第三讲-一次函数动态问题

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一次函数动点问题

一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。

针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。

假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。

给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。

假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。

根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。

这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。

根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。

需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。

具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。

一次函数之动点问题

一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3；（2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ，（2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。

第三讲一次函数归纳探索与几何综合(教案)

同时，我也注意到，学生在解决与一次函数相关的问题时，对一些关键步骤和注意事项掌握不够熟练。为此，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习，帮助学生巩固所学，提高解题技巧。
3.一次函数的性质：探讨一次函数的增减性、对称性等性质；
4.一次函数在实际问题中的应用：结合实际情境，解决线性方程组问题；
5.几何综合：通过一次函数与坐标系中点、线的关系，培养学生的空间想象能力。
本讲内容旨在让学生通过归纳探索，掌握一次函数的基本概念与性质，并能将其应用于解决实际问题，提高几何综合能力。
第三讲一次函数归纳探索与几何综合（教案）
一、教学内容
第三讲一次函数归纳探索与几何综合（教案）
本讲主要依据人教版八年级数学上册第十二章“一次函数”相关内容展开，具体包括：
1.一次函数的定义：y=kx+b（k≠0）的形式，理解k、b的几何意义；
2.一次函数的图像：掌握一次函数图像的直线特征，了解其与k、b的关系；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k、b分别代表斜率和截距。它在描述物体运动、成本计算等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数解决物体运动中的问题，以及一次函数如何帮助我们分析实际问题。

(完整版)一次函数动点问题

一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB′=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°∵点E是AB中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，∴∠AOD=∠A'OD=60°∵点B是的中点，∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，∴∠A'OB=90°∵⊙O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2，∴BP+AP的最小值是2．故答案为2，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y轴对称，∴C'（﹣1，0），∴C'D==2，∴PC+PD的最小值为2，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，③由y=2x﹣1，令y=0得x=，∴C（，0），又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，∴n=2m﹣1，∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣1．当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，∴m的值为1．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．∵点B的坐标为（2，1），∴点B′的坐标为（2，﹣1）．设直线AB′的表达式为y=ax+c，将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，，解得：，∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．当y=0时，2x﹣5=0，∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），=2，因为S△OAP所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB==4，且ON为斜边上的中线，∴ON=AB=2，则l1和l2两平行线之间的距离为2；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P坐标代入得：，解得：m=，n=，∴直线B′P的解析式为y=x+，令x=0，得到y=，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M3（4+3，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，此时线段OC的长度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴AB==3，∵AB•OC=OA•OB，∴3OC=3×6，∴OC=，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G ⊥x轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴P″G=4，OG=1，∴BG=BO+OG=4=P″G，∴∠OBQ=45°，BP″=4，∴OQ=BO=3，∴Q点坐标为（0，3），又BP==2，此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ ⊥BQ ，如图3，延长PQ 到点P′，使PQ=P′Q ，则P′即为点P 关于BQ 的对称点，过P′作P′H ⊥y 轴于点H ，由（3）可知PQ=QP′=，∴QH=HP′=1， ∴OH=OQ ﹣QH=3﹣1=2，∴S 四边形ABOP′=S △AOB +S △AOP′=×6×3+×6×1=12，即四边形ABOP′的面积为12．。

第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义

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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。

动态一次函数问题(一)

