a ⨯=为n 阶矩阵，当满足 时，A 为对称矩阵。
3、A,B 是同阶可逆矩阵，则(AB)-1= 。
4、设向量组1125α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2321α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，331017α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，42001089α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则向量组1234,,,αααα线性__________（填线性相关或线性无关）。
5、二次型222123123121323(,,)25226f x x x x x x x x x x x x =+++++的二次型矩阵为 。
6、 若行列式13150022x -=-，则x =________________。
7、 设A=1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的逆矩阵1A - =________________。
8、 设1(100)T ε=，2(010)T ε=，2(001)T ε=，则向量组123,,εεε线性__________（填线性相关或线性无关）。
9、设(110)α=，(030)β=，(120)η=，则324αβη+-=__________。
10、设阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的所有特征值为111,,234，则行列式B =_______。
11、设A 为3阶方阵，A =2，则4A =________________。
12、A *是A 的伴随矩阵，且A 可逆，则（A *）-1=________________。
13、 1 2 30 3 -2 0 6 A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当t =________________时，()2R A =。
14、A 是n 阶矩阵，实数λ是A 的一个特征值，则m A （m 为正整数）的一个特征值为 。
15、设矩阵 1 2 22 1 -2 -2 -2 1A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值为-1,1,3，则矩阵A 的一个相似对角矩阵为 。
历年2014-2009全国自考线性代数试题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.122．计算行列式=----32320200051020203（ ）A.-180 B.-120C.120 D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2014线性代数A卷答案
20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。
8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。
2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准
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2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。
2014年武汉大学线性代数考研真题
武汉大学2014年线性代数试题一．已知矩阵1200130000020010A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，且*111[()]2122A BA AB E −−=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵B .二．求下面1n +阶行列式的值：01211232234112211n n n nnn n n s s s s s s s s x D s s s s x s s s s x −+++−="""#####"，其中12kkkk n s x x x =+++"，0,1,2,k =".三．设向量组12,,,s βββ"可由向量组121,,,,s s αααα+"表示为1,(1,2,,)i i i s t i s βαα+=+=".已知向量10s α+≠.试证明：如果对任意一组实数12,,,s t t t "向量组12,,,s βββ"线性无关，那么11,,,s s ααα+"必线性无关.四．证明：在线性空间定义中，第(3)，(4)两条公理，即(3) 在V 中存在零元素0，即对所有的V α∈，都有00ααα+=+=； (4) 对所有的V α∈，都存在负元素V β∈，使得0αββα+=+=， 可换成等价条件：对V 中任意两个元素,αβ，一定存在x V ∈，使得x αβ+=.五．设()n sl F 是()n M F 中由元素AB BA −生成的子空间，其中,()n A B M F ∈. 证明:2dim(())1n sl F n =−.六．设V ，V ′分别是数域K 上的n 维，m 维线性空间，把由V 到V ′的所有线性映射构成的集合记为Hom (,)K V V ′.(1) 证明：Hom (,)K V V ′构成数域K 上的线性空间； (2) 证明：Hom (,)K V V ′的维数是mn ．七．设方阵01210101n n c c F c c −−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠%%%#%， (1) 求F 的的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ； (2) 求与方阵F 可交换的方阵全体．八．设ϕ是n 维复线性空间V 的线性变换，0λ是ϕ的特征值，0m 是0λ在ϕ的最小多项式中的重数. 证明：1000min{|ker()ker()}k k km k Z λεϕλεϕ++=∈−=−，其中ε为V 的恒同变换，而ker()ϕ表示线性变换ϕ的核空间.九．设V 是数域K 上的n 维线性空间，(,)f αβ是V 上的非退化双线性函数.证明：对任何*g V ∈，存在惟一的V α∈，使得()(,),g f V βαββ=∀∈．十．设ϕ是欧氏空间V 的正交变换，且mϕε=(恒等变换)，这里1m >.记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=.并设W ϕ⊥为W ϕ的正交补. 证明：对任意V α∈，如果有分解αβγ=+，其中W ϕβ∈，W ϕγ⊥∈，那么必有111=()m i i m βϕα−=∑.。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔理科〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii 〔 〕 A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】此题考查复数的运算，容易题。
2. 假设二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a 〔 〕 A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-aC ，解得42=a ，故选D 。
【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，假设C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；假设∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则〔 〕A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】此题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如下图的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0,0,2〕，〔2,2,0〕，〔1,2，1〕，〔2,2,2〕，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
线性代数期末试题(武汉大学)附答案
