第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
第五章：特征值与特征向量填空题
第五章：特征值与特征向量填空题1.1,n A A n 设阶矩阵的元素全为则的个特征值是.123,0n n λλλλ===== 答案：()2.n A kA k λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为常数的一个特征值为，对应的特征向量为.,k λα答案：()3.m n A A m λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为正整数的一个特征值为，对应的特征向量为.,m λα答案：14.n A A A λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1,αλ答案：5.n A A A λα*已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.,A αλ答案：16..n A P P AP λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1P λα-答案：,()()110110117.,m m m m m m m m n A P f x c x c x c x c f x c A c A c A c λα----=++++=++++ 已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，则矩阵多项式的一个特征值为，对应的特征向量为.(),f λα答案：8.T n A A λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个特征值为.λ答案：9.n A A E λα+已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个，特征值为，对应的特征向量为.1,λλ+答案：()210.,A n A A A E n A A E λ**≠+设为阶矩阵，0为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.若有特征值，则必有特征值.21,A αλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：11.30,20,30,3A A E A E A E A E +=+=+=+=设为阶矩阵，已知则.答案：620012.0020002A B A B λ⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设,,则矩阵有一个特征值.答案：2111121313.31,2,3,ij ij A A A A a A A A -++=设是阶矩阵，已知是中元素的代数余子式，则.1答案：2015.A n E n A A E λ+设是阶方阵，是阶单位阵，若有特征值，则必有特征值.01λ+答案：[]123123123116.31,1,2,,,,=2,4,A P P AP λλλξξξξξξ-==-=-=设是阶矩阵，有特征值其对应特征向量分别为记，-3则.121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案：()1211117.246,2335A x A x λλ-⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦设,有特征值二重，则.2-答案：[]18.1,0,1T T n A n E A αααα=-=-=设，矩阵,为正整数，则.()22n a a -答案：()1122333319.,ij A a A a a a ⨯==++=设为3阶矩阵，其特征值为1,2,3,则.6,6答案：220.1,2,3,1,A A -+=若4阶方阵的特征值为则.答案：[]12221.212,=1,1__________.221T A k k α⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设矩阵向量，是它的一个特征向量，则12-答案：或1111122.4__________.2345A B A B E --=已知阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，，，，则行列式答案：241111111123._____________.11111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的非零特征值是4答案：12311024.3=-1==1,=1______.1A A λλλλξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设阶对称矩阵的特征值，属于的特征向量，则100001010⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：25.42,3,4,5_______________.A B B E -=已知阶矩阵与相似，其特征值为，则行列式24答案：()26.0____________.n A r A =若阶方阵有一个特征值为，且为单根，则1n -答案：3227.332,1-23,8___________.A B A A B E *=--=设阶矩阵有个特征值，，则0答案：()131028.410,262A A *-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦设则的特征多项式的一次因式分解式为____________.()2112λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭答案：。
矩阵的特征值和特征向量习题
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
由（2）、（3）知R（A） R（2E A） n．
于是可设A的列向量组的极大无关组为1，2， r，
2E A的列向量组的极大无关组r1，r2 ，n， 其中r R（A），则由（1）式，
Ar （0 i r 1， ，n）
（2E A）r （0 j 1，2 ，r） 即1，2， ，r是A的对应于特征值 2的特征向量，
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
22
2 用方阵A的特征值,来讨论kE A的可逆性
当k是A的特征值时, kE A 0, kE A不可逆; 当k不是A的特征值时, kE A 0, kE A可逆. 例9 设A为n阶方阵,
(1)若A2 E,8E A是否可逆? (2)设是A的特征值,且 1, A E是否可逆?