动态一次函数问题(一)动态一次函数问题1. 什么是动态一次函数问题？动态一次函数问题是指涉及一次函数的一类数学问题，其中未知数在给定的条件下会发生变化。

一次函数，也称为线性函数，是一个形如y = ax + b的函数。

2. 相关问题•问题1：找出一次函数的斜率和截距描述：给定一次函数的表达式，需要确定其中的斜率（系数a）和截距（常数b）。

•问题2：根据函数图像求解一次函数的表达式描述：给定一次函数的图像，需要确定其中的表达式。

•问题3：求两个一次函数的交点描述：给定两个一次函数，需要求解它们的交点，即满足两个函数方程的共同解。

•问题4：一次函数的平行和垂直关系描述：给定两个一次函数，需要确定它们之间的平行或垂直关系。

•问题5：求函数图像在指定区间的最值描述：给定一次函数的表达式，需要确定它在指定区间内的最大值或最小值。

3. 解释说明•对于问题1，可以通过观察函数表达式，直接提取出斜率和截距的值。

例如，对于函数y = 2x + 3，斜率为2，截距为3。

•对于问题2，可以通过函数图像上的两个点，求解出斜率和截距，进而得到一次函数的表达式。

例如，图像上的两点为(1, 4)和(3, 10)，可以计算出斜率为3和截距为1，因此函数的表达式为y = 3x + 1。

•对于问题3，可以通过解方程求解交点的坐标。

将两个一次函数的表达式相等，得到一个方程组，通过求解该方程组，可以确定交点的坐标。

•对于问题4，可以通过比较两个一次函数的斜率来判断它们的关系。

如果两个函数的斜率相等，则它们是平行的；如果一个函数的斜率是另一个函数斜率的相反数，则它们是垂直的。

•对于问题5，可以通过计算一次函数在指定区间的端点和极值点，来确定函数图像在该区间的最值。

通过解决这些相关问题，可以更好地理解和应用一次函数，帮助解决实际生活中的各类问题。

一次函数图像时带动画的课件

2020/6/29
2020/6/29
排“兵”布阵抢答题
D 1(09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数y=-2x+3的图象经过（
）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限 2(2009宁夏)5．一次函数y=3x-2的图象不经过（）
B
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1. 当k＞0时，y随x的增大而增大 0
x
2.当k＜0时，y随x的增大而减少
y
3.当 k 相等时，直线平行
4.当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
0
x
2020/6/29
一次函数 y＝kx＋b
y
b 决定直线与y轴交点位置
1. 当b＞0时，直线交于y正半轴
2.当b＜0时，直线交于y负半轴
0
x
3.当b = 0时，直线交于坐标原点
小试牛刀（4）对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而__减__少__.
（5）函数y=2x - 4与y轴的交点为（ 0，-）4 ，与x轴交于（）2， 0
（6）已知一次函数y=(1－2k)x+k的函数值y随x的增大而增大，且图象经过一、二、三象限，则k的取值范围是0_﹤__k_﹤__1_/2___.
y
0
x
0
x
y
(B)
y
(A )
2020/6/29
0x (C)
0x (D)
例、已知：一次函数 y＝(5m－3)x＋(2－n)． (1)当 m 为何值时，y 随 x 的增大而减小； (2)当 m、n 分别为何值时，一次函数与 y 轴的交点在 x 轴的上方？

