对流扩散方程的求解
扩散模型数学推导
扩散模型数学推导
扩散模型是描述物质扩散过程的数学模型，其基本原理是根据物质的浓度梯度，通过扩散系数来描述物质从高浓度向低浓度方向扩散的过程。
在数学上，扩散模型可以用偏微分方程来表示，常见的扩散模型包括热传导方程、扩散方程、对流扩散方程等。
对于热传导方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=k
abla^2 u$$
其中，$u$表示温度，$k$表示热传导系数，$
abla^2$表示拉普拉斯算子。
该方程描述了物质在热传导过程中的扩散行为。
类似地，对于扩散方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=D
abla^2 u$$
其中，$u$表示物质浓度，$D$表示扩散系数。
该方程描述了物质在扩散过程中的扩散行为。
而对于对流扩散方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=D
abla^2 u -
ablacdot(textbf{v}u)$$
其中，$textbf{v}$表示流体速度。
该方程描述了物质在流体中同时受到扩散和对流的影响。
除了以上三种模型，还有许多其他的扩散模型，例如非线性扩散方程、弛豫扩散方程等。
这些模型的数学推导都需要借助偏微分方程和相关数学工具来完成。
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
a P P a E E a W W
中心节点系数
相邻节点系数
aP aE , a W aP aE a W (Fe Fw )
考虑到连续方程
Fe-Fw=0
满足相邻系 数之和准则
a P aE a W
扩散项和以前的处理方法一样，即有：
(u) e e (u) w w e ( E P ) ( x ) e w ( P E ) ( x ) w
而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格 节点上的值。即：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2 一维稳态对流扩散问题
5.2.1 基本方程与差分方程
du d d ( ) dx dx dx
(x)w
其中，u已知，且满
d u 足： 0 或u 常数 dx
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
a P P a E E a W W
aE 1 4 1 2 4 aW 1 3 2 a P 1 3 4 4 2
2P E 3W
De Dw 1 Fe Fw 4
E 200, W 100
E 100 W 200
2 P 0.25E 1.75 W
De D w 1 Fe Fw 1.5
E 200, W 100
E 100 W 200
P 187.5
P 112.5
某问题 结果合理
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对流扩散方程的解
对流扩散方程的解
对流扩散方程是一种常用的数学模型，用于描述物质在流体中的运动。
其一般形式为：
∂C/∂t + ∇(vC) = D∇²C
其中，C是所考虑的物质的浓度，t是时间，v是流体的速度，D是物质的扩散系数。
解决对流扩散方程的常用方法有两种：
数值方法：使用计算机模拟流体运动，通过求解方程的差分形式来解决方程。
解析方法：使用数学方法求解方程的解析解。
对于特定的对流扩散方程，可能存在多种解析解，具体的求解方法取决于方程的特征以及所要求解的问题。
常用的解析方法包括：
●牛顿迭代法
●高斯消元法
●光滑积分法
●微扰法
●重心法
●四点法等
最后，请注意，解决对流扩散方程并不是一件简单的任务，通常需要具有较强的数学背景知识和丰富的经验才能做到。
对流方程及其解法
对流方程及其解法对流方程是描述流体运动的最基本方程之一，涉及热、动量、物质等的传递现象，对于各种物理问题的研究都具有重要意义。
本文将从对流方程的基本形式和意义出发，探讨其常见解法及相关应用。
一、对流方程的基本形式与意义对流方程是描述流体中质量、热量和动量传递的方程，其基本形式可以写作：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\phi =\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi) $$其中，$\phi$为描述流体量的变量，如温度、密度、浓度等；$\mathbf{v}$为流体的流速，$\Gamma$为扩散系数。
对该方程的解析求解较为困难，故通常采用数值方法进行求解。
下面介绍几种常见的数值解法。
二、有限差分法有限差分法是在连续方程的基础上，利用有限差分代替导数，将微分方程变为代数方程组，从而利用计算机求解的方法。
其基本思想是将求解区域划分为有限个网格，对每个网格内的量用差分代替导数，从而得到有限差分方程。
以简单的二维对流扩散为例，其对流方程为：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + u\frac{\partial\phi}{\partial x} + v\frac{\partial\phi}{\partial y} = \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} $$其中，$u$和$v$分别代表$x$和$y$方向的流速。
