天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学(PDF版)
2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U =R ，集合M ={x|x +2a ≥0}，N ={x|log 2(x −1)<1}，若集合M ∩(∁U N)={x|x =1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A. a =12B. a ≤12C. a =−12D. a ≥12 2. 若a 、b 为实数，则ab(a −b)<0成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<1a <1bB. 0<1b <1aC. 1a <1bD. 1b <1a 3. 已知f(x)={(3−a)x +1 x <1a x (a >0且a ≠1) x ≥1，在(−∞,+∞)上是增函数，那么a 的取值范围是( ) A. (1,3)B. (1,2]C. [2,3)D. (1,+∞) 4. 若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=2cosxB. f(x)=x 3+x 2C. f(x)=sinx ⋅cosx +1D. f(x)=e x +x 5. 已知函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x 恰有两个零点，则实数的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−1,+∞)C. (−2,0)D. (−2,−1) 6. 在三角形ABC 中，∠B =π3，AB =1，BC =2，点D 在边AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则λ=( )A. 13B. 12C. √33D. 23 7. 已知函数，则( ) A.B. C. D. 8. 两人同时向一敌机射击，甲的命中率为15，乙的命中率为14，则两人中恰有一人击中敌机的概率为( )A. 720B. 1220C. 121D. 220 9. (2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5则a 3=( )A. 40B. 40C. 80D. −8010. 已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若a =f(log 47)，b =f(log 123)，c =f(0.20.4)则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c <b <a B. b <a <c C. c <a <b D. a <b <c二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为______ .(结果用数字表示)12. 命题“∃x ∈Q ，x 2−2=0”的否定是______ ．13. 曲线y =sinx 在点A 处的切线方程为________．14. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为______．15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD ，E 为BC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，并且f(x)在[α,β]上为减函数． (1)求a 的取值范围； (2)求证：2<α<4<β；(3)若函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的最大值为M ，求证：0<M <1． 17. (1)已知全集U =R ，集合A ={x|x <−4，或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}，求A ∩B 、(∁U A)∪(∁U B)；(2)求值：若x >0，求(2x 14+332)(2x 14−332)−4x −12(x −x 12)．18. 求二项式(1+2x)500的展开式中项系数最大的项．19. 彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张．计算至少抽中1张的概率．20. 已知函数f(x)=−x 3+x 2+x +a ，g(x)=2a −x 3(x ∈R,a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)求函数f(x)的极值．(3)若任意x∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由题意可知：∵log2(x−1)<1，∴x−1>0且x−1<2，即1<x<3，∴N={x|1<x<3}，∴C u N={x|x≤1或x≥3}又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥−2a}，而M∩(∁∪N)={x|x=1，或x≥3}，∴−2a=1，∴a=−12故选C．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的时，应先将集合的元素具体化，然后再逐一利用交并补运算即可获得参数的结果．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的过程当中充分体现了解不等式的知识、交并补运算的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．2.答案：B解析：解：当a−b<0，即a<b时，ab>0，此时a<b<0或0<a<b，当a−b>0，即a>b时，ab<0，此时b<0<a，即ab(a−b)<0的等价条件为a<b<0或0<a<b或b<0<a，A.由0<1a <1b得0<b<a为既不充分也不必要条件，B.由0<1b <1a得0<a<b，为充分不必要条件C.由1a <1b得0<b<a或b<a<0或a<0<b，为既不充分也不必要条件，D.由1b <1a得0<a<b或a<b<0或b<0<a，为既不充分也不必要条件，故选：B．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及倒数的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：当x<1时，f(x)=(3−a)x+1递增，则3−a>0，即a<3；当x≥1时，f(x)=a x递增，则a>1；由于f(x)在R上递增，则3−a+1≤a，解得a≥2，则有2≤a<3．故选C．运用一次函数和指数函数的单调性，注意x=1的情况，即3−a+1≤a，解出它们，再求交集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，考查一次函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=2cosx，其导数f′(x)=2sinx，其导数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f(x)=x3+x2，其导数f′(x)=3x2+2x，其导数不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=sinx⋅cosx+1，其导数f′(x)=cos2x，其导数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)=e x+x，其导数f′(x)=e x+1，其导数不是偶函数，不符合题意，故选：C．根据题意，依次计算选项中函数的导数，判定导函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式以函数奇偶性的判定，属于基础题．5.答案：A解析：解：由alnx+x2−(a+2)x=0得a=x2−2xx−lnx令g(x)=x2−2xx−lnx ，则g′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，g(x)=x2−2xx−lnx，在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以g(x)min=g(1)=−1，又当x∈(0,1)时，x2−2x<0，g(x)=x2−2xx−lnx<0，所以实数的取值范围是(−1,0)．故选：A ．通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力． 6.答案：A解析：解：如图，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且∠B =π3，AB =1，BC =2，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1−λ)|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×2×12(1−λ)+4λ=2， 解得λ=13．故选：A ．利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，列式求得λ值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题． 7.答案：C解析：试题分析：因为，，所以，，，故选C ．考点：指数函数、对数函数，分段函数．8.答案：A解析：解：设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，∴两人中恰有一人击中敌机的概率：p =P(AB +AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=15×(1−14)+(1−15)×14=720．故选：A ．设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，由此能求出两人中恰有一人击中敌机的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率计算公式的求法． 9.答案：C解析：解：∵(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5，令x −1=t ，则x =t +1， ∴(2t +1)5=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 5t 5．(2t +1)5展开式的通项为：T r+1=C 5r (2t)5−r 1r ， 令5−r =3，求得r =2，所以，T 3=C 52(2t)3=80x 3，即a 3=80，故选：C ．由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a 3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10.答案：B解析：解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴在[0,+∞)上为减函数，3)=f(log23)，则f(log 12∵log23=log49>log47>1，0<0.20.4<1，∴log23>log47>0.20.4>0，∴f(log23)<f(log47)<f(0.20.4)，即b<a<c．故选：B．根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，根据对数的运算法则计算对数的大小是解决本题的关键．11.