3-3 岩石强度理论
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1
1 sin 2C cos 3 1 sin 1 sin
思考：该公式如何推导？？
2、二次抛物线型包络线 适用泥岩、页岩泥灰岩等较软岩石
设二次抛物线方程
2 n( t )
如图可知
1 ( 1 3 ) ctg2 2 1 ( 1 3 ) 2 si n2
τθ
３
＇ ＇＇
（2）代入公式法
可以派生很多有用的计算方式
①
C tg c f
（正应力、剪应力表达方式）
（a）
②派生公式 （主应力表达式) （b）/（c）/（d）/（e） 可以用主应力表达公式（a）推导： 试件（岩块）受 到两向压力作用（或单向），主应力分别为 ， ， 3 1 应力圆,作直线 c tg 与圆相切
变）所必须满足的条件。
强度准则也称破坏准则或破坏判据。
3.5 岩石的强度理论 • 岩石强度理论是研究岩石在各种应力状态 下的强度准则的理论。 • 强度准则表征岩石在极限应力状态下的应 力状态和岩石强度参数之间的关系。
一、一点的应力状态
1、应力符号规定
（1）正应力以压应力为正，拉应力为负； （2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负； （3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正， 反之为负。
σ —剪切面上的正应力。
最简单最重要的准则
三、库伦（Coulomb)准则
数学表达式：
c tan
f tan ——内摩擦系数
参数 意义
表示在破坏面上的正应力与剪应力的组合关系满足上式.
库仑准则的应用:
解决在压力（应力）作用下的破坏判据，不适应于拉 破坏。
3.5岩石的强度理论－主要内容
• 1 强度理论概述 • 2 Coulomb 库仑强度准则 • 3 Mohr 莫尔强度理论 • 4 Griffith强度理论
3.5
强度理论:
岩石强度理论
研究岩体破坏原因和破坏条件的理论。 强度准则: 在外荷载作用下岩石发生破坏时，其应力（应
E
t
E
即：
Leabharlann Baidu t
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
1
3、在三轴压缩条件下：σ 3方向的应变为
3
1 3 ( 1 2 ) E
45
（b）式：进一步变化三角恒等式
2 2 cos 2 sin cos (sin cos ) 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin cos sin cos 2 sin cos (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sin cos sin
如果σ 3＜ (σ 1 +σ 2),则为拉应变，其强度条件为
3
1 3 ( 1 2 ) t E
而： t
t
E
故，强度条件又可表示为： 3 ( 1 2 ) t 在常规三轴条件下（ σ 3 ＝σ 2）强度条件为：
3 (1 ) 1 t
C
3 （b）式为用 1 、
表示的库仑准则公式
（b）式中如果 3 0 ，表示为 单向受压，此时若破坏，则称
＝C+tg
2θ
M
３ 1+３)/2 1
为 c ，叫做材料的单向抗压强
度 （ ( 0) ） c 1 3 c
( b）式变为 c 2c cos /(1 sin ) （材料单压强度公式）
破坏判断2个方面：
( )
一个是判断材料在何种应力环境下破坏， 二是判断破坏面的方位角。 当然，这种判断是在材料特征常数[ f, , c ]为已知的 条件下去判断。
• 库仑准则可以用莫尔应力圆直观的图解表 示，如图所示。
莫尔应力圆的方程：
( n
1 3
2
) (
2 2 n
1 3
裂破坏
强度条件为：
t
t
E
式中：εt ——单轴拉伸破坏时的极限应变；
E——岩石的弹性模量；
σt——单轴抗拉强度。
讨论：
1、在单轴拉伸条件下：岩石发生拉伸断裂破坏，其强度
条件为：
t t E
2、在单轴压缩条件下：岩石发生沿纵向拉伸断裂破坏，
其强度条件为：
t
评价：