对该方程进行离散，假设$\phi_{i,j}$为$x=i\Delta x$，$y=j\Delta y$处的$\phi$值，则可以得到：$$ \frac{\phi^{k+1}_{i,j} - \phi^k_{i,j}}{\Delta t} +u\frac{\phi^k_{i+1,j} - \phi^k_{i-1,j}}{2\Delta x} +v\frac{\phi^k_{i,j+1} - \phi^k_{i,j-1}}{2\Delta y} $$$$ = \frac{\Gamma\Delta t}{(\Delta x)^2}(\phi^k_{i+1,j} -2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i-1,j}) + \frac{\Gamma\Delta t}{(\Deltay)^2}(\phi^k_{i,j+1} - 2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i,j-1}) $$其中，$k$为时刻，$\Delta x$和$\Delta y$分别为$x$和$y$方向的网格间距。
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。
本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。
二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。
在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。
我们需要求解方程(1)，找到u的分布。
为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。
假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。
我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。
首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。
我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。
接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。
我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对控制方程在P点的控制容积积分后，得到如下方程
(u ) e (u ) w ( d d ) e ( )e dx dx
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
所以，当 F 2D，即意味着两节点对其间变量分布 的影响特性是受扩散控制的，当 F 2D时，即意味 着两节点对其间变量分布的影响特性是受对流控 制的。对于前者，两节点之间的变量分布偏离线 性分布，但尚不显著，而对于后者两节点之间的 变量分布则严重偏离线性分布。
P<<-1
P=-1
P=0
P=1 P>>1
0
0 L/2 L
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
说明
由图很容易看出，只有在贝克列数为零的极限条 件下，即对纯扩散问题或导热问题，变量在任意 两点之间的变化才是线性的。即在没有流动的情 况下，我们假定变量在任意两个节点之间的线性 分布才是可以接受的。 当贝克列数不为零时，即存在对流过程时，变量 在任意两点之间的变化是偏离线性的。贝克列数 的绝对值越大，这种偏离越严重。所以我们在用 控制容积法推导差分方程时，假定任意两个节点 之间变量呈线性变化显然是有问题的。
e P e E
如果 Fe 0 如果 Fe
0
同样
w W
w P
如果 Fw 0
如果 Fw 0
为了能写出差分方程，我们定义一个新的算子，如下：
A, B AMAX( A, B)
(参考资料)一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
对流扩散方程.
A对流扩散方程的求解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。
但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。
为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。
有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。
对流扩散方程的特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。
由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。
对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。
这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。
如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。