答案：1680解析：解：根据题意，先不考虑限制条件，将6人分为5组，安排到五个不同的岗位服务，有C62A55=1800种安排方法，若甲乙安排在同一岗位服务，有A55==120种安排方法，则有1800−120=1680种安排方法，故答案为：1680．根据题意，用间接法分析，先计算没有限制条件时的安排方法数目，再计算其中“甲乙安排在同一岗位服务”的安排方法数目，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，利用间接法分析，可以避免分类讨论，属于基础题．12.答案：∀x∈Q，x2−2≠0解析：解：“∃x∈Q，x2−2=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，即命题“∃x∈Q，x2−2=0”的否定是∀x∈Q，x2−2≠0．故答案为：∀x∈Q，x2−2≠0．因为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x)，即可得答案本题考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定的书写规则，本题主要是掌握住特称命题的否定是全称命题．13.答案：x−2y+−=0解析：y′=cosx，y′|x==，所以曲线在A点处的切线方程为y−=.即x−2y+−=0．14.答案：49 解析： 本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的基础知识，是基础题． 利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式直接求解．解：某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p =C 32(23)2(13)=49． 故答案为：49． 15.答案：54解析：由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想应用．解：由题意作图如右图，∵AB//CD ，AB =2CD ，∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E 为BC 中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =12，y =34， 故x +y =54故答案为54． 16.答案：解：(1)按题意得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，∴{α−2α+2>0α−1>0即α>2，又log aβ−2β+2=f(x)min=log a a(β−1)，∴关于x的方程log a x−2x+2=log a a(x−1)在(2,+∞)内有两个不等实根x=α、β，⇔关于x的二次方程ax2+(a−1)x+2(1−a)=0在(2,+∞)内有两个异根α、β，，解得0<a<19，故0<a<19.(2)令Φ(x)=ax2+(a−1)x+2(1−a)，则Φ(2)⋅Φ(4)=4a⋅(18a−2)=8a(9a−1)<0．∴2<α<4<β.(3)∵g(x)=log a(x−1)(x+2)x−2+1，g′(x)=1lna⋅x−2(x−1)(x+2)⋅(2x+1)(x−2)−(x2+x−2)(x−2)2=1lna ⋅x(x−4)(x+2)(x−1)(x−2)．∵lna<0，∴当x∈(α,4)时，g′(x)>0；当x∈(4,β)是g′(x)<0．又g(x)在[α,β]上连接，∴g(x)在[α,4]上递增，在[4,β]上递减．故M=g(4)=log a9+1=log a9a.∵0<a<19，∴0<9a<1．故M>0．若M≥1，则9a=a M．∴9=a M−1≤1，矛盾．故0<M<1.解析：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中(1)的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.并由此构造关于a 的不等式组，(2)的关键是构造函数Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，将问题转化为函数零点判断问题，(3)的关键是利用导数法，判断出M =g(4)．(1)由已知中f(x)在[α,β]上为减函数函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，我们可得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α>2，同理β>2，故关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.由此构造关于a 的不等式组，解不等式组即可求出a 的取值范围；(2)令Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，我们易得Φ(2)⋅Φ(4)<0，进而根据零点存在性定理，结合(1)中的结论，得到答案；(3)由已知中函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M =g(4)=log a 9+1，结合(1)中a 的取值范围，即可得到答案．17.答案：解：(1)∵B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，集合A ={x|x <−4，或x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，∴∁U A ={|−4≤x ≤1}，∁U B ={x|x <−2，或x >3}，∴(C U A)∪(C U B)={x|x ≤1，或x >3}(2)原式=(4x 12−33)−4x 12+4=−23解析：(1)求出集合B ，然后直接求A ∩B ，通过(C U A)∪(C U B)C U (A ∩B)求解即可；(2)根据指数幂的运算性质即可求出．本题考查集合的基本运算，转化思想与分类讨论思想的应用，考查计算能力．18.答案：解：根据题意，(1+2x)500的展开式的通项为T r+1=C 500r (2x)r ，其系数为2r ×C 500r ， 设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1， 解可得：10003≤r ≤334，故当r =334时，展开式中项系数最大，则有T 335=C 500r 2334x 334；即系数最大的项为T 335=C 500r 2334x 334．解析：根据题意，求出(1+2x)500的展开式的通项，求出其系数，设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1，解可得n 的值，代入通项中计算可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19.答案：解：彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张，则每次抽取时的中奖概率都是13，则这三张都没有中奖的概率为(1−13)3=827，故至少抽中1张的概率为1−828=1927．解析：由题意根据相互独立事件的概率，等可能事件的概率求出这三张都没有中奖的概率，可得结论．本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件、对立事件的概率，属于基础题． 20.答案：解：(1)f (x )=−x 3+x 2+x +a ，f′(x )=−3x 2+2x +1，令f′(x )=−3x 2+2x +1=0，得x 1=−13 ，x 2=1．令f′(x )>0，得−13<x <1．.·.函数f(x)的单调递增区间为(−13,1)，令f ′(x )<0，得x <−13，或x >1．单调递减区间为(−∞,−13)与(1,+∞).(2)由(1)可知当x =−13时，函数f(x)取得极小值，函数的极小值为f (−13)=a −527当x =1时，函数f(x)取得极大值，函数的极大值为f(1)=a +1，(3)若任意x ∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，即对于任意x ∈[0,1]，不等式a ≥x 2+x 恒成立，设ℎ(x)=x 2+x ，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=2x +1，∵x ∈[0,1]，∴ℎ′(x)=2x +1>0恒成立，∴ℎ(x)=x 2+x 在区间[0,1]上单调递增，∴[ℎ(x )]max =ℎ(1)=2∴a≥2，∴a的取值范围是[2,+∞)解析：(1)利用导数来求出函数的单调区间．(2)利用导数来求出函数的极值，利用(1)的结论．(3)不等式g(x)≥f(x)恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，ℎ(x)=x2+x，x∈[0,1]，利用导数，求出ℎ(x)的最大值，问题得以解决．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等知识点，属于中档题．。
2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题
滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题（共12小题） 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于( ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．“(2,)x ∀∈+∞，220x x ->”的否定是( )A ．0(2,)x ∃∈+∞，2020x x -≤ B ．(2,)x ∀∈+∞，220x x -≤C ．0(,2)x ∃∈-∞，2020x x -≤ D ．(,2)x ∀∈-∞，220x x ->3．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列结论一定成立的是( ) A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c ->-4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若312,12a S ==，则6a =( ) A ．8B ．10C ．12D ．145．已知等比数列{}n a 中，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S =( )A ．31B ．32C ．63D ．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为( ) A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里7．已知双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．53±B ．35±C ．54±D ．45±8．“b 是11b 是2与2( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是( )A ．2B ．4C ．D ．10．已知双曲线22221(0,0)y a x b a b-=>>，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．2211612x y -=D ．2211216x y -=11．若0a >，0b >，31a b +=，11a a b++则的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．