①是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。 ② 不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。
③不适用于受拉破坏。
• 四、莫尔强度理论： （1900）
• 理论要点： • ①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力作 用面上； • ②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切面 上正应力的函数；
n( t )
d n ctg2 d 2 n( t )
1 n csc2 1 sin2 4( t )
(1 3 )2 2n(1 3 ) 4nt n2
• ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、二 次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线 ，它由试验拟合获得；
• ④剪切强度是关于σ 轴对称的曲线，破坏面成对成簇出现； • ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割点破坏，否则不破坏；
• ⑥不考虑σ 2的影响。
莫尔准则的强度曲线是一系列极限应力莫尔圆的公切线。 莫尔准则强度曲线，分为直线型强度曲线和曲线型强度曲线。 曲线型强度曲线又分为二次抛物线、双曲线和摆线型等。
n x y
2 sin2 xy cos 2
x y 2 1 x y 2 ( ) xy 最大最小主应力： 3 2 2
最大主应力与x轴的夹角θ可按下式求得：
tg 2 2 xy
x y
（一） 最大正应力强度理论
• 最大正应力强度理论也称朗肯（Rankine）理论，
满足上式，岩体将不破坏或处于极限平衡状态。但
是，这种强度理论只适用于岩体单向受力状态或者
脆性岩石在二维应力条件下的受力状态，所以对于 处于复杂应力状态中的岩体不宜采用这种强度理论
（二）最大拉应变理论
基本观点：无论在什么应力状态下，只要岩石的最大拉伸 应变ε达到一定的极限应变εt时，岩石就会发生拉伸断
矿山岩体力学
华北科技学院 安全工程学院
上次课内容
岩石的流变理论
流变现象：材料应力-应变关系与时间因素有关的性
质，称为流变性。材料变形过程中具有时间效 应的现象，称为流变现象。
蠕变 流变的种类：松弛 弹性后效
弹性元件(H) 流变学中的基本元件: 塑性元件(Y) 粘性元件(N)
k
k
三、库伦（Coulomb)准则
基本观点：材料破坏主要是剪切破坏，当材料某一斜面上的剪应力 达到或超过该破坏面上的粘结力和摩擦阻力之和，便会沿该斜面产
生剪切滑移破坏。[ 1773年库伦提出（“摩擦”准则）]
f C tg
式中：
τ
f
—材料剪切面上抗剪强度；
τθ
C—材料的粘结力；
使用上述公式求解库仑准则判断的岩石破坏 问题时，可以有 (a)- (e) 公式的变异以供解决问 题使用，一定要注意公式中的已知与未知参数的 意义。
（三）库伦准则：
应用：
①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 θ = 45 + / 2 ） （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。 ③进行岩石强度计算。
上发生。
库仑准则使用方法 (1)图解法 (2)代入公式法 （1）图解法 c tan
库仑公式是一条直线准则，在（ 、 τ ）平面上 是一条直线，直线上的点均可满足公式条件，是处 于破坏状态的应力状态。 如果已知材料的应力图1、2、3（设定 3 是定常数）
１ ２ ３
＝c+tg
c s
c
tg２ ＝ s c+ tg
2 1 c 3
图4
３
库仑准则在σ1-σ3平面的直线图示
C tg c f 2 c cos 1 si n 1 3 1 si n 1 si n 库仑准则 c 2c cos /(1 si n ) 主要公式： 45 / 2 tg 2 1 c 3 注意：
B A
C
＝C+tg
CCtg
1+３)/2
τθ
M
３ 1
1 3
由图： 上式改写：
1
sin
2 c ctg
1 3
2
2c cos 1 sin 3 1 sin 1 sin （b）
