高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
新课标高二数学选修22导数单元测试题有答案
新课标选修2-2高二数学理导数测试题一．选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）（2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A ．18 B ．41 C ．21D ．1 (4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0（6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ）A ．12B ． -1C ．0D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ）A 、0B 、1002C 、200D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23二．填空题（1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 。
（2）．设 f ( x ) = x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .（3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞2．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞3．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B 3C 3D ．r8．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃9．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．1212．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（ ） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln2+ D ．ln21-二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.15．已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值范围是_____.16．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .17．函数()()21xf x x =-的最小值是______.18．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．19．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 20．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；22．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．2．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x=-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减， ∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-， 故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由xy e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线， 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立， 即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.7．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=，得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.8．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.9．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解， 即y k =和()2ln xg x x=有两个交点， 又由()312ln xg x x-'=， 令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点， 则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论.【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ， ()212120-'∴=-=>x y x x x x， 令0y '<，0x，02∴<<x，函数在2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调减函数； 令0y '>，0x，∴>x，函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m > 【分析】 转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()x y f x x e x =-=-，10x y e '=->，所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m >【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x'-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()6sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】通过求导得出分段函数各段上的单调性从而画出图像若要方程f （x ）﹣m=0恰有两个实根只需y=m 与y=f （x ）恰有两个交点即可从而得出的取值范围【详解】（1）x≤0时f′（x ）=ex ﹣x ﹣1易知解析：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值范围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0，所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增， 且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnx f x x-=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ； 故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的范围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.16．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ， 因为302x AE AH -== cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ， 所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.17．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14- 【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf xx=-，故可得()()311xf xx---'=，令()0f x'=，解得1x=-；故当(),1x∈-∞-时，()f x单调递减；当()1,1x∈-时，()f x单调递增；当()1,x∈+∞时，()f x单调递减.且()114f-=-，当x趋近于1时()f x趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，()f x趋近于零.函数图像如下所示：故()f x的最小值为14-.故答案为：14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.18．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln,0()log,0xxf x xx x+⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x >时，2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →； 作出函数21ln ,0()log ,0x x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<； 故答案为：1(0,)2.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.19．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x +=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】 ()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-． ∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==- 当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <， ∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.20．【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为：【点睛】本题考查利用导 解析：18a ≥ 【分析】依题意可得()210a f x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210a f x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x = 所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题. 三、解答题21．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞.【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a h x x x x x+'=+=>， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>； ()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-， 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a t x x x '=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，()2max 21x x-+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】 关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）若c<3102，则当v ＝3102时，总用氧量最少；若c≥3102，则当v ＝c 时，总用氧量最少．【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<3102时，函数单调递减；当v>3102时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度． 【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)，返回水面用时＝ (单位时间)，用氧量为×1．5＝ (升)， 因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>． (2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>， ∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝32当0<v<3102y′<0，函数单调递减；当v>32y′>0，函数单调递增．①若c<32 ，则函数在(c ，32上单调递减，在(310215)上单调递增， ∴ 当v ＝32②若c≥32，则y 在[c ，15]上单调递增，∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少．【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．（2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<， 因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根， 由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=， ∵120x x <<，∴1201x x <<<， 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+- 2112114ln x x x =-+， 设221()4ln g x x x x =-+（112x <<）， 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x ---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数， 又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-， 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高二数学选修2-2导数及其应用试题
高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题一选择题1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52C ．51D ．533．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）．A ．]21,21[2πeB ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+C ．26π+D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
