课时跟踪检测 (十五) 函数的单调性

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高中数学课时跟踪检测(五)函数的单调性与导数新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数A 级——学考水平达标1．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：选D 由f ′(x )＝ln x ＋1>0，可得x >1e ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.2．已知函数f (x )＝1x－x ，则f (x )在(0，＋∞)上的单调性为( )A ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数C ．f (x )在(0，＋∞)上是减函数D ．f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数解析：选C 因为f ′(x )＝－1x2－1<0，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数，选C.3．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C ∵y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．如图为函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，那么函数y ＝f (x )的图象可能为( )解析：选A 由导函数y ＝f ′(x )的图象，可知当－1<x <3时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(－1,3)上单调递减；当x >3或x <－1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y ＝f (x )的图象的大致形状如A 中图所示，所以选A.5．函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝1，b ∈R C ．a ＝－3，b ＝3D ．a ＝－3，b ∈R解析：选D f ′(x )＝3x 2＋a .∵f (x )在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数， ∴f ′(1)＝3＋a ＝0，∴a ＝－3，b ∈R.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．函数f (x )＝x ＋b x(b >0)的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b x′＝1－b x2，令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，∴－b <x 0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b 的值；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0，得x >1或x <－3；由f ′(x )<0，得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，讨论f (x )的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减．B 级——高考能力达标1．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：选B y ′＝cos x ＋x (－sin x )－cos x ＝－x sin x ，用排除法知B 正确． 2．已知函数f (x )＝x ＋1x(x >1)，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f ′(x )＝1－1x2>0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (e)<f (3)．故选A.3．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值X 围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0，要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减，只需y ′＜0，即a ＞0.4．已知函数f (x )＝－2x 2＋8ax ＋3在(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选B ∵f (x )在(－∞，3]上是增函数， ∴f ′(x )＝－4x ＋8a ≥0对于x ∈(－∞，3]恒成立．即a ≥x2对于x ∈(－∞，3]恒成立．令g (x )＝x2，x ∈(－∞，3]，则a ≥g (x )max .∵g (x )＝x2在(－∞，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝32，即a ≥32，选B.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1. 答案：(－1，＋∞)6．若函数f (x )＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值X 围是 .解析：∵f ′(x )＝－4x 2＋a ，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)7．设函数f (x )＝ax －a x－2ln x . (1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，某某数a 的取值X 围．解：(1)因为f ′(x )＝a ＋a x2－2x，且f ′(2)＝0，所以a ＋a 4－1＝0，所以a ＝45.所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x 2(2x 2－5x ＋2)，令f ′(x )≥0，解得x ≤12或x ≥2，令f ′(x )≤0，解得12≤x ≤2，所以f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2，所以需ax 2－2x ＋a ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1.所以a 的取值X 围是[1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0. 解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)，当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，所以f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.。

课时跟踪检测函数的单调性与最值(普通高中)

课时跟踪检测（五）函数的单调性与最值(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，即f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③B 级——中档题目练通抓牢1．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a x 2， ∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，∴f (x )x 是(0，＋∞)上的增函数． ∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2， ∴0.32<30.2<log 25， ∴b <a <c .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1) 5．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)6．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.7．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．。

高中数学中的函数单调性测试题

高中数学中的函数单调性测试题在高中数学的学习中，函数的单调性是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着广泛的应用，也是解决实际问题的有力工具。

为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，下面为大家精心准备了一套函数单调性的测试题。

一、选择题1、函数\（f(x) ＝ x^2 2x\）在区间\（0, 2\）上的单调性是（）A 单调递增B 单调递减C 先增后减D 先减后增2、下列函数中，在区间\（（＼infty, 0)＼）上单调递增的是（）A ＼（f(x) ＝ x\）B ＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x}＼）C ＼（f(x) ＝x^2\） D ＼（f(x) ＝ x^2\）3、函数\（f(x) ＝＼ln x\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, 0)＼）B ＼（（0, ＋＼infty)＼）C ＼（（－1, 1)＼）D ＼（（1, ＋＼infty)＼）4、已知函数\（f(x) ＝ 2x^3 6x^2 ＋ 7\），则函数\（f(x)＼）在区间\（－1, 2\）上的单调性为（）A 单调递增B 单调递减C 先增后减D 先减后增5、函数\（f(x) ＝＼frac{x ＋ 1}｛x 1}＼）的单调递减区间是（）A ＼（（＼infty, 1)＼）和\（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（＼infty, 1)＼）C ＼（（1, ＋＼infty)＼）D ＼（（＼infty, －1)＼）和\（（－1,＋＼infty)＼）二、填空题1、函数\（f(x) ＝ 3 2x\）的单调递减区间为________。

2、函数\（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）的单调递增区间为________，单调递减区间为________。

3、若函数\（f(x) ＝ x^2 2ax ＋ 3\）在区间\（－1, 2\）上单调递增，则实数\（a\）的取值范围是________。

4、函数\（f(x) ＝＼log_{05}（x^2 4x ＋ 3)＼）的单调递减区间是________。

高中数学课时跟踪检测-函数的单调性与最值含解析

课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值一、题点全面练1．下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞,－2)B ．(－∞,1)C ．(1,＋∞)D ．(4,＋∞) 解析：选D 由x 2－2x －8＞0,得x ＞4或x ＜－2.因此,函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4,＋∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4,＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1 解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3,＋∞)上为增函数,且f (x )在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即22＋m －1＝1,m ＝－2.故选B.4．函数f (x )＝x1－x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞,1)B ．(1,＋∞)C ．(－∞,1),(1,＋∞)D ．(－∞,－1),(1,＋∞) 解析：选C 因为f (x )＝－1－x ＋11－x ＝－1＋11－x , 所以f (x )的图象是由y ＝－1x的图象沿x 轴向右平移1个单位,然后沿y 轴向下平移一个单位得到,而y ＝－1x的单调递增区间为(－∞,0),(0,＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞,1),(1,＋∞)．故选C.5．(赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞,0]B ．[0,1)C ．[1,＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)． 6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2,x ∈R 在区间[3,＋∞)和[－2,－1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3 B ．[－6,－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3,＋∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故－a2∈[2,3],即a ∈[－6,－4]． 7．函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2) 解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1, 且在x ∈(－1,＋∞)时单调递减,在x ＝2时,y ＝0；根据题意x ∈(m ,n ]时y 的最小值为0,所以－1≤m <2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞,1)上有最小值,则函数g (x )＝f x x 在区间(1,＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1,又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在[|a |,＋∞)上为增函数,故选D.9．(湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2.又∵f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0,∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49,则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49,∴13≤1－2f x ≤12.令t ＝1－2f x ,则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12,令y ＝g (x ),则y ＝12(1－t 2)＋t ,即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时,y 有最小值79；当t ＝12时,y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,＋∞)D ．[2,＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则a >0且a －1≥0,∴a ≥1.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. 3．已知函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,若f (a 2－a )>f (a ＋3),则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3,所以实数a 的取值范围为(－3,－1)∪(3,＋∞)．答案：(－3,－1)∪(3,＋∞)(二)技法专练——活用快得分 4．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R,m ,n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立,那么下列不等式成立的是( )A ．m －n <0B ．m －n >0C ．m ＋n <0D ．m ＋n >0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x ),由于f (x )是R 上的减函数,∴f (－x )是R 上的增函数,－f (－x )是R 上的减函数,∴F (x )是R 上的减函数,∴当m <n 时,有F (m )>F (n ),即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此,当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时,不等式m －n <0一定成立,故选A.5．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,＋∞),则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1),所以m ＋1＝1,解得m ＝0,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,观察图象可知,当纵坐标在[0,＋∞)上时,横坐标在(－∞,－1]∪[0,＋∞)上变化．而f (x )的值域为(－1,＋∞),f (g (x ))的值域为[0,＋∞),因为g (x )是二次函数,所以g (x )的值域是[0,＋∞)．答案：[0,＋∞)(三)素养专练——学会更学通6．[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1)∪[4,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[2,＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3),所以0＜x ＋1＜3,所以－1＜x ＜2,故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞,－1]∪[2,＋∞)．7．[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0,x >0)． (1)求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在12,2上的值域是12,2,求a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0,所以f (x 2)>f (x 1), 所以f (x )在(0,＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在12,2上的值域是12,2, 又由(1)得f (x )在12,2上是单调增函数, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f (2)＝2, 解得a ＝25. 8．[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2,其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x－2>0, 得x 2－2x ＋a x>0, 当a >1时,x 2－2x ＋a >0恒成立,定义域为(0,＋∞)；当a ＝1时,定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立, 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2,＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2,＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2,令h (x )＝3x －x 2, 而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,所以h (x )max ＝h (2)＝2,所以a >2. 即a 的取值范围为(2,＋∞)．。

