电子科技大学随机信号分析期末考试题

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷

课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。

一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1.

设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，

[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0

2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e

3.

若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。

4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。

5.

窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。

6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。

7.

设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

二、计算题（共80分）

1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求：

1) a ;

2) X 特征函数；

3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。

解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分）

11

00

1

1

1(,)124

XY f x y dxdy Axydxdy

A xdx ydy A

∞∞

-∞-∞=

===⎰⎰

⎰⎰⎰⎰（分）

所以4A = （1分）

X 的边缘概率密度函数：

1

()4201X f x xydy x x ==≤≤⎰ （2分）

所以特征函数

1

1

02

()2()2122

12j X

X j x X j x j x j x j j E e f x e dx

xe dx

e xe j j e j e ωωωωωωωφωωωωω

∞

-∞⎡⎤=⎣⎦

==⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=

--⎣⎦⎰

⎰（分）

（分）（分）

容易得1

()4201Y f y xydx y y ==≤≤⎰

则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = （2分） 因此X 和Y 是统计独立。 （2分）

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞，其中x 在(]0,2π均匀分布，求： 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+； 2) 判断是否广义平稳； 解：

[]()20220()()(2)

1(1)211(2)22X xt

t xt

m t E X t e dx e e t t π

π

ππ

ππ---==-==-⎰

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分 []2()

2(2)2(2)0(,)()()(2)

1(1)211(2)2(2)(2)2X xt x t t x t R t t E X t X t e e dx e e t t πτπ

τπτττπ

πττπ

--+-+-++=+=-==-++⎰

L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分

因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化，所以不是广义平稳；(2)L L L L 分

3. (12分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：()()t

t T

Y t X u du -=⎰

其中T 为积分时间常数，如

输入随机过程()X t 是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为()X S ω，求()Y t 的功率谱和自相关函数

解：很显然，()Y t 是平稳随机过程，故有：

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

[]

()

()()()()()()(1)

()(1)

1()(1)21()(12Y t t t T t T t

t X t T t T t

t j v u x t T

t T t

t j v u x t T

t T

R E Y t Y t E X u du X v dv R v u dvdu e

S d dvdu S e dvdud τ

ττ

ττ

ωττ

ωτττωωπ

ωωπ+-+-+-+-∞

+--+--∞∞

+--+--∞=+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

=-==⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰

L L L L L L L

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分分2

)

12(1(cos ))

()

(2)

2j x T e S d ωτ

ωωωπ

ω∞

-∞

-=⎰L L L L L L 分

2

()22

()()(1)

12(1cos )

()

(1)

22(1cos )1

()(1)

22(1cos )

()

()(1)2(1cos(()j Y Y j j x

j x x x S e R d T e

S

e d d T S e d d T S d S ωτωτ

βτωβτωττβββτπ

β

ββτβπβββδωβββω∞

--∞∞

∞

--∞-∞

∞

∞

---∞

-∞∞

-∞

=-=-=-=

--=⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分分2

22

))

(2)

sin (2)

4()

x T T S ωωωωω=L L L L L L L L L L L L L 分或者

4. (16分)已知零均值的窄带高斯随机过程

00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，其中0100ωπ=，且已知

()X t 的功率谱如图所示，求：

1) 自相关函数()a R τ和()b R τ； 2) ()a t 和()b t 的一维联合概率密度； 解：

因为()X t 是零均值的高斯随机过程，因此有： (2分)

00()()

10()()0

x x a b S S S S ωωωωωπ

ωω⎧-++≤⎪==⎨

⎪⎩其它

(2分)