2
（1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 极小值；（ 2）试讨论曲线 y
f (x) 与 x 轴公共点的个数。
为 1 ，则 a _________ 。 6
2
39．已知 x 1 是函数 f ( x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点， 其中 m,n R, m 0 ，
（ I ）求 m 与 n 的关系式；
A、（2，3） B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
24、方程 6x 5-15x 4+10x3+1=0 的实数解的集合中 ( )
D、（- ∞， 3）
A、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素
二．填空题
25．垂直于直线 2x+6y＋1=0 且与曲线 y = x 3＋ 3x－5 相切的直线方程是
A、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值
D、无法确定极值情况
18.f(x)=ax 3+3x2+2， f ’ (-1)=4 ，则 a=( )
A、 10 B 、 13
3
3
C 、 16
3
D
、 19
3
19. 过抛物线 y=x2 上的点 M（ 1 , 1 ）的切线的倾斜角是 (
)
24
A、300
B 、450 C 、600
解得
x1 1 2 , x2 1 2.
当 x 1 2,或 x 1 2时 , f (x) 0; 当
1 2 x 1 2时, f (x) 0. 故 f ( x) x 3 3x 2 3x 2在 ( ,1 2) 内 是 增 函 数 ， 在
因 f ( x0 )
3( x02 1) ，故切线的方程为 y
高中数学选修2-2导数及其应用单元检测
选修2-2导数及其应用单元检测题一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.若函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)2.设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. [−32e ,1) B. [−32e,34) C. [32e,34) D. [32e,1)3.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)+1>0，f(3)=−ln3，则不等式f(e x)+x>0的解集为()A. (e3,+∞)B. (0,e3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e3)4.函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为()A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D. y=12x+126.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.7.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]8.函数y=2x2−e|x|在[−2,2]的图象大致为()A. B.C. D.9.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）10.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．11.设函数f(x)=e xx+a ，若f′(1)=e4，则a=______．12.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）13.已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．14.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)≥1216.已知函数f(x)=2ln x+1．(1)若f(x)⩽2x+c，求c的取值范围;(2)设a>0，讨论函数g(x)=f(x)−f(a)的单调性．x−a17.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)⩾1218.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．19.设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．21.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．【解答】，解：f′(x)=k−1x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1在区间(1,+∞)上恒成立，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x<1，∴0<1x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1≥−a−a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g(x)=e x (2x −1)，y =ax −a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g(x 0)在直线y =ax −a 的下方，∵g′(x)=e x (2x −1)+2e x =e x (2x +1)，∴当x <−12时，g′(x)<0，当x >−12时，g′(x)>0，∴当x =−12时，g(x)取最小值−2e −12，当x =0时，g(0)=−1，当x =1时，g(1)=e >0，直线y =ax −a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故−a >g(0)=−1且g(−1)=−3e −1≥−a −a ，解得32e ≤a <1，故选D ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)+lnx ，在(0,+∞)上可得g ′(x)=xf ′(x)+1x >0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(3)=f(3)+ln3=0，进而得出解集．【解答】解：令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞)．∵在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)+1>0，∴g ′(x)=f ′(x)+1x =xf ′(x)+1x >0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∵g(3)=f(3)+ln3=0，而不等式f(e x)+x>0⇔g(e x)>g(3)，所以e x>3，即x>ln3．∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln3,+∞)．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，∴f′(1)=4−6=−2，又f(1)=1−2=−1，∴函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，即y=−2x+1．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据直线l与圆x2+y2=15相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y=√x求一解可得答案．【解答】解：直线l与圆x2+y2=15相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径√55，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y=2x+1与y=√x联立可得：2x−√x+1=0，此时：无解；对于D选项：y=12x+12与y=√x联立可得：12x−√x+12=0，此时解得x=1；∴直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，方程为y=12x+12，故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数图象的应用，属于基础题．根据导函数f′(x)图象，即可判断函数f(x)的单调性，结合函数的极值，利用排除法，即可求得函数y=f(x)的图象．【解答】解：当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y=f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个极值点在x轴上的右侧，排除B．故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】此题考查利用导数研究函数的切线斜率，及由正切函数的图象研究斜率与倾斜角的关系，属于基础题．由导数确定，再由正切函数的图象易得．【解答】解：因为y′=3x2−1≥−1，所以切线的斜率tanα≥−1，又α∈[0,π),由正切函数的图象知：α∈[0,π2)∪[3π4,π)．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，定义域为R，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|=f(x)，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，故排除A，B；当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，f′(x)=4x−e x，∵f′(0)<0，f′(2)>0，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C，故选D.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b=0，y=f(x)−ax−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，y′=x2−(a+1)x，当a+1≤0，即a≤−1时，y′≥0，y=f(x)−ax−b在[0,+∞)上递增，y=f(x)−ax−b最多一个零点，不合题意；当a+1>0，即a>−1时，令y′>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y′<0得x∈[0,a+1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，所以函数y=f(x)−ax−b在(−∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b1−a <0且{−b>013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b<0,解得b<0，1−a>0，b>−16(a+1)3，∴−16(a+1)3<b<0，−1<a<1，故选：C．10.【答案】4√15cm3【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力、空间想象能力，是较难题．由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√25−10x，求出棱锥体积表达式，利用导数能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√DG2−OG2=√25−10x+x2−x2=√25−10x，S△ABC=12×√32×(2√3x)2=3√3x2，则V=13S△ABC×ℎ=√3x2×√25−10x =√3⋅√25x4−10x5，令f(x)=25x4−10x5，x∈(0,52)，则f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)≥0，解得0<x≤2，则f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,52)单调递减，则f(x)≤f(2)=80，∴V≤√3×√80=4√15cm3，∴体积最大值为4√15cm3．故答案为：4√15cm3．11.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)=e xx+a ，∴f′(x)=(x+a−1)⋅ex(x+a)2，若f′(1)=ae(a+1)2=e4，∴a(a+1)2=14，则a=1，故答案为：1．先求出函数的导数，再根据f′(1)=e4，求得a的值．本题主要考查求函数的导数，属于基础题．12.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．13.【答案】解：(1)f(x)=x3−kx+k2．f′(x)=3x2−k，k≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R递增，k>0时，令f′(x)>0，解得：x>√k3或x<−√k3，令f′(x)<0，解得：−√k3<x<√k3，∴f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增，综上，k≤0时，f(x)在R递增，k>0时，f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增；(2)由(1)得：k >0，f(x)极小值=f(√k 3)，f(x)极大值=f(−√k 3)，若f(x)有三个零点，只需{ k >0f(√k 3)<0f(−√k 3)>0，即{ k >0k 3√k 3−k√k 3+k 2<0−k 3√k 3+k√k 3+k 2>0，整理得{ k >0k −23√k 3<0k +23√k 3>0，解得：0<k <427，故a ∈(0,427).【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道较难题．(1)求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可．14.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x −a ．(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，令f′(x)=0，解得x =0． ∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ， 当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)． 又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可， 则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．15.