高中数学《函数的单调性与奇偶性》针对练习及答案

第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-4．下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（）A ．2x x -B ．2x x --C ．2x x -+D ．2x x +15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（） A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <-C ．12a <-D ．12a >-27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤129．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．1 B ．-1 C ．13D ．232．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（） A ．1- B ．13C ．0D ．333．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-234．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．235．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．12 B ．23C ．34D ．1第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断【详解】对于A ，因为()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，但不单调，所以A 错误；对于B ，因为()66(66)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以66x x y -=-是奇函数，因为6x y =是增函数，6x y -=是减函数，所以66x x y -=-是增函数，所以B 正确；对于C ，因为22()()33()f x x x f x -=-+=+=，所以23y x =+是偶函数，所以C 错误；对于D ，因为()()()11f x x x x x f x f x -=--+=-+≠-≠，所以1y x x =+是非奇非偶函数，所以D 错误．故选：B2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（） A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+【答案】A 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误，对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()()3311()()f x x x f x f x -=-+=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误，故选：A3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-【答案】D 【解析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性. 【详解】选项A: sin y x =-为偶函数，故A 错误；选项B: cos 2y x =为偶函数，故B 错误；选项C: tan y x =为奇函数但是在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上单增，故C 错误；选项D: 3y x =-既是奇函数又是R 上单调递减. 故选：D4．下列函数是偶函数且在(0，是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A 、D ，因为幂函数12y x =的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除，二次函数2yx 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增，故选：B5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-【答案】C 【解析】利用奇函数的定义和减函数的定义，再结合基本函数的性质求解即可【详解】解：对于A ，D ，由指数函数和对数函数的性质可知其为非奇非偶函数，所以A ，D 不符合题意，对于B ，由反比例函数的性质可知，其为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，所以不符合题意，对于C ，由于33()2()2()f x x x f x -=--==-，所以3()2f x x =-为奇函数，任取12,x x R ∈，且12x x <，则120x x -<332121()()2(2)f x f x x x -=---33122()x x =- 221211222()()x x x x x x =-++222121232()[()]024x x x x x =-++< 所以21()()f x f x <，所以3()2f x x =-为R 上的减函数，所以C 符合题意，故选：C针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B 【解析】【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【详解】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B 7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】1111()1111111x x x f x xxxxx，函数的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，其图象如下：由图象可得函数在(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数. 故选：C8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数【答案】A 【解析】配方得二次函数的对称轴，然后判断．【详解】2()(1)2f x x =--+，对称轴为1x =，二次项系数为10-<，因此()f x 在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减，故选：A ．9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，【答案】C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令22t x x =-+，结合二次函数单调性，以及. 【详解】因为22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭显然恒成立，所以函数()f x =R ；令22t x x =-+，则22t x x =-+是开口向上的二次函数，且对称轴为12x =，所以22t x x =-+在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；根据复合函数单调性的判定方法可得，()f x 12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型.10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题得函数的定义域为{|12}x x -≤≤，设函数u u 在1]2[-1,单调递增，在1[2]2，单调递减，因为函数1()2uv =在定义域上单调递减，所以函数12y ⎛= ⎪⎝⎭1[2]2，单调递增. 故选D 【点睛】和分析推理能力.针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x ---=，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x ---=，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x -=-=-+-，故选：D12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，可得()23f x x -=--，利用偶函数的定义()()f x f x -=即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()23f x x -=--，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()230f x x x =--<. 故选：A.13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用代入法求函数解析式. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()2f x x f x -=+=-，所以()2f x x =--．故选：C ．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x x - B ．2x x -- C ．2x x -+ D ．2x x +【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的等式()()f x f x -=-求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，x ∈R .当0x >时，0x -<，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦. 故选：D.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】根据奇函数的定义求函数值．【详解】 ∵()f x 是奇函数，∵()()ln 1f e f e e -=-=-=-．故选：A ．针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】首先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，根据单调性可得21x x -<，解绝对值不等式即可求解. 【详解】||()x f x e =，则()()xxf x ee f x --===，函数为偶函数，当0x ≥时，()x f x e =，所以函数在[)0,+∞单调递增，所以函数在(),0-∞上单调递减，若(21)()f x f x -<，则21x x -<，即23410x x -+<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由函数y =f (x )在R 上单调递增，将2(1)(1)f m f m +<-+可化为211m m +<-+，解不等式可得答案【详解】解：因为函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，所以211m m +<-+，解得10m -<<，故选：A18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】由偶函数的性质将不等式(1)(2)f a f -<转化为(1)(2)f a f -<，再由其在[0,)+∞是单调增函数，可得12a -<，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且(1)(2)f a f -<，所以(1)(2)f a f -<，因为函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，所以12a -<，解得13a -<<，故选：A19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（）A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【答案】A 【解析】根据单调性可得29m m >+，解出即可．【详解】解：∵()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+， ∵29m m >+，解得9m >，故选：A ．【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求得a 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D 【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【解析】【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【详解】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误；C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确；D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误；故选：C22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】根据偶函数的性质可得(f f =，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，(f f =当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，因为5π2<，所以5()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x 转化为同一单调区间，再进行判断即可.23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A 【解析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】A 【解析】首先判断出函数的单调性，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=，因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+. 所以(1)()(1)f n f n f n ->->+. 故选：A25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <->，所以(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<，故选：B 【点睛】此题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题针对练习六根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数，则有（） A ．12a C ．12a <-D ．12a >-【答案】A 【解析】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，可得答案. 【详解】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，即12a < 故选：A27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A.28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤1【答案】C 【解析】利用用一次函数的单调性得到210a -<，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则210a -<，解得11a -<<；故选：C.29．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由2121()()0f x f x x x ->-可得函数()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，解得513a <≤，所以a 的取值范围为51,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 30．已知(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1 B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围. 【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（）A ．1B ．-1C ．13 D ．2【答案】C【解析】【分析】若()y f x =，由奇偶性的性质有()()f x f x =-即可求参数a .【详解】若()y f x =，则()f x 23(13)x a x a =+--为偶函数，∵()()f x f x =-，即223(13)3()(13)()x a x a x a x a +--=-+---，∵2(13)0a x -=恒成立，可得13a =.故选：C32．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（）A ．1-B ．13 C ．0 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的奇偶性求得,a b ，从而求得a b +.【详解】由于()f x 是偶函数，所以0b =，且111233a a a a b -=-⇒=⇒+=.故选：B33．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-2【答案】B【解析】【分析】利用函数为奇函数可得()()f x f x -=-，代入即可求解.【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+，整理可得2mx x -=-，即2m =.故选：B34．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质()00f =求解即可【详解】∵()f x 为R 上的奇函数，∵()00f =得a =1.验证满足题意.故选：C35．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a =（） A ．12B ．23C ．34D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】 ∵()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，∵(1)(1)0f f -+=，得12a =．故选：A.。

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杰中杰教育函数单调性奇偶性函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主.（一）函数单调性的判断函数单调性判断常用方法：即 f ( x 2 ) 单调增函数f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x 1)定义法（重点）：在其定义域内有任意 x 1， x 2且x 1x 2即f ( x 2 )单调增函数f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1)复合函数快速判断： “同增异减 ”f ( x) g( x)增基本初等函数加减（设 f ( x)为增函数， g(x)为减函数）： f ( x)为减函数g(x)增f ( x)g (x)为增函数f (x)减g ( x) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 .例 1 证明函数 f ( x)2x 3在区间 (4， ) 上为减函数（定义法）x4解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较） ”进行 .解：设 x 1， x 2(4， ) 且 x 1x 2 ， f (x 1)2x 1 3 2x 2 3 11(x 2 x 1 )f (x 2 )4x 24 ( x 1 4)( x 2 4)x 1Q x 2 x 14 x 2 x 1 0 ， ( x 1 4) 0 ， (x 2 4) 0f ( x 1 )f (x 2 ) 故函数 f (x) 在区间 (4， ) 上为减函数 .练习 1 证明函数 f ( x)2x 1在区间 ( 3， ) 上为减函数（定义法）x3练习 2证明函数 f ( x) x 22 3x 在区间 (2， ) 上为增函数（定义法、快速判断法）3练习 3求函数f ( x)x3定义域，并求函数的单调增区间 (定义法 )x 2练习 4求函数f ( x)x 2 2 x 定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习）（二）函数单调性的应用单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域例 1若函数 f ( x)是定义在R上的增函数，且f ( x22x) f (3 a) 恒成立，求实数 a 的范围。

