华理高数答案_第12章

1 1− x
0 y+1
1 1− y
解：原式= ∫ dx ∫ f (x, y)dy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx + ∫ dy ∫ f (x, y)dx ．
0 x−1
−1 0
0
0
3．计算二次积分：
∫ ∫ **(1)
4
dy
2 y
e
x2
−2x
dx
．
2
2
解： D : 2 ≤ y ≤ 4, y ≤ x ≤ 2 ， 变换积分次序得 D* :1 ≤ x ≤ 2, 2
第 12 章 （之 1）（总第 67 次）
教学内容: §12．1 二重积分概念与性质 **1．解下列各题：
(1) 若 D 是以 O = (0,0), A = (1,0), B = (0,1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意
∫∫ 义可得到 (1 − x − y) dxdy =___________．
D
1
答：
6
(2) 设 f (t)为连续函数，则由平面 z=0，柱面 x 2 + y 2 = 1和曲面 z = f 2 (xy) 所围立体的体
积可用二重积分表示为___________________________________________．
答： ∫∫ f 2 (xy)dxdy ． x2 + y2 ≤1
∫∫ (3) 设 I =
dxdy
则 I 满足
x + y ≤11 + cos 2 x + sin 2 y
(A) 2 ≤ I ≤ 2 3
(C) D ≤ I ≤ 1 2
答：(A)．
(B) 2 ≤ I ≤ 3 (D) −1 ≤ I ≤ 0
()
∫∫ ∫∫ ∫∫ (4) 设 I1 = ln(x + y)dσ ， I 2 = (x + y)2dσ 及 I3 = (x + y)dσ 其中 D 是由直线
−
x2
1
+ 2x
=
4
．
0
3
03
∫∫ **(5) 计算二重积分 x sin(x + y)dσ ，其中 D 由直线 x = π 、抛物线 y = x2 − x 及其在
***4． 设 f (x, y) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限
∫∫ lim 1
f (x, y)dσ ．
πr r →0
2 x2 + y2≤r2
解：积分区域 D : x 2 + y 2 ≤ r 2 为有界区域，且 f (x, y) 连续，
∴ ∫∫ 由积分中值定理可知：存在点 (ξ ,η)∈ D ，使得 f (x, y)dσ = f (ξ ,η)SD ，
77
∫∫ **(2) 计算二重积分 e x2 dxdy ，其中 D 是第一象限中由 y=x 和 y=x3 所围成的区域．
D
∫ ∫ ∫ 1
x
1
解：原式= e x2 dx dy = (xe x2 − x3e x2 )dx
= 1 e −1．
0
x3
0
2
∫∫ **(3) 计算二重积分 x2 1 − ydσ ，其中 D = {(x, y) 0 ≤ y ≤ 1 − x2}．
e
dy
ln x
f (x, y)dx ；
1
0
∫ ∫ (D)
1
dy
e
f (x, y)dx ．
0
ey
答：(D)
1
x2
2
2− x
∫ ∫ ∫ ∫ **（4）设 f ( x , y ) 是连续函数，则积分 dx f ( x , y ) dy + dx f ( x , y ) dy 可
0
0
1
0
交换积分次序为
（）
∫ ∫ ∫ ∫ （A）
教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) a
a2 − y2
a
a2 − y2
**（1）设 f ( x , y ) 是连续函数，则 2 dy 0
a2 −2ay f x, y dx +
a dy 0
f x, y dy a > 0
2
1 − y dy
=
2 3
∫1(1 − 0
y )2
dy
=
−
2 3
∫1(1 − 0
y)2d (1 −
y)
=
− 2 (1 −
9
y )3
1 0
=
2 9
{ } ∫∫ **(4) 计算二重积分 x − y dσ ,其中 D = (x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 ．
D
解：直线 y = x 把区域 D 分成 D1 （上）、 D2 （下）两个部分，
∫ ∫ ∫ ( ) 原式 =
2 e x2 −2x dx
2x
dy =
e2 x2 −2x 2x − 2 dx
1
2
1
