举一反三六年级第20周 面积计算

第二十周 面积计算（三）

专题简析：

对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。

例题1。

如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】

解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等

腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米

【3.14×102×14

－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的

面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×12 －（20÷2）2×12

＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。

练习1

1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）

2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘

米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝

20－1

20－2

两张三角形纸片面积之和是多少？

例题2。

如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】

解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（

a ）的面积，再用大扇形的面

积减去空白部分（a ）的面积。如图

20－7所示。

3.14×6

2×14 －（6×4－3.14×42×1

4 ）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，

刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

3.14×42×14 +3.14×62×14

－4×6＝16.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。

练习2

20－4 6 B A D 20－5 49 29 29 49 20－6 6

4 减去

20－7 20－8

加 减 B C 20－9

B 20－10

1、 如图20－9所示，△ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。

2、 如图20－10所示，三角形ABC 是直角三角形，AC 长4厘米，BC 长2厘米。以AC 、

BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。求图中阴影部分的面积。

3、 如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘

米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

例题3。

在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】

解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再

用正方形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）

解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而

8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。

（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）

答：阴影部分的面积是57平方厘米。

练习3

求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

例题4。

在正方形ABCD 中，AC ＝6厘米。求阴影部分的面积。

【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可

以看出，AC 是等腰直角三角形ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性

可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示）

，我们可以求出等腰直

20－

12 20－13 20－

14 20－15

20－16 10 20－17

20－

18

C

角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。

这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入

圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）

阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）

答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。

练习4

1、 如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图

形中阴影部分的面积。

2、 如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为

半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。

例题5。

在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又

无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以

扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，

新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽

然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。

3.14×（30×2）×14

－30＝17.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。

练习5

1、 如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。

2、 如图20－25所示，O 是小圆的圆心，CO 垂直于AB,三角形ABC 的面积是45平方厘

米，求阴影部分的面积。

3、 如图20－26

20－

19 20－20 20－21 20－22

20－24 20－25

20－26