《线性代数》 （A 卷，工科54学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分) 已知1234567891011121010*******11000011001011A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，，求行列式T AA 及秩()r B 。
二、(15分) 已知矩阵方程11)2(--=-CA B C E T，求矩阵A .其中1232120*********,.0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、（15分）已知向量组123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，1）求a λ，；2）求方程组Ax b =的通解.五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]TTA E αααα=-，1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数；2）计算2A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；3）给出2TE αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。
六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵, C 为n 阶可逆矩阵,令=TB C AC ，证明以下命题:1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
历年2014-2009全国自考线性代数试题及答案
全国 2010 年 7 月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置矩阵； A * 表示 A 的陪伴矩阵； R(A)表示矩阵 A 的秩； |A|表示 A 的行列式； E 表示单位矩阵。
1.设 3 阶方阵 A=[ α 1， α 2， α 3] ，此中 α i (i= 1,2,3) 为 A 的列向量， 若 |B |=|[α 1 +2α 2， α 2， α 3]|=6 ，则 |A|=（）A.-12B.-6C.6D.123 0 2 02．计算队列式2 105 0 ）D.1800 02 （2 3233．设 A= 12，则 |2A *|=（）D.83 44.设 α 1，α 2 ，α 3， α 4 都是 3 维向量，则必有A. α ， α ， α ， α 线性没关B. α ，α ， α ， α 线性有关12341 2 34C. α 1 可由 α 2，α 3 ， α 4 线性表示D. α 1 不行由 α 2 ，α 3， α 4 线性表示 5．若 6．设7．设8．若A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组Ax=0 的基础解系中解向量的个数为2，则 R(A)=（ ） A ． 2A 、B 为同阶矩阵，且 R(A )=R(B)，则（ ） A ． A 与 B 相像 B ． |A |=|B |C ． A 与 B 等价A 为 3 阶方阵，其特点值分别为 2，l ，0 则 |A +2E |=（ ） A ． 0B ． 2C ． 3D ． 24 A 、 B 相像，则以下说法错误 的是（ ）A ．A 与 B 等价 B ． A 与 B 合同 C ．|A |=|B | D ．A 与．．B 3C ． 4D ．5D ．A 与 B 合同B 有同样特点9．若向量 α =(1， -2，1) 与β = (2 ， 3， t)正交，则 t=（ ）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设 3 阶实对称矩阵 A 的特点值分别为 2， l ， 0，则（）A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题 (本大题共 10 小题 ,每题 2 分，共 20 分 )请在每题的空格中填上正确答案。
2014春季线性代数试卷 参考答案 定稿
解： 把1 ,2 ,3 ,4 按列排成矩阵并进行初等行变换把矩阵化为行阶梯型矩阵：
本题 得分
1 0 2 1
1 0 2 1
1
2
0
1
r2 r1
0
2
2
0
A (1 ,2 ,3 ,4 ) 2
2
1 5
3 1
0 4
r4 r3 r3 2r1 r5 r1
0 0
1 4
1 2 ………… 2 分
…………………………… 2 分
山
大 学
A 的全部特征值为 1 2 1 , 3 5 …………………………… 4 分
试
卷
当 1 2 1时，求出齐次线性方程组 (E A) X 0 的基础解系：
2 2 2
1 1 1
1 1
(E
A)
2 2
2 2
2 2
r
0 0
0 0
0 0
，基础解系为 1
10
分）设
A
2
1
2
，（1）试求
A
的特征值和特征向量；（2）利
2 2 1
用（1）的结果，求矩阵 E A1 的特征值，其中 E 为 3 阶单位矩阵。
本题
1 2 2
得分
解：（1）特征多项式为 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
燕
从而特征方程为 ( 1)2 ( 5) 0
共
x11 x2 (1 2 ) x3(1 2 3) 0 ……………… 2 分
本题 得分
页 整理得 ( x1 x2 x3)1 (x2 x3)2 x33 0 ……………… 3 分
第
由于 1
,2
,3
2014年4月全国自考线性代数(经管类)试题及答案(3)
绝密★考试结束前全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示 单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式11122122a a a a =3，则行列式111211212221a 2a 5a a 2a 5a ++= CA ．-15B ．-62．设A ，B 为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A )=3，则r(B)= A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4设A 为s×m 矩阵，B 为m×n 矩阵，则r（AB）≥r（A）+r（B）-m 。
本题 0≥3+r（B）-4 则r（B）≤1 ，又因为A 为非零矩阵，所以r（B）≥1 所以 r（B）=13．设向量组=(1，0，0)T ，=(0，1，0)T ，则下列向量中可由1α2α1α，2α线性表出的是 B A ．(0，-1，2)T B ．(-1，2，0)T C ．(-1，0，2)T D ．(1，2，-1)T设β由，α线性表出，则β=k 1α1+k 2α2=（k 1，k 2,0）Tα4．设A 为3阶矩阵，且r(A )=2，若1α，2α为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。
k 为任意常数，则方程组Ax=0的通解为 D A ．k B ．k 1α2αC ．1k2α+αD ．12k2α-α P112 定理4.1Ax=0的基础解系包含1个解向量。
2014武大高等代数真题
武汉大学２０１４年线性代数真题一．由1200130000020010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且11[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-=，其中12k k k k n s x x x =++.三．有121,,,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，则121,,,s ααα+必定线性无关.四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=；(4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明2dim(())1n sl F n =-.六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间；(2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．七．已知0132101010101n n n c c F c c c ----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭， （１）求F 的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ；（２）求所有与F 可交换的矩阵．八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1000min{|ker()ker()}k k k m k N λεϕλεϕ++=∈-=-．九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得(,)(),f g V αβββ=∀∈．十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=， W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥=+∈∈其中，证明111=()m i i m βϕα-=∑.。
