三角形中的范围问题

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三角形中的取值范围

三角形中的范围与最值1，在△ABC 中，c a b 、、分别是角A 、角B 、角C 所对的三边，若c a b 、、成等比数列，求B 的范围。

0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦2，在锐角△ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围。

(13，如果060,12,ABC AC BC k ∠===的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是 012k <≤或k =4，在不等边三角形中，a 是最大边，若222a b c <+，求A 的取值范围。

,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5，若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，求m 的取值范围。

()2+∞，6，在等腰△ABC 中，底边BC=1，底角B 的平分线BD 交AC 于D ，求BD 的取值范围。

23⎛ ⎝ 1，在三角形ABC 中，3A π∠=，求sin sin B C +的最大值。

2，在三角形ABC 中，,43A a π∠==，求b c +的最大值。

3，在三角形ABC 中，,43A a π∠==，求A B C S 的最大值。

4，已知向量()1sin ,,3,sin 2m A n A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小。

（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状。

3π5，如图所示，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设2M G A=.33ππαα⎛⎫∠≤≤⎪⎝⎭（1）试将△AGM ，△AGN 的面积（分别记为1S 与1S ）表示为α的函数；（2）求221211y SS=+的最大值与最小值。

12sin sin ,;12sin 12sin 66S S ααππαα==⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭max min 240,216.y y ==6，如图，A 、B 、P 、Q 为平面上四点，其中A 、B为定点，且||A B =动点P 、Q 满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，设△APB 和△PQB 的面积分别为S 、T 。

三角形中的范围问题

三角形中的范围问题
在三角形中，范围问题通常涉及到角度、边长、高、中线等元素的取值范围。

以下是一些常见的三角形中的范围问题：
1.角度范围：根据三角形的性质，一个三角形的三个内角之和为180度。

因此，
三角形的每个角都有一个范围，例如一个角最小为30度，那么其余两个角的和最大为150度。

2.
3.边长范围：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

因此，可以根据已知的两边长来计算第三边的可能范围。

4.
5.高范围：三角形的高是从顶点垂直到对应的底边的线段。

根据三角形的形状
和大小，高可以有一个范围。

例如，在直角三角形中，斜边上的高可以通过毕达哥拉斯定理计算出来，并有一个特定的范围。

6.
7.中线范围：三角形的中线是从顶点垂直到对应的底边的中点的线段。

中线的
长度也有一个范围，可以使用中线的性质来计算。

8.
解决三角形中的范围问题时，通常需要结合三角形的基本性质和几何知识，通过逻辑推理和数学计算来确定元素的取值范围。

解三角形中的取值范围问题

a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
3.三角形的面积公式：
S△ABC＝12absin
C＝1bcsin 2
A＝1acsin 2
B
4.重要不等式：对于任意实数 a，b，都有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立
5.基本不等式及其变形式：
2
要求： 1.小组内互讲互学，充满激情。 2.围绕自探提纲，组内交流自主探究成果。学科组长安排有序，主要对自探中的难点进行探讨整理，达成共识。 3.得到统一答案后，确定展示代表和评价代表。 4.有书面展示必要的尽早在划定区域内板书。
总结反思
1.函数法：利用正弦定理将所求目标中的边化成角，结合正弦定理求取值范围。(注意角的的取值范围) 2.不等式法：利用余弦定理与重要不等式、基本不等式结合求最值。(注意题目中的隐含范围）
（4 3, 6 3]
例 2 在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A a cos（B ），
6
若 ABC 的外接圆半径为 2，求 ABC 面积的取值范围。
(0,3 3]
小组探究
例 3 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 (b 2c ) c oAs a a2 2 Bc o，s若 a 3 ，且ABC 为锐角三角形，求b c 的取值范围。
解三角形中的取值范围问题
学习目标
1.灵活运用正弦定理、余弦定理及其变形式； 2.综合运用正弦定理、余弦定理、基本不等式解决三角形中的最值范围问题； 3.在解题过程中体会数形结合，转化与化归的数学思想。