512．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．2B ．4C D二．填空题（共8小题）13．已知复数(z i i =-为虚数单位），则||z = ．14．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =-r ，向量(3,2,1)v =-r与平面α平行，则z 等于 ． 15．不等式302x x -<+的解集为 ． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()n n a na n N +=∈，则34a a += ．17．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为 ．18．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标2，则p = ，直线l 的方程为 ．（本题第一空2分，第二空3分）19．已知{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，则a 的取值范围是 ． 20．给出下列四个命题①已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则12PF F ∆的周长是8；②已知M 是双曲线22145x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则||1MF …；③已知直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则121240x x y y +=；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，若静放在点1F 的小球（小球的半径忽略不计）从点1F 沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ．其中正确命题的序号为 （请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共4小题） 21．（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，74=9S a +且有1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，O 为AD 中点，1AB =，2AD =，5AC CD ==．（1）证明：直线//AB 平面PCO ； （2）求二面角P CD A --的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点N ，使AN ⊥平面PCD ，若存在，求线段BN 的长度；若不存在，说明理由．23．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n n S n N +=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．24．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2，离心． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点． （ⅰ）若1k =，求OAB ∆面积的最大值；（ⅱ）若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值．滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二年级数学 参考答案一．选择题（共12小题）二．填空题（共8小题）13. 2 14. —9 15. (2,3)- 16. 817.18. 2；10x y +-= 19. 19(,)(,)44-∞-+∞U 20. ② ③ 三．解答题（共4小题） 21．【解答】（本小题满分12分）解：（1）{}n a 为公差d 不为零的等差数列，其中1a ，4a ，5a 成等比数列， 可得24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+，可得123d a =， 又74=9S a +，∴114669a d a d +=++，即1=3a∴2d =，即21n a n =+，*n N ∈；（2）由（1）可得(321)(2)2n n nS n n ++==+ ∴11111=()(2)22n S n n n n =-++， 前n 项和：111111111111(1)232435*********(1)22123123=42(1)(2)n T n n n n n n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++=+--+++-⋅++．22．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：在平面ABCD 中，AC CD =Q ，O 为AD 的中点， CO AD ∴⊥，由AB AD ⊥，//AB CO ∴，AB ⊂/Q 平面PCO ，CO ⊂平面PCO ，∴直线//AB 平面PCO ；（2）解：PA PD =Q ，PO AD ∴⊥．又PO ⊂Q 平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ． CO ⊂Q 平面ABCD ，PO CO ∴⊥．AC CD =Q ，CO AD ∴⊥，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)，(2C ，0，0)，(0D ，1-，0)，(0P ，0，1)． (0,1,1)PD =--u u u r ，(2,0,1)PC =-u u u r．设平面PCD 的法向量为(n x =r，y ，)z ，则020n PD y z n PC x z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，令2z =，则1x =，2y =-．∴(1n =r ，2-，2)． 又平面ABCD 的法向量为(0OP =u u u r，0，1)，22cos ,313||||n OP n OP n OP ∴<>===⨯u u u r r u u ur g r u u u r r g ． ∴二面角P CD A --的余弦值为23； （3）解：若存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ， 则存在[0λ∈，1]使得(1,1,1)(,,)BN BP λλλλλ==--=--u u u r u u u r，因此(1,0,0)(,,)(1,,)AN AB BN λλλλλλ=+=+--=--u u u r u u u r u u u r．AN ⊥Q 平面PCD ，由（2）得平面PCD 的法向量为(1n =r，2-，2)． ∴//AN n u u u r r ，即1122λλλ--==-．解得2[03λ=∈，1]，∴存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ，此时223||||3BN BP ==．23．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由2(*)2n n nS n N +=∈，得111a S ==．当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．11a =适合上式，n a n ∴=；（2）2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅，设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①则234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②①-②得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+． 所以2122(21)2n n n A +=+-；则2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+ 24．【解答】（本小题满分13分） 解：（1）由题设知2a =，c e a ==所以c 2431b =-=． 因此，2a =，1b =．⋯（2分）（2）()i 由（1）可得，椭圆C 的方程为2214x y +=．设点(P m ，0)(22)m -剟，点1(A x ，1)y ，点2(B x ，2)y ． 若1k =，则直线l 的方程为y x m =-． 联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x mx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩．将y 消去，化简得2252104x mx m -+-=．解得1x =，2x =从而有，1285m x x +=，2124(1)5m x x -=g ， 而11y x m =-，22y x m =-，因此，||AB=， 点O 到直线l的距离d所以，1||||2OAB S AB d m ∆=⨯⨯， 因此，24(25OAB S ∆= 22222455)()1252m m m m -+-⨯=g …． 又22m -剟，即2[0m ∈，4]．所以，当225m m -=，即252m =，m =OAB S ∆取得最大值1 （ⅱ）设直线l 的方程为()y k x m =-．将直线l 与椭圆C 的方程联立，即22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩． 将y 消去，化简得22222(14)84(1)0k x mk x k m +-+-=， 解得，2122814mk x x k +=+，221224(1)14k m x x k -=+g ． 所以2222221122()()PA PB x m y x m y +=-++-+22212123()2()224x x m x x m =+-+++ 2422222(862)(14)(88)(14)m k k k k k --++++=+ (*)．因为22PA PB +的值与点P 的位置无关，即(*)式取值与m 无关，所以有428620k k --+=，解得12k =±． 所以，k 的值为12±．。
2019-2020天津市部分区高二数学上学期期末试卷(下载版)