线性代数2014-2015-2-线性代数A卷答案
2014-2015-2线性代数A 卷答案及评分标准—————————————————————————————一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设D C B A ,,,是同阶方阵，E ABCD =，则（B）（A ）E ABDC =（B ）E CDAB =（C ）E ACBD =（D ）EBACD =2.设向量组I ：321,,ααα可由向量组II ：21,ββ线性表示，则（C ）（A ）向量组II 必线性相关（B ）向量组II 必线性无关（C ）向量组I 必线性相关（D ）向量组I 必线性无关3.设A 是n (3≥n )阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（C ）（A ）A A A n 1**||)(-=（B ）A A A n 1**||)(+=（C ）A A A n 2**||)(-=(D)A A A n 2**||)(+=4.设A 是n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,αα是非齐次方程b Ax =的两个不同的解，则b Ax =的通解是（A ）（A ）121)(ααα+-k （B ）21αα+k （C ）121)(ααα++k （D ）221)(ααα--k 5.设A 是n 阶矩阵，P 是n 阶正交矩阵，且AP P B T =，则下列结论错误的是（D ）（A ）A 与B 相似（B ）A 与B 等价（C ）A 与B 有相同的特征值（D ）A 与B 有相同的特征向量二、填空题（每小题3分，共15分）6．设三阶方阵A 的三个特征值是1,1,2，则=--|6)2(|1*A A 4.7.设矩阵A 满足E A =3，则1)(-+E A =_____22E A A +-____.8.设三阶矩阵),,(321ααα=A ，且1||=A ，则|),,(|13321ααααα-+=____1___.9.已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 1 31 42 2 1a 的列向量组线性相关，则a =_____1-___.10.设21,λλ是实对称阵A 的两个不同的特征值，T 2T 1),2,1(,)1,1,1(a ==ξξ为对应的特征向量，则a =___3-______.三、判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分）11.若矩阵AB 是可逆矩阵,则矩阵B A ,均是可逆矩阵（√）.12.若n 阶行列式中元素为0的个数大于n n -2，则此行列式必为0（√）.13.若同阶矩阵B A ,均是正交矩阵，则矩阵AB 必为正交矩阵（√）.14.若向量组321,,ααα线性相关，则向量组133322211 , ,ααβααβααβ+=+=+=无关（×）.15.若A 是23⨯矩阵，且非齐次方程组b Ax =对应齐次方程组0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解（×）四、计算题（每小题10分，共50分）16．求行列式 a ba a ab a a a a a b aa b a D =的值.解；原行列式把第二行，第三行，第四行均加到第一行得a b a a a b a a a a a b a a b a D ==ba a a ab a a a a b a ba b a b a b a ++++3333-------------------5分 b a a a a b a a a a a b b a 1111)3(+==3))(3( 0000000 001111)3(a b b a ab a b a b b a -+=---+---10分17.利用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5 2 30 1 21 0 1A 的逆矩阵.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1 0 0 5 2 30 1 0 0 1 20 0 1 1 0 1),(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1 0 0 5 2 30 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~12r r ---4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1 0 3 2 2 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 13~13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1 2 7 2 0 00 1 2 2 1 00 0 1 1 0 12~23r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1 2 7 2 0 01 1 5 0 1 00 0 1 1 0 1~32r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----÷1/2 1 7/2 1 0 01 1 5 0 1 01/2 1 5/2 0 0 12~313r r r 所以A 的逆矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1/2 1 7/2 1 1 5 1/2 1 5/2 .---------------------------------10分18．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解.解：两个方程组有公共解即合起来的大方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++12040203213221321321a x x x x a x x ax x x x x x 有解,即),()(b A R A R =.---------------------------------------------------------------------------3分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112104102101112 a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11000)2)(1(0001100111~ a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)2)(1(0001 10001100111~a a a a a 当1=a 或2=a 时有公共解.----------------------------------------------------------------6分（1）当1=a 时，,2),()(==b A R A R 对应的方程组的通解为Rk k x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1 0 1（2）当2=a 时，,3),()(==b A R A R 对应的方程组的唯一解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1 0x .---10分19.求向量组T 3T 2T 1)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(-==-=ααα，T 4)2,2,4(-=α的秩，并求出一个极大无关组.