对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。
因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。
第六章对流与扩散
该格式计算量比指数小，且与指数格式的解差别很小。
§ 6-3
通用表达式
为了在讨论中引入 PE J* J u d * 记 J x x ( ) d( ) d i i+1 P d x i+1/2 d( ) 1 界面i+ 上的值可以有界面两侧节点值表示
第六章
对流扩散方程的差分格式
导热型方程：（原始或经过变换的）
二阶导数项（扩散），源项
对流扩散方程：（动量或能量）
二阶导数项（扩散），源项 一阶导数项（对流），压力梯度。 一维稳态无内热源的对流扩散方程:
d d d ( u ) ( ) 密度， 扩散系数。 dx dx dx
对流热能量方程
aE Pe De
aE 1 1 Pe De 2
指数
aE 0 De
二．混合格式
虽然指数格式是精确解,但计算过繁,通过对 随 Pe 变化及其三条切线 aE Pe 0 De aE Pe Pe De aE 1 Pe 0 1 Pe De 2 斯帕尔丁提出 aPP aEE aww
F u J * 而 P ,J D ( ) D x * 根据通量守恒 Je J De Je D J* 0
P{De B(P e ) D A(P )} De A(Pe )E e D BP W
aE De A(Pe ) De{A(| Pe |) [| Pe ,0 |]}
Pe 10
aE Pe DE aE (1 0.1Pe )5 Pe DE aE (1 0.1Pe )5 DE aE 0 DE
10 Pe 0
0 Pe 10
Pe 10
(f)
算子分裂法求解对流-扩散-反应方程
算子分裂法求解对流-扩散-反应方程贾宏恩;李开泰;钟贺【摘要】The convection-diffusion-reaction equation is solved by virtue of the first order Lie splitting in this paper. At each time step, an ODE along characteristic and an parabolic equation need to be resolved after the methods of the characteristic and Euler discrete with respect to time. Intermediate boundary condition and splitting error are further conducted. The numerical result shows that the proposed method can be used to solve the convection-diffusion-reaction equation effectively. '%采用一阶精度的Lie分裂求解对流-扩散-反应方程,在每个时间步内,对于要求解的两个方程,关于时间分别采用特征线和欧拉方法进行离散,空间采用P2元进行离散.这两个方程,一个沿着特征线为常微分方程,另一个为典型的抛物型方程.同时导出了适合分裂方程的中间边界条件,分析了其分裂误差.数值结果表明,所提方法能够有效的求解对流-扩散-反应方程.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(029)001【总页数】7页(P89-95)【关键词】算子分裂;特征线方法;中间边界条件;分裂误差【作者】贾宏恩;李开泰;钟贺【作者单位】太原理工大学数学学院,太原030024;西安交通大学理学院,西安710049;西安交通大学理学院,西安710049【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言对流–扩散–反应方程可以用于描述大气、海洋、河流等环境和化工领域中的传质、传热等对流扩散现象．由于其应用的广泛性与重要性，出现了许多求解对流–扩散–反应方程的数值方法，如有限差分法、有限元法、边界元法、以及特征线方法等．但这些方法在求解对流占优的对流–扩散问题时，普遍存在数值弥散和振荡现象，因而影响了数值模拟结果的精度．近年来，算子分裂法已成为求解对流–扩散–反应问题的有效的方法之一．其主要优点是分裂后的方程更加容易求解且格式灵活，稳定性好．但其也存在两个缺点，一是算子不可交换时，分裂误差不可避免；二是分裂方程中间边界条件的确定．在文献[1]中把对流–扩散–反应方程分裂为三个方程(对流–扩散–反应)，从理论上分析了分裂误差．在文献[2]中，在标准的Lie分裂、Strang分裂(这里把对流扩散反应项分裂为三个算子)、Sourec分裂(这里把对流和扩散项看作一个算子，反应项作为一个算子)和近似矩阵分解四种不同的分裂格式下对对流–扩散–反应方程的求解方式进行了对比．本文将对流–散–应方程按一阶精度的Lie分裂进行求解，其中对流和反应项看作一个算子，扩散项看作一个算子，并结合特阵线方法进行计算，同时与其它的Lie分裂方法进行对比，以检验这些算法的性能．2 模型与方法考虑的模型如下这里Ω是Rd的一个区域(d=1,2,3)，u(x,t)是速度场，K是扩散张量，二者均已知，c是未知量．对于反应项R在不同的情况下有不同的表达式，如在放射性衰变中R(u)=−au；在Logistic模型中R(u)=au−bu2；在生物降解模型中2.1 分裂方法对于A→B型的Lie分裂．