高中数学课时跟踪检测(十四)--函数的单调性

课时跟踪检测（十四）函数的单调性A 级——学考合格性考试达标练1.如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B . 2．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x |＋2 D ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] D ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.4．(2019·周口高一检测)设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2) D ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选D 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.5．(2019·大同高一检测)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3，1)是其图象上的两点，则－1<f (x )<1的解集是( )A ．(－3，0)D ．(0，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选B 由已知，得f (0)＝－1，f (3)＝1，∴－1<f (x )<1等价于f (0)<f (x )<f (3)．∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ≥1时f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．已知函数f (x )为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12，即a ≤2. 答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－1x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞)．B 级——面向全国卷高考高分练1．函数f (x )＝|x ＋2|在[－3，0]上( ) A ．单调递减 B ．单调递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：选C 作出f (x )＝|x ＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f (x )在[－3，0]上先减后增．2．(2019·昆明高一检测)已知函数f (x )＝4－x 2，若0<x 1<x 2<x 3，则f （x 1）x 1，f （x 2）x 2，f （x 3）x 3的大小关系是( ) A ．f （x 1）x 1<f （x 3）x 3<f （x 2）x 2B ．f （x 1）x 1<f （x 2）x 2<f （x 3）x 3 C ．f （x 3）x 3<f （x 2）x 2<f （x 1）x 1D ．f （x 2）x 2<f （x 3）x 3<f （x 1）x 1解析：选C 由题意可得0<x 1<x 2<x 3≤2，而f （x ）x ＝4－x 2x ＝4x 2－1， ∴f （x ）x 在(0，2]上单调递减， ∴f （x 3）x 3<f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，选C. 3．已知函数f (x )是R 上的增函数，对任意实数a ，b ，若a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )解析：选A ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )．故选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，3) D ．(0，3] C ．(0，2)D ．(0，2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，（a －3）＋5≥2a ，解得0<a ≤2.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．答案：(－∞，8]∪[40，＋∞)6．设f (x )是定义在R 上的增函数，f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (－2)>1的解集为________．解析：由条件可得f (x )＋f (－2)＝f (－2x )，又f (3)＝1，∴不等式f (x )＋f (－2)>1，即为f (－2x )>f (3)．∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴－2x >3，解得x <－32.故不等式f (x )＋f (－2)>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32 7．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝（x 2＋a ）（x 1＋b ）－（x 2＋b ）（x 1＋a ）（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝（b －a ）（x 2－x 1）（x 1＋b ）（x 2＋b ）.∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2. 解：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，即f (x 2－x 1)>1，所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是R 上的增函数． (2)因为f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，所以f (y )＋f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )．在上式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)，因为f (2)＝1，所以f (4)＝2.于是不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2等价于f [x (x －3)]≤f (4)(x ≠3)．又由(1)，知f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x （x －3）≤4，x －3≠0，解得－1≤x <3或3<x ≤4，所以原不等式的解集为[－1，3)∪(3，4]．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

函数的单调性的判断与证明练习题含答案

函数的单调性的判断与证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ) A.y =x 4B.y =2−xC.y =x +cos xD.y =−x 122. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是( ) A.y =x 3+1 B.y =x +1xC.y =−1xD.y =x|x|3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=−2x +1 B.f (x )=1x C.f (x )=lg (x −1) D.f (x )=x 24. 已知函数f(x)=3x −(13)x ，则f(x)( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为( ) A.y =2x B.y =−2x 2C.y =1xD.y =x6. 已知函数f(x)=3x −(13)x，则f(x)（） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数7. 已知函数f (x )={x 2−ax,x ≥2,a x−1−2,x <2满足对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.(1,4]B.(1,+∞)C.(1,2]D.[2,4]8. 给定下列函数，其中在区间(0,1)上单调递增的函数是（） A.y =−12x 2B.y =|x 2−2x|C.y =(12)x+1D.y =x +1x9. 函数f (x )=e x +e −xe x −e −x 的部分图象大致是( )A. B.C. D.10. 已知函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,若f (2−t )>f (t )，则实数t 的取值范围是( )A.(−∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，且f (1)=1，函数f (x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，对于任意x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019 f (x 1)−x 22019 f (x 2)x 1−x 2>0成立．则f(x)≤1x 2019的解集为( )A.[−1,1]B.(−∞,−1]∪[1,+∞)C.(−∞,−1]∪(0,1]D.(−2019,2019)12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( ) A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]13. 函数f(x)=|x−3|的单调递增区间是________.14. 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.15. 已知f(x)=x2+(b−2)x是定义在R上的偶函数，则实数b=________，此函数f(x)的单调增区间为________．16. 已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.17. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域为R，值域是[0,1]；有无数个解；②方程{x}=12③函数{x}是奇函数；④函数{x}是增函数．正确命题的序号是________.18. 若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．19. 已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________.20. 已知f(x)=2x.x2+1(1)判断f(x)在[−1, 1]的单调性，并用定义加以证明；(2)求函f(x)在[−1, 1]的最值.21. 已知函数f(x)=−2x+1是定义在R上的奇函数．2x+a(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明．22. 已知f(x)=x，x∈(−2,2).x2+4(1)用定义证明函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)若f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．+m(m∈R)是奇函数．23. 已知函数f(x)=12x+1(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的单调性（不用证明）；(3)求不等式f(x2−x)+f(−2)<0的解集．24. 已知a>0，函数f(x)=1．1+a⋅3x(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明；(2)设g(x)=f(x)f(−x)，若对任意x∈[−1,1]，g(x)≥f(2)恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性的判断与证明练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分） 1.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明利用导数研究函数的单调性【解析】利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD 中函数的单调性，利用导数研究C 中函数的单调性即可得到答案. 【解答】解：A ，函数y =x 4在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，不满足题意； B ，y =2−x=(12)x在定义域内单调递减，不满足题意；C ，∵ 函数y =x +cos x 的定义域为R ，且y ′=1−sin x ≥0， ∴ 函数y =x +cos x 在其定义域上单调递增，满足题意；D ，y =−x 12在定义域内单调递减，不符合题意. 故选C . 2. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解. 【解答】解：对于A ，设f (x )=x 3+1，f(−x)=−x 3+1≠−f (x )，不是奇函数，故不符合题意；对于B ，由题设知函数为奇函数，在(−1,0)，(0,1)单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，故不符合题意；对于C ，函数为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)分别单调递增，故不符合题意；对于D ，y =x |x |={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意. 故选D . 3.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】对于A:f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B:f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C:f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D:f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D . 【解答】解：对于A ，f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B ，f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C ，f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D ，f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选D . 4.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性. 【解答】解：易知函数f(x)的定义域为R ， f(−x)=(13)x−3x =−f(x)，所以为奇函数.因为y =(13)x 在R 上是减函数，所以y =−(13)x 在R 上是增函数，又y =3x 在R 上是增函数，所以函数f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可. 【解答】解：对于A ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故A 不满足题意；对于B ，函数y =−2x 2为偶函数，故B 不满足题意；对于C ，函数y =1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，故C 不满足题意；对于D ，函数y =x 为奇函数，且在R 上是增函数，故D 满足题意. 故选D . 6. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R ，所以f(−x)=3−x −(13)−x =(13)x −3x =−[3x −(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y =3x 在R 上是增函数，y =(13)x在R 上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数．故选A ． 7. 【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的应用【解析】由已知可得函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a 的取值范围．【解答】解：∵ 对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，故函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a 2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a ∈(1,2].故选C ． 8.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A ，y =−12x 2为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线x =0，所以y =−12x 2在区间(0,1)上单调递减；对于B ，当x ∈(0,1)时，y =|x 2−2x|=−x 2+2x ，因为抛物线y =−x 2+2x 的对称轴是直线x =1，且开口向下，所以函数y =|x 2−2x|在区间(0,1)上单调递增；对于C ，y =(12)x+1=12⋅(12)x，因为0<12<1，所以函数y =(12)x+1在区间(0,1)上单调递减；对于D ，y =x +1x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数y =x +1x 在区间(0,1)上单调递减．故选B ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数图象的作法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知函数的定义域为{x|x ≠0}，定义域关于原点对称，由于f (x )+f (−x )=e x +e −xe x −e −x +e −x +e xe −x −e x =e x +e −x −e −x −e −xe x −e −x=0，即f (−x )=−f (x )，所以y =e x +e −xe x −e −x 是奇函数，排除选项B ；因为y =e x +e −x e x −e −x=1+2(e x )2−1=1+2(e 2)x −1在(0,+∞)上为减函数，排除选项D ；当x =1时，f (1)=1+2e 2−1>0，排除选项C ．故选A ．10.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】【解答】解：根据题意知，函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,当x ≥0时，f (x )=−x 2−4x =−(x +2)2+4，则函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，有f (x )≤f (0)=0. 当x <0时，f (x )=x 2−4x =(x −2)2−4，则函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，有f (x )>f (0)=0. 综上可得函数f (x )在R 上为减函数. 若f (2−t )>f (t )，则2−t <t ，解得t >1，即实数t 的取值范围为(1,+∞)．故选D . 11.【答案】 C【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】首先确定函数f (x )的奇偶性，再构造新函数g(x)=x 2019f(x)，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式. 【解答】解：由于f(x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，则f (x )的图象关于点(0,0)中心对称，即函数f (x )在定义域上为奇函数，令g (x )=x 2019f (x )，则g (−x )=(−x )2019f (−x )=x 2019f (x )=g (x )，所以g (x )为偶函数，又x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019f (x 1)−x 22019f (x 2)x 1−x 2>0，即可得函数g (x )在(0,+∞)为增函数，由奇偶性与单调性的关系可得：函数g (x )在(−∞,0)为增函数，又g (1)=12019×f (1)=1，g (−1)=(−1)2019×f (−1)=−1×[−f (1)]=1 由f(x)≤1x 2019，当x >0时，x 2019f(x)≤1=g (1)，所以0<x ≤1；当x <0时，x 2019f(x)≥1=g (−1)，所以x ≤−1.综上可得：x∈(−∞,−1]∪(0,1].故选C.12.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）13.【答案】[3,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14.【答案】[18,13) 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据分段函数的单调性可得{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a ，解不等式组即可求解．【解答】由题意知，{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a解得{a <13a ≥8a >0，所以a ∈[18,13)故答案为：[18,13)15.【答案】 2,(0, +∞) 【考点】偶函数函数单调性的判断与证明【解析】f(x)＝x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，进而求解．【解答】解：f(x)=x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，则b =2，于是f(x)=x 2，单调增区间为(0, +∞)．故答案为：2；(0, +∞). 16.【答案】 a <−1 【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.17.【答案】②【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断. 【解答】解：①函数{x}的定义域是R，但是0≤x−[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①错误；，②∵{x}=x−[x]=12∴x=[x]+1，2∴x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；③∵函数{x}的定义域是R，而{−x}=−x−[−x]≠−{x}，{−x}=−x−[−x]≠{x}，∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；④函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．综上所述，②正确.故答案为：②．18.【答案】(−∞, 0]【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx2−(k−1)x+2=kx2+(k−1)x+2，所以2(k−1)x=0，所以k=1．则f(x)=x2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．19.【答案】加加加(−∞,−1]【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质函数的图象【解析】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为(x+m)|x+m|+m|x|<0对任意x≥1恒成立，当m≥0时，不等式转化为(x+m)2+mx2<0对任意x≥1恒成立，显然无解；当me(−1,0)时，不等式转化为(x+n)2+mx2<0，即(m+1)x2−2mx+m2<0，显然当x→+y时不成立；当m=−1时，(x+m)|x+m|+mx||x|<0⇔(x−1)2−x2<0，即1−2x<0对任意x≥1恒成立，经检验，恒成立；当m<−1时，(x+m)||+m||+mx||x|<0⇔(x+m)|(−m)|+mx2对任意x≥1恒成立尚需进一步讨论，当1<x<−m时，不等式等价于−(x−m)2+nx2<0即(m−1)x2−2mx−m2<0Δ=4m2+4m2(m−1)=4m3<0，令y=(m−1)x2−2mx−m2，函数开口向下，则(m−1)x2−2mx−m2<0恒成立；当x>−m时，(x+m)|x+m|+m|x|<0⇔(xxm)2mx0，即(m+1)2−2mx+m2< 0此时对应的对称轴为x=−mm+1<1，又−mn+1<−m，则y=(m+1)x2−2mx+m2在区间[−m,+∞]为减区间，即y=(m−1)x2−2mx+m2≤y(−n)=m3<0恒成立；综上所述，当m∈(−∞,−1]时，对任意x≥1，有f(x+m)+nf(x)<0恒成立故答案为：(−∞,−1]三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1x22+2x1−2x2x12−2x2(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论，f(x)在区间[−1，1]上单调递增，则f(x)的最大值f(1)=1，最小值f(−1)=−1.【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．【解答】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x2x 22+1=2x 1x 22+2x 1−2x 2x 12−2x 2(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论， f (x )在区间[−1，1]上单调递增，则f (x )的最大值f(1)=1，最小值f (−1)=−1. 21. 【答案】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】无无【解答】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 22.【答案】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0). 【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断−2<x 1<x 2<2时f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证明.(3)根据(2)中的结论得到关于a 的不等式组，求解即可. 【解答】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0).23. 【答案】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意． ∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数． (3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f(0)＝0进行求解即可．（2）根据函数单调的性质进行判断即可．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意．∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数．(3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 24.【答案】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】【解答】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t ∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．。