天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量)0,1,1(-=，)1,1,(-=m ，若⊥，则实数=m(A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件(C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为(A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里5.若抛物线0)>2px (p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A) 2 (B) 10 (C)7(D) 72 6.已知函数2ln )(x x x f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A) 3ln x x (B) 31x (C) 3ln 1x x - （D)3ln 21x x - 7.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A) 0 (B) 51 (C) 41 （D) 31 8.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A) 012=+-y x (B) 0=-y x (C) 02=-+y x (D) 012=--y x9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A) 1222=-y x (B) 12422=-y x (C) 13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1]第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.i 是虚数单位，则|12|i i -+的值为 . 12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为. 13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为 . 15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则ab b a )1)(4(22++的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.17.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为 PC 的中点.(I) 证明：DE ∥平面PAB;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22. (I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M, 连结心并延长交C 于点N.求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20.(本小题满分、12分）已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.。
天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷Word版含解析
天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）2.命题“∃x 0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）∈（0，+∞），使得A. ∃xB. ∃x∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣86.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值7.在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝2n+1B. a n＝4n﹣1C. a n＝2n+1D. a n＝2n﹣1+28.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A. B. C. － D. －9.已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.10.已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （﹣∞，0）∪（4，+∞）B. （0，1）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）二、填空题．11.曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为____．12.已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为____．13.已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为_____．14.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为_____．15.已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为_____．三、解答题：解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16.已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．18.如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC ＝BB＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19.已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20.已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷参考答案一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。
(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。
天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学
天津市部分区2019～2020学年度高三年级上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1. 设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U AB =ð（ ） A.{4}B.{2，3，6}C.{2，3，7}D.{2，3，4，7} 2. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A.1x =B.1y =C.1x =-D.1y =-3. 设x R ∈，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4. 直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）B. C.2D.45. 已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.21n n S a =-B.12n n S a =-C.2n n S a =-D.2n n S a =-6. 已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f a f c f b >>7. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A.1()22g π=B.()g x 的最小正周期是4πC.()g x 在区间[0，]3π上单调递增 D.()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 8. 已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F ，0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且POF ∆，则C 的方程是（ ）A.22142x y -=B.22124x y -=C.22133x y -=D.2215x y -= 9. 已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A.[3，12] B.(3，12) C.(0。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学试题及答案
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量(1,1,0),(,1,1)a b m =-=r r ，若a b ⊥r r，则实数m = （A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）22．在复平面内，复数11i+(i 是虚数单位)对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．设x ∈R ，则“11||22x -<”是“02x <<”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为 （A ）20里 （B ）10里 （C ）5里（D ）2.5里5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点，则p =（A ）2（B ）10（C（D ）6．已知函数2ln ()xf x x =，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '= （A ）3ln xx （B ）31x （C ）31ln xx -（D ）312ln xx - 7．正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是111,BB D B 的中点，则EF 与1DA 所成角的余 弦值为 （A ）0（B ）15（C ）14（D ）138．曲线12y x =在点()1,1处的切线方程为 （A ）210x y -+= （B ）0x y -=（C ）20x y +-=（D ）210x y --=9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线0x += 上，O 为坐标原点，若OF PF =且POF ∆的面积为C 的方程为（A ）2212x y -= （B ）22142x y -=（C ）22163x y -= （D ）22184x y -= 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（A ）(]1,0- （B ）[)0,1 （C ）()1,1-（D ）[1,1]-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．i 是虚数单位，则2i1i+-的值为__________. 12．已知函数2(),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__________.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点，则a =_________.14．已知“1[2]2x ∃∈，，210x mx -+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________． 15．设0,0a b >>，21a b -=，则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数32(),(,)f x x ax b a b =-+∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为10x y +-=，求,a b 的值； （Ⅱ）若0a >，求的单调区间.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,,//AD CD AD BC ⊥,4BC =，2PA AD CD ===,点E 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//DE 平面PAB ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.