1.2曲线的切线与瞬时速度、瞬时加速度
曲线的切线概念
曲线的切线概念曲线的切线概念简介•曲线的切线概念是微积分中的重要概念之一，用于描述曲线上某一点的切线的性质和特征。
•切线是与曲线在某一点相切并且方向与曲线在该点的切点重合的直线。
切线的定义•在曲线上给定一点P，如果曲线在该点处可导，则直线通过该点P且与曲线在该点的切线相切，称之为曲线在该点的切线。
切线的性质•切线与曲线在切点处的切线相切，并且切线与曲线在切点的切线在该点重合。
•切线与曲线在切点处的切线的斜率相等。
•切线在切点附近与曲线的变化趋势相似。
切线的求法1.首先，设曲线方程为y=f(x)，其中f(x)为曲线的函数。
2.然后，求出曲线在给定点的导函数f’(x)。
3.接着，确定给定点的横坐标x0，并求出该点的纵坐标y0。
4.最后，使用点斜式得到切线的方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)。
切线的应用•切线的概念在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
•在物理学中，切线可用于描述物体运动的瞬时速度和加速度。
•在工程学中，切线可用于解析曲线的接触、接触线的设计等工程问题。
•在经济学中，切线可用于分析经济曲线的边际效应和最优决策。
总结•曲线的切线概念是微积分中的重要概念，用于描述曲线上某一点的切线性质和特征。
•切线与曲线在切点处的切线相切，并且具有相同的斜率。
•切线的求法可以通过导函数和点斜式来实现。
•切线的应用广泛，涉及物理学、工程学、经济学等多个领域。
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•曲线在一点处可导的充要条件是曲线在该点的左、右导数相等。
•曲线在该点处的左、右切线方程相同。
•曲线在该点处具有切线。
切线的方程•如果曲线在一点处可导，曲线在该点的切线方程为y−y0= f′(x0)(x−x0)，其中(x0,y0)为该点的坐标，f′(x0)为曲线在该点处的导数。
切线的斜率•切线的斜率等于曲线在切点处的导数，即切线的斜率为f′(x0)。
切线的几何意义•切线可以看作是曲线在切点处的线性近似。
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度
选修2－2 导数及其应用1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案）一、学习目标1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
二、重点与难点重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
难点： 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想.三、教学过程（一）曲线上一点处的切线：1、割线与切线的概念：如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 就称为曲线在点P 处的切线。
2、切线的斜率：如图，设曲线C 上一点P (x,f(x))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点))(,(x x f x x Q ∆+∆+，则割线PQ 的斜率 x x x x f x x f x y k PQ -∆+-∆+=∆∆=)()()(x x f x x f ∆-∆+=)()(,当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率。
即当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(→点 P(x ，f(x))处的切线的斜率。
这里x ∆可正也可负，当x ∆取负值时，点Q 位于点P 的左侧。
3、如何求曲线C ：)(x f y =在P(x ，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线） 第一步：求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；第二步：求0→∆x 时，x y ∆∆所趋近的值A 。
所以在点P 处的切线的斜率k=A 。
例1：已知2)(x x f =，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。
导数的概念教学设计
《导数的概念》教学设计王学江一、【教材分析】1. 本节内容：《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.2. 导数在高中数学中的地位与作用：“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.二、【学情分析】1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．三、【目标分析】1. 教学目标（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．2. 教学重、难点【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际 重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：对导数概念的理解．【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量x ∆的函数xx x f x F ∆∆∆)()(0+=当0→x ∆时极限是否存在以及极限是什么的问题.四、【教学法分析】1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．2. 教学手段：多媒体辅助教学【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．五、【教学过程分析】【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.（一）教学环节（一）、引言在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。
教科版高中物理必修2《曲线运动》归纳总结
《曲线运动》归纳总结知识要点一、曲线运动1、定义运动轨迹为曲线的运动。
2、物体做曲线运动的方向做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。
3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。
4、物体做曲线运动的条件物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。
总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。
5、分类（1）匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。
（2）非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。
二、运动的合成与分解1、运动的合成从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。
运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。
2、运动的分解求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。
3、合运动与分运动的关系（1）运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；（2）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等（3）独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。
（4）运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
）4、运动的性质和轨迹（1）物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。
高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修
