二次函数与幂函数专题复习

学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质
教学内容
一. 【复习目标】
1.准确理解函数的有关概念.
2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.
一、幂函数
(1)幂函数的定义
形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
(2)幂函数的图象
函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x
1
2
y＝x－1
定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x
∈(－∞，0]时，减
增增
x∈(－∞，0)时，
减
定点(0,0)，(1,1) (1,1)
例1.下列函数中是幂函数的是（ ）
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝1x 2
C ．y ＝x 2＋x
D ．y ＝－1
x
例2. (2011·陕西高考)函数y ＝
13
x
的图象是( )
例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3
B ．0
C ．1
D ．2
练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝
⎛
⎭
⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )
＝g (x )，则x ＝________.
已知点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝x －2
C ．f (x )＝x 1
2
x
D ．f (x )＝
12
x
-
设α
∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－1，1，1
2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
对于函数y ＝x 2
，y ＝x 1
2
有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．
其中正确的有________．
二、二次函数
1、二次函数的三种形式【1】
【2】
【3】
2.二次函数的图像和性质
二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。

（1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递
增，当a
b
x 2-=时，函数有最 值为
（2）当0<a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当
a
b
x 2-=时，函数有最 值 为。

（3）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f
当 时，恒有 ()0.>x f ， 当 时，恒有 ()0.<x f 。

（4）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f ，当042>-=∆ac b 时，图像与 x 轴有两个交点，.),0,(),0,(21212211a
x x M M x M x M ∆=
-= 练习
(1)画出函数f(x)=∣x 2-2x-3∣的图像，并写出单调区间。

变式:
(2)函数()a ax x x f --=22的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 (3)设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则f(x)=
(4)已知二次函数)(624)(2R x a ax x x f ∈++-=的值域为),0[∞,则实数a =
(5)02<++c bx x 的解集为），则，（3
1
21-=+c b
(6)已知一个二次函数的顶点的坐标为（0，4），且过点（1，5），这个二次函数的解析式为
(7)已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P 的取值为 。

【二次函数例题精讲】
知识点一:二次函数的解析式
例1． 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．
变式: 求下列二次函数的解析式
(1)已知二次函数图像经过点（-1，0），（1，0），（2，3）三点，求解析式 (2)图像顶点的坐标为(2,-1),与y 轴交点坐标为（0，11）； (3)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x ； (4)f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).
知识点二:二次函数的最值问题
(1) 轴定区间定
例2. 求函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最值
变式:已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值
2、轴变区间定 例3:已知函数y=-x 2+ax-4a +2
1
在〔-1，1〕上的最大值为2，求a 的值
变式: 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。

3、轴定区间变
例4.如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。

变式:已知
2
()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值
知识点三:和一元二次方程和一元二次不等式的综合考查
例4已知关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0 ①若存在正根，求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围
变式：已知函数y=x2-ax+4 【1】与x轴没有交点，【2】与x轴有一个交点，求a的取值或取值范围
五、【方法点拨】
1.求二次函数的解析式时，要根据条件选择不同的形式。

2．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；3．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；
③对称轴与区间的相对位置．
课后作业：
1.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意 x∈（0，1]恒成立，则 m的取值范围为
2. 不等式ax 2+bx+c ＞0 的解集为（x 1,x 2）(x 1 x 2<0),则不等式 02<+-a bx cx 的解集为 3 函数x x y sin cos 22+=的值域为
4 已知函数)0,()(≠+=
ab b a b
ax x
x f 为常数且且1)2(=f ，x x f =)(有唯一解，则)(x f y =的解析式为
5.已知b a ,为常数，若2410)(,34)(22++=+++=x x b ax f x x x f ，则=-b a 5
6.函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是
7.函数f(x)=2x 2-mx+3, 当x ∈[-2,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞，-2]时是减函数，f(1)=
8.若二次函数c bx ax x f ++=2)(满足))(()(2121x x x f x f ≠=则=+)(21x x f
9.若关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根，则a 的值为 10.已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围。

（2）若方程两根均在（0，1）内，求m 的范围。

11.若函数f(x)=x 2+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m 的取值范围是
12.设f(x)=lg(ax 2-2x+a)
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围；
（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。