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，可得g(x)在R上递增，即f′(x)在R上递增，因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(−∞,0)；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3+1恒成立，①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R；②当x>0时，可得a≥12x3+x+1−e xx2恒成立，设ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，则ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3，可设m(x)=e x−12x2−x−1，可得m′(x)=e x−x−1，m″(x)=e x−1，由x≥0，可得m″(x)≥0恒成立，可得m′(x)在(0,+∞)递增，所以m′(x)min=m′(0)=0，即m′(x)≥0恒成立，即m(x)在(0,+∞)递增，所以m(x)min=m(0)=0，再令ℎ′(x)=0，可得x=2，当0<x<2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,2)递增；x>2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(2,+∞)递减，所以ℎ(x)max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可得a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】(1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；(2)讨论x=0，不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．16.【答案】解：(1)f(x)⩽2x+c等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，则ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=−2，所以c−1⩾−2，即c⩾−1，因此c的取值范围是．(2)因为g(x)=2(ln x−ln a)x−a(x>0,x≠a,a>0)，所以g′(x)=2x(x−a)−2ln x+2ln a(x−a)2=−2ax−2ln x+2ln a+2(x−a)2，令φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),则φ′(x)=2ax2−2x=2(a−x)x2，令φ′(x)>0，得0<x<a；令φ′(x)<0，x>a．所以，φ(x)在(0,a)上递增，在上递减；因此，φ(x)⩽φ(a)=0，即g′(x)⩽0，所以g(x)在(0,a)和都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，求导判断ℎ(x)单调性及最值，即可求得c的范围;(2)对g(x)求得，再令g′(x)的分子为φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),对φ(x)求导，判断单调性及最值，进而可得g(x)的单调性．17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，难度较大．18.【答案】解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(2e x+1)(ae x−1)，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，，令f′(x)<0，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，ℎ′(a)=1a2+1a>0，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，∴0<a<1．接下来说明0<a<1时，f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)的单调性；(2)由(1)知：当a>0时f(x)才可能有两个零点，求得f(x)最小值，令f(x)min<0，即可求得a的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a−2a−2+1)e2=0，解得a=12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(x−1)(ax−1)e x，若a=0，则x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；x>1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x=1处f(x)取得极大值，不符题意；若a=1，则f′(x)=(x−1)2e x≥0，f(x)递增，无极值；若a>1，则1a <1，f(x)在(1a,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a的值；(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．20.【答案】解：(1)求导得f′(x )=3x 2−k ，定义域为(−∞,+∞)，当k ≤0时，f′(x )=3x 2−k ≥0，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增；当k >0时，令f′(x )>0得x <−√3k 3或x >√3k 3，令f′(x )<0得−√3k 3<x <√3k3，故函数f (x )在(−∞,−√3k 3),(√3k 3,+∞)上单调递增，在(−√3k 3,√3k3)上单调递减． (2)由(1)当k ≤0时，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增，不符题意，故k >0， f (x )的极大值为f (−√3k3)，极小值为f (√3k3)，要使f (x )有三个零点，则{f (−√3k 3)=−3k √3k 27+k ⋅√3k 3+k 2>0f (√3k 3)=3k √3k 27−k ⋅√3k3+k 2<0，∵k >0，即{29√3k +k >0−29√3k +k <0，解得0<k <427．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题．21.【答案】(1)解：由f(x)=x 3+bx +c ，得f′(x)=3x 2+b ，∴f′(12)=3×(12)2+b =0，即b =−34；(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，则c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1， 令c(x)=−x 3+34x(−1≤x ≤1)， ∴c′(x)=−3x 2+34=−3(x +12)(x −12)，当x ∈(−1,−12)∪(12,1)时，c′(x)<0，当x ∈(−12,12)时，c′(x)>0第21页，共21页 可知c(x)在(−1,−12)，(12,1)上单调递减，在(−12,12)上单调递增．又c(−1)=14，c(1)=−14，c(−12)=−14，c(12)=14，∴−14≤c ≤14．设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0， 即−14≤c =−x 13+34x 1≤14， ∴{4x 13−3x 1−1=(x 1−1)(2x 1+1)2≤04x 13−3x 1+1=(x 1+1)(2x 1−1)2≥0，得−1≤x 1≤1， 即|x 1|≤1．∴f(x)所有零点的绝对值都不大于1．【解析】(1)求出原函数的导函数，由题意可得f′(12)=3×(12)2+b =0，由此求得b 值；(2)设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，得到c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1，对c(x)求导数，可得c(x)在[−1,1]上的单调性，得到−14≤c ≤14.设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0，可得−14≤c =−x 13+34x 1≤14，由此求得x 1的范围得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元检测卷含解析
⾼中数学选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测卷含解析选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的) 1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的⼤⼩关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任⼀作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是()A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜⾓为α，则⾓α的取值范围是( )A.0，π2B.0，π2∪2π3，πC.2π3，πD.0，2π35．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)6．下列等式成⽴的是( )A ．?ba 0d x ＝b －aB ．?b a x d x ＝12C ．?1－1|x |d x ＝2?10|x |d xD ．?b a (x ＋1)d x ＝?b a x d x7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最⼤值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．已知?20 f (x )d x ＝3，则?20[f (x )＋6]d x 等于( )A ．9B ．12C ．15D ．1810．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－1311．函数f (x )＝x 1－x的单调增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银⾏准备新设⼀种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正⽐，⽐例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银⾏吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银⾏可获得最⼤利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036第Ⅱ卷(⾮选择题共90分)⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________．15.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的⾯积的最⼤值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表⽰过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜⾓均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有⼀个．③f (x )的最⼤值与最⼩值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )。
高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
a b x y)(x f y ?=O 高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷一、 选择题〔每题5分，共60分〕1.满足()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－xB. f (x )＝xC . f (x )＝0D . f (x )＝134y x x =-在点〔－1，－3〕处的切线方程是A . 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为A. 3-B. 1-C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f '=A .31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos11+cos1 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－197．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，假设f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下图，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A 1个B 2个C 3个D 4个9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为〔 〕 xy O AxyOBxyOCyODxxyO10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题： ⑴假设()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.012.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为〔 〕20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A 二.填空题〔每题5分，共20分〕13.假设32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为)(x f 为一次函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .三．解答题〔共70分〕17. (本小题总分值10分)已知曲线 32y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限.〔1〕求P 0的坐标；〔2〕假设直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.18．〔本小题总分值12分〕将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？19.