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253.(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D y ＝x ＋1是非奇非偶函数，A 错；y ＝－x 3是减函数，B 错；y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y ＝x |x |为奇函数，当x ≥0时，y ＝x 2为增函数，由奇函数性质得y ＝x |x |在R 上为增函数，故选D.2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．选D ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23。

【三维设计】高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)导数与函数极值、最值课时训练理(含14

课时跟踪检测(十五) 导数与函数极值、最值(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________.2．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是________．(填写序号)3．(2013·南通三模)定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c ＝________.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．(2013·盐城三调)设a >0，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．6．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．8．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0； ②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________．9．(2013·江苏高考节选)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值； (2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·常州调研)已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝ln xx，它们的定义域都是(0，e]，其中e 是自然对数的底e≈2.7，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)当a ＝1时，求证：f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立；(3)是否存在实数a ，使得f (x )的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．2．(2014·苏州期末)设函数f (x )＝ln x －kx －aax－ln a (x >0，a >0且为常数)． (1)当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明； (2)当k ＝0时，求证：f (x )>0对一切x >0恒成立；(3)若k <0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．3．(2014·泰州质检)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2，a ，b 是常数． (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设(1)中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1，x 2，设点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))．如果直线AB 的斜率为－12，求函数f (x )和f ′(x )的公共递减区间的长度；(3)若f (x )≥mxf ′(x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ，a ，b 满足的条件．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：－1ln 22．解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；④中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.答案：④3．解析：易知当2≤x ≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，从而由条件得f (x )＝1c f (2x )＝1c (1－|2x －3|)．因为c >0，故极大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1c ；当2≤x ≤4时，4≤2x ≤8，从上述步骤得f (2x )＝cf (x )＝c (1－|4x －3|)．因为c >0，故极大值点为(6，c )；上述三点在同一直线上，所以1－1c 3－32＝c －16－3，解得c ＝2或1.答案：1或24．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1， ∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：－135．解析：问题可转化为f (x )min ≥g (x )max ，当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1－1x≥0，故g (x )单调递增，则g (x )max ＝g (e)＝e －1.又f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，易知，x ＝a 是函数f (x )的极小值，当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2，则1＋a 2≥e－1，所以e －2≤a ≤1；当1<a ≤e 时，f (x )min ＝f (a )＝2a ，则2a ≥e－1，显然成立，所以1<a ≤e；当a >e 时，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ，则e ＋a 2e≥e－1，显然成立，所以a >e.综上，a ≥e －2.答案：[e －2，＋∞)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 7．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：48.解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a 0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0.∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③9．解：令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)． 10．解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上，因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝a x，由已知，得f ′(1)＝g ′(1)，所以2＝a1，即a ＝2.(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以F ′(x )＝2x －2ax＝x 2－ax，当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以F ′(x )>0对x >0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (x )无极值；当a >0时，令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)，所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：所以当x 1－a ln a . 综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值；当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x . 所以f ′(x )＝1－1x.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝1时，min (2)证明：由(1)知，当m ∈(0，e]时，有f (m )≥1.因为0<x ≤e，所以g ′(x )＝1－ln xx2≥0，即g (x )在区间(0，e]上为增函数，所以g (x )≤g (e)＝ln e e ＝1e <12.7＝1027，所以g (x )＋1727<1027＋1727＝1，所以当m ，n ∈(0，e]时，g (n )＋1727<1≤f (m )．所以f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立．(3)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是3，则 f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤1e 时，因为0<x ≤e，所以ax ≤1，所以f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，e]上为减函数．所以当x ＝e 时，f min (x )＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)；②当a >1e时，若0<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上为减函数；若1a<x ≤e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数．所以当x ＝1a 时，f min (x )＝1－ln 1a＝3，解得a ＝e 2.所以假设成立，存在实数a ＝e 2，使得f (x )的最小值是3. 2．解：(1)当k ＝1时，f (x )＝ln x －1a ·x 12＋ax －12－ln a ，因为f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －32＝－x －a 22x ax≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． (2)证明：当k ＝0时，f (x )＝ln x ＋ax －12－ln a ，故f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a2x x .令f ′(x )＝0，解得x ＝a4.当0<x <a4时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4上是单调减函数；当x >a 4时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，＋∞上是单调增函数．所以当x ＝a4时，f ′(x )有极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝2－2ln 2.因为e>2，所以f (x )的极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝2(1－ln 2)＝2ln e 2>0. 所以当k ＝0时，f (x )>0对一切x >0恒成立． (3)证明：f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，所以f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2x ax .令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0. 所以x 0＝a －1－kk⎝⎛⎭⎪⎫x 0＝a ＋1－kk舍去.所以x 0＝a＋1－k2.当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，x 0)上是单调减函数；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，＋∞)上是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a ＋ a x 0，而x 0a＝1＋1－k2是与a 无关的常数，所以ln x 0a，－k x 0a， ax 0均与a 无关．所以f (x 0)是与a 无关的常数．故f (x )的极小值是一个与a 无关的常数． 3．解：(1)证明：f ′(x )＝(x －b )[3x －(2a ＋b )]，因为a ≠b ，所以b ≠2a ＋b3，所以f ′(x )＝0有两个不等实根b 和2a ＋b3，所以f (x )存在极大值和极小值． (2)①当a ＝b 时，f (x )不存在减区间； ②当a >b 时，由(1)知x 1＝b ，x 2＝2a ＋b3，所以A (b,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，－a －b327，所以－a －b3272a ＋b 3－b ＝－12，即4(a －b )3＝9(a －b )，所以a －b ＝32或a －b ＝－32(舍去)；③当a b 且a －b ＝32或a <b 且a －b ＝－32.所以f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，2a ＋b 3，即(b ，b ＋1)或f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，b ，即(b －1，b )；f ′(x )的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，b ＋12或⎝⎛⎭⎪⎫－∞.b －12. 所以公共减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b ＋12或⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1，b －12，长度均为12.(3)由题意f (x )≥mxf ′(x )，所以(x －a )(x －b )2≥mx (x －b )[3x －(2a ＋b )]，所以(x －b ){(1－3m )x 2＋[m (2a ＋b )－(a ＋b )]x ＋ab }≥0.若m ≠13，则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负．所以m ＝13，所以(x －b )[(a ＋2b )x －3ab ]≤0.若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ＝b ＝0；若a ＋2b ≠0，则x 1＝b ，x 2＝3aba ＋2b，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b <0，b ＝3aba ＋2b，①若b ＝0，则a <0； ②若b ≠0，则3aa ＋2b＝1，所以a ＝b 且b <0. 综上，m ＝13，a ＝b ≤0.。