()f x18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{}n b 满足121b a =-，445b a a =+，()n *∈N .（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为2.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =交C 于,A B 两点，点A 在第一象限，AM x ⊥轴，垂足为M ，连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20．（本小题满分12分）已知函数()cos sin 1f x x x x =+-． （Ⅰ）若()0,x π∈，求()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当[]0,x π∈时，2sin cos x x x x -≥．天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11 12．3e 13．2 14．(,2)-∞ 15．4 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解（Ⅰ）2()32f x x ax '=- ……………………………………1分 (1)321f a '=-=- ……………………………………2分 (1)10f a b =-+= ……………………………………3分所以2,1a b == ……………………………………5分（Ⅱ）22()323()3a f x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=，得0x =或23ax =. ……………………………………7分 因为0a >，所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞U ，()0f x '> ；……………………………9分 20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． ……………………………………11分 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增，在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；……12分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ，易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意，可以建立以A 为原点，分别以AF u u u r ,AD u u u r ,AP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)F ,(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,1,1)E . ……………………………………1分取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-u u u u r……………………………………2分 又(1,1,1)DE =-u u u r ，可得//AM DE ， …………………………………………4分 又因为直线DE ⊄平面PAB ， ………………………………………5分 所以//DE 平面PAB . …………………………………………6分（Ⅱ）解：依题意，(0,2,2)PD =-u u u r ,(2,0,0)CD =-u u u r ,(2,2,2)PB =--u u u r，……………7分设(,,)n x y z =r为平面PCD 的法向量，则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =，可得(0,1,1)n =r ，………………9分因此有cos ,||||PB n PB n PB n ⋅<>==⋅u u u r ru u u r r u u u r r .（公式1分，结果1分）………………11分所以直线PB 与平面PCD. …………………………12分 18．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由2n S n =，得当1n =时，111a S == ； ……………………………………1分 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=- ， ………………………………3分 经检验1n =时也成立，所以*21()n a n n =-∈N ……………………………………4分 即1212b a =-=，44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，所以2q = ………………………………5分 即*2()n n b n =∈N ……………………………………6分 （Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，由21n a n =-，2n n b =，有(21)2nn n a b n =-⨯， ………………………………7分 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， ……………8分上述两式相减，得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L ……9分1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+. ……………………………………11分所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N …………………12分19．（本小题满分12分）解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c a a ==，又222a b c =+，可得2,a b c ==. ……………………………………3分所以，椭圆的方程为22142x y +=. (4)分（Ⅱ）由得……………………………………5分记，则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为，方程为．…………………………………7分 由得．① …………………8分 设(,)N N N x y ，则和N x 是方程①的解，故22(32)2N u k x k +=+ ，由此得322N uk y k =+ ． ……………………………………9分22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x =u =2k ()2ky x u =-22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222(2)280k x uk x k u +-+-=u -从而直线AN 的斜率为． …………………………………11分所以AB AN ⊥，即点A 在以BN 为直径的圆上.．…………………………………12分 20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）()cos f x x x '=， ……………………………………1分 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，…………………………3分当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：分因此，当2x π=时，()f x 有极大值，并且极大值为()122f ππ=-.…………………5分（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--，()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=…………6分 由（Ⅰ）知()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-< …………………………………8分故()f x 在存在唯一零点.设为，则00()()0g x f x '==………………………9分 当时，()0g x '>；当时，()0g x '<，所以()g x 在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………………11分又(0)0,()0g g π== ，所以，当时，()0g x ≥.故2sin cos x x x x -≥. ……………………………………12分322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+π(0,)2π,π2⎛⎫⎪⎝⎭(0,π)0x ()00,x x ∈()0,πx x ∈()00,x ()0,πx [0,π]x ∈。
2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题
2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学注意事项：1、考生应在试题卷和答题卡相应位置填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
选择题应用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号，非选择题应直接在答题卡上作答。
2、不按要求作答的答案无效，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
3、考试结束后，请将试题卷、答题卡、草稿纸依序排列上交。
一．选择题（共12小题）1．设i为虚数单位，复数（-1-i）/2i等于()A．-1+iB．-1+iC．1-iD．1+i2．“对于所有大于2的实数x，都有x²-2x>0” 的否定是() A．存在实数x∈(2,+∞)，使得x²-2x≤0B．对于所有实数x∈(2,+∞)，都有x²-2x≤0C．存在实数x∈(-∞,2)，使得x²-2x>0D．对于所有实数x∈(-∞,2)，都有x²-2x>03．若a，b，c∈R，且a>b，则下列结论一定成立的是() A．ac>bcB．(a+b)/2<√abC．a²>b²D．a-c>b-c4．设等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=2，S3=12，则a6=()A．8B．10C．12D．145．已知等比数列{an}中，a1=1，且a4+a5+a8=8，那么S5=()A．31B．32C．63D．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为()A10B11D12C二．填空题（共4小题）13.114.1/215.1/416.2/3三．解答题（共4小题）21.1) 根据已知条件，可以列出以下方程组：a1 + a2 + a3 = S3 - S0a1 + a2 +。
天津市部分区2019-2020学年高一上学期期末考试化学试卷