解 (1) A2 E,
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
13
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的 两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵 实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、 使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
2 1 2 5 a 3 1 b 2
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1
1
k2
1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3
1
，其中
k3
0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( ) ．
【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位 矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
年，数学四）设矩阵
A
k
1
k
，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0
第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 扩展例题及求解
[例 1]设 A ， B 是 n 阶方阵，且 R(A) R(B) n ，证明 A ， B 有公共的特征值，有公共的
特征向量。 [分析]此类题型综合程度较高，主要根据已知条件推导出对证明有用的结论，需要对知识点 熟练掌握。
[证] R(A) R(B) n R(A) n ， R(B) n AX 0 ， BX 0 都有非零解。
i 1
i 1
a1
a2
n
a3
an
n
从而特征值 ai2 的特征向量为 knn ，（ kn 0 ）。 i 1
[例]6 证明：设 A 是 n 阶正交矩阵， 是 A 的特征值，则 1 。
[分析]本题要利用正交矩阵的性质来证明。要证 1 ，可证 1。 [证]设 是对应于 的特征向量，则
[例 8]设 A 为 3 阶方阵， 为 3 维向量， ， A ， A2 线性无关， A3 4A 3A2 ，
计算行列式 2A2 3E 。
[分析]这里根据已知条件，直接计算方阵的行列式比较困难，可以采取特征值和特征向量的
性质来计算，即设 n 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, , n ，则 A 12 n 。
不妨设 ， 分别为 AX 0 ， BX 0 的非零解，则
A 0 ， B 0
由特征值、特征向量的定义， 0 是 A ， B 的特征值， ， 分别为 A ， B 对应于特征值 0
的特征向量。
要证有公共的特征向量，只要证明 AX 0 ，BX 0 有公共的非零解即可。事实上，AX 0 ，
乘 ( A 4E)1 得： A(A E) 0 ，即 A2 A 0 ，从而 ， A ， A2 线性相关，矛
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
第五章 方阵的特征值与特征向量练习 2
第五章 练习一 方阵的特征值与特征向量一、填空题1.设3=λ是n 阶方阵A 的一个特征值，则行列式=-E A 32. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100030002A 的特征值为3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=x A 44174147的特征值12,3321===λλλ,则=x . 二、选择题1.设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵E+13)21(-A 有一个特征值为( ) (A)41 (B)45 (C)5 (D)54 2．设A 为n 阶矩阵,则A 以0为一特征值是A 为不可逆矩阵的( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)既非充分也非必要条件 (D)充分必要条件3.设A 为n 阶方阵,则下列结论正确的是( )(A)若A 可逆,则A 对应于λ 的特征向量也是1-A 对应于特征值λ1的特征向量 (B)A 的特征向量的任意线性组合仍为A 的特征向量(C)特征向量由特征值唯一确定(D)设λ是A 特征值,则0)(=-x E A λ的解向量都是A 的特征向量 三、求出矩阵201021111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量四、已知T -=)3,2,1(p 是矩阵3212231A a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量,求a , b 和特征向量p 所对应的特征值λ。
五、已知122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求(1)的特征值和特征向量A ,(2)E A 21--的特征值. 第五章 练习 相似矩阵及对角化一、填空题1.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 00130011与B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020001相似，且有B AP P =-1则x = ;P= 2.设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,…n-1,且A 与B 相似,则|B+E|=3．设矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=12422421x 与对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,则=x ，=y 二、选择题1. 矩阵A 与B 相似,下列说法正确的是( )(A) E B E A λλ-=- (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量(C) A 与B 相似于同一个对角矩阵 (D)对于任意常数t ,A tE - 与B tE -相似2.下列说法错误的是 ( )(A) 矩阵A 与B 可相似对角化为同一个对角矩阵 ,则A 与B 相似(B) A 与B 有相同的特征值, 则A 与B 相似(C) A 所有的k 重特征值都有k 个线性无关的特征向量 ,则A 可对角化.(D ) n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是其可对角化的充分非必要条件三、判断下列矩阵能否对角化,若能,化为对角形矩阵(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212044010A (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6116100010A 四、设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----142252001,求n A五、设3阶矩阵A 的特征值为;1,2,2321=-==λλλ对应的特征向量依次为T =)1,1,0(1p T =)1,1,1(2p T =)0,1,1(3p ,求A六、已知3,6321===λλλ是3阶实对称矩阵A 的3个特征值,且对应于332==λλ 的特征向量是 TT -=-=)1,2,1(,)1,0,1(32αα,求A 的对应特征值6的所有特征向量. 七、求一正交相似变换矩阵,将对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A 对角化.八、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 131111的秩为2,当A 的特征值之和最小时,求正交矩阵P,使得AP P T 为对角矩阵.九、证明题1.已知矩阵A 相似于矩阵B,试证：A 可逆,则B 可逆,且1-A 相似于1B -2.已知A 可逆 ,证明: 矩阵AB 相似于BA3.证明:n 阶实对称矩阵A 和B 有相同的特征值,则A 和B 相似.。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、 解：
A 1(2)3 6 0
A可逆
第五章 矩阵的特征值和特征向量
x3
x3
0 1
6. 因
为
A 2 3A,令AX X，因为A2 X 2 X，所以有(2 3)X 0而X 0，故A 的 特
征值为 0 或者 3，因为 1 2 3 trA , ,所以1 3，2 3 0
7. 因为 AX=0 有非零解，所以 r（A）<n，故 0 为矩阵 A 的特征值，a1,a2
（A）1 3 （B） 33 1 （C）1 22 33 （D） 21 32 8. 设，为四维非零列向量，且 ，令A T，则 A 的线性无关特征向
量个数为（）
（A）1 (B)2 （3）3 （D）4
9. 设 A,B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是（）
（A） CT AC （B） A1 B1 （C） A* B* （D） A B
21. （1） 若A可逆且A ~ B，证明：A* ~ B*;
（2）若 A ~ B,证明：存在可逆矩阵P，使得AP ~ BP.
22.设方程组
2
x1 x1
(a 2)x2
x2
(a 1)x3
x3
1
a 3 有无穷多个解，
x 1
2x2
ax3 3
1
a
0
1
a
，
2
1
，,3
0
为矩阵A的分别属于特征值
为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征
值，若 a1+a3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(a1+a3)= 0 (a1+a3)， 注意到 A(a1+a3)=0a1-2a3)=-2a3，故-2a3= 0 (a1+a3)或 0 a1+（ 0 +2）a3=0，
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第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;
(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----20133
5212; (2)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛633312321.
4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.
5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.
6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.
7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.
8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .
9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2135
212b a A 的一个特征向量.
(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;
(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.
10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.
11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.
12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .
13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .
14. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。