(本小题总分值12分)已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= 〔1〕求导数)(x f '；〔2〕假设0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； 〔3〕假设)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 20.(本小题总分值12分)已知函数()ln(1)f x x x =+-． 〔1〕求函数f (x )的单调递减区间； 〔2假设1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21. (本小题总分值12分)已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' 〔1〕当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;〔2〕假设0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; 〔3〕在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 22．(本小题总分值12分)假设存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)． 〔1〕求()()()F x h x x ϕ=-的极值；〔2〕函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？假设存在，求出此隔离直线方程；假设不存在，请说明理由．《导数及其应用》参考答案【理科】一、选择题 CDBCB BBADD BD13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.400027π cm 2 16. ()1f x x =- 三．解答题17.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=. 18．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a a x V ∈<∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a 6．19. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: 21,21212)a a x x x ±+=<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当2x -或2x 时, )(x f '≥0,从而12x -, 22x ,即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[2,2]-.20.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈〔0，＋∞〕时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为〔0，＋∞〕．⑵证明：由⑴知，当x ∈〔－1，0〕时，()f x '＞0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈〔－1，0〕时，()g x '＜0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()g x '＞0．∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．21.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+.⑵∵由⑴知当0x >时,()ag x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()≥g x a x a =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a ∴依题意得22a =∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+22.解(1)()()()F x h x x ϕ=-=22eln (0)x x x ->，2e 2(e)(e)()2x x F x x x x'∴=-=． 当e x =()0F x '=．当0e x <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当e x >()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当e x =()F x 取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由〔1〕可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (e)y k x -=，即e e y kx =+-． 由()e e(R)h x kx x ≥+-∈，可得2e e 0x kx k --+当R x ∈时恒成立． 2(2e)k ∆=-，∴由0≤∆，得2e k =．下面证明()e e x x φ≤-当0>x 时恒成立． 令()()e e G x x x ϕ=-+2eln 2e e x x =-+，则2e 2e(e )()e x G x x -'=-=， 当x e =()0G x '=．当0e x <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当e x >()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当e x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2e ln e e 0G x x x =-+≤，即()2e e(0)x x x φ≤->恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e e y x =-． 解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当e x =) ．假设存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令e x =e e b ≥且e e b ≤e e b ∴=，即e e b =-后面解题步骤同解法一．。
《导数的运算》 基础篇 高中数学选修2-2 带答案
《导数的运算》基础篇练习卷一、单选题（共20题；共40分）1.已f（x）=xsinx，则f′（x）=（）A. cosxB. ﹣cosxC. sinx﹣xcosxD. sinx+xcosx2.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.3.若，则等于（）A. 0B.C. 3D.4.已知f(x)=·sin(x+1)，则f’(1)=()A. +cos2B. sin2+2cos2C. sin2+cos2D. sin2+cos25.若函数y=x·2x且y’="0" ，则x="(" )A. －B.C. －ln2D. ln26.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足( )A. =B. ==0C. -为常数函数D. +为常数函数7.若f（x）=e x+sinx﹣cosx的导数为f'（x），则f'（0）等于（）A. 2B. ln2+1C. ln2﹣1D. ln2+28.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.9.若,则等于（）A. B. C. D.10.若f（x）=sinx－cosx，则等于（）A. sinxB. cosxC. sinx+cosxD. 2sinx11.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，(a,b,c是互不相等的常数)，则等于（）A. 0B. 1C. 3D. a+b+c12.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.13.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A. B. C. D.14.已知，若，则x0等于( )A. B. C. D.15.已知函数f（x）=（x4+20x3+3x2+7x+k）（2x3+3x2+kx）（x+k），在0处的导数为27，则k=（）A. ﹣27B. 27C. ﹣3D. 316.如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A. 2B. 1C. 0D. ﹣117.下列函数求导正确的是（）A. （sinx）′=﹣cosxB. （cosx）′=sinxC. （2x）′=x•2x﹣1D. （）′=﹣18.f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)f(x)，若，，则a,b,c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b19.已知f1（x）=e﹣x+sinx，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2016（x）=（）A. e﹣x+sinxB. ﹣e﹣x+cosxC. e﹣x﹣sinxD. ﹣e﹣x﹣cosx20.已知函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），则tanx=（）A. -3B. 3C. 1D. -1二、填空题（共20题；共20分）21.y＝,则y'=________22.函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+（a﹣3）x的导函数f'（x）是偶函数，则实数a=________．23.函数f（x）=x2cosx 导数为f′（x），则f′（x）=________．24.已知，，则等于________．25.已知函数，则f′（π）=________．26.牛顿通过研究发现，形如形式的可以展开成关于的多项式,即的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令可以求得，第一次求导数之后再取，可求得，再次求导之后取可求得,依次下去可以求得任意-项的系数，设,则当时，e=________ ．(用分数表示)27.已知函数f（x）=mx m﹣n的导数为f′（x）=8x3，则m n=________．28.已知函数，则[f'（π）]′=________．29.已知f（x）=x3+2xf′（1），则f′（1）=________．30.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为________．31.（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为________．32.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=________．33.设y=（2x+a）2，且y′|x=2=20，则a=________．34.已知是函数f（x）的导函数，，则＝________．35.求的导数________．36.已知函数f （x）= lnx﹣，则f′（3）=________．37.已知，则________；38.已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a 的值为________．39.（2018•天津）已知函数f(x)=e x ln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为________．40.设函数，其中，则f'（1）的取值范围是________．三、解答题（共10题；共120分）41.求下列函数的导数（1）f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（2）．42.求下列各函数的导数（1）（2）y=e x sinx（3）（4）y=cos（2x+5）43.求下列各函数的导数：（1）y=2x；（2）．44.求下列函数的导数（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（2）．45.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；46.求下列函数的导数（1）y=x2sinx（2）y=tanx．47.求函数y=(1+cos2x)3的导数.48.求下列函数的导数．（1）；（2）.49.求下列函数的导数：（1）y=（2x3﹣1）（3x2+x）；（2）y=3（2x+1）2﹣4x；（3）y= ；（4）y=e x tanx．50.分别求下列函数的导数：（1）y=e x•cos x；（2）y=x（x2+ + ）（3）y=ln ．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=xsinx，则f′（x）=（x）′sinx+x（sinx）′=sinx+xcosx；故选：D．【分析】根据题意，由导数的乘法计算法则计算即可得答案．2.【答案】C【解析】【解答】由题意可得，将带入可得，解得，故答案为：C。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为fx ，对任意[)0,x ∈+∞，均满足：()()2xf x f x >-'．若()()2g x x f x =，则不等式()()21g x g x <-的解集是（ ）A ．(),1-∞-B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416e e m -<<B ．42em <<C ．216e m e >-D ．2e m >5．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB的最小值为（） A ．1B ．2C D 6．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e-<< D ．111a e+<< 7．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） ABCD9．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,)π-∞-C ．(,)2π-∞-D ．(,)π-∞10．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤11．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．14．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.15．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.16．已知函数()()2ln 2f x x x g x x x a ==-++，，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），f （x 1）≥g（x 2）恒成立，则实数a 的取值范围为__________17．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．