高中数学《函数的单调性与导数》课堂同步练习与检测试卷

选择性必修二《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步练习基础练一、单选题1．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（） A ．4y x =B ．2xy -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-2．函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．0,e ⎛ ⎝⎭3．设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4．如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f'（x ）的图象，则下面判断正确的是（）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值5．已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2，则a 的值为（）A ．(,3)-∞-B ．3-C ．3D ．(,3)-∞6．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（）A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f <二、填空题7．函数2sin y x x =+的单调增区间为___________8．已知函数()y f x =(x ∈R )的图象如图所示，则不等式()0xf x '>的解集为_____．9．若函数226y x bx =-+在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是_________．三、解答题10．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 参考答案 1．【答案】C【解析】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减；对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增；对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减. 故选C ． 2．【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选D 3．【答案】C【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选C ． 4．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误；对于B ，在（32-，2）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误；对于C ，在（4，5）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确；对于D ，在（32-，2）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选C ．5．【答案】B【解析】由题得1()20f x x a x '=++<的解集为1(,1)2，所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322aa +=-∴=-故选B 6．【答案】D【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数，所以()()21F F >即()()221f f >，故选D.7．【答案】(,)-∞+∞【解析】'2cos y x =+，[]cos 1,1x ∈-，∴'0y >在R 上恒成立，所以函数的单调增区间为(),-∞+∞，故填(),-∞+∞ 8．【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】由()y f x =的图象可知()f x 在1(,)2-∞和(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减，所以()0f x '>的解集为1(,)2-∞(2,)+∞，()0f x '<的解集为1(,2)2，由()0xf x '>得()00f x x >⎧⎨>'⎩或()00f x x <⎧⎨<'⎩，所以()0xf x '>的解集为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故填()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．【答案】(,2]-∞【解析】由题意得220y x b =-≥'在(2,8)内恒成立，即b x ≤在(2,8)内恒成立，所以2b ≤．故填(,2]-∞10．【答案】（1）(],3-∞；（2）3.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <<所以()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1=，即3a =.《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步练习提高练一、单选题1．若()324f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．0<<3a2．若函数()1ln f x kx x x=-+在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A ．1[,)2+∞B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-3．已知函数3()f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(0)(0)-∞+∞，，B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，二、填空题5．已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.6．已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.三、解答题7．已知函数()()ln xx xf x ax a R e +=-. （1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 答案解析 1．【答案】A【解析】()232f x x ax '=-，由()f x 在()0,2单调递减，∴()()0020f f ⎧≤≤''⎪⎨⎪⎩，∴001240a ≤⎧⎨-≤⎩，∴3a ≥.故选A 2．【答案】C【解析】由()1ln f x kx x x =-+知，()211f x k x x'=--，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，即2110k x x --≥，则211k x x≥+在()1,+∞上恒成立，令()211g x x x=+，因为()23120g x x x'=--<在()1,+∞上恒成立，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()12g x g <=，所以2k ≥. 故选C. 3．【答案】C【解析】由题意可得：'2()3+1>0f x x =恒成立，所以函数()3+f x x x =在R 上递增，又()()()33()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，当 0a b +>时，即a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，即()()0f a f b +>；当()()0f a f b +>时，即()()()f a f b f b >-=-，所以a b >-，即0a b +>，所以“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的充要条件. 故选C. 4．【答案】C【解析】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增，又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，，故选C5．【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤. 因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故填11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6．【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题得2()32f x ax x '=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即23a x>成立，因为01x <<时，2233x >，所以23a >.故填2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．【答案】（1）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（2）1(0,)e. 【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，当1a e =时，+ln ()xx x x f x e e =-， 111+ln ()(ln 1)1()x x x ex x e e x x x x f x e e e +---++-'=-=，当1x >时，0xe e x ->，ln 10x x +->，所以()0f x '>；当01x <<时，0xe e x-<，ln 10x x +-<，所以()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞.（2）函数()f x 有两个零点等价于方程()0f x =有两个不等的实数根，又函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以ln xx xa xe +=有两个不等的实数跟，设ln ()xx xg x xe +=，则21(1)(ln )(1)()()x xx xe x x x e x g x xe +-++'=， 2(1)(1ln )xx x x x e+--=，设()1ln h x x x =--，易知()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1()(1)g x g e≤=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，所以实数a 的取值范围是1(0,)e.《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步检测试卷一、单选题1．下列函数在区间上是增函数的是（） A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递减区间是（） A ．B ．C ．D ．3．已知函数，则（） A ．在上递增B ．在上递增C ．在上递减D ．在上递减4．函数的单调减区间是（） A ． B ． C ． D ． 5．函数的单调递增区间（） A ．B ．C ．D ．6．函数的单调递增区间是（） A ． B ．C ．(1,4)D ．(0,3)7．若函数，则函数的单调递减区间为（） A ．B ．()0,+∞2xy x e =+cos xy x e =-1y x x=-24y x x =-ln y x x =1(,)e -+∞1()e --∞,1(0)e -,(,)e +∞()xxf x e =()f x 01，()12，()1-∞，()0∞，+()2ln f x x x =-,2⎛-∞ ⎝⎦⎛ ⎝⎦[)1,+∞⎫+∞⎪⎪⎣⎭3()3f x x x =-(0,)+∞(,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()()3xf x x e =-(),2-∞-()2,+∞()2123ln 2f x x x x =--()f x (,1)(3,)-∞-+∞()1,3-C ．(0，3)D ．8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．10．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增区间”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数是区间I 上的“缓增区间”，则“缓增区间”I 为（） A ．[1，＋∞)B ．[0]C．[0，1]D ．[1]11．已知函数对于任意的满足,其中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（）A ．B ．CD12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数的递减区间为_______ ()3,+∞()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞()xf x ax e =-()0,1a ()0,1()0,e ()1,e (,)e -∞()f x y x=213()22f x x x =-+()y f x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+'+()f x '()y f x =2()()34f f ππ<2()()34f ππ>()()64ππ<()()36f ππ<()ln mf x x m x x=+-[]35，m 92546⎛⎫ ⎪⎝⎭，()8+∞，256⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，984⎡⎫⎪⎢⎣⎭，21()ln 2f x x x =-14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t 的取值范围______．三、解答题19．已知函数. （1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间. 20．已知函数的导函数的一个零点为．（1）求a 的值；（2）求函数的单调区间． 21．已知函数，. （1）若与在处相切，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围. 22．已知函数. ()e xf x mx =-[2,0]-m ()()xf x x a e =+⋅()f x (1,)+∞a R ()f x (1)1f =()f x 1()2f x '>2()1f x x <+()1xxf x e e-=-+e 2(21)42)(f x f x +->-x ()2143ln 2f x x x x =-+3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭331y x x =-+0,124()a 2ln 3f x x x x =+-()'f x 1x =()f x ()ln f x x =1()2g x ax b =+()f x ()g x 1x =()g x (1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞m ()2ln ()af x ax x a x=--∈R（1）若函数在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论函数的单调性. 答案解析一、单选题 1．