三角形解答题第二问中范围问题

解三角形范围问题总结第一类与三角形的边相关的范围问题1．在中，角的对边分别是，.(1)求的值；(2)若，求的最大值.422．设函数 f x cos2x 2cosx.(1)求f x的对称轴方程；(2)已知ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若f A1，bc2，求a的最小值.2 24．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB2ab.（1）求角C；（2）若ABC的面积为S 3c，求ab的最小值.2点睛：和余弦定理有关的最值问题，常与三角形的面积结合在一起考查，解题时要注意对所得式子进行适当的变形，如a2b2ab 2 b和ab的形式，为运用基本不等式创造条件．另2ab，以构造出a外，在应用基本不等式的过程中，要注意等号成立的条件．7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC cosAcosB 3sinAcosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a c 1，求b的取值范围．8. 中，内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.9.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足：①ABC的外心在三角形内部（不包括边）；②b2 a2 c2 sinB C 3accosA C .（1）求A的大小；（2）求代数式bc的取值范围.a10.．在中，内角、、的对边分别为、、，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若点满足，且，求的取值范围．11.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tanAtanB 2sinC. cosA（1）求角B的大小；（2）若ac4，求b的取值范围.12. 已知△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，且3ctanAtanB. acosB(1) 求角A的大小；(2) 设AD为BC边上的高，a 3，求AD的范围.【总结】三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值 )、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.第二类与三角形的角相关的范围问题2.已知函数f x sinxcosx sin2 x12.（Ⅰ）求f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC中, a,b,c 为角A,B,C 的对边，且满足bcos2A bcosA asinB0 A 求f B的取值范围.23.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 a,b,c,且3acosC 2b 3ccosA.(1)求角A的大小;(2)求cos5πB2sin2C的取值范围.2 24．已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2acosBbcosA0.（1）若a 2c，求角B；（2）求cosC的最小值.5.已知锐角ABC的三个内角A、B、C满足sinBsinC sin2B sin2C sin2AtanA．（Ⅰ）求角 A的大小；（Ⅱ）若ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求OA AB AC 的取值范围．6.设ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的面积S满足43S a2b2c2.(1)求角C的值;(2)求sinBcosA的取值范围.7.在中，角，，的对边分别为，，，.(1)求的大小；(2)求的取值范围.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA acosC.(1)求角C的大小;(2)求u 3sinAcosB π的取值范围.49.ABC 的内角A、B、C所对的边分别为，，c，且asinAbsinBcsinC2asinBab1求角C；2求3sinA cosB 的最大值．410．已知向量 m sinB,1 cosB,且与向量n 2,0所成角为，其中A,B,C是ABC的内角。