18．设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.19．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.20．设函数()2()1xf x x e =-，当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题21．设函数3222ln 11(),()28a x x f x g x x x x +==-+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，求函数()f x 的解析式；（2）如果对于任意的1213,[,]22x x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取值范围.22．设函数()ln 1x f x x+=， （1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2g a e ≤. 25．已知函数321()12f x x x ax =-++. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.26．已知函数ln xy x=（0x >）. （1）求这个函数的单调区间；（2）求这个函数在区间21,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【解析】试题分析：[)0,x ∈+∞时()()()()()22(2)0g x xf x x f x x f x xf x =+='+'>'，而()()2g x x f x =也为偶函数，所以()()()()21212121321013g x g x g x g x x x x x x <-⇔<-⇔<-⇔+-<⇔-<<，选C.考点：利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等4．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒， 由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x e x '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩， 则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.5．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．6．C解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．8．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得0h <<，故此时()V h 单调递增，令()0V h '<2h R <<，故此时()V h 单调递减.故()maxV h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当3h R =时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.9．A解析：A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+，因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立， 即()h x 在[)0,+∞单调递减；又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数.由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()cos 22f x x π+>--，即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故22x ππ+<，则0x <.故选：A . 【点睛】本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.10．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220ax x+=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 11．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点； 当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x-+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a +'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=， 所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.15．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数解析：2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=， 所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）. 所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--， 所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数， 所以函数()F x 的零点在(2,3)内， 所以2m =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【分析】求导后即可求得根据二次函数的性质可得再由恒成立问题的解决方法可得即可得解【详解】求导得则当时函数单调递减；当时函数单调递增；所以；函数为开口向下对称轴为的二次函数所以当时；由题意可知即故答案解析：11a e≤--【分析】求导后即可求得()()11f x f ee --≥=-，根据二次函数的性质可得()()11g x g a ≤=+，再由恒成立问题的解决方法可得11a e -+≤-，即可得解. 【详解】求导得()ln 1f x x '=+，则当()10,x e -∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x e -∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()()11f x f e e--≥=-；函数()22g x x x a =-++为开口向下，对称轴为1x =的二次函数，所以当()0,x ∈+∞时，()()11g x g a ≤=+； 由题意可知11a e -+≤-即11a e -≤--. 故答案为：11a e -≤--. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x x g -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <，∴2a ≥.故答案为：2a ≥. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.18．【分析】构造函数讨论单调性和奇偶性结合特殊值即可求解【详解】设函数是偶函数所以函数是奇函数且当时即当时单调递减所以当时当时是偶函数所以当时当时所以使得成立的的取值范围是故答案为：【点睛】此题考查利用解析：()()1,00,1-⋃【分析】 构造函数()()f x F x x=，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解. 【详解】 设函数()()f x F x x =，()f x 是偶函数，()()()()f x f x F x F x x x--=-=-=-， 所以函数()F x 是奇函数，且()()()()1110,10F f f F ==-=-=， 当0x >时，()2()()0xf x f x F x x'-'=<， 即当0x >时，()F x 单调递减，()01F =， 所以当01x <<时，()()0f x F x x=>，()0f x >， 当1x >时，()()0f x F x x=<，()0f x <， ()f x 是偶函数，所以当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,00,1-⋃. 故答案为：()()1,00,1-⋃ 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.19．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立， 所以()h m 在10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.20．【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得（负根舍去）所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为： 解析：[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率，结合图像，求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()1xf x x e =-，()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>，()01g =.()()'221,0x f x xx e x =--+⋅≥，令'0f x，解得01x （负根舍去），所以()f x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，画出()f x 的图像如下图所示.由图可知，要使当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f=，所以1a ≥.故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）21ln ()x x f x x+=；（2）12a ≥. 【分析】 （1）求导3ln 4()x x x a f x x --'=，由已知得(1)1f '=-，求出12a =得解（2）求导2()34g x x x '=-得到()g x 在(12)32， 上的最大值为1()12g = 转化11()1,x f x ⋅≥ 得到1112ln a x x x ≥-在113[,]22x ∈恒成立.构造函数1111()ln ,h x x x x =-求得1()h x 的最大值为(1)1h =，得解【详解】 （1）3ln 4()x x x af x x --'=，∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，∴(1)1f '=-， 12a ∴=.21ln ()x x f x x +∴= （2）2()34g x x x '=-，∴14(,)23x ∈，()0g x '<，43(,)32x ∈，()0g x '>，∴()g x 在14(,)23上递减，在43(,)32上递增， ∴()g x 在14(,)23上的最大值为131()1,()224g g ==较大者，即()1g x ≤， ∵对于任意的113[,]22x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立， ∴11()1,x f x ⋅≥ 1112ln 1,a x x x +∴≥ 即对任意的111113(,),2ln 22x a x x x ∈≥-成立. 令1111()ln ,h x x x x =-，11()ln h x x '=-，∴11(,1)2x ∈，1()0h x '>，13(1,)2x ∈，1()0h x '<，∴1()h x 在1(,1)2上递增，在3(1,)2上递减，1()h x 的最大值为(1)1h =， ∴21a ≥，12a ≥. 【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.22．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题（1）根据题意可得，()2f e e=， ()2ln 'xf x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e=-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥，所以()12g x ax x-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增， 所以()()10g x g ≥=， 所以不等式()()21a x f x x->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减，21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+，()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-<⎪⎝⎭， 所以存在10g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以102a <<不符合题意；②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤ 23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e >【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）1a =-或32a =；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数几何意义列方程解得结果；（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性； （3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222()1a a f x x x =-+'， 根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32a =； （2）22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x+--+=-'+==，①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-， 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-，∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减，（3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ， 即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=⋅-+-=⋅---， 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---，令()0g a '=，得212a e =-， 当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<， 则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点， 从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.25．（1）210x y -+=；（2）4927. 【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。