1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导 数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f 2＋Δx －f 2Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 22＋Δx ＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx 2＋Δx ＋Δx Δx ＝－122＋Δx ＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－121＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－121＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝2Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝31＋Δx2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt ＝S 1＋Δt －S 1Δt＝1＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝34＋Δt 2－184＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f a ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f 6＋Δx －f 6Δx＝6＋Δx2－76＋Δx ＋15－62－7×6＋15Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别 联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－ 3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx＝121＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋ΔxΔx＝12Δx ＋1. ∴当Δx 无限趋近于0时，f 1＋Δx －f 1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝21＋Δx 2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数4，∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S 4＋Δt －S 4Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g 4＋Δt 2＋24＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2.∵当Δt →0时，ΔS Δt→4g ＋2， ∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3×12－4×1＋2Δx ＝2Δx ＋3Δx 2Δx ＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝x 0＋Δx 3－2x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋3Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0， 即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
曲线的切线及瞬时速度
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时 刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δt)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:
s OA1 OA0 s(t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+ Δ t)－ t0 = Δ t 内，物体的平均 速度为: __ s( t 0 t ) s( t 0 ) s
例2:物体作自由落体运动,运动方程为： 1 gt 2 s 2 2.求： 其中位移单位是m,时间单位是s, g=10m/s (1) 物体在时间区间[3,3+△t]上的平均速度； (2) 物体在t=3(s)时的瞬时速度. 1 1 g 2 2 (1)Δs g(3 Δt) g 3 (6 Δt)Δt 2 2 2 __
Δs g v (6 Δt) Δt 2
(2)Δt 0时， 3g v
Δs g v lim lim (6 Δt) 3g 29.4(m/s) Δt 0 Δt Δt 0 2
v
( t 0 t ) t 0
t
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时 刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内， 当 Δt0 时平均速度:
s s(t t ) s(t ) v(t ) lim lim t 0 t t 0 t
并称之为t时的瞬时速度v(t). 注 此式既是它的定义式,又指明了它的计算 方法, 瞬时速度是路程对时间的变化率.
一、曲线的切线：
如图,曲线C是函数y= f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上 y 的任意一 点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割 线,PM//x轴,QM//y轴,β为 PQ的倾斜角.
物理必修二曲线运动知识点总结
物理必修二曲线运动知识点总结物理学是自然学科中的基础学科之一，研究自然界中物体的运动、力学、能量等基本问题。
曲线运动是物理学中的重要部分，其研究可以为我们生活中的许多实际问题提供解决方法，如汽车的曲线行驶、船只的曲线航行等。
本文将对物理必修二课程中的曲线运动知识点做出总结。
第一部分：曲线运动的基本概念和物理量曲线运动是指物体在作直线运动的同时，还做着沿着曲线的运动。
它在实际生活中表现为物体在绕弯路行驶、进行圆周运动等情况。
曲线运动的基本物理量有线速度、角速度、线加速度、角加速度、半径等。
1.1 线速度物体在做曲线运动时，它的速度也是沿着曲线方向的。
由于物体的速度的方向是沿着曲线的切线方向，因此称为线速度。
线速度的大小为任意时刻的切线方向上的速率，它可以通过求瞬时速度或平均速度计算。
1.2 角速度在做曲线运动时，物体还会因为绕着曲线而产生一个角速度，这个角速度是指物体绕着中心走过的角离中心的距离所需的时间。
角速度的单位是弧度每秒，它可以通过总角度与经过的时间的比率计算出来。
1.3 线加速度物体在运动过程中还会产生一个向心的加速度，这个加速度是物体由于绕着轨道变化而产生的。
由于向心加速度的作用，物体沿着曲线方向的速度不断发生改变。
因此，我们称这个加速度为线加速度。
线加速度的大小与速度改变的快慢有关，它可以通过求瞬时速度的导数计算得到。
1.4 角加速度当物体绕着中心走过弧长时，由于轨迹不同导致的速率改变产生一个角加速度。
角加速度的大小与角速度的变化有关，它可以通过求角速度的导数计算。
1.5 半径曲线运动中的半径是指轨道中心到物体运动位置的距离。
由于物体的运动沿着曲线方向，因此它的半径是不断变化的，它也是影响到物体运动的因素之一。
第二部分：曲线运动的公式曲线运动的公式可以描述运动物体在做曲线运动时各项物理量的变化。
下面将介绍曲线运动中使用到的公式。
2.1 圆周运动公式圆周运动公式是曲线运动中最基本的公式，在物理学中很常见。
瞬时速度与瞬时加速度
k=fˊ#43;2
(1)求f(x)在x=1处的导数；
2.求下列函数在相应位置的导数 （1） f ( x) x 1 ，x 2
2
（2） f ( x) 2 x 1 ，x x0 x2 （3） f ( x) 3 ，
例2： 已知f(x)=x2+2
知识回顾：
(1)概念:曲线的割线和切 线 y
y=f(x) Q 割 线 T 切线
设Q为曲线C 上不同于P的 一点，这时， 直线PQ称为 曲线的割线。
P o x
当Q点无限逼近P点时,PQ最终就成为在点P处最逼 近曲线的直线L,这条直线L称为曲线在点P处的切 线.