一般有两种分裂格式：1) 令A= −u·∇c+R(c),B= ∇·(K∇c)．这种分裂在文献[3]中被提出，重点介绍了软件积分技巧的应用(诸如dynamical link library(DLL)or component object model(COM))．这样，在每一个时间步[tn,tn+1]内，我们将要解如下的方程于是2) 令P=−u·∇c+∇·(K∇c),O=R(c)．这样，在每一个时间步[tn,tn+1]内，我们将要解如下的方程于是2.2 分裂方程的边界条件对流–扩散–反应方程包含三个同时进行的过程：对流、扩散、反应，控制方程的边界条件也反应了这些过程同时的影响．当用两个算子A,B分裂它们为并顺序求解时，意味着假设这两个过程是顺序发生的．因此，在使用算子分裂法时，导出适合分裂方程的边界条件，既所谓的中间边界条件[4]是十分重要的．正如在文献[5]中所指出的，算子分裂法的边界条件常会导致“serious confusion”．对于中间边界条件的研究可以追溯到文献[6,7]．在本节中，基于Leveque[4]针对双曲方程提出的概念，我们导出分裂方程(3)和(4)的Dirichlet边界条件．为了使问题更加简单，考虑速度场u与时间无关，R(c)=Kc的情况．对于u与时间有关的情况，可通过一定的积分法则来转化；对于R(c)为非线性的情况，可通过一定的迭代技巧转化为线性的情况．把方程(3)看作一个Cauchy问题，并且在一个时间步长∆t内积分，则可得到如下表达式这里A1=−u·∇，由于此处我们采用的是一阶精度的Lie分裂．因而也可作一阶近似令f1(tn+1)是方程(3)恰当的边界条件，则上面的方程能被表示为对于方程(4)在假设f充分光滑的前提下，可以采用文献[7]中所导出的边界条件但正如文献[8]中所指出的，上述中间边界条件与算子分裂算法是不相容的．因此类似于文献[8]中对流–扩散方程的情况，在每一次计算循环末尾，我们仍使用原方程的边界条件，即在(7)式中c(tn,x0)=f(tn,x0)，其中cx(tn,x),cy(tn,x)通过下面的方程来求解．对方程，关于空间变量x,y微分可得：其中为全导数．对于上式，采用与文献[8]类似的技巧来处理边界条件．2.3 求解分裂方程所采用的数值解法对于(3)，如果令沿特征方向定义的微商算子其中当，则(3)式可以写为如下的等价形式设由点(x,tn+1)出发，沿反特征方向与直线t=tn交点的横坐标为n+1，则在t=tn+1时，有这里可以通过特征线方法来确定．对任意的x，通过(x,tn+1)的特征线X(t,x,tn+1)满足按矩形公式，积分方程(13)可得利用等式(14)，可以用下式来近似(12)式对于(15)式的情况，由于式(15)中同时含有ˇxn+1和u(ˇxn+1,tn)，因而要想确定ˇxn+1，须迭代求解，如牛顿迭代法，进而确定u(ˇxn+1,tn)的值．有时，逆着时间层到达前一时间层之前，可能已到边界，这时候有此时(12)式可用下面的式子来近似则问题(11)可以被离散为如下的格式对于方程(4)，由于分裂是一阶精度的，因而采用一阶精度的向后欧拉离散．3 分裂误差分析在一般情况下，由于算子的不可交换性，分裂误差不可避免．基于Lie分裂而带来的分裂误差可以被表示为其中A和B是算子A和B对应的Lie算子，且如果算子A是线性的，则A′(c)=A(c)．对分裂格式一，其分裂误差的表达式为由文献[1]可知，如果反应项R关于c是线性且与x无关，则分裂扩散与反应项带来的误差可以消除；如果D和u是与x无关，则分裂对流和扩散项带来的误差可以避免．如果二者同时成立，则分裂误差不存在．对于分裂二，其分裂误差的表达式为如果▽·u=0且R不依赖于x，则分裂对流和反应项带来的误差可以消除；如果反应项R关于c是线性的且与x无关，则分裂扩散与反应项带来的误差可以避免．如果二者同时成立，则分裂误差为零．4 算例分析对比两种分裂格式可以发现：在每一个时间步内，它们均要解一个ODE和一个PDE，但分裂一须求解的ODE需要沿着特征线方向，而分裂二要解的ODE则是沿着时间方向；对于要求解的PDE而言，分裂二更复杂些，因为对流和扩散项带来的困难并没有解决．为了便于比较，对于空间采用P2元，同时考虑到求解顺序对于误差的影响，不同次序的分裂也将被求解．算例：ct+u·▽c=▽·(D▽c)+Kc．初始条件：此处(xc,yc)和σ>0分别是中心和标准偏差，扩散系数D>0，速度场u=(−4y,4x),K是一常数，则其精确解可以表示为其中(x∗,y∗,0)是过点(x,y,t)的特征线在t=0时的交点，即参数选择：表1和表2对A−B型分裂分别采用欧拉离散和特征线离散的计算结果进行对比．其中A−B特征对于算子A所在的方程采用特征线离散，算子B所在方程采用欧拉时间离散；A−B欧拉则对算子A,B所在方程均采用欧拉时间离散，数值结果显示，A−B特征的效果明显好于A−B欧拉．表3和表4对于A−B特征、B−A特征、O−P特征、P−O特征的计算结果做了比较．模拟结果显示，用算子分裂处理对流–扩散–反应方程得到的解能够较好地逼近精确解，对于分裂一而言，B→A型的要稍好于A→B型，对于分裂二，P→O型的要好于O→P．这与文献[9,10]所得到的结论“在每一个时间步内将反应项的计算放在最后，可以提高精度”相一致，且如果采用更高精度的时间离散格式，效果会更好．但从所花时间的角度考虑，B−A型的明显好于A−B型的，P−O型的明显好于O−P型的．综合考虑，B−A型的又好于P−O型的．