专题03 三角形中的最值、范围问题-

一、选择题1．在△ABC中，sin A＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. (10，＋∞)C. (0,10)D.400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin104040sin sin0,3sin334a Cc C CA⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦,选D.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为3a，则c bb c+的最大值是( ) A. 8B. 6C. 32D. 4【答案】D3．在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c，若32sin242Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c+=，则ABC∆周长的取值范围是( )A. (]2,3B. [)3,4C. (]4,5D. [)5,6【答案】B【解析】由0＜B ＜π得，4π ＜324B π+ 74π< ， ∵32sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴324B π+= 34π 解得B =3π，又∵a +c =2， ∴由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2-2accosB =（a +c ）2-2ac -ac =4-3ac ，∵a +c =2，a +c ≥2ac ，当且仅当a =c 时取等号，∴0＜ac ≤1，则-3≤-3ac ＜0，则1≤b 2＜4，即1≤b ＜2．∴△ABC 周长L =a +b +c =b +2∈[3，4）．故选B4．在ABC ∆中,角A B C 、、所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A .32 B . 22 C . 12 D . 12- 【答案】C5．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（） A .()2,3 B .()2,2 C . ()1,3 D . ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ππ,2cos 2,364B B <<∈故选A ．6.已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A.B. C.D.【答案】D∵是锐角三角形，∴，解得，∴， ∴．即的值范围是．二、填空题7.在ABC 中， 60ACB ∠=︒， 1BC >， 12AC AB =+，当ABC 的周长最短时， BC 的长是__________．【答案】21+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12{1 60b c a C =+>=︒，由余弦定理，得： 2222cos c a b ab C =+-，即2221122 c a c a c⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a aca-+=-，ABC的周长：122a b c a c++=++2121212a aaa-+=++-()26321a aa-=-．令1t a=-，则三角形周长为：()()2613139993222222t ttt t+-+=++≥+，当332tt=，即22t=，212a=+时ABC的周长最短．8．设,m n R∈，若直线:10l mx ny+-=与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆224x y+=相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB∆面积的最小值为_________.【答案】3整理得：2213m n+=，令直线l解析式中0y=，解得：1xm=，1Am∴（，），即1OAm=，令0x=，解得11y Bn n=∴：，（，），即1OBn=，222m n mn+≥，当且仅当m n=时取等号，222m nmn+∴≤，又AOB为直角三角形，22111322ABCS OA OBmn m n∴=⋅=≥=+，当且仅当2216m n==时取等号，则AOB 面积的最小值为3．9．已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,a b c 其中2c = ， 3cos cos 2sin ca Bb A C+=则ABC 周长的取值范围为___________.【答案】（23+2，6].=433 (sinA +sin (23π-A ))+2=433 (sinA +32cosA +12sinA )+2 =4sin (A +6π)+2. ∵C =3π，△ABC 是锐角三角形， ∴A ，B ∈（6π， 2π），∴A +6π∈（3π， 23π），∴sin (A +6π)∈（32，1]，∴a +b +c =4sin (A +6π)+2∈（23+2，6].10．在ABC ∆中， ,2,45BC x AC B ===︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是______. 【答案】222x << 【解析】∵在△ABC 中, ,2,45BC x AC B ===︒，且三角形有两解， ∴如图： 452xsin x ︒<<，解得222x <<， ∴x 的取值范围是(2,22，故答案为： (2,22).11.设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为____．【答案】()2,312.在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是__________.【答案】【解析】三条边能组成三角形，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得：1<c<7，①若∠C 为钝角，则：，解得：c>5，②若∠A 为钝角，则：，解得：，③结合①②③可得c 的取值范围是.13.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2C B =，则cb的取值范围是________．【答案】(2,3【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos 2cos ,2cos cC B B B c b B B b==∴== 因为锐角ABC ∆，所以0,02,03,222B C B A C B B πππππ<<<=<<=--=-<()23cos ,,2,3642cB B b ππ⎛⎫∴<<∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭14.若的面积为,且∠C 为钝角，则∠B =_________；的取值范围是_________.【答案】15.在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是__________．【答案】【解析】 ∵中、、成等差数列， ∴．由正弦定理得，∴，∴，∵为锐角三角形，∴，解得．∴， ∴，∴，故面积的取值范围是．三、解答题16.已知函数()233sin sin cos 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()32f A =， 4b c +=，求a 的取值范围.【答案】(1) ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[)2,4a ∈【解析】（1）函数变形()1cos2133sin2sin 2223x f x x x π-⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()3sin 23f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 0,2A π<< 22333A πππ-<-<所以233A ππ-= 解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中， ()()22222344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈。