解：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA 施加初等行变换，化成行阶梯型得----3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2 7 1 32 6 0 24 9 3 1),,,(4321ααααA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0 0 0 0 1 2 1 04 9 3 1~10 20 10 0 6 12 6 04 9 3 1~所以向量组的秩为2.------------------------------------------------------------------------------7分又因为任意两个向量都是线性无关的，所以我们可以选取21,αα为一个极大无关组.--------------------------------------------------------------------------10分20.设三阶实对称阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值.若,)0,1,1(T 1=αT 2)1,1,2( =α都是A 的属于6的特征向量.(1)求A 的另一个特征值及所有对应特征向量（2）求矩阵A .解：(1)因为三阶实对称阵A 的秩为2，所以332136||0λλλλ===A ，所以03=λ.----2分不妨设对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213x x x α，则由于属于不同特征值的特征向量正交，所以⎩⎨⎧=++=+02032121x x x x x ，其非零解是0,111≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x --------------------------------5分（2）取,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 1 1 01 1 11 2 1,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0 6 63211 λ λλAP P 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 1/3 1/3 1/32/3 1/3 1/31 1 00 6 6 1 1 01 1 11 2 10 6 61P P A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4 2 22 4 22 2 4.------10分五、证明题（每小题5分，共10分）21.已知A 为n 阶矩阵，且A A =2，证明.)()(n E A R A R =-+证明：令E A B -=，所以0=AB 从而n E A R A R ≤-+)()(--------------------------3分又因为)()())((B R A R B A R +≤-+，从而)()()(E A R A R E R n -+≤=.因此.)()(n E A R A R =-+------------------------------------------------------------5分22.已知矩阵B A B A +,,均是可逆矩阵，证明矩阵11--+B A 必可逆.证明：因为1111111111)(----------+=+=+=+B A B A AB A BB A EB E A B A --------------4分所以矩阵11--+B A 必可逆.--------------------------------------------------------------5分。
2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证： 设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期 《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓 学 名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日
全国2014年10月高等教育自学线性代数(02198)试题与详细答案
2014 年 10 月 线性代数（经管类）
f x
因此
2 x 1 3 1
2 x 1 1 3 2 x 3 5 x 0
x 5.
7. 设矩阵 A
0 1 * ，则 A 2 0
.
解答：（根据伴随矩阵的公式）由于 A
a11 a21
a12 a22
m ，则
B． m
a21 a21 2a11
a22 a22 2a12
D． 2m
C． m
解答：使用行列式的性质。因为
a21 a21 2a11
所以选 A.
a22 a22 2a12
r2 r1
a21 2a11
a22 2a12
2
a11 a21
a12 a22
非选择题部分
注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 6. 设 f x
2 x 1 3 1
，则方程 f x 0 的根是
.
解答：Hale Waihona Puke 使用 2 阶行列式的计算公式）由于
2 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
T
10. 设 3 维向量 1,0,2 ， 1,1,4 ， 若向量 满足 2 3 ， 则 解答：（根据向量的四则运算进行计算）由于 2 3 ，因此
解答：由于向量组 1 , 2 , 3 的秩为 2，即 r 1 , 2 , 3 2 3 ，因此向量组 1 , 2 , 3 线性 相关。根据线性相关的定义可知：存在一个向量可由其余向量线性表出，因此选 C.
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武汉大学２０１４年线性代数真题解答
一．由
1200
1300
0002
0010
A
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
-
⎝⎭
，且1
1
[()*]
612
2
A BA A
B E
-=+，求B. 二．计算
011
12
121
1
n
n
n
n n n
s s s
s s s x
D
s s s x
-
+-
=，其中
12
k k k
k n
s x x x
=++.
三．有121,,,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，
则121,,
,s ααα+必定线性无关.
四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即
(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.
证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.
五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明
2dim(())1n sl F n =-
.
六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．
七．已知0132101010
101n n n c c F c c c ----⎛⎫
⎪- ⎪
⎪=
⎪-
⎪ ⎪
- ⎪
⎪-⎝⎭
， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ； （２）求所有与F 可交换的矩阵．
八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1
000min{|ker()ker()
}k
k k
m k N λεϕλεϕ+
+=∈-=-．
九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得
(,)(),f g V αβββ=∀∈．
十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m
m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=，
W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥
=+∈∈其中，证明
1
1
1=()m i i m βϕα-=∑.。