对于A?B型分裂，由于R关于c是线性的，且与X无关，因而分裂扩散与反应项不会带来误差，误差主要来源于对流和扩散项被分裂所带来的分裂误差以及采用数值算法带来的误差．而对于O?P型的算子分裂，由于方程系数满足对流与反应项，扩散与反应项的交换条件，因而由分裂带来的误差不存在，这时误差的主要来源在于其所采用的数值解法．同时，模拟结果也说明，对于双曲部分采用特征线方法进行离散可以有效的消除数值震荡，采用P2元可以降低线性元带来的数值扩散，采用算子分裂则可以减少所求解的代数方程组的规模，大大减少计算时间．因而，本文所采用的数值方法是一种高效的数值算法．表1: 不同扩散系数的计算结果比较(t=1,60×60)扩散系数D=1.0e-1 D=1.0e-2 D=1.0e-3方程类型A−B特征A−B欧拉A−B特征A−B欧拉A−B特征A−B欧拉L1误差1.93210e-2 1.91422e-2 4.09864e-3 9.09981e-3 3.36201e-31.70693e-2 L2误差1.83997e-2 1.83961e-2 9.79666e-3 1.47512e-27.60752e-3 3.69475e-2 CPU(s)289.008 256.505 286.438 255.418 286.112 255.753表2: 不同扩散系数的计算结果比较(t=1,60×60)扩散系数D=1.0e-4 D=1.0e-5 D=1.0e-6方程类型A−B特征A−B欧拉A−B特征线A−B欧拉A−B特征线A−B 欧拉L1误差3.84579e-3 1.91689e-2 4.09625e-3 1.96641e-2 4.13151e-3 1.99539e-2 L2误差9.57636e-3 4.46175e-2 1.01133e-2 4.58663e-21.01932e-2 4.59662e-2 CPU(s)288.060 255.754 292.200 255.699 294.056 255.595表3: 不同类型分裂的计算结果比较(t=1,D=1.0e-02,60×60)A→B B→A O→PP→O L1误差4.09864e-03 4.09535e-03 4.09864e-03 4.09864e-03 L2误差9.79666e-03 9.78728e-03 9.79667e-03 9.79667e-03 CPU(s)286.438 212.352 370.818 256.865表4: 不同类型分裂的计算结果比较(t=1,D=1.0e-03,60×60)A→B B→A O→PP→O L1误差3.36201e-03 3.36172e-03 3.36201e-03 3.36201e-03 L2误差7.60752e-03 7.60712e-03 7.60746e-03 7.60746e-03 CPU(s)286.112 213.008 368.326 256.154参考文献：[1]Lanser D,Verwer J G.Analysis of operator splitting for advection-dif f usion-rection problems from air pollution modelling[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1999,111:201-216[2]Blom J G,Verwer J G.A comparison of integration methods for atmospheric transport-chemistry problems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2000,126:381-396[3]Liu J,Ewing R.An operator splitting method for nonlinear reactive transport equations and its implementation based on DLL andCOM[C]//Lecture Notes in Computer Science and Engeneering,Springer-Verlag,New York,2005:93-102[4]Leveque R J.Intermediate boundary conditions for time split methods applied to hyperbolic partial dif f erential equations[J].Mathematics of Computation,1986,47:37-54[5]Perot J B.An analysis of the fractional step method[J].Journal of Computational Physics,1993,108:51-58[6]Yanenko N N.The Method of Fractional Steps[M].Berlin:Springer-Verlag,1971[7]Aiyesimoju K O,Sobey R J.Process splitting of the boundary condition for the advection-dispersion equation[J].International Journal for Numerical Methods in Fluids,1989,9:235-244[8]Khan L A,Liu L F.Numerical analysis