人教版新课标高中数学选修2-2《导数及其应用》单元测试题(含答案)
11 Oyx导数单元测试题 2014.3.12一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)1. 函数3(21)y x =+在0x =处的导数是 （ ） A.0B.1C.3D.62．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x3．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2'(1)f x x x f =+⋅，则'(0)f 等于 ( )A ．0 B. -4 C. -2 D. 2 4. 给出以下命题：① 若()0b af x dx >⎰，则()0f x >； ②20sin 4x dx =⎰π；③()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 0 5．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26. 若函数32()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（ ）A. 02b <<B. 2b <C. 0b >D. 102b << 7. 方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．08. 已知自由下落物体的速度为V gt =，则物体从0t =到0t 所走过的路程为（ ）A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 9．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，其中()f x '为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是( )二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)11.dx x ⎰--3329= , dx x x ⎰+20)sin (π＝ .12. 已知曲线323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是 .13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 . 14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .三、解答题15．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求,,a b c 的值.16．（本小题满分12分）平面向量13(3,1),(,)22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t 使2(3),x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间.17.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示.求：（1）0x 的值； （2）,,a b c 的值. （3）若曲线=y )(x f )20(≤≤x 与m y =有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分13分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点),1(m P 处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.19．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.20．（本小题满分13分） 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．周三练习题答案1—5 DDBBC 6—10 DCACB11. 92π,218π+ 12.3110x y --=13. 1 14. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴=3解又又过点,116．解：由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- （t ≠0）'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得 且 t ≠0所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,0),(0,1)-。
(完整word)新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)
新课标选修2-2高二数学理导数测试题一.选择题⑴函数f(x) X 3 3x 2 1是减函数的区间为(D )A . (2,) B. ( ,2) C . (,0) D .( 0, 2)(2)曲线y x 3 3x 2 1在点(1, -1 )处的切线方程为()2 、 ,⑶ 函数y = a x + 1的图象与直线y = x 相切，则A. 23+ 3x — 5相切的直线方程是 [1,2]时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取 值范围为322(3) .函数 y = f( x ) = x + ax + bx + a ，在 x = 1 时，有极值 10,贝 U a = ,b = ，A. y 3x 4 B 。
y3x 2 C 。
y 4x 3 D 。
y 4x 5a(4)函数 f (x)x 3 ax 23x 9,已知f(x)在x 3时取得极值, 则 a =()⑸在函数 x 38x 的图象上,其切线的倾斜角小于 4的点中，坐标为整数的点的个数是A. 3B. 2() C. 1D. 0(6)函数 f(x)axx 1有极值的充要条件是(8) (9)函数 函数f(x)3x 4x 3(x 0,1 的最大值是-1f (x) =xA 、0 曲线y - x 3 3A . 19(x - 1) ( x - 2) …(x — 100) 在x =0处的导数值为( )2100 Cx 在点1,-3 B .-9200D 100!处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(二.填空题(1) .垂直于直线 (2) .设 f ( x ) = x2x+6y + 1=0且与曲线y = x 31 2---- x — 2x + 5,当 x2(4) .已知函数f (x) 4x3 bx2 ax 5在x -, x 1处有极值，那么a ; b •2(5) _____________________________________________________________________ .已知函数f(x) x3 ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_________________________ (6) .已知函数f(x) x3 3ax2 3(a 2)x 1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是___________ ,(7) .若函数f(x) x3 x2 mx 1是R是的单调函数，则实数m的取值范围是 .(8) .设点P是曲线y x3 .3x -上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范3围是___ 。
【单元测试】2019年高中数学选修2-2第一章导数单元测试题（含答案解析）
第 1 页 共10 页 2019年 高中数学 选修2-2第一章 导数 单元测试题一、选择题：1.1.已知已知f(x)=(x f(x)=(x＋＋a)2，且f ′(0.5)=-3(0.5)=-3，则，则a 的值为的值为( ( ( )A.-1B.-2C.1D.2 2.2.设曲线设曲线y=ax-ln(x y=ax-ln(x＋＋1)1)在点在点在点(0,0)(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为y=2x y=2x，则，则a=( a=( ) A.0 B.1 C.2 D.33.3.定积分定积分dx e x xò+1)2(的值为的值为(( ( ) A.e A.e＋＋2 B.e＋ 1 C.e D.e-1 4.4.当当x 在(-(-∞，＋∞∞，＋∞∞，＋∞))上变化时，导函数f ′(x)(x)的符号变化如下表：的符号变化如下表：的符号变化如下表：则函数f(x)f(x)的图象的大致形状为的图象的大致形状为的图象的大致形状为( ( ( )5.5.设函数设函数x xx f ln 2)(+=，则，则(( ( ) A.x=21为f(x)f(x)的极大值点的极大值点的极大值点 B.x= B.x=21为f(x)f(x)的极小值点的极小值点的极小值点C.x=2为f(x)f(x)的极大值点的极大值点的极大值点D.x=2 D.x=2为f(x)f(x)的极小值点的极小值点的极小值点 6.6.当当x=a 时，函数y=ln(x y=ln(x＋＋2)-x 取到极大值b ，则ab 等于等于( ( ( )A.-1B.0C.1D.2 7.7.一物体在力一物体在力F(x)=3x 2-2x -2x＋＋5(5(力的单位：力的单位：力的单位：N N ，位移单位：，位移单位：m)m)m)的作用下沿与力的作用下沿与力F(x)F(x)相同的方向由相同的方向由x=5 m 运动到x=10 m 时F(x)F(x)做的功为做的功为做的功为( ( ( )A.925 JB.850 JC.825 JD.800 J 8.8.若函数若函数f(x)=kx-lnx 在区间在区间(1(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))单调递增，则k 的取值范围是的取值范围是( ( ( )A.(-A.(-∞，∞，∞，-2]B.(--2] B.(-∞，∞，-1]C.[2 -1] C.[2 ，＋∞，＋∞)D.[1) D.[1，＋∞，＋∞) ) 9.9.已知已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2)(k=1,2)，则，则，则( ( ( ) A.A.当当k=1时，时，f(x)f(x)f(x)在在x=1处取到极小值处取到极小值 B. B.当k=1时，时，f(x)f(x)f(x)在在x=1处取到极大值处取到极大值 C.C.当当k=2时，时，f(x)f(x)f(x)在在x=1处取到极小值处取到极小值 D. D.当k=2时，时，f(x)f(x)f(x)在在x=1处取到极大值处取到极大值10.10.若若0<x 1<x 2<1<1，则，则，则( ( ( )A.ex 2-ex 1>lnx 2-lnx 1B.ex 2-ex 1<lnx 2-lnx 1C.x 2ex 1>x 1ex 2D.x 2ex 1<x 1ex 211.11.设函数设函数f(x)f(x)满足满足x 2f ′(x)(x)＋＋2xf(x)=x e x ，f(2)=82e ，则x>0时，时，f(x)( f(x)( f(x)( )A.A.有极大值，无极小值有极大值，无极小值有极大值，无极小值B. B.有极小值，无极大值有极小值，无极大值C.C.既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值D. D.既无极大值也无极小值既无极大值也无极小值12.12.若函数若函数f(x)=x 3＋ax 2＋bx bx＋＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)=x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)2af(x)＋＋b=0的不同实根个数是不同实根个数是( ( ( )A.3B.4C.5D.6 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.13.若若S 1=ò212dx x ，S 2=ò211dx x，S 3=ò21dx e x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为的大小关系为________. ________.14.14.设函数设函数f(x)f(x)在在(0(0，＋∞，＋∞，＋∞))内可导，且f(e x)=x )=x＋＋e x，则f ′(1)=________.15.15.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb bax y +=2(a (a，，b 为常数为常数))过点P(2P(2，，-5)-5)，且该曲线在点，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 7x＋＋2y 2y＋＋3=0平行，则a ＋b 的值是的值是________. ________.16.16.若函数若函数y=e ax＋3x 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是的取值范围是______________. ______________.三、解答题：三、解答题：17.(10分)已知函数23ln 4)(--+=x x ax x f ，其中a ∈R ，且曲线y=f(x)y=f(x)在点在点在点(1(1(1，，f(1))f(1))处的切线垂直于直处的切线垂直于直线x y 21=.(1)(1)求求a 的值；的值；(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值的单调区间与极值. .18.(12分)已知函数f(x)=x 3＋ax 2＋bx bx＋＋c 在x=32-与x=1时都取得极值时都取得极值. .(1)(1)求求a ，b 的值及函数f(x)f(x)的单调区间；的单调区间；的单调区间；(2)(2)若对若对x ∈[-1,2][-1,2]，不等式，不等式f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围的取值范围. .19.(12分)已知函数x b bx x x f 21)()(2-++=(b (b∈∈R). (1)(1)当当b=4时，求f(x)f(x)的极值；的极值；的极值；(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间)31,0(上单调递增，求b 的取值范围的取值范围. .20.(12分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？干线何处时，所需电线最短？21.