一次函数动点问题含答案

例题1：如图，直线1l 的解析表达式为，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。

（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。

524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。

一次函数动态问题.doc

一次函数（动态问题）举一反三：（09湖南邵阳）如图（十二），直线/的解析式为y = -x + 4,它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点.平行于直线/的直线加从原点O 出发，沿兀轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与兀轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，设运动时间为f 秒（0V/W4）.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含/的代数式表示△MON 的面积5；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN②在直线m 的运动过程中，当f 为何值吋，S? 心OAB ifij-积的补？思路导航：直角坐标系、一元二次【答案】解 (1)当 x = 0 时，y = 4；当 y = 0时，x = 4. /. A(4,0), B(0,4):（2）•杯〃沁•鬻•磊ONS.S 冷曲恥护（3）①当2cW 4时，易知点P 在△OAB 的外面，则点P 的坐标为⑺/）,F 点的坐标满足\X ~tf即 F(/,4 — f), 同理 E(4 — f, r), 则[y = T+ 4, PF = PE = \t-(4~t)\ = 2t-4, = -t 2-~PE^PF = -t 2 -丄⑵-4)⑵一4)= --t 2+St-S ； 2 2 2 2 2②当 0 — W2 时,S°= -r 2,- t 2=—x 1x4x4 = -,解得 r. = -Vs < 0, %=逅>2,两个 ~ 2 2 16 2 2 1 - 3 5 7 都不合题意，舍去；当2vfW4吋，S?二一二尸+&_8二二，解得&=3, t 4=-f 2 2 3①当2V/W4时，试探究S?与fZ间的函数关系式;方程解法及应用、一次函数的实际应所以 $2 = S^MPN - S^PEF = ~ S 厶PEF,记△M/W 和△OAB 重合部分的面积为S?,75 综上得，当25或23时，S?为△如的面积陀模仿操练：1. （2009年衡阳市）如图，直线y = -x + 4与两坐标轴分别相交于A.B 点，点 M 是线段AB±任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC1OA 于点C, MD 丄OB 于D. （1）当点M 在AB±运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为 a （0 < « < 4）,正方形OCMD 与A AOB 重叠部分的面积为S.试求S 与a 的函数关系式并画2. （2009年济宇市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、兀轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线 y = x 时停止旋转，旋转过程中，边交直线y = x 于点M ,BC 边交兀轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过稈中，当MV 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设M/BV 的周长为p,在旋转正方形OABC 的过程中，°值是否有变化？请证明你的结论. 33. （2009桂林百色）如图，己知直线二一 x + 3,它与x 轴、 4y 轴的交点分别为A.B 两点.（1）求点点B 的坐标；（2）设F 是兀轴上一动点，用尺规作图作LBOP,使OP 经过点B 且与兀轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的G>P 的圆心坐标为P （兀，y ）,求y 与兀的函数关系式；(4) 是否存在这样的OP,既与兀轴相切又与直线/相切于点3,若存图（2）图（3）第3题图在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.方法小结：一次函数(动态问题)的答案1.【答案】解：(1 )设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为一x+4 (0<x<4, x>0, — x+4>0)；贝lj： MC= I —x+4 | =—x+4, MD= I x I =x；・°・C 四边形OCMD=2 (MC+MD) =2 (—x+4+x) =8・・・当点M在AB±运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于&(2)根据题意得：S B边形OCMD=MC・MD= (—x+4) • x = —x'+4x= —(x-2)2+4・•・四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x (0<x<4)的二次函数，并且当x=2,即当点M 运动到线段AB的屮点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；1° 1 9(3)如图10 (2),当0 V。

一次函数动态问题

一次函数（动态问题）举一反三：（09湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．（1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示M O N △的面积1S ；（3）以M N 为对角线作矩形O M P N ，记M P N △和O A B △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为O A B △面积的516？思路导航：直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用【答案】解（1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）；（2）1O M O A M N A B O NO B∴== ∥，，211122O M O N t S O M O N t ∴==∴==，·；（3）①当24t <≤时，易知点P 在O A B △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,F点的坐标满足4x t y t =⎧⎨=-+⎩，，即(4)F t t -，，同理(4E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)，所以2M PN PEF O M N PEF S S S S S =-=-△△△△2221111324248822222t P E P F t t t t t =-=---=-+-·()()；②当02t <≤时，2221151544221622S t t ==⨯⨯⨯=，，解得1202t t =<=>，，两个都不合题意，舍去；当24t <≤时，22358822S t t =-+-=，解得34733t t ==，，综上得，当73t =或3t =时，2S 为O A B △的面积的516．图十二模仿操练：1．（2009年衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．2.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形O A B C 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形O A B C 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，A B 边交直线y x =于点M ，B C 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边O A 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当M N 和A C 平行时，求正方形 O A B C 旋转的度数；（3）设M B N ∆的周长为p ，在旋转正方形O A B C 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论. 3．（2009桂林百色）如图，已知直线3:34l y x =+，它与x 轴、y 轴的交点分别为A.B 两点．（1）求点A.点B 的坐标；（2）设F 是x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P ，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F（3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x y ，），求y 与x 的函数关系式；（4）是否存在这样的⊙P ，既与x 轴相切又与直线l 相切于点B 若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1）图（2）图（3）x方法小结：一次函数（动态问题）的答案1.【答案】解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ；如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：2.【答案】（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转， ∴O A 旋转了045.∴O A 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=.（2）解：∵M N ∥A C ，∴45B M N B A C ∠=∠=︒,45B N M B C A ∠=∠=︒. ∴B M N B N M ∠=∠.∴BM BN =.又∵B A B C =，∴A M C N =.又∵O A O C =,O A M O C N ∠=∠,∴O A M O C N ∆≅∆.∴A O M C O N∠=∠.∴1(90452A O M ∠=︒-︒)=22.5︒.∴旋转过程中，当M N 和A C 平行时，正方形O A B C 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒. （3）答：p 值无变化. 证明：延长B A 交y 轴于E点，则045AOE AOM∠=-∠，)2)4<≤a000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AO E C O N ∠=∠.又∵O A O C=，0001809090OAE OCN ∠=-==∠.∴O AE O C N ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==. 又∵045MOE MON ∠=∠=,O M O M =, ∴O M E O M N ∆≅∆.∴M N M E AM AE ==+.∴M N A M C N =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=. ∴在旋转正方形O A B C 的过程中，p 值无变化.3.【答案】解（1）A （4-，0），B （0，3）（2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分．（3）过点P 作PD ⊥y 轴于D ，则PD =x ，BD =3y -， PB =PF =y ，∵△BDP 为直角三形， ∴ 222PB PD BD =+∴222BP PD BD =+ 即2223yx y =+-即222(3)y x y =+-∴y 与x 的函数关系为21362y x =+（4）存在∵⊙P 与x 轴相切于点F ，且与直线l 相切于点B∴AB AF =∵22225AB OA OB =+=∴225AF =∵AF =4x + ， ∴22(4)5x +=∴19x x ==-或把19x x ==-或代入21362y x =+，得5153y y ==或∴点P 的坐标为（1，53）或（-9，15）x。