of operator-splitting algorithms for the two-dimensional advectiondif f usion equation[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1998,152:337-359[9]Sportisse B.An analysis of operator splitting techniques in the stif fcase[J].Journal of Computational Physics,2000,161:140-168 [10]Verwer J G,Sportisse B.Note on operator splitting in the stif fcase[R].Rep.MASR9830,CWI,Amsterdam,1998。
求解对流扩散方程的混合三次B-样条配点法
求解对流扩散方程的混合三次B-样条配点法吴蓓蓓;徐丽【摘要】通过对三次B-样条和三次三角B-样条基函数引入权因子ω,给出了对流扩散方程的混合三次B-样条配点法.对对流扩散方程空间离散采用混合三次B-样条配点法和时间离散采用向前有限差分,引入参数θ,建立差分格式.对差分格式的稳定性进行分析,得到稳定性条件.数值实验表明所构造方法的有效性,并且适当调整权因子ω和参数θ的值,可提高计算的精度.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2018(054)024【总页数】5页(P41-45)【关键词】对流扩散方程;三次B-样条;三次三角B-样条;有限差分;权因子【作者】吴蓓蓓;徐丽【作者单位】上海电力学院数理学院,上海 200090;同济大学数学科学学院,上海200092;上海电力学院数理学院,上海 200090【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言对流扩散方程是流体力学中最重要的方程之一，可以描述质量、热量、能量、涡度等[1]的传输过程，也可以描述大气、河流、湖泊、地下水及核废料的污染物迁移扩散等[2-4]众多物理现象。
科学技术中的很多数值模拟问题，都能归结为对流扩散方程。
所以对对流扩散方程数值解的研究具有十分重要的理论和实际应用意义。
目前求解对流扩散方程的数值方法有很多，主要包括有限差分法、有限元法、有限体积法等[5-12]。
B-样条的概念最初是由Schoenberg[13]于20世纪40年代中期提出来的，在航空造船等工程设计中得到迅速的发展。
B-样条配点法构造简单，数值精度高，易于处理复杂的边界问题，目前已成为求解偏微分方程的重要数值方法之一。
近年来，三次B-样条配点法[14-15]、指数B-样条配点法[16]、扩展的三次B-样条配点法[17]、三次三角B-样条配点法[18]、四次与五次B-样条微分求积法[19]等一些B-样条方法，受到了众多学者的关注和研究，被广泛应用于对流扩散方程的数值计算中。
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。
3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。
处进行Taylor展开: 1)式的中心差分格式[6]n 1 n U j U jn nU j 1 U j 1 a2hnU j 1vn n2U j U j 1h2(3)若令a h，n 1 U jnU jVp，则h1 / n2(U 1(3)式可改写为n nU j 1) (U j 12u：n \U j 1)(4)从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量nU j1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。
因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1U j nU jU； 1 分别在(X j,t n)nUjU(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)nU j 1U(X j 1,t n) U(X j,t n)nU j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X jU n h22U nXj2 2 X j代入⑷式，有T (X j,t n)n 1UjnUjn nU j 1 U j 1 a2h2U nh2n0()n2a 0(h )2U2Xn2v 0(h )jhhnU j 10(h3)0(h3)nU j 1v ---20( h )显然，当0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为2O( h )。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
对流扩散方程
对流扩散方程
1 流体扩散方程
流体扩散方程是一个历史悠久、解决常见力学概念的重要方法和
工具，它可以定量衡量复杂流体在双向运动和定向变化中经历的变化。
因此，它被广泛应用于流体动力学，比如在水动力和海洋动力学中。
2 原理
流体扩散方程基于小块体强迫传播的假定，从力学上讲，它是一
种可以解释流体物质的收支问题的方程。
由于流体受到外部力的影响，对某一点的流体运动行为可以用某种单元强迫块的形式进行观察，而