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高一化学题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分得分第Ⅰ卷可能用到的相对原子质量H1 N14 O16 Na23 Al 27 Fe56本卷共15题，每题只有一个正确选项，每题3分，共45分1．根据所给的信息和标志，判断下列说法中错误的是A B C D碳酸氢钠药片（抗酸药）易燃类物质服用时喝些醋能提高药效可腐蚀金属或严重灼伤皮肤可回收物2．下列关于分类或说法合理的是A．根据酸分子中含有的H原子个数将酸分为一元酸、二元酸等B．根据元素原子最外层电子数的多少将元素分为金属元素和非金属元素C．运用分类的方法，可以发现物质及其变化的规律，预测物质的性质及可能发生的变化D．纯水可发生丁达尔效应3．高温下铝粉与氧化铁的反应可以用来焊接钢轨，该反应会放出大量的热，使置换出的铁呈熔融态，从而达到焊接目的。
下列分析错误的是A．该反应不属于氧化还原反应B．被还原的物质是氧化铁C．该反应的还原剂是铝粉D．该反应可以用来冶炼某些熔点高的金属4．金属和合金是生活中常用的材料。
下列说法正确的是A．不锈钢是铁合金，只含金属元素B．镧镍（La-Ni）合金能大量吸收H2形成金属氢化物，可作储氢材料C．目前世界上使用量最大的合金是铝合金D．常温下，铁粉可以和水发生置换反应得到氢气5．下列说法正确的是A．已知2C＋SiO2Si＋2CO↑，说明Si的非金属性比C强B．电子层数越多，原子半径一定越大C．碱金属元素都能与氧气反应生成过氧化物D．单质中不可能含有离子键6．下列有关说法正确的是A．将7.8g Na2O2溶于1L水可以配成0.2mol·L－1的NaOH溶液B．定容时仰视容量瓶刻度线，所得溶液浓度偏低C．标准状况下，22.4L乙醇含有的分子数目为1.0N AD．将FeCl3的饱和溶液滴到NaOH溶液中可制得Fe(OH)3胶体7．下列说法正确的是A．同主族元素原子的最外层电子数相同B．在多电子原子中，在离核较近的区域内运动的电子能量较高C．第ⅡA与第ⅡA族元素的原子序数一定相差1D．碱金属元素指第ⅡA族所有元素8．下列说法中正确的是A．Cl2具有很强的氧化性，在化学反应中只能作氧化剂B．从海带中提取碘单质的过程涉及氧化还原反应C．过量的铁粉在氯气中燃烧可生成氯化亚铁D．“84”消毒液（主要成分是NaClO）与“洁厕灵”（主要成分是盐酸）共同使用，可达到既消毒又洁厕的双重效果9．周期表中第三周期元素，按原子序数递增的顺序（稀有气体除外），以下说法正确的是A．原子半径逐渐增大B．金属性减弱，非金属性增强C．氧化物对应的水化物碱性减弱，酸性增强D．简单离子的离子半径减小10．下列离子检验操作、结论均合理的是A．用AgNO3溶液检验Cl－时，先加入适量稀盐酸以排除CO32－干扰B．某溶液中滴加KSCN溶液呈红色，说明不含Fe2＋C．某溶液中滴加氯水后再滴加KSCN溶液呈红色，说明原溶液含有Fe3＋D．某无色溶液中滴加氯水后溶液呈棕色，再滴加淀粉溶液显蓝色，说明原溶液中含有I－11．四种短周期元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W原子最外层电子数是电子层数的3倍，X原子最外层电子数等于最内层电子数，元素Y是地壳中含量最丰富的金属元素，Z和W同主族。
天津市西青区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题
天津市西青区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟. 第I 卷1至2页，第II 卷3至6页.注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设复数z 满足i z i 2)1(=+，则z =A ．i +-1B ．i --1 C. i -1 D. i +12. “2<a ”是“022<-a a ”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知空间向量)0,1,3(=→a ，)1,3,(-=→x b 且→→⊥b a ，则=xA ．3-B ．1- C. 1 D. 24. 设等差数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=A ．12B ．20 C. 40 D ．1005. 抛物线2x y =的焦点坐标是A ．)41,0(B ．)21,0( C. )0,41( D ．)0,21(6. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则2019S =A ．20192018B ．20192017 C. 20202019 D ．202020187. 设0,0>>b a .若2是a 2与b 4的等比中项，则ba 11+的最小值为A ．223+B ．3 C. 26 D ．25221(0,0y a b b -=>>）的左、右焦点分别为1F 、2F ,双曲线1C 、2C 的离心率相同.若M 是双曲线2C 一条渐近线上的点，且2MF OM ⊥(O 为原点)，若162=∆OMF S ，则双曲线2C 的方程为A ．221369x y -= B ．2214x y -= C. 221164x y -= D ．2216416x y -=第Ⅱ卷注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共12小题，共110分 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 命题p :12),,0(2+≥+∞∈∀x x x . 则p ⌝为 ．10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为02=-y x ，则双曲线的离心率为 _．11. 已知等比数列}{n a 中，29,1122321==+S a a a ，则=q _________.12. 以下五个命题中： ①若πβαπ432<<<，则βα-的取值范围是44πβαπ<-<-； ②不等式0122>+-ax ax ，对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为10<<a ；③若椭圆2211625x y +=的两焦点为1F 、2F ，且弦AB 过1F 点，则2ABF ∆的周长为16； ④若常数0>m ，a ，b ，c 成等差数列，则a m ，b m ，c m 成等比数列；⑤数列{}n a 的前n 项和为n S =2n +2n －1，则这个数列一定是等差数列.所有正确命题的序号是 . 13.《张丘建算经》卷上第22题中 “女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快, 而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加[尺.[14. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线22221x y m n -=(0,0)m n >>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ,若c 是a 、m 的等比中项,2n 是22m 与2c 的等差中项,则椭圆的离心率是 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.15.（本小题满分13分）已知递增的等比数列{}n a 满足38,a =且32a +是24,a a 的等差中项． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若21log ,n n n b a S +=是数列{}n b 的前n 项和，求20S 的值． .16.（本小题满分13分）求关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 的解集.17.（本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线'C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 交于点)6,23(A ，抛物线C 的准线过双曲线'C 的左焦点. （I ）求抛物线C 与双曲线'C 的标准方程；（II ）若斜率为k 的直线l 过点)1,0(P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程.18.（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD .2AD =，1AM =，AB DE ⊥ 且点E 为AB 的中点．MAN（I ） 求证:AN ∥平面MEC ；（II ） 求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（III ） 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，12+=n n S a ，数列{}n b 中，11=b ，满足),1(11*-∈>-=N n n b n nb n n . （I ） 求出{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）设n n n b a c ⋅=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使得)5(612m m T n -≥时，对所有的•∈N n 恒成立的最大正整数m 值.20.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（I ） 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.数学试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 12),,0(0200+<+∞∈∃x x x 使得 （只对一个给3分） 11.2112.④ 13. 2916 14. 21 三、解答题：15.解： （Ⅰ）Θ38,a =821=∴q a （1）……………………………………….1分又Θ32a +是24,a a 的等差中项∴423)2(2a a a +=+ ……………………………………………………2分即：2042=+a a 20311=+∴q a q a （2）∴（1）÷（2）得5231121=+∴q a q a q a 5212=+∴qq 解得：2=q 或者21=q ………………………………………………………..5分 Θ等比数列{}n a 递增，所以2=q ………………………………………6分由821=∴q a 得21=a …………………………………………………………7分数列{a n }的通项公式为11-=n n q a a …………………………………8分=n2…………………………………………9分（Ⅱ）12log +=n n a b =122log +n =1+n ……………………………………..10分2)(2020120b b S +=…………………………………………………..11分=2)212(20+ =230 ……………………………… 13分16．解：当0=a 时，不等式的解为1>x ……………………………2分 当0≠a 时，分解因式0)1)(1(<--ax x ……………………….3分0)1)(1(=--ax x 的根为ax x 1.121==……………………………..4分 当0<a 时，a 11>不等式的解为1>x 或ax 1<；……………………………6分当10<<a 时，1＜a 1，不等式的解为1＜x ＜a 1；……………………………8分当1>a 时，a 1＜1，不等式的解为a 1＜x ＜1；………………………………10分当1=a 时，原不等式为 0)1(2<-x 不等式的解为∅ …………………12分 。
精品解析：天津市部分区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
故选:D.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义,属于基础题.