高中数学专题讲义：三角形中的范围问题你处理好了吗

高中数学专题讲义:三角形中的范围问题你处理好了吗考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 基础知识回顾: 1、正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如:（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理:2222cos a b c bc A =+-变式:()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式:（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和:A B C π++=，从而可得到:（1）正余弦关系式:()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式:()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=±()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式:()22sin cos sin a A b B a b A ϕ+=++，其中tan baϕ= 应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【海南省海南中学高三第五次月考】设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若,求的取值范围. 【答案】（1）（2）即:即:又的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．【例2】【黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）)若角是钝角，且，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .∴，①∵，∴，∴，②由①②得的范围是.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步:求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例3】【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得:，，∴又，∴，∴点睛:第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得:解:∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得:∴，∴∵，∴∴的周长范围为【例4】【四川省2015级高三全国Ⅲ卷冲刺演练（一）】在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛:本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步:定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步:求结果.类型三、与面积有关的范围问题【例5】【5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅲ卷）】在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）由正弦定理可得，即，∵，∴，∴，∵，∴，即.又，可得.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明:；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.方法、规律归纳:1、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系:sin sin cos cos>⇔>⇔>⇒<a b A B A B A B其中由cos cos>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin>⇔>仅在一个三角A B A BA B A B形内有效.2、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值实战演练:1．【山东省济南省高三第二次模拟考试】在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.点睛:（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出的表达式，再结合的范围求函数的值域.2．【辽宁省大连市高三第二次模拟考试】在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛:（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.3．【云南省昆明市高三5月适应性检测】在中，内角所对的边分别是，已知（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2).，，所以，因为，所以（Ⅱ）由正弦定理:得:，所以，因为，，所以.点睛:（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；（2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围.4．【湖南省岳阳市第一中学高三第一次模拟考试】已知，，设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围.【答案】(1), ;(2).令，则，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由可知，（当且仅当时取等号），所以，，，综上，的取值范围为.点睛:此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.5．【重庆市綦江区高三5月预测调研考试】已知，，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且,求的取值范围.【答案】（1）（2）所以函数零点满足,由，解得,．6．【四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析:（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解:(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.综上所述，.点睛:本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.7．【四川省资阳市高三4月模拟考试（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.（2）根据余弦定理， 2222cos3a b c bc π=+-，所以222216162b c b c bc ++=+≤+，则有2232b c +≤，又221616b c bc +=+>，所以22b c +的取值范围是(]16,32．【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8．【衡水金卷普通高校招生全国卷 I A 信息卷】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 2,31⎡⎤+⎣⎦.9．【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4Bπ=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b = (2) ()8,82（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()382cos 82cos 82cos 24S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 32cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(82cos 8,82S AcosC ∴+∈.10．【吉林省吉林市高三第三次调研考试】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin 3cos ba cB C ac A C --+=+（1）求A 的大小；（2）求代数式b ca+的取值范围. 【答案】（1）3π（2）32b c a+<≤ 试题解析:（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∴()()2cos sin 3cos ac B B C ac A C -+=+ ， ∴()()2cos sin 3,B A B ππ--=- ∴2cos sin 3cos B A B -=，又ABC ∆是锐角三角形， ∴cos 0B ≠， ∴3sin A = ∴锐角3A π=．（2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， ∴sin sin ,sin sin a B a Cb c A A==∴233sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B Cππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+< ∴3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∴32b ca+<≤．故代数式b ca+的取值范围(3,2⎤⎦．11．【甘肃省西北师范大学附属中学高三冲刺诊断考试】已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；（2）已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2, .(2) a ∈[1,2).【解析】分析:（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果． (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．详解:（1）,，可得f (x )递增区间为, 函数f (x )最大值为2，当且仅当，即，即取到∴.12．【衡水金卷信息卷全国卷 I A 】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n . （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为23，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6【解析】试题分析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围. 试题解析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（. 由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=，即()2sin CcosA sin A B sinC =+=. 在ABC ∆中，由0sinC >，得1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.13．【天津市部分区高三质量调查（二）】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是. （1）求函数的解析式；（2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）由得，即∴，又，∴∵是锐角三角形，∴，∴，∴∴点睛:本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．14．【普通高校招生全国卷一（A ）衡水金卷】三信息卷（五）】在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若3a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (33,33⎤+⎦ 【解析】试题分析:（1）将所给的三角恒等式整理变形可得28210cos A cosA --=，结合△ABC 为锐角三角形可得12cosA =， 3A π=. （2）设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得1r =.则()2b c r sinB sinC +=+236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用△ABC 为锐角三角形可求得62B ππ<<，则3,162sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r ，则3223ar sinA===，∴ 1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意02{2032B B πππ<<<-<，∴62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，∴3,16sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(3,23b c ⎤+∈⎦，∴ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.15．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) . (2).（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．。

三角函数与解三角形中的最值(范围)问题

＝

sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［，），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋）在［，1）上单调递减，
2

3

所以的取值范围为（

2，
6＋ 2
］.
2
＝
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2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
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解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0，］上的值域为[－1，2].故选D.
2
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2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值