知识回顾
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]
(2)求f(x)在x=x0处的导数；
二、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ‘(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，在不引起混 淆时，导函数简称为导数，记作
练习：
1、自由落体运动的位移S(m)与时间t(s)的
关系为S= 1 gt2 (g为常数),
曲线运动相关的知识点总结
曲线运动相关的知识点总结一、曲线运动的概念和特点曲线运动是指物体在空间中不沿直线运动，而是沿着一定的轨迹运动的运动。
曲线运动的特点有以下几个方面：1. 随着时间的推移，物体在空间中的位置不断变化，形成一定的轨迹；2. 曲线运动的速度和加速度可能随着时间和位置的变化而变化；3. 曲线运动通常受到外界力的作用，这些外界力会影响物体的速度和加速度；4. 曲线运动的轨迹可以是圆形、椭圆形、抛物线形等不同形状。
二、曲线运动的基本参数1. 位移（s）：物体在曲线运动过程中，由于位置的变化而产生的矢量，表示物体在空间中的移动距离和方向。
位移通常用矢量来表示，其大小等于物体起始位置和终点位置之间的直线距离，方向与曲线轨迹的切线方向一致。
2. 速度（v）：物体在曲线运动中的平均速度和瞬时速度分别表示物体在一段时间内的位移与时间的比值和物体在某一瞬时的位置变化率。
曲线运动中的速度通常也是矢量，其大小等于位移与时间的比值，方向与曲线轨迹的切线方向一致。
3. 加速度（a）：物体在曲线运动中的平均加速度和瞬时加速度分别表示物体在一段时间内速度的变化率和物体在某一瞬时的速度变化率。
曲线运动中的加速度也是矢量，其大小等于速度与时间的比值，方向与速度变化的方向一致。
三、曲线运动的数学描述1. 位移-时间图：曲线运动的位移-时间图用来描述物体在不同时间段内的位移变化情况，通过位移-时间图可以了解物体的运动方向、速度和运动过程中的各个阶段。
2. 速度-时间图：曲线运动的速度-时间图用来描述物体在不同时间段内的速度变化情况，通过速度-时间图可以了解物体的加速度、减速度和速度达到最大值和最小值的时间点。
3. 加速度-时间图：曲线运动的加速度-时间图用来描述物体在不同时间段内的加速度变化情况，通过加速度-时间图可以了解物体的变速情况和加速度的大小和方向变化情况。
四、曲线运动的相关定理和公式1. 物体的位移与速度关系：曲线运动中，物体的位移与速度之间存在着一定的关系，如在匀变速直线运动中，位移与速度之间的关系可以表示为s=v0t+1/2at^2或v^2=v0^2+2as 等。
导数的概念-课件-曲线的切线和瞬时速度
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线 上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时 间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以 使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义： 导数的计算： 曲线的切线： 切线与瞬时速度： 导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即 函数在某一点的导数等于该 点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函 数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。 例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通 过幂规则计算。