一次函数动点问题精品(难)

A D E F
B
C
G
【例 10】如图 1，直线 y x 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意，过 M 分别作 MC OA于点C ， MD OB于D ．一点（ A、B 两点除外） ⑴当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； ⑵当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ ⑶当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x y 轴的正方向移动，设平移的距离为 a 0＜a＜4 ，正方形 OCMD 与 △ AOB 重叠部分的面积为 S ． B D M
O
C 图 1
A
x
【例 11】已知：如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴交于点 A ，与直线 y 3 x 相交于点 P ． ⑴求点 P 的坐标． ⑵请判断 OPA 的形状并说明理由． ⑶动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O → P → A 的路线向点 A 匀，过点 E 分别作 EF x 轴于 F ， EB y 轴于 B ．设速运动（ E 与点 O 、 A 重合）运动 t 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面 y 积为 S ．求： ① S 与 t 之间的函数关系式． ②当 t 为何值时， S 最大，并求 S 的最大值．
y B
N
O
M 图①
A
x
【例 4】如图，直角梯形 OABC 中， AB ∥ OC ， O 为坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上，动点 C 在 x 轴正半轴上，点 B 坐标为 2 ，2 3 ，BCO 60 ，OH BC 于点 H ．点 P 从点 H 出发，沿线段 HO 向点 O 运动，动点 Q 从点 O 出发，沿线段 OA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．设点 P 运动的时间为 t 秒． ⑴求 OH 的长； y ．求 S 与 t 之间的 ⑵若 △OPQ 的面积为 S （平方单位） A B 函数关系式．并求 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大值是多少？ H Q M ⑶设 PQ 与 OB 交于点 M ． P ①当 △OPM 为等腰三角形时，求⑵中 S 的值； x C ②探究线段 OM 长度的最大值是多少，直接写出结论． O

八年级数学下册一次函数专题动态图形与一次函数的关系课件(新版)冀教版

课堂小结
第七页，共7页。
解得t=1，得到(dé dào)B1（1,1）.
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a,a），所以(suǒyǐ)a=-（1+a）
+2.
解得a= 1 ，得到B2（ 3, ）1 .
2
22
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B2（
b=-（ 3 +b）+2 ，解得b=
2
14，得到B3(
44
故答案为：A3（ 7,0 ）.
4
第四页，共7页。
典例精讲
类型(lèixíng)二：一次函数中的动点问题
如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运动
(yùndòng)，当线段AB最短时，点B的坐标为
（）
第五页，共7页。
典例精讲
解：过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，
正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3 在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线(zhíxiàn)y=-x+2上，则点A3的坐标为 ________．
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典例精讲
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t,t），所以(suǒyǐ)t=-t+2.
初中数学(shùxué)知识点精讲课程
动态图形(túxíng)与一次函数的关
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解题步骤(bùzhòu)归纳
根据(gēnjù)一次函数设出点的坐标
根据变化图形性质
垂线段最短，定出动点位置
根据一次函数特点
求出点的坐标
(zuòbiāo)
求出点的坐标