该点的微量物质的多元流变形式可以通过该块的公式来表示。
3 表达式
流体扩散方程的表达式如下：
$$\frac{\partial f}{\partial t}+ \vec{u} \cdot \nabla f = D \nabla^{2} f$$
其中：
$f$是流体属性函数；$\vec{u}$是流体速度；t是时刻；
$\nabla$和$\nabla{2}$是偏导数和二阶导数全称；D表示流体扩散率。
4 应用
流体扩散方程的应用广泛，可以解决流体运动与转移复杂问题。
比如在海洋科学中，它可以用来研究海洋的水文特征；在水力学中，
可以用来模拟水位和洪水洪峰等问题；在大气学领域，可以用来描述
大气给热扩散等问题；在机械工程中，可以模拟非稳定流、结构层HTML等问题。
5 结论
流体扩散方程是一种研究流体运动和转移问题的重要工具，它可
以分析流体行为，以便为设计解决复杂的流体问题提供有价值的答案。
此外，流体扩散方程也被应用于一些现实问题，例如气象学和机械工
程中的装配问题。
matlab求解一维对流扩散方程
一维对流扩散方程是描述物质传输和扩散现象的重要数学模型，对于工程、地质、生物等领域具有重要的理论和应用价值。
在科学研究和工程实践中，人们经常需要利用计算机软件对一维对流扩散方程进行数值求解，以获得物质传输和扩散的详细信息。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的数学工具和编程接口，可以方便地对一维对流扩散方程进行数值求解。
本文将介绍利用MATLAB对一维对流扩散方程进行数值求解的基本方法和步骤。
一、一维对流扩散方程的数学模型一维对流扩散方程是描述物质在一维空间中传输和扩散的数学模型，通常可以写成如下的形式：∂c/∂t + u∂c/∂x = D∂^2c/∂x^2其中，c是物质浓度，t是时间，x是空间坐标，u是对流速度，D是扩散系数。
该方程的求解可以得到物质浓度随时间和空间的变化规律，对于理解物质传输和扩散过程具有重要意义。
二、MATLAB求解一维对流扩散方程的基本步骤在MATLAB中，可以利用偏微分方程求解工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）来对一维对流扩散方程进行数值求解。
求解的基本步骤如下：1. 网格的生成首先需要在空间上生成一个网格，将一维空间离散化为有限个网格点。
可以利用MATLAB中的linspace函数或者自定义函数来实现网格的生成。
2. 边界条件和初始条件的设定根据具体问题的边界条件和初始条件，需要在MATLAB中对边界条件和初始条件进行设定。
3. 偏微分方程的建立利用MATLAB中的偏微分方程建立工具箱，可以方便地将一维对流扩散方程建立为MATLAB中的偏微分方程对象。
4. 方程的数值求解利用MATLAB中的求解器对建立的偏微分方程进行数值求解，可以获得一维对流扩散方程的数值解。
5. 结果的可视化可以利用MATLAB中丰富的绘图函数，对求解得到的数值解进行可视化，以便对物质传输和扩散过程进行直观的理解。
三、MATLAB求解一维对流扩散方程的举例为了进一步说明MATLAB求解一维对流扩散方程的方法，下面举一个简单的例子进行说明。
对流扩散方程推导过程
对流扩散方程推导过程对流扩散方程是描述物质在流体中传输的数学模型。
它可以用来描述物质的浓度、温度、速度等在流体中的传播过程。
本文将从推导过程的角度，详细介绍对流扩散方程的推导过程。
我们考虑一维情况下的对流扩散方程。
假设物质在流体中的传输速度为u，浓度为C，扩散系数为D。
根据质量守恒定律，我们可以得到物质的传输速度和扩散速度之和等于物质的净传输速度。
接下来，我们考虑扩散的部分。
根据菲克定律，扩散速度与浓度梯度成正比，扩散的方向是从浓度高的地方向浓度低的地方传播。
因此，扩散的速度可以表示为-D乘以浓度的梯度。
然后，我们考虑对流的部分。
对流是由流体的流动引起的物质传输。
对于一维情况，对流的速度可以表示为u乘以浓度的梯度。
需要注意的是，对流速度的正负取决于流动的方向。
综合考虑扩散和对流，我们可以得到一维情况下的对流扩散方程：∂C/∂t + u*∂C/∂x = D*∂^2C/∂x^2其中∂C/∂t表示时间对浓度的偏导数，∂C/∂x表示空间对浓度的偏导数，∂^2C/∂x^2表示浓度的二阶空间导数。
接下来，我们考虑二维情况下的对流扩散方程。
假设物质在流体中的传输速度为(u,v)，浓度为C，扩散系数为D。
同样根据质量守恒定律，我们可以得到物质的传输速度和扩散速度之和等于物质的净传输速度。
对于扩散部分，我们仍然可以应用菲克定律，扩散速度与浓度梯度成正比。
因此，扩散的速度可以表示为-D乘以浓度的梯度。
对于对流部分，我们需要考虑两个方向上的流动速度。
对流的速度可以表示为(u,v)乘以浓度的梯度。
需要注意的是，对流速度的正负取决于流动的方向。
综合考虑扩散和对流，我们可以得到二维情况下的对流扩散方程：∂C/∂t + u*∂C/∂x + v*∂C/∂y = D*(∂^2C/∂x^2 + ∂^2C/∂y^2)其中∂C/∂t表示时间对浓度的偏导数，∂C/∂x和∂C/∂y表示空间对浓度的偏导数，∂^2C/∂x^2和∂^2C/∂y^2表示浓度的二阶空间导数。
matlab求解对流扩散方程
对流扩散方程是描述传质和动量传递的数学模型，在许多工程和科学领域都有广泛的应用。
Matlab作为一种强大的科学计算工具，具有丰富的函数库和灵活的编程环境，非常适合用来求解对流扩散方程。
本文将介绍在Matlab中求解对流扩散方程的基本方法，并提供一些实际案例来说明其应用。