三角形中的范围(最值)问题

三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6.(1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围； (2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分(2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分例题1 答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法2如图作DE ∥AB 交BC 点E ，所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长为1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1. 于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c ，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C ，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝ 2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9. 解法4以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9. 变式联想变式1答案：(1)2π3；(2)[23，＋∞)．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得(4R ·sin A ＋2R ·sin C )cos B ＋2R ·sin B cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ≠0，解得cos B ＝－12，B ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，S △ABC ＝12xy sin 2π3＝34xy ，S △ABD ＝12y sin π3＝34y ，S △BCD＝12x sin π3＝ 34x ，所以xy ＝x ＋y ，即y ＝xx －1，x ∈(1，＋∞)．在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos2π3＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝(x ＋y －12)2－14，因为x ＋y ＝xy ≤（x ＋y ）24，x >0，y >0，所以x ＋y ≥4，所以AC 2≥(4－12)2－14，所以AC ≥2 3.所以AC的取值范围是[23，＋∞)．变式2答案：(1)y ＝xx －1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5；(2) 3. 解析：(1)由S △ABC ＝S △ABD ＋ S △ACD 得，12x sin 60°＋12y sin 60°＝12xy sin 120°，所以x ＋y ＝xy ，所以y ＝x x －1，又0<y ≤5，0<x ≤5，所以54≤x ≤5，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5. (2)设△ABC 的面积为S ，则结合(1)得S ＝12xy sin A ＝12x·x x －1·sin 120°＝3x 24（x －1）(54≤x ≤5)，因为x 2x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号．故当x ＝y ＝2时，面积S 取得最小值3平方千米．答：该渔民至少可以围出3平方千米的养殖区．串讲激活串讲1 答案：726. 解析：设∠BDA ＝θ，AD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BD·cos ∠BDA ，可得15a 24－28a ＋49＝x 2－xa cos θ，①在△ACD 中，由余弦定理得3a 24＝x 2＋xa cos θ，②，由①＋②可得2x 2＝92a 2－28a ＋49＝92(a －289)2＋499≥499，所以x ≥726，当且仅当a ＝289时等号成立，所以中线AD 的最小值为726.串讲2 答案：(1)OM ＝2sin （α＋π4），ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3；(2)α＝π6，8－4 3.解析：(1)在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，即OM ＝2sin （α＋π4），同理ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3.(2)S △OMN ＝12OM·ON sin ∠MON ＝1sin （α＋π4）×sin （α＋5π12）＝1sin （α＋π4）×sin （α＋π4＋π6）＝132sin 2（α＋π4）＋12sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝134[1－cos （2α＋π2）]＋14sin （2α＋π2）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝112sin （2α＋π6）＋34，因为0≤α≤π3，π6≤2α＋π6≤5π6，所以当α＝π6时，sin (2α＋π6)的最大值为1，此时△OMN 的面积最小．即α＝π6时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a ＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．。

解三角形中的范围问题

求解方法的选取
根据问题的具体情况，选择合适的求解方法，如代数法、几何法、三角函数法等。
对未来研究的展望和挑战
求解方法的改进
随着数学和计算机技术的发展，未来可以尝试将更先进的技术和方法应用于三角形问题的求解中，以提高求解效率和精度。
复杂三角形问题的研究
对于一些复杂的三角形问题，如具有多个约束条件的三角形问题、非等腰三角形问题等，需要进行更深入的研究和探讨。
解答
利用余弦定理，计算边 a的长度为$sqrt{26}$，然后利用正弦定理，求出高BC为$sqrt{10}$。
实例二：给定边长求角度和高
01
题目
分析
02
03
解答
在三角形ABC中，已知a=5， b=4，高BC=3，求角A的大小。
已知两边长度和高，可以通过余弦定理求出角度A。
利用余弦定理，计算出角A的大小为$60°$。
实例三：给定高求角度和边长
题目
在三角形ABC中，已知高BC=4，角 A=45°，a=6，求边b的长度。
分析
已知高、角度和一边长度，可以通过正弦定理求出另一边b的长度。
解答
利用正弦定理，计算出边b的长度为 $sqrt{10}$。
07
总结与展望
解三角形中的范围问题的关键点总结
三角形边长和角度的取值范围
02
边长和高度的变化会影响三角形的面积，但具体关系取决于三角形的
形状。
03
在等腰三角形中，面积与边长和高度都有关，但高度对面积的影响更
大。
高和面积的范围计算方法
01
高和面积的范围可以通过三角形的性质和几何关系来计算。
02
在给定三角形两边及夹角的情况下，可以使用余弦定理和三角函数来计算高的范围。

三角形中的最值或范围问题

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===，所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<，所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α），另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点．（1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>．由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到．（2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

