高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

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45, 设 0 x a ，求函数 f ( x) 3x 4 8x 3 6x 2 24x 的最大值和最小值。
48 , 已知函数 f ( x)
ln x, g( x)
12 ax
bx, a
0。
2
（ 1）若 b 2 ，且函数 h( x) f ( x) g( x) 存在单调递减区间，求 a 的取值范围。
的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的
49．已知函数 f ( x) x3 ax2 bx c ，当 x 有极小值．求（ 1） a,b, c 的值；
（ 2）函数 f ( x) 的极小值．
1 时，f (x) 的极大值为 7；当 x 3 时，f ( x)
47 直线 y kx 分抛物线 y x x 2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分 值.
35．一点沿直线运动，如果由始点起经过 度为零的时刻是 _______________。
t 秒后的位移是 S
14 t
33 t
2t 2 ，那么速
45
三．解答题
36．已知函数 f (x) x 3 bx 2 ax d 的图象过点 P（ 0,2 ）, 且在点 M( 1, f ( 1)) 处的切
线方程为 6x y 7 0 . （Ⅰ）求函数 y f ( x) 的解析式；（Ⅱ）求函数 y f (x) 的单调 区间 .
解得
x1 1 2, x2 1 2.
当 x 1 2,或 x 1 2时 , f (x) 0; 当
1 2 x 1 2时, f (x) 0. 故 f ( x) x 3 3x 2 3x 2在 ( ,1 2) 内 是 增 函 数 ， 在
(1 2,1 2 ) 内是减函数，在 (1 2, ) 内是增函数 .
2．（Ⅰ）解： f ( x) 3ax 2 2bx 3 ，依题意， f (1) f ( 1) 0 ，即 3a 2b 3 0, 解得 a 1, b 0 . 3a 2b 3 0.
32．设点 P 是曲线 y
3
x
3x 2 上的任意一点， P 点处切线倾斜角为
3
值范围是 。
33 f ( x) 是 f ( x) 1 x3 2 x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是 ． 3
，则角 的取
34．曲线 y x3 在点 (a, a3 )(a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积
在开区间 (a, b) 内有极小值点（ ）
A． 1 个 B ． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 13. y =esin xcos(sin x) ，则 y′ (0) 等于 ( )
A.0
B.1
C.－ 1
D.2
y y f ?(x)
a
O
b x
14. 经过原点且与曲线 y= x 9 相切的方程是 ( )
x5
D、 900
20. 函数 f(x)=x 3-6bx+3b 在（ 0， 1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是 ( )
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A、（ 0， 1） B 、（- ∞， 1） C、（0，+∞） D、（0， 1 ）
2
21. 函数 y=x3-3x+3 在[
3 ,
5 ] 上的最小值是
(
)
(3)
函数
y＝
a
x
2
＋
1
的图象与直线
y＝ x 相切，则 a ＝
()
A． 1 8
B
．1
4
C
．1
2
D
．1
(4) 函数 f ( x) x3 ax 2 3x 9,已知 f (x)在 x 3 时取得极值，则 a = ( )
A．2
B ．3
C ．4
D ．5
(5) 在函数 y x3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于
37．已知函数 f ( x) ax 3 bx2 3x 在 x 1处取得极值 . （Ⅰ）讨论 f (1) 和 f ( 1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点 A( 0, 16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程 .
38．已知函数 f ( x)
ax 3
3 (a
2) x2
6x 3
（ 2）设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g( x) 的图象 C2 交于点 P,Q ，过线段 PQ 的中点
作 x 轴的垂线分别交 C1、 C2 于点 M , N 。证明： C1在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处 的切线不平行。
46 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 圆心角 多大时，容器的容积最大？
A. x +y=0 或 x +y=0
25
B. x －y=0 或 x +y=0
25
C.x +y=0 或 x － y=0
25
D.x －y=0 或 x － y=0
25
15. 设 f ( x) 可导，且
f ′ (0)=0,
又 lim x0
f
( x) x
=－1,
则
f
(0)(
)
A. 可能不是 f ( x) 的极值
（ 8）函数 f (x) = x （ x －1）（ x －2）…（ x －100）在 x ＝0 处的导数值为（
）
A、 0 B、1002 C、 200 D、100！
（ 9）曲线 y 1 x3 x 在点 1，4 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（
）
3
3
Ａ． 1 9
Ｂ． 2 9
Ｃ． 1 3
Ｄ． 2 3
.10 设函数 f (x) x a , 集合 M={ x | f (x) 0} ,P= { x | f ' ( x) 0} , 若 M P, 则实数 a 的取值范围是
（Ⅰ）求 a ， b ， c 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调递增区间，并求函数 f (x) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值．
的取值范围 .
40．设函数 f ( x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1及 x 2 时取得极值．
（Ⅰ）求 a、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 x
[0，3] ，都有 f (x)
。
26．设 f ( x ) = x
3－ 1 x2－ 2x＋5，当 x [ 1,2] 时， f ( x ) < m 2
恒成立，则实数 m
的取值范围为
.