5.已知 , , ,则三者的大小关系是()
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
, , ;所以 ,故选A.
6.为了得到函数 的图象,只需将函数 的图象上所有的点（）
A.向左平移 个单位B.向左平移 个单位
18.已知函数 .
(1)判断 的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(2)判断 的奇偶性,并说明理由.
【正确答案】(1)见详细解析;(2)见详细解析.
【详细解析】
详细分析】
(1)直接利用单调性的定义 ,且 , 与0比较大小及即可;
(2)通过证明 可得函数为偶函数.
【详细详细解析】(1) 在 上单调递增.
7.已知函数 是定义在R上的偶函数,且在区间 上单调递增,若 ,则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
【详细分析】
利用奇偶性可得 ,结合单调性可得 ,从而得解.
【详细详细解析】由函数 是定义在R上的偶函数,可得: .
且 在区间 上单调递增,
所以 ,解得: .
故选:A.
,且 ,则
由 ,得 ,
所以 ,
又由 ,得 ,
所以,
于是 ,即
所以 在 上单调递增.
(2)函数 的定义域为 ,
因为 都有 且
所以 为奇函数.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性及判断函数的奇偶性,属于基础题.
19.已知函数 .
(1)求 最小正周期;
(2)求 在区间 上的最大值和最小值;
(3)若关于x的不等式 在R上恒成立,求实数m的取值范围.
天津市滨海新区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 ， ， ，
椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，
因 是它们的一个公共点，且 ，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知 ，①式化简为： ……②
当 ，即 时，此时 ，不满足题中条件，
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.
20.给出下列四个命题
①已知 为椭圆 上任意一点， ， 是椭圆的两个焦点，则 的周长是8；
②已知 是双曲线 上任意一点， 是双曲线的右焦点，则 ；
【答案】
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体 的棱长为 ，则 ， ， ， ，
， ，
设直线 与直线 所成角为 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
且 ， ， 成等比数列，可得 ，即 ，
解得 ， ，
则 ；
，
，
则数列 的前n项和为
．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
22.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD= .
2019-2020天津市滨海新区高二数学上学期期未试卷(下载版)
滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二年级数学一．选择题（共12小题） 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于( ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．“(2,)x ∀∈+∞，220x x ->”的否定是( )A ．0(2,)x ∃∈+∞，2020x x -≤ B ．(2,)x ∀∈+∞，220x x -≤C ．0(,2)x ∃∈-∞，20020x x -≤D ．(,2)x ∀∈-∞，220x x ->3．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列结论一定成立的是( ) A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c ->-4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若312,12a S ==，则6a =( ) A ．8B ．10C ．12D ．145．已知等比数列{}n a 中，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S =( )A ．31B ．32C ．63D ．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为( ) A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里7．已知双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．53±B ．35±C ．54±D ．45±8．“b 是11b 是2与2( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是( )A ．2B ．4C ．D ．10．已知双曲线22221(0,0)y a x b a b-=>>，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．2211612x y -=D ．2211216x y -=11．若0a >，0b >，31a b +=，11a a b++则的最小值为( ) A ．8B ．7C ．6D ．512．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．2B ．4C D二．填空题（共8小题）13．已知复数(z i i =为虚数单位），则||z = ．14．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =-r ，向量(3,2,1)v =-r与平面α平行，则z等于 ． 15．不等式302x x -<+的解集为 ． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()n n a na n N +=∈，则34a a += ．17．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为 ．18．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标2，则p = ，直线l 的方程为 ．（本题第一空2分，第二空3分）19．已知{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，则a 的取值范围是 ．20．给出下列四个命题①已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则12PF F ∆的周长是8；②已知M 是双曲线22145x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则||1MF …；③已知直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则121240x x y y +=；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，若静放在点1F 的小球（小球的半径忽略不计）从点1F 沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ．其中正确命题的序号为 （请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共4小题） 21．（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，74=9S a +且有1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，O 为AD 中点，1AB =，2AD =，AC CD =（1）证明：直线//AB 平面PCO ； （2）求二面角P CD A --的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点N ，使AN ⊥平面PCD ，若存在，求线段BN 的长度；若不存在，说明理由．23．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n n S n N +=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．24．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2．（1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点． （ⅰ）若1k =，求OAB ∆面积的最大值；（ⅱ）若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值．。
精品解析：天津市部分区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
第I卷（选择题共40分）
1.已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合 （）
A. B. C. D.
2.下列函数中既是奇函数,又在R上单调递增的是（）
A.向左平移 个单位B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位D.向右平移 个单位
7.已知函数 是定义在R上 偶函数,且在区间 上单调递增,若 ,则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
8.若 都是锐角,且 , ,则 的值是（）
A. B. C. D.
9.下列命题正确的是（）
A.命题“ ,使得 ”的否定是“ ,使得 ”
B.若 ,则
C.若函数 [1,4]上具有单调性,则
D.“ ”是“ ”的充分不必要条件
10.已知函数 在区间 上单调递增,且存在唯一 使得 ,则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
第II卷（共80分）
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.幂函数 的图像经过 ,则 = ________．
12.函数 定义域为_______.
13.已知 ,则 的最小值是_______.