解三角形中的最值(范围)问题

解三角形中的最值（范围）问题1. 锐角三角形ABC 满足2B=A+C ，设最大边与最小边之比为m ，求m 的取值范围. 分析：不妨令则因为所以所以2. 锐角三角形ABC 的面积为S ，角C 既不是最大角，也不是最小角.若，求的取值范围.分析：又所以所以又在锐角三角形ABC 中，角C 既不是最大角，也不是最小角所以所以，即k 的取值范围.60B ︒=090A B C ︒<≤≤<sin sin()1sin sin 2tan 2c C A B ma A A A +====+3060A ︒︒<≤tan 3A <≤12m ≤<22()4c a b S k --=k 222222cos (1cos )442c a b ab ab ab C ab C S k k k --+--===1sin 2S ab C =1cos sin CC k -=1cos tan sin 2C C k C -==42C ππ<<1tan 12C <<3. 三角形ABC 满足B 是锐角，且，则的取值范围是_______. 分析：由正弦定理得所以又所以又B 是锐角所以4. 锐角三角形ABC 满足,求的取值范围.分析：由正弦定理得所以所以又所以又所以所以28sin sin sin A C B =a cb +28ac b=a c b +===2222cos 8b a c ac B ac =+-=22cos 484a c B ac ++=()22a c b+∈)(sin sin )(sin sin )c b c C B a A B =+-=-22a b +()()()b c c b a a b +-=-222a b c ab +-=1cos 2C =0C π<<3C π=4sin sin sin a b c A B C ===4sin ,4sin a A b B ==22222241cos(2)21cos 2316(sin sin )16[sin sin ()]16[]168cos(2)3223A A a b A B A A A πππ---+=+=+-=+=-+又所以所以所以5. 三角形ABC 满足BC 边上的高为，则的最大值是_____. 分析：又所以所以所以又所以的最大值是46. 三角形ABC 满足点D 在边BC 上，且，若，则的取值范围是______.分析： 62A ππ<<242333A πππ+∈（，）12)[1,)32A π+∈--cos(22(20,24]a b +∈6a c b b c+21122S BC h a =⋅==22c b b c b c bc ++=21sin 212S bc A a ==222sin 2cos a A b c bc A ==+-222cos 4sin()6b c A A A bcπ+=+=+0A π<<c b b c +2DC BD =::3::1AB AD AC k =k。

解三角形中的取值范围问题

解三角形中的取值范围问题题型1:求三角函数范围问题例题1：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC ，则sinA ＋sinB 的最大值是巩固练习1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA bsinA a =，且πB 2>，则sinA+sinC 的最大值是 ______ ．2．在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且4442222a b c c a b++=+,若C 为锐角,则sin B A 的最大值为题型2:求边长和差的范围问题例题1：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.巩固练习1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C A C B +=.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求A ；（2）若a =b a ≥，求12b c -的取值范围.题型3:求边长之比的范围问题例题1：若ABC ∆)222a c b +-，C ∠为钝角，则B ∠=___；c a的取值范围是____．巩固练习1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈︒︒，则a b 取值范围是______．2. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C +-=-，则（1）角C =______________；（2）a b c+的取值范围为______________．题型4: 面积最值例1.在中，分别为角的对边，且满足．（1）求角的值；（2）若bc 最大值．ABC ∆a b c 、、A B C 、、222b c a bc +-=A a =例2、在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知3,3c C π=∠=.（Ⅰ）若sin 2sin B A =，求,a b 的值；（Ⅱ）求22a b +的最大值.巩固练习1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为2.在C ∆AB 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，c a =（） C.2 3、在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+ （1）证明：2a b c += ；（2）求cos C 的最小值.4、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c A a b +=.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2a b +=，当边c 取最小值时，求ABC ∆的面积.5、在ΔABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，若a +c =4，2sinB =sinA +sinC ，则ΔABC 的面积的最大值为（）A ．√3B ．2C ．2√3D ．4题型5: 已知角和非对应边，求解范围问题当已知条件为三角形的一角及一非对应边时，求解三角形面积或周长时，把其中一边用正弦定理结合三角形内角和定理将其用角度表示出来，最终把问题转化为含有同一角度的三角函数问题，使用换元思想，化成函数值域问题。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