下列函数在区间上是增函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项，对于A ，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B ，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C ，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D ，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选A ．2．函数的单调递减区间是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故选C()f x [1,)+∞()f x ()0,+∞2x yx e =+cos xy x e =-1y x x=-24y x x =-2x y x e =+'2x y x e =+0x >'20x y x e =+>()f x ()0,+∞cos xy x e =-'sin xy x e =--(),2ππ'0y <()f x (),2ππ1y x x =-21'1y x =--0x >21'10y x--<═()f x ()0,+∞24y x x =-()0,2ln y x x =1(,)e -+∞1()e--∞,1(0)e-,(,)e +∞()ln 1,(0)f x x x =+>'()0f x '<ln 10x +<10x e -<<1(0)e -,3．已知函数，则（）A ．在上递增B ．在上递增C ．在上递减D ．在上递减【答案】A【解析】依题意，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.对照选项可知：函数在上递增.故选A. 4．函数的单调减区间是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题,对函数定义域,求导可得, 令,可得故选D. 5．函数的单调递增区间（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题得，解不等式，所以.所以函数的单调增区间为.()xxf x e =()f x 01，()12，()1-∞，()0∞，+()1-=x x x xf x e e'=1x <()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x ()01，()2ln f x x x =-,2⎛-∞ ⎝⎦0,2⎛ ⎝⎦[)1,+∞2⎫+∞⎪⎪⎣⎭()2ln f x x x =-()0,+∞()2112'2x f x x x x -=-=()212'0x f x x -=≤x ≥3()3f x x x =-(0,)+∞(,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-2()333(1)(1)0f x x x x '=-=+->11x -<<(1,1)-故选C 6．函数的单调递增区间是（）A ．B ．C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B 【解析】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.7．若函数，则函数的单调递减区间为（）A ．B ．C ．(0，3)D ．【答案】C【解析】函数的定义域为：，因为，令并且，得：，所以函数的单调递减区间为(0，3).故选C. 8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数在区间单调递增，在区间上恒成立，则，而在区间上单调递减，，的取值范围是故选D ． 9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（）()()3x f x x e =-(),2-∞-()2,+∞()()3x f x x e =-()()2x f x x e '∴=-()0f x '>2x >()()3x f x x e =-()2,+∞()2123ln 2f x x x x =--()f x (,1)(3,)-∞-+∞()1,3-()3,+∞()2123ln 2f x x x x =--{|0}x x >2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x'---+=--==(3)(1)0x x x-+<0x >03x <<()2123ln 2f x x x x =--()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞1(),f x k x'=-()ln f x kx x =-(1,)+∞()0f x '∴≥(1,)+∞1k x ≥1y x=(1,)+∞1k ∴≥k ∴[1,).+∞()x f x ax e =-()0,1aA．B．C．D．【答案】C【解析】.因为在上不单调.所以在上有解，又在上单调递减，所以，，故.故选C10．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增区间”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增区间”，则“缓增区间”I为（）A．[1，＋∞)B．[0] C．[0，1] D．[1，]【答案】D【解析】因为函数的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，，令(x≥1)，则，由g′(x)≤0得，即函数在区间上单调递减，故“缓增区间”I为，故选D.11．已知函数对于任意的满足,其()0,1()0,e()1,e(,)e-∞()'xfx a e=-()f x()0,1()'0f x=()0,1()'f x()0,1()'01f a=->()10f a e'=-<()1,a e∈()f xyx=213()22f x x x=-+213()22f x x x=-+()13122f xxx x=-+13()122g x xx=-+222133'()222xg xx x-=-=1x≤≤()13122f xxx x=-+()y f x=0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos()sin1lnf x x f x x x=+'+中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】B【解析】由题意构造函数,则. 对于任意的满足, 故,当时,, 当时, , 因此在单调递减,在单调递增. 又因为,因此 ,因此有 , 化简得 . 故选B12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数在区间上不是单调函数， ()f x '()y f x =()()34f ππ<()()34f ππ>()()64ππ<()()36f ππ<()()cos f x g x x=()()()''2cos cos ()cos f x x f x x g x x-'=()21()cos ()sin cos f x x f x x x'=+0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+'+21ln ()cos xg x x 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()0g x '>()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭16432e()ln mf x x m x x=+-[]35，m 92546⎛⎫⎪⎝⎭，()8+∞，256⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，984⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()ln mf x x m x x=+-[]35，所以在区间上有解，且不是重解. 即可得，令，，则，当时，，函数单调递增. 故的值域为.故选A.二、填空题13．函数的递减区间为_______ 【答案】，【解析】函数的定义域为，，故当时，，也即函数的递减区间为.故填. 14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可知，即对恒成立，所以，所以即.故填.15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.()22210m m x mx mf x x x x--'=--==[]35，20x mx m --=21xm x=+()21x g x x=+[]35x ∈，()()()()222221211x x x x xg x x x +-+'==++[]35x ∈，()0g x '>()g x ()g x 92546⎛⎫⎪⎝⎭，21()ln 2f x x x =-(1,)+∞()0,∞+()2'11x f x x x x-=-=1x >()'0f x <()1,+∞()1,+∞()e x f x mx =-[2,0]-m [)1,+∞()e 0x f x m '=-≤x m e ≥[2,0]x ∈-()maxxm e≥0e 1m ≥=[)1,m ∈+∞[)1,+∞()()x f x x a e =+⋅()f x (1,)+∞a【答案】【解析】因为，所以，函数在上单调递增，可知在上恒成立，即，所以，即，则实数的取值范围是．故填．16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．【答案】. 【解析】令，因为，所以. 所以为单调增函数.因为，所以.所以当时，，即，得，解集为故填17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】令，则为奇函数，且为增函数，所以故填 18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t 的取值范围______．【答案】[2,)-+∞()()e x f x x a =+⋅()(1)e x f x x a '=++⋅()f x (1,)+∞e 0()(1)x f x x a '=++⋅(1,)+∞1x a --11a --≤2a -a [2,)-+∞[2,)-+∞R ()f x (1)1f =()f x 1()2f x '>2()1f x x <+()1-∞，()()21g x f x x =--1()2f x '>()()210g x f x '='>-()gx ()11f =()()121110g f ==--1x <()0g x <()21f x x <＋{}|1x x <()1-∞，()1-∞，()1x x f x e e -=-+e 2(21)42)(f x f x +->-x (1,3)-()()1g x f x =-()g x ()()22142f x f x -+->222(21)(4)0(21)(4)214g x g x g x g x x x ⇒-+->⇒->-⇒->-223013x x x ⇒--<⇒-<<(1,3)-()2143ln 2f x x x x =-+3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】函数的定义域为，. 令，可得或；令，可得.所以，函数的单调增区间为和，单调递减区间为.由于函数在上单调，则为以上三个区间的子集.①若，可得； ②若，可得，解得； ③若，则.因此，实数的取值范围是.故填.三、解答题 19．已知函数.（1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间. 【解析】（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；（2）令，得或，令，得，故函数的单调增区间是，单调减区间是.()2143ln 2f x x x x =-+()0,∞+()23434x x f x x x x-+'=-+=()0f x '>01x <<3x >()0f x '<13x <<()y f x =()0,1()3,+∞()1,3()y f x =3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩312t ≤≤()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭3t ≥t [)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦331y x x =-+0,1331yx x =-+233y x'=-0,13k y '==-13(0)y x -=--310x y +-=2330y x'=->1x <-1x >2330y x '=-<11x -<<()()11-∞-+∞，，，()1,1-20．已知函数的导函数的一个零点为．（1）求a 的值；（2）求函数的单调区间．【解析】（1），由，得．（2）由（1）得，则．令，得或．当时，；当时，或．因此的单调递增区间是，单调递减区间是．21．已知函数，. （1）若与在处相切，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围. 【解析】（1），，又与在处相切，，解得：，，即，解得：，；（2）在上是减函数，即在上是减函数， 24()a 2ln 3f x x x x =+-()'f x 1x =()f x 4()223f x ax x+-'=2(1)203f a ='+=13a =-214()2ln 33f x x x x =-+-242(1)(2)()2333x x f x x x x ----'=-+=()0f x '=1x =2x =()0f x '>12x <<()0f x '<01x <<2x >()f x (1,2)(0,1),(2,)+∞()ln f x x =1()2g x ax b =+()f x ()g x 1x =()g x (1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞m ()ln f x x =1()(0)f x x x'∴=>()f x ()g x 1x =1(1)12f a '∴==2a =()1ln10f ==1(1)(1)02g a b f =+==1b =-()1g x x ∴=-(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞(1)()ln 1m x x x x ϕ-=-+[2,)+∞在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，又在上单调递增，，，解得：，即实数的取值范围是. 22．已知函数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论函数的单调性.【解析】（1）由题意得，. ①当时，，函数单调递减.②当时，令，∵函数在区间上是单调函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立. 令， ∵，当且仅当时取等号，∴，∴当时，函数单调递增，∴实数a 的取值范围是.222(1)(1)1(22)1()0(1)(1)m x m x x m x x x x x x ϕ+---+--'∴=-=≤++[2,)+∞2(22)10x m x --+≥[2,)+∞122m x x -≤+[2,)+∞1x x+[2,)+∞15,2x x ⎡⎫∴+∈+∞⎪⎢⎣⎭5222m ∴-≤94m ≤m 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()2ln ()a f x ax x a x=--∈R ()f x [1,)+∞()f x 22222()(0)a ax x a f x a x x x x-+=+->'=0a ()0f x '<()f x 0a >2()2g x ax x a =-+()f x [1,)+∞()0g x [1,)+∞221x ax +[1,)+∞22(),[1,)1x u x x x =∈+∞+22()1112u x x x x ==+⋅1x =1a 1a ()f x (,0][1,)-∞⋃+∞（2）由（1）可知，①当时，，函数在上单调递减， ②当时，函数在上单调递增，③当时，由，解得∴函数在，上单调递增，在上单调递减. 0a ()0fx '<()f x (0,)+∞1a ()f x (0,)+∞01a <<220ax x a -+=x=x =()f x 10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭11a a ⎛-+ ⎪⎝⎭。