(12分)已知a ∈R ，f(x)=(x 2-4)(x-a).(1)(1)求求f ′(x)(x)；； (2)(2)若若f ′(1)=0(1)=0，求，求f(x)f(x)在在[-2,2][-2,2]上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；(3)(3)若若f(x)f(x)在在(-(-∞，∞，∞，-2]-2]-2]和和[2[2，＋∞，＋∞，＋∞))上是单调递增的，求实数a 的取值范围的取值范围. .22.(12分)已知函数f(x)=e x (x 2＋ax-a)ax-a)，其中，其中a 是常数是常数. . (1)(1)当当a=1时，求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点在点(1(1(1，，f(1))f(1))处的切线方程；处的切线方程；处的切线方程；(2)(2)若存在实数若存在实数k ，使得关于x 的方程f(x)=k 在[0[0，＋∞，＋∞，＋∞))上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围的取值范围. .参考答案1.B 1.B；解析：∵；解析：∵；解析：∵f(x)=(x f(x)=(x f(x)=(x＋＋a)2，∴，∴f f ′(x)=2x (x)=2x＋＋2a 2a，依题意有，依题意有2×12＋2a=-32a=-3，解得，解得a=-2.2.D 2.D；解析：∵；解析：∵；解析：∵y=ax-ln(x y=ax-ln(x y=ax-ln(x＋＋1)1)，∴，∴，∴y y ′=a-1x ＋1.∴y ′|x=0=a-1=2=a-1=2，得，得a=3.3.C 3.C；解析：因为；解析：因为；解析：因为(x (x 2＋e x)′=2x =2x＋＋e x，所以ò1(2x (2x＋＋e x)dx=(x 2＋e x) |10=(1=(1＋＋e 1)-(0)-(0＋＋e 0)=e. 4.C 4.C；解析：从表中可知；解析：从表中可知f(x)f(x)在在(-(-∞，∞，∞，1)1)1)上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，在(1,4)(1,4)(1,4)上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，在(4(4(4，＋∞，＋∞，＋∞))上单调递减上单调递减. . 5.D 5.D；解析：由；解析：由f ′(x)=)21(1122xx x x -=+-=0可得x=2.x=2.当当0<x<2时，时，f f ′(x)<0(x)<0，，f(x)f(x)单调递减；单调递减；单调递减； 当x>2时，时，f f ′(x)>0(x)>0，，f(x)f(x)单调递增单调递增单调递增..故x=2为f(x)f(x)的极小值点的极小值点的极小值点. .6.A 6.A；解析：；解析：；解析：y y ′=[ln(x =[ln(x＋＋2)-x]2)-x]′′=1x ＋2-1.-1.令令y ′=0=0，得，得x=-1x=-1，此时，此时y=ln1y=ln1＋＋1=11=1，即，即a=-1a=-1，，b=1b=1，故，故ab=-1.7.C 7.C；解析：依题意；解析：依题意F(x)F(x)做的功是做的功是W=W=∫∫105F(x)dx=F(x)dx=∫∫105(3x 2-2x -2x＋＋5)dx=(x 3-x 2＋5x) |105=825(J).8.D 8.D；解析：由；解析：由f ′(x)=k-x1，又f(x)f(x)在在(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))上单调递增，则f ′(x)(x)≥≥0在x ∈(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))上恒成立，上恒成立，即k ≥1x 在x ∈(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))上恒成立上恒成立..又当x ∈(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))时，时，0<0<1x <1<1，故，故k ≥1.1.故选故选D.9.C 9.C；解析：当；解析：当k=1时，时，f(x)=(e f(x)=(e x-1)(x-1)-1)(x-1)，，f ′(x)=xe x-1-1，， ∵f ′(1)=e-1(1)=e-1≠≠0，∴，∴f(x)f(x)f(x)在在x=1处不能取到极值；处不能取到极值；当k=2时，时，f(x)=(e f(x)=(e x-1)(x-1)2，f ′(x)=(x-1)(x)=(x-1)··(xe x＋e x-2)-2)，， 令H(x)=xe x＋e x-2-2，则，则H ′(x)=xe x＋2e x>0>0，，x ∈(0(0，＋∞，＋∞，＋∞). ). 说明H(x)H(x)在在(0(0，＋∞，＋∞，＋∞))上为增函数，且H(1)=2e-2>0H(1)=2e-2>0，，H(0)=-1<0H(0)=-1<0，， 因此当x 0<x<1(x 0为H(x)H(x)的零点的零点的零点))时，时，f f ′(x)<0(x)<0，，f(x)f(x)在在(x 0,1)1)上为减函数上为减函数上为减函数. . 当x>1时，时，f f ′(x)>0(x)>0，，f(x)f(x)在在(1(1，＋∞，＋∞，＋∞))上是增函数上是增函数. . ∴x=1是f(x)f(x)的极小值点，故选的极小值点，故选C. 10.C 10.C；；11.D 11.D；；12.A 12.A；；13.13.答案为：答案为：答案为：S S 2<S 1<S 3；14.14.答案为：答案为：答案为：22；15.15.答案为：答案为：答案为：-3-3-3；；16.16.答案为：答案为：答案为：(-(-(-∞，∞，∞，-3)-3)-3)；；17.17.解：解：解：18.18.解：解：解：20.20.解：解：解：21.21.解：解：解：。
高中数学选修22第一章导数测习题
精选文档选修 2-2 第一章单元测试( 一)时间： 120分钟总分： 150分一、选择题 ( 每题 5 分，共 60 分)1．函数f ( x) ＝x·sin x的导数为 ()A．f′( x) ＝ 2x·sin x＋ x·cos x B．f′( x) ＝ 2x·sin x－x·cos xsin x sin x－ x·cos x C．f′( x) ＝＋ x·cos x D．f′( x) ＝2x 2 x 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点 (0 ，b) 处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－ 1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－ 1，b＝－ 13．设f ( x) ＝x ln x，若f′( x0) ＝2，则x＝()A．e2B．e C.ln2 D ．ln224．已知f ( x) ＝x2＋2xf′(1)，则 f ′(0)等于 () A．0B．－ 4C．－ 2D．25.图中由函数y＝f (x)的图象与x 轴围成的暗影部分的面积，用定积分可表示为()A.3B. 3f ( x)d x＋1－f ( x)d x-313f ( x)d xC.1D.13f ( x)d xf ( x)d x f ( x)d x－-3-316．如图是函数y＝f ( x) 的导函数的图象，给出下边四个判断：①f( x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是 f ( x)的极小值点；③f ( x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是 f ( x)的极小值点．此中，全部正确判断的序号是 ()A．①②B．②③C．③④ D ．①②③④7．对随意的x∈R，函数 f ( x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 ()A．0≤a≤21B．a＝ 0 或a＝7C．a<0 或a>21D．a＝ 0 或a＝218．某商场从生产厂家以每件20 元的价钱购进一批商品，若该商品零售价定为 P 元，销售量为 Q，则销量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元 ) 有以下关系：Q＝8 300 －170P－P2，则最大毛收益为 ( 毛收益＝销售收入－进货支出 )()A．30 元 B．60 元 C ．28 000 元 D ．23 000 元x9．函数f ( x) ＝－e x( a<b<1)，则 ()A．f ( a) ＝f ( b)B．f(a)<f(b)C．f ( a)> f ( b)D．f(a)，f(b)大小关系不可以确立10．函数f ( x) ＝－x3＋x2＋x－2 的零点个数及散布状况为()1A．一个零点，在－∞，－3内1B．二个零点，分别在－∞，－3，(0，＋∞)内11C．三个零点，分别在－∞，－3，－3，0，(1，＋∞)内1D．三个零点，分别在－∞，－3，(0,1)，(1，＋∞)内11．关于 R 上可导的随意函数f ( x)，若知足( x－1) f ′( x)≥0，则必有()A．f (0)＋f (2)<2 f (1)B．f (0)＋f (2)≤2f (1)C．f (0)＋f (2)≥2f (1)D．f (0)＋f (2)>2 f (1)12．设f ( x) 是定义在 R上的可导函数，且知足 f ′( x)> f ( x)，对随意的正数 a，下边不等式恒建立的是()f 0a aA ．f ( a)<e f (0)B ．f ( a)>e f (0)C ．f ( a)<e af0D．f ( a)> e a二、填空题 ( 每题 5 分，共 20 分)113．过点 (2,0)且与曲线 y＝x相切的直线的方程为________．π121－x d x，N＝2cos x d x，则程序框14．已知M＝图输出的 S＝________.精选文档1m15．设函数f ( x) ＝x＋ax的导数为f′( x) ＝2x＋1，则数列 f n (n ∈N＋) 的前n项和是 ________．1216．已知函数 f ( x)＝2mx＋ln x－2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．三、解答题 ( 写出必需的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)32217．(10 分) 设函数f ( x) ＝－x－2mx－mx＋1－m(此中 m>－2)的图象在 x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．(1)求 m的值；(2)求函数 f ( x)在区间[0,1]上的最小值．18．(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3( k＋1) x2－k2＋1( k>0)，若f ( x)的单一递减区间是 (0,4) ，1(1) 求k的值； (2)当 k<x 时，求证：2 x>3－x19.(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3x2＋1( k≥0) ．(1)求函数 f ( x)的单一区间；(2)若函数 f ( x)的极小值大于0，求 k 的取值范围．20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”景色区为提升经济效益，现对精选文档某一景点进行改造升级，进而扩大内需，提升旅行增添值，经过市场检查，旅行增添值y 万元与投入 x( x≥10)万元之间知足： y＝f ( x)＝2 101xax ＋50 x－b ln10，a，b 为常数，当 x＝10时， y＝19.2；当 x＝20时， y＝35.7.(参照数据： ln2 ＝0.7 ，ln3 ＝1.1 ，ln5 ＝1.6)(1)求 f ( x)的分析式；(2)求该景点改造升级后旅行收益 T( x)的最大值．(收益＝旅行收入－投入 )131221.(12 分) 已知函数f ( x) ＝3x－2x＋cx＋d有极值．(1)求 c 的取值范围；1 2(2) 若f ( x) 在x＝ 2 处获得极值，且当x<0 时，f ( x)<6d＋2d恒成立，求 d 的取值范围．22.(12 分)(2015 ·银川一中月考 ) 设a为实数，函数f ( x) ＝e x－2x ＋2a，x∈R.(1)求 f ( x)的单一区间与极值；(2)求证：当 a>ln2－1且 x>0时，e x>x2－2ax＋1.精选文档答案1 ． C f′( x) ＝ (x )′·sin x ＋x ·(sin x)′＝1·＋2x sin x x·cos x，应选C.2．A∵y′＝2x＋a，∴曲线 y＝x2＋ ax＋b 在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为 y－b＝ax，即 ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.3．B f ′( x)＝( x ln x)′＝ln x＋1，∴f′( x0)＝ln x0＋1＝2，∴ x0＝e.4．B f ′( x)＝2x＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即 f ′(1)＝－ 2，∴f′( x) ＝ 2x－4，∴f′(0) ＝－ 4.5．D由定积分的几何意义可知，函数y＝f ( x)的图象与 x 轴围成的暗影部分的面积为1－3f(x)d x－3f(x)d x.应选D.16．B由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f ( x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4] 上是减函数；(2)f ( x)在 x＝－1处获得极小值，在 x＝2处获得极大值．故②③正确．7．A f′( x) ＝3x2＋2ax＋7a，当＝4a2－84a≤0，即 0≤a≤21 时， f ′( x)≥0恒建立，函数不存在极值点．应选A.8．D设毛收益为L(P)，由题意知 L( P)＝PQ－20Q＝Q( P－20)＝(8 300 －170P－P2)( P－20)＝－ P3－150P2＋11 700 P－166 000，精选文档因此 L′( P)＝－3P2－300P＋11 700，令 L′( P)＝0，解得 P＝30或 P＝－130(舍去)．此时， L(30)＝23 000.依据实质问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛收益为23 000 元．9．C f′( x) ＝－e x－x e x x－1 e x 2＝e x ，当 x<1时， f ′( x)<0，即 f ( x)在区间(－∞，1)上单一递减，又∵ a<b<1，∴ f ( a)> f ( b)．110．A利用导数法易得函数 f ( x)在－∞，－3内单一递减，在1159－3，1 内单一递加，在 (1 ，＋∞) 内单一递减，而 f －3＝－27<0，f (1)＝－1<0，故函数 f ( x)的图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐1标在－∞，－3内，应选 A.11.C当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；而当 0≤x≤1 时，f′ ( x) ≤0，则f (1) ≤f (0) ，进而 f (0)＋f (2)≥2f (1)．f x f ′ x －f x12．