B A
CCtg
σ1 σ 2 =σ3
三轴压缩 单轴拉伸
单轴压缩
莫尔破坏包络线
σt
σ3
σc
σ1
σ
完整岩石的莫尔强度曲线
1、直线型包络线
强度曲线为直线型
极限莫尔应力圆与直线的 关系
1 2 2 si n 1 2 C ctg 2
1 2 sin 1 2 2C ctg
3.5 岩石的强度理论
（三）库仑准则：
由库仑（C· A· Coulomb）1773年提出，最简单、 最重要的准则， 应用简便. 岩石的破坏主要是剪切破坏，岩石的强度等于岩 石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法向力产 生的摩擦力。 实验基础： 岩土材料压剪或三轴试验和纯剪。 破坏机理：材料属压剪破坏，剪切破坏力的一部 分用来克服与正应力无关的粘结力，使材料颗粒 间脱离联系；另一部分剪切破坏力用来克服与正 应力成正比的摩摩力，使面内错动而最终破坏。
是最早提出而现在有时仍然应用的一种强度理论
• 认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。
• 因此，对于作用于岩体的三个主应力，只要有一
个主应力达到岩体或岩石的单轴抗压强度或单轴
抗拉强度时，岩体或岩石就会破坏。
（一）最大正应力强度理论
1 c • 岩体强度条件可以表示为： 3 t
2
1 tg 2 1 tg 2
2
tg 2 (45 ) tg 2 2
（b）式变为：
2c cos 2c cos 1 3 tg 45 3 tg 2 1 sin 2 1 sin
（c）
（ c ）表明：材料的单压强度与其固有参数 C 、 有关 ，也是固有的。
1 由上应力圆图知：材料（试件）的破坏面与主应力 的方向夹角为θ，在上图中圆心角为 2θ 。
则
2 90 ，
45 / 2
（d）
θ
岩石试件的破裂角(面)a
由于对称性、破裂面是一对共轭出现的两个破坏 面，另一个破坏面
2
)2
如果应力圆上的点超过了该区域， 则说明该点表示的应力已超过了 材料的强度并发生破坏；
如果应力圆上的点落在强度曲 如果应力圆正好与强度曲线相切，则说 线AR之下，则说明该点表示 明材料处于极限平衡状态，岩石所产生 的应力还没有达到材料的强度 的剪切破坏将可能在该点所对应的平面 值，故材料不会破坏；
2、
z
z
zx
zy
xy
yx
xz
y yz
a
b
x
yz
yx
x zy
xy
xz
y
zx
o
x
z
y
3、平面问题的简化 （1）平面应力问题
（2）平面应变问题
4、基本应力公式
以平面应力问题为例，如图，任意角 度α截面的应力计算公式如下：
x y x y n cos2 xy sin2 2 2
1 sin 2C cos 3 1 sin 1 sin
思考：该公式如何推导？？
2、二次抛物线型包络线 适用泥岩、页岩泥灰岩等较软岩石
设二次抛物线方程
2 n( t )
如图可知
1 ( 1 3 ) ctg2 2 1 ( 1 3 ) 2 si n2
τθ
３
＇ ＇＇
（2）代入公式法
可以派生很多有用的计算方式
①
C tg c f
（正应力、剪应力表达方式）
（a）
②派生公式 （主应力表达式) （b）/（c）/（d）/（e） 可以用主应力表达公式（a）推导： 试件（岩块）受 到两向压力作用（或单向），主应力分别为 ， ， 3 1 应力圆,作直线 c tg 与圆相切
变）所必须满足的条件。
强度准则也称破坏准则或破坏判据。
3.5 岩石的强度理论 • 岩石强度理论是研究岩石在各种应力状态 下的强度准则的理论。 • 强度准则表征岩石在极限应力状态下的应 力状态和岩石强度参数之间的关系。
一、一点的应力状态
1、应力符号规定
（1）正应力以压应力为正，拉应力为负； （2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负； （3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正， 反之为负。
σ —剪切面上的正应力。
最简单最重要的准则
三、库伦（Coulomb)准则
数学表达式：
c tan
f tan ——内摩擦系数
参数 意义
表示在破坏面上的正应力与剪应力的组合关系满足上式.