2 ≤ y ≤ 2x ，
∫ ( ) =
e d 2 x2 −2x x 2 − 2x
1
= ex2−2x
2 1
1 =1− ．
e
1x
∫ ∫ **(2) dx x 1 − x2 + y 2 dy ．
−1 −1
∫∫ x − y dσ = ∫∫( y − x)dσ + ∫∫(x − y)dσ
D
D1
D2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
1
dx
2
( y − x)dy +
1
dx
x
(x − y)dy =
1 1 ( y − x)2 2 dx −
11
(x
−
y)2
x
dx
0
x
0
0
02
x
02
0
∫=
1
(
x
2
− 2x + 2)dx
=
1 x3
f (x, y)dx ．
0 −1
1
−1
0 −1
答：(C)
∫ ∫ **（3）设 f (x, y) 是连续函数，交换二次积分
e
dx
ln x f (x, y)dy 的积分次序的结果为
1
0
（）
∫ ∫ （A）
e
dy
ln x f (x, y)dx ；
1
0
∫ ∫ (B)
e
dy
ln x
f (x, y)dx ；
1
0
∫ ∫ (C)
∫ ∫ ∫ 1 1
解：原式= dy x
1−
x2
+
y 2 dx =
1
1 (1 −
y
3
)dy
1
=．
−1 y
−1 3
2
4．计算下列二重积分
{ } ∫∫ **(1)
dσ ，其中 D = (x, y) x2 + y 2 ≤ 2 y ；
D 2− y
2
2 y− y2 dx
8
∫ ∫ 解：原式= 2 dy
0
0
= 2． 2− y 3
答： (C )
∫∫ ∫ ∫ **（5）设函数 f (x, y)在 x2 + y 2 ≤ 1 上连续，使
f
(x,
y)dxdy
=4
1
dx
1−x2 f (x, y)dy
00
x2 + y2 ≤1
成立的充分条件是
（）
（A） f (−x, y) = f (x, y) ， f (x,− y) = − f (x, y) ；
D
即： ∫∫ f (x, y)dσ = πr 2 f (ξ ,η)， x2 + y2 ≤r2
又 ∵ 当 r → 0 时， (ξ ,η ) → (0,0)，且 f (x, y)在 (0,0)连续．
∫∫ ∴ lim 1
f (x, y)dσ = f (0,0) ．
πr r →0
2 x2 + y2 ≤r2
第 12 章 （之 2）（总第 68 次）
（B） f (−x, y) = − f (x, y) ， f (x,− y) = f (x, y) ；
（C） f (−x, y) = − f (x, y) ， f (x,− y) = − f (x, y) ；
（D） f (−x, y) = f (x, y) ， f (x,− y) = f (x, y) ．
D
***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题：
(1) ∫∫ 3 sin(x − y)dxdy ； x2 + y2 ≤1
解：因为 I = ∫∫ 3 sin(x − y)dxdy = ∫∫ 3 sin( y − x)dydx = −I ，所以 I = 0 ．
x2 + y 2 ≤1
y2 + x2 ≤1
⎤
∫∫ ∫∫ I = ⎢
2 ⎢⎣x2 ≤1, y2 ≤1
ex + ey
dxdy +
e + e y
x
y2 ≤1,x2 ≤1
dydx⎥ ⎥⎦
1
(a + b)e x + (a + b)e y
a+b
∫∫ =
2 x2 ≤1, y2 ≤1
ex + ey
∫∫ dxdy =
dxdy = 2(a + b) ．
2 x2 ≤1, y2 ≤1
1
y −1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （A） dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx ； （B） dy f (x, y)dx ；
0 −1
1
−1
0 −1
1
y −1
2
− y2 −1
2
− y2 −1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (C) dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx ； (D) dy
74
ae x + be y
∫∫ (2)
dxdy ．
e + e x
y
x2 ≤1, y 2 ≤1
ae x + be y
ae y + be x