14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障交通安全,根据国家有关规定:100ml血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml,如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少,那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车.则整数t的值为_________(参考数据: )
天津市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
天津市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A .B .C . 1D .2. （2分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2，其中说法正确的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2016高一上·厦门期中) 给出下列五个命题：①函数y= 是偶函数，但不是奇函数；②若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）；③函数f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；④方程x2+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；⑤函数f（x）=loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在[0，2]上为减函数，则1＜a＜3．其中正确的个数（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）(2017·菏泽模拟) “m＞2”是不等式|x﹣3m|+|x﹣ |＞2 对∀x∈R恒成立”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2013·重庆理) 在平面上，⊥ ，| |=| |=1， = + ．若||＜，则| |的取值范围是（）A . （0， ]B . （， ]C . （， ]D . （， ]7. （2分） (2016高二上·杭州期中) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·泉州模拟) 若x，y满足约束条件，z=x+y+3与z=x+ny取得最大值的最优解相同，则实数n的取值范围是（）A . {1}B .C .D . [1，+∞）9. （2分） (2017高二下·湘东期末) 已知F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B . （，+∞）C . （1，2）D . （2，+∞）10. （2分）已知向量与的夹角为60°，且，则 =（）A . 0B . 2C . 4D . 811. （2分） (2019高一下·吉林月考) 数列的前项和，若，则（）A . 5B . 20C . -20D . -512. （2分） (2018高三上·德州期末) 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·南阳月考) 命题：关于的不等式对恒成立；命题是减函数.若命题为真命题，则实数的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·大连期末) 在等比数列中，成等差数列，则等比数列的公比为________．15. （1分） (2015高三上·潮州期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且b2=ac，则的值为________．16. （1分）已知向量，且，则实数m=________．三、解答题： (共6题；共40分)17. （10分）(2014·辽宁理) 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（1）写出C的参数方程；（2）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．18. （5分） (2018高三上·重庆期末) 在△ABC中，角 A ， B ， C所对的边分别为，且（I）求A；（II）若，△ABC的面积为，求的值。
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天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学一．选择题（共10小题）1.已知空间向量)0,1,1(-=a ，)1,1,(-=m b ，若b a ⊥，则实数=m (A)-2(B)-1(C)1（D)22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于(A)第一象限（B)第二象限(C)第三象限（D)第四象限3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件（D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(A)20里（B)10里(C)5里（D)2.5里5.若抛物线0)>2px(p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A)2(B)10(C)7(D)726.已知函数2ln )(xxx f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A)3ln x x(B)31x (C)3ln 1x x -（D)3ln 21x x-7.正方体1111D C B A ABCD -，点E，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A)0(B)51(C)41（D)318.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A)012=+-y x (B)0=-y x (C)02=-+y x (D)012=--y x 9.设双曲线)0>>(1:2222b a by a x C =-的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A)1222=-y x (B)12422=-y x (C)13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(A)(-1,0](B)[0,1)(C)(-1,1)(D)[-1,1]二．填空题（共5小题）11.i 是虚数单位，则|12|ii-+的值为.12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为.13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则abb a )1)(4(22++的最小值为.三．解答题（共5小题）16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为PC 的中点.(I)证明：DE ∥平面PAB ;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22.(I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M ,连结心并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：12345678910CDACDDAABD二、填空题：11．10212．3e 13．214．(,2)-∞15．4+三、解答题：16．（本小题满分12分）解（Ⅰ）2()32f x x ax '=-……………………………………1分(1)321f a '=-=-……………………………………2分(1)10f a b =-+=……………………………………3分所以2,1a b ==……………………………………5分（Ⅱ）22()323()3af x x ax x x '=-=-．令()0f x '=，得0x =或23ax =.……………………………………7分因为0a >，所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞ ，()0f x '>；……………………………9分20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．……………………………………11分故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增，在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；……12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取BC 中点F ，易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意，可以建立以A 为原点，分别以AF ,AD ,AP的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)F ,(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,1,1)E .……………………………………1分取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-……………………………………2分又(1,1,1)DE =-，可得//AM DE ，…………………………………………4分又因为直线DE ⊄平面PAB ，………………………………………5分所以//DE 平面PAB .…………………………………………6分（Ⅱ）解：依题意，(0,2,2)PD =- ,(2,0,0)CD =- ,(2,2,2)PB =--，……………7分设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量，则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩不妨令1z =，可得(0,1,1)n =，………………9分因此有cos ,||||PB n PB n PB n ⋅<>==⋅.（公式1分，结果1分）………………11分所以直线PB 与平面PCD…………………………12分18．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由2n S n =，得当1n =时，111a S ==；……………………………………1分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，………………………………3分经检验1n =时也成立，所以*21()n a n n =-∈N ……………………………………4分即1212b a =-=，44516b a a =+=记数列{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，所以2q =………………………………5分即*2()n n b n =∈N ……………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，由21n a n =-，2n n b =，有(21)2n n n a b n =-⨯，………………………………7分故23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，……………8分上述两式相减，得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L ……9分1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯-得1(23)26n n T n +=-⨯+.……………………………………11分所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N …………………12分19．（本小题满分12分）解析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意，224,2c a a ==，又222a b c =+，可得2,a b c ===.……………………………………3分所以，椭圆的方程为22142x y +=.……………………………………4分（Ⅱ）由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =……………………………………5分记u =，则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．…………………………………7分由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①…………………8分设(,)N N N x y ，则u -和N x 是方程①的解，故22(32)2N u k x k +=+，由此得322N uk y k =+．……………………………………9分从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．…………………………………11分所以AB AN ⊥，即点A 在以BN 为直径的圆上.．…………………………………12分20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）()cos f x x x '=，……………………………………1分当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，…………………………3分当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-()f x 单调递增12π-单调递减………………………………4分因此，当2x π=时，()f x 有极大值，并且极大值为(122f ππ=-.…………………5分（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--，()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=…………6分由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,2上单调递增，在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又(0)0,(10,()2022f f f πππ==->=-<…………………………………8分故()f x 在(0,π)存在唯一零点.设为0x ，则00()()0g x f x '==………………………9分当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,πx x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,πx 上单调递减.…………………11分又(0)0,()0g g π==，所以，当[0,π]x ∈时，()0g x ≥.故2sin cos x x x x -≥.……………………………………12分。