库仑准则的应用:
解决在压力（应力）作用下的破坏判据，不适应于拉 破坏。
3.5岩石的强度理论－主要内容
• 1 强度理论概述 • 2 Coulomb 库仑强度准则 • 3 Mohr 莫尔强度理论 • 4 Griffith强度理论
3.5
强度理论:
岩石强度理论
研究岩体破坏原因和破坏条件的理论。 强度准则: 在外荷载作用下岩石发生破坏时，其应力（应
E
t
E
即：
Leabharlann Baidu t
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
1
3、在三轴压缩条件下：σ 3方向的应变为
3
1 3 ( 1 2 ) E
45
（b）式：进一步变化三角恒等式
2 2 cos 2 sin cos (sin cos ) 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin cos sin cos 2 sin cos (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sin cos sin
如果σ 3＜ (σ 1 +σ 2),则为拉应变，其强度条件为
3
1 3 ( 1 2 ) t E
而： t
t
E
故，强度条件又可表示为： 3 ( 1 2 ) t 在常规三轴条件下（ σ 3 ＝σ 2）强度条件为：
3 (1 ) 1 t
C
3 （b）式为用 1 、
表示的库仑准则公式
（b）式中如果 3 0 ，表示为 单向受压，此时若破坏，则称
＝C+tg
2θ
M
３ 1+３)/2 1
为 c ，叫做材料的单向抗压强
度 （ ( 0) ） c 1 3 c
( b）式变为 c 2c cos /(1 sin ) （材料单压强度公式）
破坏判断2个方面：
( )
一个是判断材料在何种应力环境下破坏， 二是判断破坏面的方位角。 当然，这种判断是在材料特征常数[ f, , c ]为已知的 条件下去判断。
• 库仑准则可以用莫尔应力圆直观的图解表 示，如图所示。
莫尔应力圆的方程：
( n
1 3
2
) (
2 2 n
1 3
裂破坏
强度条件为：
t
t
E
式中：εt ——单轴拉伸破坏时的极限应变；
E——岩石的弹性模量；
σt——单轴抗拉强度。
讨论：
1、在单轴拉伸条件下：岩石发生拉伸断裂破坏，其强度
条件为：
t t E
2、在单轴压缩条件下：岩石发生沿纵向拉伸断裂破坏，
其强度条件为：
t
评价：
①是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。 ② 不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。
③不适用于受拉破坏。
• 四、莫尔强度理论： （1900）
• 理论要点： • ①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力作 用面上； • ②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切面 上正应力的函数；
n( t )
d n ctg2 d 2 n( t )
1 n csc2 1 sin2 4( t )
(1 3 )2 2n(1 3 ) 4nt n2
• ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、二 次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线 ，它由试验拟合获得；
• ④剪切强度是关于σ 轴对称的曲线，破坏面成对成簇出现； • ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割点破坏，否则不破坏；
• ⑥不考虑σ 2的影响。
莫尔准则的强度曲线是一系列极限应力莫尔圆的公切线。 莫尔准则强度曲线，分为直线型强度曲线和曲线型强度曲线。 曲线型强度曲线又分为二次抛物线、双曲线和摆线型等。
n x y
2 sin2 xy cos 2
x y 2 1 x y 2 ( ) xy 最大最小主应力： 3 2 2
最大主应力与x轴的夹角θ可按下式求得：
tg 2 2 xy
x y
（一） 最大正应力强度理论
• 最大正应力强度理论也称朗肯（Rankine）理论，
满足上式，岩体将不破坏或处于极限平衡状态。但
是，这种强度理论只适用于岩体单向受力状态或者
脆性岩石在二维应力条件下的受力状态，所以对于 处于复杂应力状态中的岩体不宜采用这种强度理论
（二）最大拉应变理论
基本观点：无论在什么应力状态下，只要岩石的最大拉伸 应变ε达到一定的极限应变εt时，岩石就会发生拉伸断
矿山岩体力学
华北科技学院 安全工程学院