贝塞尔曲线的位置 切线 速度 加速度
贝塞尔曲线的位置切线速度加速度贝塞尔曲线的位置、切线、速度和加速度在计算机图形学和动画设计中，贝塞尔曲线是一种常用的数学工具，它能够精确地描述复杂的路径和形状，是实现流畅和自然动画效果的重要手段之一。
贝塞尔曲线的位置、切线、速度和加速度是理解和应用贝塞尔曲线的关键概念，本文将从深度和广度两个方面对这四个概念进行全面评估，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、贝塞尔曲线的位置1.1 控制点贝塞尔曲线由控制点决定，控制点的位置决定了曲线的形状和路径。
通常情况下，贝塞尔曲线由两个端点和若干个控制点组成，通过调整这些控制点的位置，可以精确地控制曲线的形状。
1.2 插值性质贝塞尔曲线具有插值性质，即曲线经过端点和控制点所确定的路径，这意味着我们可以通过调整控制点的位置，来实现对曲线的精细调整。
1.3 空间曲线贝塞尔曲线可以描述二维和三维的路径，它不仅可以用于平面图形的绘制，还可以用于描述三维物体的运动轨迹，具有广泛的应用价值。
二、贝塞尔曲线的切线2.1 切线向量在贝塞尔曲线上的任意一点，都存在一个切线向量，它表示曲线在该点的方向。
切线向量的方向由曲线的参数决定，可以通过参数方程求取。
2.2 切线的应用切线向量在计算机图形学中有着重要的应用，它可以用于计算物体在运动状态下的速度和加速度，也可以用于光照和阴影的计算。
2.3 曲率贝塞尔曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度，它是切线向量的导数，可以用来评估曲线的平滑性和曲线段的曲率变化情况。
三、贝塞尔曲线的速度3.1 参数方程贝塞尔曲线的速度可以通过参数方程来求取，参数方程描述了曲线上点的位置随时间的变化规律，可以根据参数方程对曲线进行分析和计算。
3.2 瞬时速度在贝塞尔曲线上的任意一点，都存在一个瞬时速度，它描述了曲线在该点的瞬时运动状态，可以通过参数方程的导数来计算。
3.3 速度的应用贝塞尔曲线的速度可以用于模拟物体在运动状态下的轨迹和速度变化，也可以用于计算动画中物体的自然运动效果。
瞬时变化率
y y=f(x) l1 l2
·P
O x
直线PQ称为曲线的割线
y
y=f(x)
Q
l 切线
P O x
当Q点无限逼近P点时,直线PQ最终就成 为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称 为曲线在P点处的切线.
③当Δx 趋向于0时，求 为切线斜率)
y x
趋向于某个常数k(即
④由斜率k及切点P(x0,y0)的切线方程.
瞬时变化率的物理背景
S（t o t） S (to ) 平均速度：v t
如何精确刻画物体在某一时刻运动的快 慢程度呢？
例：跳水运动员从10米跳台腾空到入水的过 程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后 运动员相对水面的高度为 H (t ) 4.9t 2 6.5t 10 . 试确定t=2时运动员的速度.
一般地，如果Δt趋向于0时，运动物 S（t o t） S (to ) 体位移S(t)的平均变化率 t 无限趋向于一个常数，那么这个常数称为 物体在t=t0时的瞬时速度（即位移相对于 时间的瞬时变化率）. 例：已知一辆轿车在公路上作加速直线运动， 假设t秒时速度为v(t)=t2+3，求当t=t0秒时 轿车的瞬时加速度a.
Байду номын сангаас
例1.(1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2 处的切线的斜率. (2)已知曲线C：f(x)=x3，求曲线C在点 (1,1)处的切线方程.