函数的单调性课后练习题

函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax的递减区间，则a 的取值围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a 3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，53.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，539．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2x 1－x 2x 1－1x 2－1<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数． 10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2. 故满足条件的x 的取值围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝ax ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x在定义域是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x在整个定义域不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0，∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确．答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明．解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。

2020版新设计一轮复习数学(文)通用版课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值

课时跟踪检测（五）函数的单调性与最值A 级——保大分专练1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0.而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23. 4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎨⎧ －a 2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ， ∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级——创高分自选1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2mx ＋1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3.答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数;(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4.解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

(完整版)函数的单调性课后练习题

函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确．答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明．解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。

高中数学课时跟踪检测(五)函数的单调性与导数新人教A版选修2_2

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与导数一、选择题1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1) 解析：选D y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x＞0，由于e x ＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1，∴当0＜x ＜1e时，ln x ＜－1，即y ′＜0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数．当1e＜x ＜5时，ln x ＞－1，即y ′＞0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上为增函数． 3．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上的增函数的充要条件是( )A ．b 2－3ac >0B ．b >0，c >0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0 解析：选D ∵a >0，f (x )为R 上的增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac ≤0，∴b 2－3ac ≤0.4．已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )＜g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a )解析：选B 据题意，由f ′(x )＜g ′(x )得f ′(x )－g ′(x )＜0，故F (x )＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F (x )≥F (b )，即f (x )－g (x )≥f (b )－g (b )，移项整理得f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )．5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此A 、B 、D 选项错误，故选C.二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 7．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12.又∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)三、解答题9．若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0－12a ≤0，所以a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．10．设函数f (x )＝x (e x－1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0；若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意，故实数a 的取值范围为(－∞，1]．。

高中数学课时跟踪训练十五导数与函数的单调性北师大版选修1_1201806061120

课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性1．在下列命题中，正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增加的，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增加的C ．若在(a ，b )内f (x )为单调函数，则f ′(x )也为单调函数D ．若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内有f (x )＜02．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)＜f (e)＜f (3)B ．f (e)＜f (2)＜f (3)C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)4.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如右图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是( )5．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是____________．6．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．7．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．8．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0，求f (x )的单调区间．答案1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B 正确．2．选C y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 3．选A ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝12x ＋1x＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的，∴f (2)＜f (e)＜f (3)．4．选C 由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．5．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x.令f ′(x )＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3 ＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．答案：(－3,1)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.答案：－757．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3(x －13)2－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．8．解：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对任意x ∈R ，都有f ′(x )＞0，即a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0时，解得x ＞a 或x ＜－a ，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f ′(x )＜0时，解得－a ＜x ＜a ，所以f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．即a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(九)函数的单调性新人教A版必修1

课时跟踪检测(九)函数的单调性层级一学业水平达标1 •如图是函数y = f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(A. 1 C. 3解析：选B 由图象，可知函数 y = f (x )的单调递减区间有 2个.故选B.2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()B . y = 3-x2D . y =- x + 41解析：选A 因为—1<0,所以一次函数y = — x + 3在R 上递减，反比例函数y =-在(0 , x+ m)上递减，二次函数 y = — x 2+ 4在(0,+^)上递减.故选 A.13. 函数y = -的单调递减区间是( ) x解析：选C 函数y = x 的定义域是(一s, 0) U (0 ,+s ).由函数的图象可知y =I 在xx区间(一s, 0)和(0 ,+s )上分别是减函数.4.若函数f (x ) = (2 a — 1)x +b 在R 上是单调减函数，则有 ()1A. a >2 1D . a <2 1解析：选D 函数f (x ) = (2a — 1)x + b 在R 上是单调减函数，则 2a — 1<0,即a%故选 D.5.函数f (x ) =|x | , g (x ) = x (2 — x )的递增区间依次是()A . y = |x |C.A. (0，+m)C. ( —s, 0)和(0 ,+s)B . (—s, 0) D . ( —s,0) U (0 ,+s)1B . aw -C. a >2D . 41A. ( —s, 0] , ( —s, 1] B . (—s, 0] , (1 ,+s)C. [0 ,+s) , ( —s, 1] D . [0 ,+s) , [1 ,+s)解析：选C分别作出f (x)与g(x)的图象得：f (x)在[0 , +s)上递增，g(x)在(—s, 1]上递增，选C.6•若f (x )在R 上是减函数，则f ( — 1) ____________ f (a 2+ 1)(填“〉”或或或“w”)•解析：■/f (x )在R 上是减函数，•••对任意x i , X 2,若x i <x 2均有f (x">f (X 2)•又I — 1<a 2 +1 ,• f (— 1)>f (a 2+1) •答案：>17.已知函数f (x )为定义在区间［—1,1］上的增函数，则满足f (x )<f 2的实数x 的取值范围为 .—1W x w 1,解析：由题设得1解得—1W x <2. 答案：-1, 12 1&如果二次函数f (x ) = x 2— (a — 1)x + 5在区间-,1上是增函数，则实数 a 的取值范围为 ________ .2a — 1 1解析：•.•函数f (x ) = x — (a — 1)x + 5的对称轴为x =—厂且在区间2， 1上是增函数，答案：(—R, 2］19•判断并证明函数 f (x ) =— - + 1在(0,+^)上的单调性.x1解：函数f (x ) = — - + 1在(0 ,+^)上是增函数.证明如下：—1 1设 X 1,X 2 是(0,+^ )上的任意两个实数，且 X 1<X 2,则 f (X 1)— f (X 2)= — — + 1 — — — + 1X 1 X 2X 1 — X 2 X 1X 2 '由 X 1, X 2 € (0 ,+^)，得 X 1X 2>0, 又由 X 1<X 2,得 X 1 — X 2<0,于是 f (X 1) — f (X 2)<0，即 f (X 1)< f (X 2),a —1 2w 2■，即a w 2.1• f (x) =— - + 1在(0 ,+^)上是增函数.—调增区间为［2 ,+3).层级二应试能力达标1•若函数f (x )在区间(a , b )上是增函数，在区间(b , c )上也是增函数，则函数 f (x ) 在区间(a , b ) U (b , c )上()A.必是增函数 B .必是减函数 C.是增函数或减函数D •无法确定单调性1解析：选D 函数在区间(a , b ) U (b , c )上无法确定单调性.如 y =— -在(0 ,+^)上x是增函数，在(—3, 0)上也是增函数，但在(—3, 0) U (0,+3)上并不具有单调性.2.下列四个函数在(一3, 0)上为增函数的是()I x | x 2 x① y =|x | + 1 :② y =-^ :③ y =—茴：④ y = x + 两. A.①② B .②③ C.③④D .①④| x |解析：选C ①y = |x | + 1 = — x + 1(x <0)在(一g, 0)上为减函数；②y = —— =—1(x <0)x2x在(—3, 0)上既不是增函数也不是减函数；③ y =— 7-7 = x (x <0)在(—3, 0)上是增函数；丨x|x④y = x + -~T = x — 1(x <0)在(—3, 0)上也是增函数. 丨x|a — 3 x + 5, x w 1,3.已知函数f (x ) = 2a是R 上的减函数，则实数 a 的取值范,x >1—x — 3, X W 1,10.作出函数f (x ) = 2x — 2 + 3, x >1的图象，并指出函数 f (x )的单调区间. 解：f (x )=—x — 3, x w 1,x — 2 2+ 3, x >1的图象如图所示.—x — 3, x W 1,由图可知，函数f (x ) =2x — 2 + 3, x >1的单调减区间为(一3 1］和(1,2)，单围是()f 解析：选A 对任意X1, X2€ R(X1M X2),有- X2 —f X1 Q—X <0,贝y X2 —X1 与f (X2) —f (X1)A. (0,3) B • (0,3]C. (0,2) D . (0,2]a —3<0,解析：选D依题意得实数a满足2a>0, 解得0<a w 2.4.A.B.C.D. a—3 + 5>2 a,f X2 —f X1定义在R上的函数f (X)，对任意X1,X2€ R(X1^ X2)，有f(1)<f(2)< f(3)f(2)<f(1)< f(3)f(3)<f(1)< f(2) X2 —X i<0,则()异号，则f(x)在R上是减函数.又3>2>1，则f(3)< f (2)< f (1).故选A.5•若函数y =—匕在(0,+^)上是减函数，贝U b的取值范围是X解析：设0<X1<X2，由题意知仆)—f(x2) =—b + b>0.X1 X2 X1X2•/ 0<X1<X2,・.X1—X2<0,X1X2>0,二b<0.答案：(―汽0)6.函数y=—(X—3)| X|的单调递增区间是2—X + 3X , X>0 ,解析：y=—(X—3)| X| = 2 作出其图象如图,X —3X, X< 0,图象知单调递增区间为3 0，2.答案：0, |7.已知y= f (X)在定义域(一1,1)上是减函数，且f (1 —a)<f (2 a—1),求a的取值范围.—1<1 —a<1,解：由题意可知解得0<a<1.①—1<2a—1<1,又f (X)在(—1,1)上是减函数,2且f (1 —a)< f (2 a —1) ,.°. 1 —a>2a—1，即a<3，②3由①②可知，a 的取值范围是 0, 3 .x + a&设函数f (x ) = b (a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单 Z\. I kJ调性.解：在定义域内任取 x i , X 2,且使X 1<X 2 ,X 2 + a x i + b — X 2 + b x i + ax i — b X 2+ bb — a X 2—x i x i — bX 2 — b■/ a >b >0, x i <X 2,「. b — a <0, X 2— x i >0. 只有当x i <X 2<— b 或一b <x i <X 2时，函数才单调. 当 x i <X 2< — b 或一b <x i <X 2 时，f (X 2) — f (x i )<0.••• y = f (x )在(—g,— b )上是单调减函数，在(—b ,—g )上也是单调减函数. y = f (x )的单调减区间是(一g,— b )和(一b ,—m)，无单调增区间.则 f (X 2) — f (X i )= X 2 + a X 2 + b x i — ax i — b。