微专题5 三角形中的范围(最值)问题

微专题5 三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数．本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.1.(2018·江苏卷)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，∠ABC ＝120°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，且BD ＝1，求4a ＋c 的最小值．2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量m ＝(2a ＋c ，b ),n ＝(cos B ，cos C )，且m ，n 垂直．(1)求角B 的大小；(2)若∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且BD ＝1，设BC ＝x ，BA ＝y ，试确定y 关于x 的函数关系式，并求边AC 的取值范围．3.如图，某水域有两条直线型岸边l 1和l 2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A 相距1 km 的D 处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B ，C 分别在l 1和l 2上)围出三角形ABC 的养殖区，且AB 和AC 的长都不超过5 km ，设AB ＝x km ，AC ＝y km ，(1)将y 表示成x 的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？4.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b a =，ABC ∆周长为7，求BC 边上的中线AD 的最小值．5. 在等腰直角OPQ ∆中，∠POQ ＝2π,22=OP ,点M 在线段PQ 上,点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝6π. (1)设∠POM ＝α，试用α表示ON OM ,,并写出α的范围；(2)当α取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．6. (2018·全国大联考)已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量m ＝(c ＋a ，b ),n ＝(c －a ，b ＋c ),且a ＝3,m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值；(2)求b ＋c 的取值范围．7.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,设△ABC 的面积为S ,且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A ),n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分 (2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin )42(π-A －3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈)1213,4(ππ-.10分所以sin )42(π-A ∈]1,22(-.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分。

解三角形取值范围常见题型

解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。

本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。

一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。

例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。

2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。

-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。

-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。

-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。

例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。

三角形中的范围(最值)问题专题

即2C＝A＋B，得C＝ .
(2)由正弦定理得c＝2RsinC＝ .
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，故a2＋b2＝＋ab.
因为a>0，b>0，所以a2＋b2> .又ab≤ ，故a2＋b2≤ ＋，得a2＋b2≤ .因此， <a2＋b2≤ .则a2＋b2的取值范围为 .
7．答案：(1) ；(2) .
解析：(1)由sin(2A－ )＝1，得2A－＝2kπ＋ (k∈Z)，即A＝kπ＋ (k∈Z)，又A∈(0，π)，所以A＝ .
(2)由正弦定理得
＝＝
＝
＝
＝
2sin(B＋ )，又△ABC是锐角三角形，所以
解得 <B< ， <B＋ < ，故有 <2sin(B＋ )≤2，所以 < ≤2.即的取值范围为 .
三角形中的范围
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是________．
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是________．
3．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈ 都成立，则a2－a1的最小值为________．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0，当A为锐角时，则m的取值范围是________．
4．答案： .
解析：由正弦定理及sinB＋sinC＝msinA得，b＋c＝ma，又cosA＝＝＝＝2m2－3，因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0，1)，所以 <m2<2，又由b＋c＝ma得m>0，所以 <m< .
5．答案：(3，2 ]．

高中数学解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题

解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题素养解读：任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．1．与边角有关的范围问题【典例1】 (2019·兰州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 3cos A＝c sin C . (1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．[切入点] 由正弦定理求出角A .[关键点] 把b ＋c 表示成B 或C 的三角函数．[规范答题] (1)∵a 3cos A＝c sin C ＝a sin A ， ∴3cos A ＝sin A ，∵tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，∴b ＋c ＝43sin B ＋43sin C＝43[sin B ＋sin(π－A －B )]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. ∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤12，即b ＋c ∈(6,12]．求与三角形中边、角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A、B、C<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等．2．与面积有关的最值问题【典例2】(2019·郑州市高三第三次质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3a cos C＝(2b－3c)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[切入点]由正弦定理求角A的大小．[关键点]由余弦定理和基本不等式求出bc的最大值．[规范解答](1)由正弦定理可得，3sin A cos C＝2sin B cos A－3sin C cos A，从而可得3sin(A＋C)＝2sin B cos A，即3sin B＝2sin B cos A.又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝32，又A为三角形的内角，所以A＝π6.(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A得4＝b2＋c2－2bc32≥2bc－3bc，当且仅当b＝c时等号成立．所以bc≤4(2＋3)．所以S＝12bc sin A≤2＋ 3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋ 3.与面积有关的最值问题一般通过正、余弦定理进行转化，借助三角形的面积公式，结合基本不等式求解．1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. 2．(2020·北京四中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．[解] (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立．故cos C 的最小值为12.。