求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程： ①设点Q(x0+Δx，f(x0+Δx))
高一数学复习考点知识讲解课件42---瞬时速度与瞬时加速度
高一数学复习考点知识讲解课件第2课时瞬时速度与瞬时加速度考点知识1.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.2.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度．导语同学们，上节课我们研究了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬时速度是否存在呢，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今天我们就具体来研究这一现象．一、平均速度问题1平均速率是平均速度吗？提示平均速率不是平均速度．平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，它是数量．例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0.知识梳理平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．注意点：(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应．(2)平均速度是向量，其方向与一段时间Δt内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同．例1一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．3Δt＋6B．－3Δt＋6C．3Δt－6D．－3Δt－6答案D解析v＝[]5－3(1＋Δt)2－()5－3×12Δt＝－6－3Δt.反思感悟在变速直线运动中，平均速度的大小与选定的时间或位移有关，不同时间段内或不同位移上的平均速度一般不同，必须指明求出的平均速度是对应哪段时间内或哪段位移的平均速度，不指明对应的过程的平均速度是没有意义的．跟踪训练1某质点的运动方程是f(x)＝x2－1，其在区间[]1，m上的平均速度为3，则实数m的值为()A．5B．4C．3D．2答案D解析根据题意，该质点的平均速度为ΔyΔx＝m2－1－(12－1)m－1＝m＋1，则有m＋1＝3，解得m＝2.二、瞬时速度问题2瞬时速率与瞬时速度一样吗？提示瞬时速率是数量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是标量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在轨迹上运动的切线的方向．知识梳理瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．注意点：(1)匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度；(2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度．例2某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数S(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．解在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度v＝ΔSΔt＝S(1＋Δt)－S(1)Δt＝(1＋Δt)2＋(1＋Δt)＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt，∴当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于3，∴S(t)在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.延伸探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵ΔSΔt＝S(0＋Δt)－S(0)Δt＝(0＋Δt)2＋(0＋Δt)＋1－1Δt＝1＋Δt，∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，∴S(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s? 解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又ΔSΔt ＝S(t0＋Δt)－S(t0)Δt＝2t0＋1＋Δt.∴当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思感悟求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．(2)求平均速度v ＝ΔS Δt .(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2(1)高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．答案6.5解析Δh Δt ＝－4.9(Δt )2＋6.5·(Δt )＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt ，∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5，∴该运动员的初速度为6.5米/秒．(2)如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2，∴该物体在t ＝1时的瞬时速度为2；∵t＝4∈[3，＋∞)，∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，∴ΔSΔt＝3(4＋Δt)2－18(4＋Δt)＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3(Δt)2＋6·ΔtΔt＝3·Δt＋6，∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6无限趋近于6，即ΔSΔt无限趋近于6，∴该物体在t＝4时的瞬时速度为6.