27．函数 y = f ( x ) = x
3＋ ax2＋ bx＋a2，在 x = 1 时，有极值 10，则 a = ,
b=
。
28．已知函数 f (x)
29．已知函数 f ( x) 30．已知函数 f (x)
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一．选择题
导数复习
(1) 函数 f ( x) x3 3x 2 1是减函数的区间为
()
A． (2, ) B． ( ,2) C ． ( ,0)
D ．（0， 2）
（ 2）曲线 y x3 3x2 1在点（ 1， -1 ）处的切线方程为（
）
A． y 3x 4 B 。 y 3x 2 C 。 y 4x 3 D 。 y 4x 5 a
B. 一定是 f ( x) 的极值
C.一定是 f ( x) 的极小值
D.等于 0
16. 设函数 f n( x)= n2x2(1 －x) n( n 为正整数 ) ，则 f n( x) 在［ 0,1 ］上的最大值为 ( )
A.0
B.1
C. (1 2 ) n
D. 4( n )n 1
2n
n2
17、函数 y=(x 2-1) 3+1 在 x=-1 处( )
A、（2，3） B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
24、方程 6x 5-15x 4+10x3+1=0 的实数解的集合中 ( )
D、（- ∞， 3）
A、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素
二．填空题
25．垂直于直线 2x+6y＋1=0 且与曲线 y = x 3＋ 3x－5 相切的直线方程是
A、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值
18.f(x)=ax 3+3x2+2， f ’ (-1)=4 ，则 a=( )
D、无法确定极值情况
A、 10 B 、 13
3
3
C 、 16
3
D
、 19
3
19. 过抛物线 y=x2 上的点 M（ 1 , 1 ）的切线的倾斜角是 (
)
24
A、300
B 、450 C 、600
2
（1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 极小值；（ 2）试讨论曲线 y
f (x) 与 x 轴公共点的个数。
为 1 ，则 a 6
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_________ 。
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39．已知 x 1 是函数 f ( x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点， 其中 m,n R, m 0 ，
数, 又
f
1 ()
3.
22
( Ⅰ ) 求 f (x) 的解析式 ;( Ⅱ) 若在区间 [0,m] ( m＞0) 上恒有 f ( x) ≤ x 成立 , 求 m 的取值范
围.
44，已知函数 f ( x) ax 3 bx2 3x 在 x 1 处取得极值 . (1) 讨论 f (1) 和 f ( 1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值 ; (2) 过点 A(0,16) 作曲线 y f ( x) 的切线 , 求此切线方程 .
二．25~32 1 、y=3x-5 2 、m>7 3 、4 -11 4
、 18, 3 5 、( ,0)
6、
1 ,
) 7、 (
, 1) (2,
)
8 、 [0,
]
2 [
,
) 33~34（ 13）、
1 （ 14）、
t
0
3
23
三 36~42 ． 1 ． 解 ：（ Ⅰ ） 由 f ( x) 的 图 象 经 过 P （ 0 ， 2 ）， 知 d=2 ， 所 以 f (x) x 3 bx 2 cx 2, f (x) 3x 2 2bx c. 由 在 M ( 1, f ( 1)) 处 的 切 线 方 程 是
2
c
成立，求
c
的取值范围．
43，已知向量 a ( x2 , x 1),b (1 x, t) ，若函数 f ( x) a b在区间 ( 1,1) 上是增函数， 求 t 的取值范围。
41．已知 f ( x) ax3 bx 2 cx 在区间 [0,1] 上是增函数 , 在区间 ( ,0), (1, ) 上是减函
个数是 A．3
B．2
C．1
的点中，坐标为整数的点的 4
() D． 0
（ 6）函数 f ( x) ax3 x 1有极值的充要条件是
（）
A． a 0 B ． a 0 C ． a 0 D ． a 0 （ 7）函数 f ( x) 3x 4x3 （ x 0,1 的最大值是（ ）
A． 1 2
B ． -1 C
．0 D ．1
,求k的
50 已知 f ( x) =x3+ax2+bx+c, 在 x ＝1 与 x＝－ 2 时，都取得极值。 ⑴求 a，b 的值； ⑵若 x [ －3， 2] 都有 f ( x)> 1 1 恒成立，求 c 的取值范围。 c2
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参考解答 一．1~9 BBDDD CDDA 10~24AAB
（ I ）求 m 与 n 的关系式；
（II ）求 f ( x) 的单调区间；
（ III ）当 x 1,1 时，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ，求 m
42．设函数 f ( x)
3
ax
bx c Байду номын сангаасa
0) 为奇函数，其图象在点
(1, f (1)) 处的切线与直线
x 6 y 7 0 垂直，导函数 f '( x) 的最小值为 12 ．
x1
()
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A.(- ∞,1) B.(0,1) C.(1,+
∞) D. [1,+ ∞)
11. 若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（ ）
A． 4x y 3 0 B ． x 4 y 5 0 C ． 4x y 3 0 D ． x 4y 3 0
12 函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ，导函数 f (x) 在 (a, b) 内的图象如图所示， 则函数 f ( x)
4x3 bx2 ax 5在 x 3 , x 1处有极值，那么 a
；b
2
3
x
ax 在 R上有两个极值点，则实数
a 的取值范围是
x3 3ax2 3(a 2) x 1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值
范围是 31．若函数 f ( x) x3 x2 mx 1 是 R 是的单调函数，则实数 m 的取值范围是
22
A、 89 B 、1
8
C、 33
8
D、 5
22、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 为函数的极值，则 ( )
A、 c≠ 0 B 、当 a>0 时， f(0) 为极大值
C、 b=0 D 、当 a<0 时， f(0) 为极小值 23、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是 ( )
6x y 7 0
知
6 f ( 1) 7 0,即f ( 1) 1, f ( 1) 6.
3 2b c 6,
2b c 3,
即
解得 b c 3. 故 所 求 的 解 析 式 是
1 b c 2 1. b c 0,
f (x) x3 3x2 3x 2.（2）f (x) 3x2 6x 3.
令3x 2 6x 3 0,即 x2 2x 1 0.