2019-2020学年高中数学课时跟踪检测五函数的单调性与导数

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一　函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C　题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )解析：选B　选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二　判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：选D　f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )A. B.和(0，12)(－12，0)(12，＋∞)C.D.和(12，＋∞)(－∞，－12)(0，12)解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －＝＝1x 4x 2－1x，令f ′(x )＝>0，解得x >，故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增(2x ＋1)(2x －1)x(2x ＋1)(2x －1)x12区间是.故选C.(12，＋∞)6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x .(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，∴c ＝1，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，f ′(1)＝3a ＋2b ＝1，切点为(1,1)，则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1)，得a ＋b ＋c ＝1，解得a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >，所以单调递增区间为(－∞，0)和.23(23，＋∞)对点练三　与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )x A ．1 B ．2C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a 在[1,4]上单调递减，只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立x 即可，令f ′(x )＝1－ax －≤0，解得a ≥2，则a ≥4.∴a min ＝4.1212x 8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－，c ＝－6.32答案：－　－6329．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x ＋2a )．(1)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；e2②若－<a <0，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；e2当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减；③若a <－，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当e2x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A ，f (x )＝2－x ＝x ，(12)则e x f (x )＝e x ·x ＝x ，∵＞1，(12)(e 2)e2∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝x ，(13)则e x f (x )＝e x ·x ＝x ，(13)(e3)∵＜1，e3∴y ＝x 在R 上单调递减，(e3)∴f (x )＝3－x 不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <ef (b )C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－＝，x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，f (x )在(0，e)上为减ex x －ex 函数，在(e ，＋∞)上为增函数，所以f (a )>f (e)，f (b )>f (e)，f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为′＝，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[f (x )g (x )]f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0，所以在R 上为减函数．又因为a <x >，又因为f (x )>0，g (x )>f (x )g (x )f (a )g (a )f (x )g (x )f (b )g (b )0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)的定义域为R ，∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x －.ae x ∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即e x ≥在R 上恒成立，∴a ≤e 2x 在R 上恒成立．ae x 又e 2x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．答案：－1　(－∞，0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．　解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －＝.1x 4x 2－1x由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单(12，＋∞)调递减区间为.(0，12)由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以Error!解得：1≤k <.32答案：[1，32)7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0，t ](t >0)上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝.1e ①当0<t <时，在区间(0，t ]上，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数．1e ②当t >时，在区间上，f ′(x )<0，f (x )为减函数；在区间上，f ′(x )>1e (0，1e )(1e ，t )0，f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上12单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝－ax －2.121x 因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝－ax －2≤0恒成立，1x即a ≥－恒成立，1x 22x 令G (x )＝－，1x 22x 则a ≥G (x )max .而G (x )＝2－1.(1x－1)因为x ∈[1,4]，所以∈，1x [14，1]所以G (x )max ＝－(此时x ＝4)，716所以a ≥－.716当a ＝－时，h ′(x )＝＋x －2＝＝.7161x 71616＋7x 2－32x 16x (7x －4)(x －4)16x 因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝≤0，(7x －4)(x －4)16x即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是.[－716，＋∞)。

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课时跟踪检测（十五）函数的单调性层级(一) “四基”落实练1．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (1)＜f (2)＜f (3)，则函数f (x )在(0，＋∞)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．不能确定解析：选D 由于函数单调性的定义突出了x 1，x 2的任意性，所以仅凭区间内几个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．2．(多选)下列函数中在(－∞，－1)上是增函数的是( ) A ．y ＝xx ＋1B ．y ＝1－x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝1－x解析：选AB A 中，y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1在(－∞，－1)上是增函数；B 中，y ＝1－x 2在(－∞，－1)上是增函数；C 中，y ＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14在()－∞，－1上是减函数，D 中，y ＝1－x 在(－∞，－1)上是减函数，故选A 、B.3．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调递增区间为( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，2)，(4，＋∞) C ．(2,3)，(4，＋∞)D ．(－∞，2]，[3,4]解析：选C 画出f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象如图：由图象可知，函数的单调递增区间为(2,3)，(4，＋∞)，故选C.4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选D 由题意，函数f (x )＝x 2－2mx ＋1，开口向上，其对称轴x ＝m ，∵在[2，＋∞)上是增函数，∴m ≤2，即实数m 的取值范围为(－∞，2]．5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D 因为g (x )＝ax 在区间[1,2]上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图象开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1]．6．函数y ＝x |x －3|的单调增区间为__________．解析：作出函数y ＝x |x －3|的图象如图所示：由函数的图象可知，y ＝x |x －3|的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32和[3，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32和[3，＋∞) 7．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]8．函数y ＝f (x )是定义域为R 的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (x )|＜3的解集为________．解析：∵|f (x )|＜3，∴－3＜f (x )＜3，∵y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)， ∴f (－2)＝－3，f (1)＝3，又∵y ＝f (x )是定义域为R 的增函数， ∴f (－2)＜f (x )＜f (1)， ∴－2＜x ＜1. 答案：(－2,1) 9．已知函数f (x )＝x x －1. (1)求f (f (3))的值；(2)判断函数在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明； (3)当x 取什么值时，f (x )＝xx －1的图象在x 轴上方？解：(1)f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫32＝3.(2)函数f (x )在(1，＋∞)为减函数．证明：在区间(1，＋∞)上任意取两个实数x 1，x 2，不妨设1＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1).∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，x 2－x 1＞0， ∴x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在(1，＋∞)为减函数． (3)要使f (x )＝xx －1的图象在x 轴上方，只需x x －1＞0即可，解得x ＞1或x ＜0.10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. ∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. ∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．层级(二) 素养提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1满足对任意的x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 根据题意知，f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＞0，(a －3)×1＋5≥2a ，解得0＜a ≤2，∴a 的取值范围为(0,2]． 2．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选B ∵f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，而函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，∴1－2a ＜0，解得a ＞12.3．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1＞0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“＜”连接) 解析：由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)，所以f (－1)＝f (1)．由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，所以函数f (x )在[0,1]上为减函数，结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数，所以f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)，即f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)．答案：f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)4．已知函数f (x )＝ax ＋bx 的图象经过点A (1,1)，B (2，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．解：(1)∵f (x )的图象过点A (1,1)，B (2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2a ＋b2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2， ∴f (x )＝－x ＋2x.(2)函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x 2＝(x 2－x 1)＋⎝⎛⎭⎫2x 1－2x 2＝(x 2－x 1)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1x 2＋2)(x 2－x 1)x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2＞0，x 1x 2＋2＞0，由x 1＜x 2，得x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝－x ＋2x在(0，＋∞)上是减函数．5．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，f (x )＞0. (1)判断并证明函数的单调性；(2)若f (2)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2. 解：(1)函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：令x ＝x 1，y ＝x 2，且x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1.由题意知，f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)．又∵当x >1时，f (x )＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．(2)令x ＝4，y ＝2，由题意知，f ⎝⎛⎭⎫42＝f (4)－f (2)， ∴f (4)＝2f (2)＝1×2＝2.∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f [x (x ＋3)]＜f (4)．又∵f (x )是增函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋3)＜4，x ＋3＞0，1x ＞0.∴0＜x ＜1.。