三、瞬时加速度知识梳理瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0＋Δt)－v(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．例3质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，v(1＋Δt)－v(1)Δt表示()A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C ．t ＝1s 时的位移D ．t ＝1s 时的平均速度答案B解析当Δt 无限趋近于0时，v (1＋Δt )－v (1)Δt表示t ＝1时刻的加速度． 反思感悟瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量．跟踪训练3一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v (m/s)与时间t (s)的关系可近似地表示为v ＝f ()t ＝－t 2＋10t ，则汽车在时刻t ＝1s 时的加速度为()A ．9m/sB ．9m/s 2C ．8m/s 2D ．7m/s 2答案C解析由题意得，Δv Δt ＝－(t ＋Δt )2＋10(t ＋Δt )＋t 2－10t Δt＝－2t ＋10－Δt ，当Δt 无限接近于0时，汽车在时刻t ＝1s 时的加速度为8m/s 2.1．知识清单：(1)平均速度．(2)瞬时速度．(3)瞬时加速度．2．方法归纳：无限逼近的思想．3．常见误区：不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间()3，3＋Δt 中，质点的平均速度等于()A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案A解析平均速度为v ＝(3＋Δt )2＋3－()32＋33＋Δt －3＝6＋Δt .2．如果质点按规律S ＝2t 3运动，则该质点在t ＝3时的瞬时速度为()A ．6B ．18C ．54D ．81答案C解析∵ΔS Δt ＝S (3＋Δt )－S (3)Δt ＝2·(3＋Δt )3－2×33Δt＝2(Δt )2＋18Δt ＋54，∴当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt 无限趋近于54.3．某物体的运动速度与时间的关系为v (t )＝2t 2－1，则t ＝2时的加速度为()A ．2B ．－2C ．8D ．－8答案C解析由题意知，Δv Δt ＝2(t ＋Δt )2－1－2t 2＋1Δt＝4t ＋2Δt ，当Δt 无限接近于0时，该物体在t ＝2时的加速度为8.4．物体做匀速运动，其运动方程是s ＝v t ，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是__________．答案相等解析物体做匀速直线运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．课时对点练1．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为()A ．－4B ．－8C ．6D ．－6答案D解析由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6. 2．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是()A ．－3B ．3C ．6D ．－6答案D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt 无限趋近于－6，即质点在t ＝1时的瞬时速度是－6.3．一物体做加速直线运动，假设t s 时的速度为v (t )＝t 2＋3，则t ＝2时物体的加速度为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A解析因为Δv Δt ＝(t ＋Δt )2＋3－t 2－3Δt＝2t ＋Δt . 所以当Δt 无限趋近于0时，Δv Δt 无限趋近于2t .所以t ＝2时物体的加速度为4.4．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度等于()A.12516米/秒B.316米/秒C.2564米/秒D ．0米/秒答案A解析因为Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt ＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt ＝Δt ＋8－316＋4Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于12516.5．汽车在笔直公路上行驶，如果v (t )表示t 时刻的速度，则当Δt 无限趋近于0的时候，v (t 0－Δt )－v (t 0)－Δt的意义是() A ．表示当t ＝t 0时汽车的加速度B ．表示当t ＝t 0时汽车的瞬时速度C ．表示当t ＝t 0时汽车的路程变化率D ．表示当t ＝t 0时汽车与起点的距离答案A解析由于v (t )表示时刻t 的速度，由题意可知，当Δt 无限趋近于0的时候，v (t 0－Δt )－v (t 0)－Δt表示当t ＝t 0时汽车的加速度．6．(多选)甲、乙速度v 与时间t 的关系如图，a (b )是t ＝b 时的加速度，S (b )是从t ＝0到t ＝b 的路程，则下列说法正确的是()A ．a 甲(b )>a 乙(b )B ．a 甲(b )<a 乙(b )C ．S 甲(b )>S 乙(b )D ．S 甲(b )<S 乙(b )答案BC解析加速度是速度对t 函数的切线斜率，由图可得在b 处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b 处的加速度小于乙在b 处的加速度；由图知t ＝0到t ＝b 甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t ＝0到t ＝b 的路程大于乙从t ＝0到t ＝b 的路程．7．一物体的运动方程为s ＝3t 2－2，则其在t ＝________时瞬时速度为1. 答案16 解析Δs Δt ＝3(t ＋Δt )2－2－3t 2＋2Δt＝6t ＋3Δt . 