一、对流扩散方程的基本形式对流扩散方程是描述物质在流体中输运的偏微分方程，其一般形式可以表示为：∂c/∂t + ∇·(uc) = ∇·(D∇c)其中c是物质的浓度，t是时间，u是流体的速度场，D是扩散系数。
这个方程同时考虑了对流和扩散的影响，描述了物质浓度随时间和空间的变化规律。
二、Matlab中求解对流扩散方程的基本步骤在Matlab中求解对流扩散方程的一般步骤如下：1.建立数学模型：根据实际问题建立对流扩散方程的数学模型，明确方程中的各个参数和边界条件。
2.离散化：将对流扩散方程进行离散化处理，常用的方法有有限差分法、有限元法和有限体积法等。
3.编写程序：利用Matlab的编程功能，编写求解对流扩散方程的程序，包括离散化方程、设置边界条件和时间步长等。
4.求解方程：利用Matlab的数值计算功能，对离散化后的对流扩散方程进行求解，得到数值解。
5.分析结果：对求解得到的数值解进行后处理，分析物质浓度随时间和空间的变化规律，得出有关问题的结论。
三、Matlab中求解对流扩散方程的实际案例下面通过一个实际案例来说明在Matlab中求解对流扩散方程的具体方法。
案例：地下水污染扩散模拟假设地下水中存在一种有害物质，通过对流扩散方程的数学建模和离散化处理，可以得到如下形式的离散方程：c(i,j,k+1) = c(i,j,k) + Δt[(u(i+1,j) - u(i,j))/Δx + (v(i,j+1) - v(i,j))/Δy] - Δt(D(i,j)/Δx^2(c(i+1,j,k) - 2c(i,j,k) + c(i-1,j,k)) +D(i,j)/Δy^2(c(i,j+1,k) - 2c(i,j,k) + c(i,j-1,k)))其中c(i,j,k)是第k个时间步长时点(i,j)处的浓度，u(i,j)和v(i,j)分别是流体的水平和垂直速度分量，D(i,j)是(i,j)处的扩散系数，Δx和Δy分别是网格的水平和垂直间距。
对流扩散方程有限差分方式
对流扩散方程有限差分方式求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时刻导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就取得了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）假设令 haτλ=，2h vτμ=，那么（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式咱们看到，在新的时刻层1+n 上只包括了一个未知量1+n j u ，它能够由时刻层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分滑腻的解，将1+n j u ，n j u 1+，nj u 1-别离在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u unjn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++ )(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
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对流扩散问题地有效数值解法一直是计算数学中重要地研究内容，求解对流扩散方程地数值方法主要是有限差分法()、有限元法()、有限体积法()、有限解析法()、边界元法()、谱方法() 等多种方法.但是对于对流占优问题，用通常地差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡.为了克服数值震荡，年代，.和等提出特征修正技术求解对流扩散占优地对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；和提出过一种沿流线方向附加人工黏性地间断有限元法，称为流线扩散方法().有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中地主要方法.
对流扩散方程地特点
对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项.由于其方程本身地特点，给建立准确有效地数值求解方法带来一定地困难.对流和扩散给流体中由流体携带地某种物理量地变化过程，可以通过一个无量纲地特征参数(数)来描述，数地定义为：ν.这里是来流速度，是特征长度，是物质地扩散系数.如果数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果数较大，即溶质分子地扩散相对于流体速度而言是缓慢地，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程地特点.对于对流占优问题地求解，采用常规地有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元地局部数，ν≤，这里为单元地最大尺寸，为单元中地最大速度分量值.因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现.资料个人收集整理，勿做商业用途
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