(精选)构造法待定系数法求一类递推数列通项公式

构造法、待定系数法求一类递推数列通项公式
陕西省周至中学 尚向阳 邮编710400
摘要：求数学通项公式是学习数列时的一个难点，在教学过程中，笔者发现求解递推数列通项公式是学生学习的难点，这也是高考考查的重点、热点问题，如何来突破这个难点，很好的解决这个问题，其核心思想是构造新的数列，转化为学生熟悉的等差数列或等比数列来解决，下面笔者重点介绍用构造法和待定系数法来求下列六类递推数列模型通项公式的解决策略。

关键字：数列、数列通项、构造法、待定系数法、叠加法
由等差数列联想推广到的递推数列模型：
【模型一】b ka a n n +=+1 （0≠kb ）。

（1） 当1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅=
（2） 当1≠k 时，采用待定系数法，构造新的数列---等比数列
}1{-+k b a n 解：由已知1≠k 时，可设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1
比较系数：b m km =- ∴
1-=k b
m ∴构造 新的数列
}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴
1)1(11--⋅-+=-k b k k b a a n n 例1：已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。

解：设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m
∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ 1241-⋅=+n n a ∴
121-=+n n a 【模型二】叠加法（或迭代法）求解)(1n f a a n n =-+
由已知)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用叠加（或迭代法）消项的方法求解。

例2：已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；
（II ）求{ a n }的通项公式.
解： k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+
∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+
∴)1(313-+=-a a ，
2235)1(3-+=-a a
…… ……
k k k k a a )1(31212-+=--+
将以上k 个式子相加，得
]1)1[(2
1)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得
1)1(21321112--+⋅=
++k k k a ， 1)1(2
1321)1(122--+⋅=-+=-k k k k k a a 。

经检验11=a 也适合，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⋅+⋅--⋅+⋅=-+)(1)1(2132
1)(1)1(2132
1222121为偶数为奇数n n a n n n n
n
【模型三】采用待定系数法，构造新的数列求：)(1n f ka a n n +=+ （1,0≠k ），当b an n f +=)(，即f(n)为n 的一次函数模型。

则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++
∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1
∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：
1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列
∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a
∴
B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 例3.设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩
⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;
(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之.
同理可以求)(1n f ka a n n +=+，1,0≠k 时， 当f(n)为n 的二次、高次函数模型，求解策略
仍采用待定系数法，方法相同在此不赘述。

【模型四】构造法求：)(1n f ka a n n +=+ 1,0≠k 时，当n q n f =)(（≠q 0，1），即f(n)为指数
函数模型
由已知可得：等式两边同时除以1+n q 则得
q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令
n n n q a C = 则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型求解 例4.已知数列{}n a 中，651=
a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2211+•=•++n n n n a a 令n n n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3
2(23-= 所以n n n
n
n b a )31(2)21(32-== 由等比数列联想推广得到的递推数列模型： 【模型五】构造法求： n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用叠乘法、迭代法累积约项的方法化简求通项。

例5：已知数列{}n a 中，11a =，()*1122(...)n n na a a a n N +=+++∈． 求数列{}n a 的通项n a ；
解：由已知11a =，()*1122(...)n n na a a a n N +=+++∈可得2342,3,4a a a ===
1122(...)n n na a a a +=+++ ① 121(1)2(...)n n n a a a a --=+++ ② ①—②得1(1)2n n n na n a a +--=
即：1(1)n n na n a +=+，
11n n a n a n ++= 所以32112123...1...(2)121n n n a a a n a a n n a a a n -===≥- 所以*()n a n n N =∈
【模型六】构造---倒数法求： 11
--+⋅⋅
=n n n a m a m k a 型。

0≠km 考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n
+=- ∴ m k a k a n n +⋅=-111 令n n a C 1
= 则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

例6. 已知}{n a 中，41=a ，
14
4--=n n a a （2≥n ）求n a 。

解：n n n n a a a a )2(24221-=-
=-+
∴ 2121)2(22
11-+=-=-+n n n n a a a a （1≥n ） ∴ 2121211=--
-+n n a a （1≥n ）
设
21-=n n a b 即)1(211≥=-+n b b n n ∴ }{n b 是等差数列
∴ 221)1(21211n n a a n =⋅-+-=- 22+=n a n。