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于6t ，因为瞬时速度为1，故6t ＝1，即t ＝16.8．已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________. (由小到大排列)答案v 1<v 2<v 3解析∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ， 又∵由图象得k OA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1.9．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)．(1)求t＝0s到t＝2s时的平均速度；(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度．解(1)v＝s(2)－s(0)2＝6－4－02＝1.(2)s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)Δt＝－Δt－1.当Δt无限趋近于0时，s(2＋Δt)－s(2)Δt无限趋近于－1，所以t＝2时的瞬时速度为－1.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝12at2，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为S＝12at2.因为ΔS＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0(Δt)＋12a(Δt)2，所以ΔSΔt ＝at0＋12a(Δt)．所以当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于at0. 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()A．v0B.Δts()t0＋Δt－s()t0C.s()t0＋Δt－s()t0Δt D.s()tt答案C解析由平均变化率的概念知平均速度是s()t0＋Δt－s()t0Δt.12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为v，在t＝2时的瞬时速度为v2，则v和v2的大小关系为() A.v>v2B.v<v2C.v＝v2D．不能确定答案C解析平均速度为v＝s(3)－s(1)3－1＝12g(32－12)2＝2g.Δs Δt ＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝12g(Δt)2＋2gΔtΔt＝12gΔt＋2g，∵当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于2g，∴v2＝2g，∴v＝v2.13．火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒2？()A.23秒B．2秒C.52秒D.73秒答案B解析由题意可知，Δv Δt ＝0.4(t＋Δt)＋0.6(t＋Δt)2－0.4t－0.6t2Δt＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限接近于0时，由0.4＋1.2t＝2.8可得，t＝2(秒)．14．质点的运动方程是s＝t＋1t(s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3s时的瞬时速度为________m/s.答案8 9解析ΔsΔt＝s(3＋Δt)－s(3)Δt＝3＋Δt＋13＋Δt－3－13Δt＝1－19＋3Δt，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于89，所以质点在t＝3秒时的瞬时速度为89m/s.15．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当Δt无限趋近于0时，W(t0＋Δt)－W(t0)Δt表示()A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C．t＝t0时的位移D．t＝t0时的功率答案D解析由题意知当Δt无限趋近于0时，W(t0＋Δt)－W(t0)Δt表示t＝t0时的功率．16．某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)当Δx无限趋近于0时，求c(1000＋Δx)－c(1000)Δx与c(1500＋Δx)－c(1500)Δx，并说明它们的实际意义．解(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000600(元)，平均利润为c()1 0001 000＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c()1 500－c()1 0001 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元)．(3)∵当Δx无限趋近于0时，ΔcΔx＝－4x＋7 000，∴c(1 000＋Δx)－c(1 000)Δx＝3 000，c(1 500＋Δx)－c(1 500)Δx＝1 000，它们指的是当产量为1 000台时，生产一台机械可多获利3 000元；. 而当产量为1 500台时，生产一台机械可多获利1 000元．。
曲线运动中的加速度计算
曲线运动中的加速度计算曲线运动是物体在运动过程中沿着曲线路径运动的一种形式。
在曲线运动中，物体的速度和方向都在不断变化，因此需要使用加速度来描述物体在曲线上的运动状态。
本文将探讨曲线运动中的加速度计算方法。
一、加速度的定义和计算公式加速度是描述物体在单位时间内速度变化率的物理量。
在一维直线运动中，加速度可以通过速度变化量除以时间来计算。
然而，在曲线运动中，由于速度方向的变化，我们需要考虑速度的瞬时变化率，即瞬时加速度。
瞬时加速度的计算公式为：a = lim(dt→0) Δv/Δt，其中a表示瞬时加速度，Δv 表示速度的变化量，Δt表示时间的变化量。
二、曲线运动中的速度变化在曲线运动中，物体的速度不仅可以改变大小，还可以改变方向。
速度的变化可以分为两个方面：切向速度和法向速度。
1. 切向速度：物体在曲线上某一点的切线方向上的速度。
切向速度的变化决定了物体在曲线上沿切线方向的加速度。
2. 法向速度：物体在曲线上某一点的法线方向上的速度。
