中考数学折叠问题分析

中考数学“折叠”问题分析

平顶山市第二十七中学

高国普

2019年4月

中考数学“折叠”问题分析

一、近年来河南中考数学题中“折叠”考查内容

①直接考查折叠的性质（全等变换）；

与点坐标、角度结合，借助折叠（轴对称）的性质转移边、角，一般作为选择、填空题中的简单题、中等题进行考查。

②在考查折叠的性质同时，对折叠作图提出了要求；

结合起来考查，以特殊△、正方形、矩形的折叠为背景，考查学生分类作图、分析转化、设计方案求解的能力，一般作为填空题中的小压轴出现。

③将折叠作为背景放在综合问题中进行考查，侧重考查折叠特征的理解以及常见相关的常见组合搭配、套路等

二、轴对称（折叠）的思考层次

（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．

（2）对称轴性质：①对应点所连线段被对称轴垂直平分；

②对称轴上的点到对应点的距离相等。

（3）组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、

两次折叠常出现直角，60°角；

折叠会出现圆弧等．

（4）作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形。

三、15题基本解题步骤：

1．研究背景图形：求解边、角；表达式、坐标（尤其注意特殊角）

2．组合特征、辨识结构：

先考虑折叠，根据折叠的思考层次尝试分析；然后从存在性问题出发，考虑不变特征以及需要满足的条件因素；两者组合进行分析.

3．依据特征分类，作图

4．求解、验证

应用举例

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，

使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'，且B'C=3，则

BN=______，AM=______ ，MN=______.

四、直角思考层次：

1.边：勾股定理

2.角：互余（常多个直角配合进行角的传递）

3.面积：看作高（考虑等积公式）

4.常见组合搭配

①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半)

②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）

③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）

④直角三角形斜边上的高（母子型相似）

⑤弦图结构

⑥三等角模型

⑦斜直角放正

⑧十字模型

5.函数背景下：

6.圆背景下：90°圆周角——直径

注：常由顶点移动的90°直角考虑该顶点所在的圆

应用举例

直角结构——固定用法“斜直角放正”

①一线三等角

如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，

F ，

G 分别在AB ，BC ，FD 上．若

BF= ，则小正方形的周长为 。

应用举例

【2016年第15题】如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3．点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为_______．

(2016郑州二模)已知一个矩形纸片OABC ，OA=6，点P 为AB 边上一点，AP=2，将△OAP 沿OP 折叠，点A 落在点A ′处，延长PA ′交边OC 与点D ，经过点P 再次折叠纸片，使点B 落在边OC 上的点D 处，则AB 的长为____________．

【2017年第15题】如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC= ，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上．若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为__________．

【2018·T15】如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ，连接A ′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为____________．

五、折叠作图

1、对称轴确定：直接作点的对称点、连线即可

2、对称轴不确定：

分析对应点、作对应点连线的垂直平分线

①对称轴过定点、常作弧找交点 ②对称轴不过定点、从分析定点开始

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应用举例：

【2014·河南】如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为__________．

【2016许昌一模、2015绥化、说明与检测】如图，在矩形ABCD

中，BC=6，CD=8，点P在线段AB上任意一点(不含端点A，B) ．若将

△PBC沿PC折叠，使点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，

BP的长为_______．

课标指向、全国中考出题趋势

作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征,分析转化，

补全图形．

折叠作图涉及的几种类型

1.最值问题

和最小、差最大、天桥问题、折叠求最值问题等

2.依据性质和不变特征，分析转化作图

①题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕；

②题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，再作垂直平分线找折痕．折叠求最值结构

特征：折痕过定点，线段BA′长度不变

思路：求A′C最小，转化为BA′+A′C最小

应用举例

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的

中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到

△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．

【2016鄂州、2017说明与检测模拟试题六】如图，菱形ABCD

的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，

将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最

小时，CQ的长为_________．

折叠问题常见的计算方案

折叠问题的难点一般不在于几何推理证明，而在于数形结合、量化计算；设未知数、转移表达、列方程——这一套连续动作往往是解决问题突破口和方向；