B结构函数g(x)＝e x，则g′(x)＝e x>0，故函f x f a f 0数 g( x)＝e x在R上单一递加，因此 g( a)> g(0)，即e a>e0，即 f ( a)>e a f (0)．13．x＋y－2＝ 0分析：设所求切线与曲线的切点为P( x0，y0)，精选文档1∵y ′＝－ x 2，∴ y ′ |1y －y 0＝－ 2( x －x 0) ．x 01x ＝x 0＝－ 2，所求切 的方程 x 0∵点 (2,0) 在切 上，12∴0－y 0＝－ 2(2 －x 0) ，∴ x 0y 0＝2－x 0. ①x 0又∵ x 0y 0＝1，②x 0＝ 1， 由①②解得∴所求直 方程 x ＋y －2＝0.y 0＝ 1，14. π4分析： ＝11－ x 2 ＝ 12π π＝sinx | πd4π×1＝，＝∫cos d＝1，M 0x 4 N2x x2πM <N ，不 足条件 M >N ， S ＝M ＝4.n15. n ＋1m －1＋a ＝2x ＋1，得 m ＝2，分析： f ′( x ) ＝mxa ＝1.211 1 1f ( x ) ＝x＋x ，f n ＝n n ＋1 ＝n －n ＋ 1，111 1 1 1111其和1－2 ＋ 2－3 ＋ 3－4 ＋ ⋯ ＋ n －n ＋1 ＝ 1 － n ＋1 ＝n.n ＋116．[1 ，＋ ∞)1分析：依据 意，知 f ′( x ) ＝mx ＋x －2≥0 全部 x >0 恒建立，精选文档m 1 2 2g ( x )1 2 21211 1＋ ，令＝－＋ ＝－－ 1，则当 ＝ 时，函∴ ≥－xx x ＋xxx数 g ( x ) 获得最大值 1，故 m ≥1.2217．解： (1) 由于 f ′( x ) ＝－ 3x －4mx －m ，2因此 f ′(2) ＝－ 12－8m －m ＝－ 5，解得 m ＝－ 1 或 m ＝－ 7( 舍去 ) ，即 m ＝－ 1.(2) 令 f ′( x ) ＝－ 3x 2＋4x －1＝0，1解得 x 1＝1，x 2＝3.当 x 变化时， f ′( x ) ，f ( x ) 的变化状况以下表：x11 110，33 3，1f ′( x )－＋f ( x )2502271 50因此函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f 3 ＝27. 18．解： (1) f ′( x ) ＝ 3kx 2－6( k ＋1) x ，2k ＋2由 f ′( x )<0 得 0<x < k ，∵ f ( x ) 的递减区间是 (0,4) ，2k ＋2∴k＝ 4，∴ k ＝1.11 1(2) 证明：设 g ( x ) ＝2 x ＋x ， g ′( x ) ＝x －x 2.21 1当 x >1 时， 1< x <x ，∴ x >x 2，∴g ′( x )>0 ，∴ g ( x ) 在 x ∈[1 ，＋ ∞) 上单一递加．精选文档1∴x>1时， g( x)> g(1)，即2 x＋x>3，1∴2 x>3－x.19. 解： (1) 当k＝0 时，f ( x) ＝－ 3x2＋1，∴f( x)的单一增区间为(－∞，0]，单一减区间[0，＋∞)．当 k>0时， f ′( x)＝3kx2－6x＝3kx x－2，k2∴ f ( x)的单一增区间为( －∞， 0] ，k，＋∞，单一减区间为20，k .(2)当 k＝0时，函数 f ( x)不存在极小值，28 12当 k>0时，依题意 f k＝k2－k2＋1>0，2即 k >4，因此 k 的取值范围为(2，＋∞)．2101a×10＋50×10－b ln1 ＝19.2，2101a×20＋50×20－b ln2 ＝35.71解得 a＝－100，b＝1，x2101x则 f ( x)＝－100＋50 x－ln10( x≥10)．(2)由题意知x251xT( x)＝f ( x)－x＝－100＋50x－ln10( x≥10)，－x 51 1x －1 x －50则 T ′( x ) ＝ 50 ＋50－x ＝－50x， 令 T ′( x ) ＝0，则 x ＝ 1( 舍去 ) 或 x ＝50.当 x ∈(10,50) 时， T ′( x )>0，T ( x ) 在(10,50) 上是增函数；当 x ∈(50 ，＋∞) 时，T ′( x )<0，T ( x ) 在(50 ，＋∞) 上是减函数，∴x ＝50 为 T ( x ) 的极大值点，又 T (50) ＝24.4.故该景点改造升级后旅行收益 T ( x ) 的最大值为 24.4 万元．21. 解： (1) ∵f ( x ) ＝ x 3－1x 2＋cx ＋d ，321∴f ′( x ) ＝x 2－x ＋c ，要使 f ( x ) 有极值，则方程 f ′( x ) ＝x 2－x1＋c ＝0，有两个实数解，进而＝1－4c >0，∴ c <4.(2) ∵f ( x ) 在 x ＝2 处获得极值， ∴f ′(2) ＝4－ 2＋c ＝ 0，31 2∴ c ＝－ 2. ∴f ( x ) ＝3x －2x －2x ＋d .1∵ f ′( x ) ＝x 2－x －2＝( x －2)( x ＋1) ，∴当 x ∈( －∞，－1) 时，f ′( x )>0 ，函数单一递加，当 x ∈( －1,2]时， f ′( x )<0 ，函数单一递减．7∴x <0 时， f ( x ) 在 x ＝－ 1 处获得最大值 6＋d ，∵ x <0 时， f ( x )< 1d 2＋2d 恒建立，671 2∴ 6＋d <6d ＋ 2d ，即 ( d ＋7)( d －1)>0 ，∴ d <－7 或 d >1，即 d 的取值范围是 ( － ∞，－ 7) ∪(1 ，＋ ∞) ．。
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4x3 bx2 ax 5在 x 3 , x 1处有极值，那么 a
；b
2
3
x
ax 在 R上有两个极值点，则实数
a 的取值范围是
x3 3ax2 3(a 2) x 1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值
范围是 31．若函数 f ( x) x3 x2 mx 1 是 R 是的单调函数，则实数 m 的取值范围是
A、（2，3） B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
24、方程 6x 5-15x 4+10x3+1=0 的实数解的集合中 ( )
D、（- ∞， 3）
A、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素
二．填空题
25．垂直于直线 2x+6y＋1=0 且与曲线 y = x 3＋ 3x－5 相切的直线方程是
(3)
函数
y＝
a
x
2
＋
1
的图象与直线
y＝ x 相切，则 a ＝
()
A． 1 8
B
．1
4
C
．1
2
D
．1
(4) 函数 f ( x) x3 ax 2 3x 9,已知 f (x)在 x 3 时取得极值，则 a = ( )
A．2
B ．3
C ．4
D ．5
(5) 在函数 y x3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于
个数是 A．3
B．2
C．1
的点中，坐标为整数的点的 4
() D． 0
（ 6）函数 f ( x) ax3 x 1有极值的充要条件是
（）
A． a 0 B ． a 0 C ． a 0 D ． a 0 （ 7）函数 f ( x) 3x 4x3 （ x 0,1 的最大值是（ ）
A． 1 2
B ． -1 C
．0 D ．1
,求k的
50 已知 f ( x) =x3+ax2+bx+c, 在 x ＝1 与 x＝－ 2 时，都取得极值。 ⑴求 a，b 的值； ⑵若 x [ －3， 2] 都有 f ( x)> 1 1 恒成立，求 c 的取值范围。 c2
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参考解答 一．1~9 BBDDD CDDA 10~24AAB
的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的
49．已知函数 f ( x) x3 ax2 bx c ，当 x 有极小值．求（ 1） a,b, c 的值；
（ 2）函数 f ( x) 的极小值．
1 时，f (x) 的极大值为 7；当 x 3 时，f ( x)
47 直线 y kx 分抛物线 y x x 2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分 值.
37．已知函数 f ( x) ax 3 bx2 3x 在 x 1处取得极值 . （Ⅰ）讨论 f (1) 和 f ( 1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点 A( 0, 16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程 .
38．已知函数 f ( x)
ax 3
3 (a
2) x2
6x 3
2
（1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 极小值；（ 2）试讨论曲线 y
f (x) 与 x 轴公共点的个数。
为 1 ，则 a 6
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_________ 。
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39．已知 x 1 是函数 f ( x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点， 其中 m,n R, m 0 ，
（ 8）函数 f (x) = x （ x －1）（ x －2）…（ x －100）在 x ＝0 处的导数值为（
）
A、 0 B、1002 C、 200 D、100！
（ 9）曲线 y 1 x3 x 在点 1，4 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（
）
3
3
Ａ． 1 9
Ｂ． 2 9
Ｃ． 1 3
Ｄ． 2 3
.10 设函数 f (x) x a , 集合 M={ x | f (x) 0} ,P= { x | f ' ( x) 0} , 若 M P, 则实数 a 的取值范围是
B. 一定是 f ( x) 的极值
C.一定是 f ( x) 的极小值
D.等于 0
16. 设函数 f n( x)= n2x2(1 －x) n( n 为正整数 ) ，则 f n( x) 在［ 0,1 ］上的最大值为 ( )
A.0
B.1
C. (1 2 ) n
D. 4( n )n 1
2n
n2
17、函数 y=(x 2-1) 3+1 在 x=-1 处( )
D、 900
20. 函数 f(x)=x 3-6bx+3b 在（ 0， 1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是 ( )
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A、（ 0， 1） B 、（- ∞， 1） C、（0，+∞） D、（0， 1 ）
2
21. 函数 y=x3-3x+3 在[
3 ,
5 ] 上的最小值是
(
)
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一．选择题
导数复习
(1) 函数 f ( x) x3 3x 2 1是减函数的区间为
()
A． (2, ) B． ( ,2) C ． ( ,0)
D ．（0， 2）
（ 2）曲线 y x3 3x2 1在点（ 1， -1 ）处的切线方程为（
）
A． y 3x 4 B 。 y 3x 2 C 。 y 4x 3 D 。 y 4x 5 a
32．设点 P 是曲线 y
3
x
3x 2 上的任意一点， P 点处切线倾斜角为
3
值范围是 。
33 f ( x) 是 f ( x) 1 x3 2 x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是 ． 3
，则角 的取
34．曲线 y x3 在点 (a, a3 )(a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积
二．25~32 1 、y=3x-5 2 、m>7 3 、4 -11 4
、 18, 3 5 、( ,0)
6、
1 ,
) 7、 (
, 1) (2,
)
8 、 [0,
]
2 [
,
) 33~34（ 13）、
1 （ 14）、
t
0
3
23
三 36~42 ． 1 ． 解 ：（ Ⅰ ） 由 f ( x) 的 图 象 经 过 P （ 0 ， 2 ）， 知 d=2 ， 所 以 f (x) x 3 bx 2 cx 2, f (x) 3x 2 2bx c. 由 在 M ( 1, f ( 1)) 处 的 切 线 方 程 是
。
26．设 f ( x ) = x
3－ 1 x2－ 2x＋5，当 x [ 1,2] 时， f ( x ) < m 2
恒成立，则实数 m
的取值范围为
.
27．函数 y = f ( x ) = x
3＋ ax2＋ bx＋a2，在 x = 1 时，有极值 10，则 a = ,
b=
。
28．已知函数 f (x)
29．已知函数 f ( x) 30．已知函数 f (x)
（Ⅰ）求 a ， b ， c 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调递增区间，并求函数 f (x) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值．
的取值范围 .
40．设函数 f ( x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1及 x 2 时取得极值．
（Ⅰ）求 a、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 x
[0，3] ，都有 f (x)
22
A、 89 B 、1
8
C、 33
8
D、 5
22、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 为函数的极值，则 ( )
A、 c≠ 0 B 、当 a>0 时， f(0) 为极大值
C、 b=0 D 、当 a<0 时， f(0) 为极小值 23、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是 ( )
2
c
成立，求
c
的取值范围．
43，已知向量 a ( x2 , x 1),b (1 x, t) ，若函数 f ( x) a b在区间 ( 1,1) 上是增函数， 求 t 的取值范围。
41．已知 f ( x) ax3 bx 2 cx 在区间 [0,1] 上是增函数 , 在区间 ( ,0), (1, ) 上是减函
6x y 7 0
知
6 f ( 1) 7 0,即f ( 1) 1, f ( 1) 6.
3 2b c 6,
2b c 3,
即
解得 b c 3. 故 所 求 的 解 析 式 是
1 b c 2 1. b c 0,
f (x) x3 3x2 3x 2.（2）f (x) 3x2 6x 3.
令3x 2 6x 3 0,即 x2 2x 1 0.
A. x +y=0 或 x +y=0
25
B. x －y=0 或 x +y=0
25
C.x +y=0 或 x － y=0
25
D.x －y=0 或 x － y=0
25
15. 设 f ( x) 可导，且
f ′ (0)=0,
又 lim x0
f
( x) x
=－1,
则
f
(0)(
)
A. 可能不是 f ( x) 的极值
35．一点沿直线运动，如果由始点起经过 度为零的时刻是 _______________。