法向速度的变化决定了物体在曲线上沿法线方向的加速度。
三、加速度的分解与计算在曲线运动中，可以将加速度分解为切向加速度和法向加速度，分别与切向速度和法向速度相关。
1. 切向加速度的计算：切向加速度描述了物体在曲线上沿切线方向的加速度变化。
切向加速度的计算公式为：at = dv/dt，其中at表示切向加速度，dv表示切向速度的变化量，dt表示时间的变化量。
2. 法向加速度的计算：法向加速度描述了物体在曲线上沿法线方向的加速度变化。
法向加速度的计算公式为：an = v^2/r，其中an表示法向加速度，v表示物体的速度，r表示曲率半径。
四、曲线运动中的加速度计算实例为了更好地理解曲线运动中的加速度计算方法，我们来看一个实例。
假设一个物体以匀速v在半径为r的圆周上做匀速圆周运动。
此时，物体的速度方向始终垂直于圆周。
根据圆周运动的特点，我们可以得知切向速度始终为0，即物体沿切线方向没有加速度。
用瞬时速度的定义说明曲线运动的方向
用瞬时速度的定义说明曲线运动的方向1. 瞬时速度的定义在物理学中，瞬时速度是指在任意时刻物体所具有的瞬时速度。
它的定义是物体在某一时刻通过的路程与该时刻所用的时间的比值。
也就是说，瞬时速度是指物体某一瞬间沿着路程的方向所达到的速度。
在运动过程中，物体的瞬时速度是不断变化的，而且方向也在不断变化。
因此，瞬时速度是描述物体运动状态和方向的重要基础量。
2. 曲线运动的方向曲线运动是指物体在运动过程中，沿着曲线轨迹前进的运动方式。
在曲线运动中，物体的速度和方向都会发生变化。
速度的变化主要是由加速度所引起的，而方向的变化则是由曲线轨迹的特殊性质所引起的。
具体来说，在曲线运动中，物体的方向会随着曲线轨迹的切线方向不断变化。
切线方向是指曲线上某一点切线的方向，也就是曲线在该点的切线方向。
当物体沿着曲线前进时，它的速度方向与曲线上某一点切线方向的夹角为零，这时物体的速度和曲线上某一点切线方向是相同的。
但是，当物体开始改变方向时，它的速度方向就不再与曲线上某一点切线方向相同了。
此时，物体的速度方向会随着曲线轨迹的切线方向不断变化。
具体来说，当物体转弯时，它的速度方向始终指向曲线上某一点切线方向的切线方向，而不是曲线的切线方向。
因此，曲线运动的方向是随着曲线轨迹的特殊性质而不断变化的，它不同于直线运动中的单一方向。
3. 瞬时速度与曲线运动的方向瞬时速度的方向是描述物体运动方向的重要依据。
在曲线运动中，物体的速度方向也是随着曲线轨迹的特殊性质而不断变化的。
因此，在描述物体曲线运动方向时，我们往往需要考虑物体所处的瞬时速度方向。
具体来说，当物体沿着曲线前进时，它所处的瞬时速度方向始终与曲线上某一点切线方向相同。
因此，在描述曲线运动方向时，我们可以根据物体的瞬时速度方向来进行描述。
例如，在物理学中，我们常常使用“向心力方向”来描述物体在转弯时的运动方向，这个方向既可以用瞬时速度方向来描述，也可以用切线方向来描述。
总结起来，瞬时速度的定义是描述物体运动状态和方向的重要基础量。
高三数学曲线的切线和瞬时速度课件
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
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3.1 导数的概念
v Ds 2g 1 gDt
Dt
2
(1) 将 Dt=0.1代入上式，得
v 2.05g 20.09(m / s)
O s(2)
s(2+Dt) Ds
(2) 将 Dt=0.01代入上式，得
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s) 9
让更多的孩子得到更好的教育
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结
（1）曲线的切线． （2）瞬时速度． （3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．
作业：
P116 习题3.1 1，2，6
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3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
1
让更多的孩子得到更好的教育
1．曲线的切线
3.1 导数的概念
2
让更多的孩子得到更好的教育
3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率．
在y=x2 +1上取点P(1,2)及临近一点
y
Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 y = x 2+1
Dx0
Dx
1
x
-1 O 1
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3.1 导数的概念
切线方程为: y 2 2( x 1)，
瞬时速度的计算公式
瞬时速度的计算公式
瞬时速度是指一个物体在其中一瞬间的速度，可以通过求解物体在该瞬间的位移与时间的比值来计算。
1.匀速直线运动的瞬时速度计算公式：
在匀速直线运动中，物体的速度保持不变。
瞬时速度即为物体的常速度。
公式：v=Δx/Δt
其中，v表示瞬时速度，Δx表示物体在瞬间的位移，Δt表示物体在瞬间所花费的时间。
2.加速直线运动的瞬时速度计算公式：
在加速直线运动中，物体的速度随时间的变化而变化。
瞬时速度需要根据物体的速度-时间图像来确定。
公式：v = lim Δt→0 Δv / Δt
其中，v表示瞬时速度，Δv表示物体在瞬间的速度变化，Δt表示物体在瞬间所花费的时间。
3.曲线运动的瞬时速度计算公式：
在曲线运动中，物体的路径是弯曲的，无法简单地使用位移和时间的比值来求解瞬时速度。
可以通过求解物体在其中一瞬间的切线斜率来确定瞬时速度。
公式：v = lim Δt→0 (Δs / Δt)
其中，v表示瞬时速度，Δs表示物体在瞬间的位移，Δt表示物体在瞬间所花费的时间。
对于曲线运动，由于物体的运动路径是弯曲的，一般还会将位移和时间的极限比值表示为瞬时速度的矢量形式，在这种情况下，公式可以表示为：
v = lim Δt→0 (∆r / ∆t)
其中v是矢量，r是位矢，∆r是位矢的增量，∆t是时间的增量。
综上所述，瞬时速度的计算公式根据物体的运动类型和运动规律的不同而有所不同。
在匀速直线运动中，瞬时速度等于常速度；在加速直线运动中，瞬时速度需要根据速度-时间图像来确定；在曲线运动中，瞬时速度需要根据物体在其中一瞬间的切线斜率来确定。