上次课内容
岩石的流变理论
流变现象：材料应力-应变关系与时间因素有关的性
质，称为流变性。材料变形过程中具有时间效 应的现象，称为流变现象。
蠕变 流变的种类：松弛 弹性后效
弹性元件(H) 流变学中的基本元件: 塑性元件(Y) 粘性元件(N)
k
k
三、库伦（Coulomb)准则
基本观点：材料破坏主要是剪切破坏，当材料某一斜面上的剪应力 达到或超过该破坏面上的粘结力和摩擦阻力之和，便会沿该斜面产
生剪切滑移破坏。[ 1773年库伦提出（“摩擦”准则）]
f C tg
式中：
τ
f
—材料剪切面上抗剪强度；
τθ
C—材料的粘结力；
使用上述公式求解库仑准则判断的岩石破坏 问题时，可以有 (a)- (e) 公式的变异以供解决问 题使用，一定要注意公式中的已知与未知参数的 意义。
（三）库伦准则：
应用：
①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 θ = 45 + / 2 ） （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。 ③进行岩石强度计算。
上发生。
库仑准则使用方法 (1)图解法 (2)代入公式法 （1）图解法 c tan
库仑公式是一条直线准则，在（ 、 τ ）平面上 是一条直线，直线上的点均可满足公式条件，是处 于破坏状态的应力状态。 如果已知材料的应力图1、2、3（设定 3 是定常数）
１ ２ ３
＝c+tg
c s
c
tg２ ＝ s c+ tg
2 1 c 3
图4
３
库仑准则在σ1-σ3平面的直线图示
C tg c f 2 c cos 1 si n 1 3 1 si n 1 si n 库仑准则 c 2c cos /(1 si n ) 主要公式： 45 / 2 tg 2 1 c 3 注意：
B A
C
＝C+tg
CCtg
1+３)/2
τθ
M
３ 1
1 3
由图： 上式改写：
1
sin
2 c ctg
1 3
2
2c cos 1 sin 3 1 sin 1 sin （b）
B A
CCtg
σ1 σ 2 =σ3
三轴压缩 单轴拉伸
单轴压缩
莫尔破坏包络线
σt
σ3
σc
σ1
σ
完整岩石的莫尔强度曲线
1、直线型包络线
强度曲线为直线型
极限莫尔应力圆与直线的 关系
1 2 2 si n 1 2 C ctg 2
1 2 sin 1 2 2C ctg
3.5 岩石的强度理论
（三）库仑准则：
由库仑（C· A· Coulomb）1773年提出，最简单、 最重要的准则， 应用简便. 岩石的破坏主要是剪切破坏，岩石的强度等于岩 石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法向力产 生的摩擦力。 实验基础： 岩土材料压剪或三轴试验和纯剪。 破坏机理：材料属压剪破坏，剪切破坏力的一部 分用来克服与正应力无关的粘结力，使材料颗粒 间脱离联系；另一部分剪切破坏力用来克服与正 应力成正比的摩摩力，使面内错动而最终破坏。
是最早提出而现在有时仍然应用的一种强度理论
• 认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。
• 因此，对于作用于岩体的三个主应力，只要有一
个主应力达到岩体或岩石的单轴抗压强度或单轴
抗拉强度时，岩体或岩石就会破坏。
（一）最大正应力强度理论
1 c • 岩体强度条件可以表示为： 3 t
2
1 tg 2 1 tg 2
2
tg 2 (45 ) tg 2 2
（b）式变为：
2c cos 2c cos 1 3 tg 45 3 tg 2 1 sin 2 1 sin
（c）
（ c ）表明：材料的单压强度与其固有参数 C 、 有关 ，也是固有的。
1 由上应力圆图知：材料（试件）的破坏面与主应力 的方向夹角为θ，在上图中圆心角为 2θ 。
则
2 90 ，
45 / 2
（d）
θ
岩石试件的破裂角(面)a
由于对称性、破裂面是一对共轭出现的两个破坏 面，另一个破坏面
2
)2
如果应力圆上的点超过了该区域， 则说明该点表示的应力已超过了 材料的强度并发生破坏；
如果应力圆上的点落在强度曲 如果应力圆正好与强度曲线相切，则说 线AR之下，则说明该点表示 明材料处于极限平衡状态，岩石所产生 的应力还没有达到材料的强度 的剪切破坏将可能在该点所对应的平面 值，故材料不会破坏；
2、
z
z
zx
zy
xy
yx
xz
y yz
a
b
x
yz
yx
x zy
xy
xz
y
zx
o
x
z
y
3、平面问题的简化 （1）平面应力问题
（2）平面应变问题
4、基本应力公式
以平面应力问题为例，如图，任意角 度α截面的应力计算公式如下：
x y x y n cos2 xy sin2 2 2