∫∫ ∫∫ 解： I =
dxdy =
dydx ，
e + e x
y
x2 ≤1, y2 ≤1
e + e y
x
y2 ≤1, x2 ≤1
1⎡
ae x + be y
ae y + be x
∵ u ≥ 0 ， ∴ eu −1 ≥ 0, 即 f '(u) ≥ 0 ， f (u) 是增函数．
∵ f (0) = e0 −1 = 0 ， ∴ f (u) − f (0) ≥ 0 即 eu − (1 + u) ≥ 0 ，
∫∫ ∫∫ ( ) e ∴ x2+ y2 ≥ 1 + x 2 + y 2 ， 因此 e x2+ y2 dσ ≥ 1 + x 2 + y 2 dσ ．
可交换积分次序得___________________________．
a
a2 −x2
∫ 答：原式= dx ∫ f (x, y)dy ．
0
a2 −x2
2a
75
0
1+ x2
∫ ∫ **（2）设 f ( x , y ) 是连续函数，则二次积分 dx
f (x, y)dy （ ）
−1 x+1
1
y −1
2
y2 −1
D
D
D
x=0，y=0， x + y = 1 及 x + y = 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 ( ) 2
(A) I3＜I2＜I1； (B) I1＜I2＜I3； (C) I1＜I3＜I2；
(D) I3＜I1＜I2．
答：（B）．
∫∫ (5) 设 D : x2 + y 2 ≤ a 2 (a > 0), 当 a = ________ 时， a 2 − x2 − y 2 dxdy = π ．
1
dy
y f (x, y)dx +
2
dy
2− y
f (x, y)dx ；
00
1
0
∫ ∫ ∫ ∫ （B）
1
dy
x2
f (x, y)dx +
2
dy
2−x
f (x, y)dx ；
00
1
0
1
2− y
∫ ∫ （C） dy f ( x, y ) dx ；
0
y
∫ ∫ （D）
1
dy
2−x
f (x, y)dx ．
0
x2
D
{ } 解： D = (x, y)0 ≤ y ≤ 1− x2 ⇒ D : 0 ≤ y ≤ 1 ，
∫ ∫ 原式 =
1
1 − ydy
1− y x 2 dx
0
− 1− y
∫= 1 1 − ydy 1 x3 1−y
0
3 − 1− y
[ ] 1 1
= 3 ∫0
1 − y (1 − y)
1 − y + (1 − y)
D
（A） 1；
33
(B)
；
2
33
(C)
；
4
31
(D)
．
2
答：（B）．
73
**2．解下列问题：
∫∫ ∫∫ (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小： e x2 + y2 dσ 与 (1 + x 2 + y 2 )dσ ，其
D
D
中，D 为任一有界闭区间．
解：令 u = x2 + y 2 ，且 f (u) = eu − (1 + u) ，则有 f '(u) = eu −1．
⎭
由于区域 D 上的点到坐标原点 O = (0,0) 的距离为
x2 + y2 ，
∴0 ≤ x2 + y2 ≤ 42 + 0 = 4 ，
∴1 ≤ f (x, y) ≤ 17 ，
又因为该区域的面积为
D = π × 3× 4 = 12π ，
∴ 12π ≤ ∫∫ f (x, y)dσ ≤ 17 ×12π = 204π ．
1
1
1
1
1
y
x
2
y
**（2） D = {(x, y) max(1 − x, x −1) ≤ y ≤ 1}
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
1
解： I = dx
f (x, y)dy +
2
1
wenku.baidu.com
dx
f (x, y)dy =
1
dy
1+ y f (x, y)dx
0 1− x
1
x −1
0 1− y
**（3） D： x + y ≤ 1 ， x − y ≤ 1， x ≥ 0 ．
答：（D）．
76
2．画出下列各题中给出的区域 D，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）．
**（1）D 由曲线 xy = 1, y = x, x = 2 围成；
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解： I =
2
dx
x f (x, y)dy =
1
dy
2 f (x, y)dx +
2
dy
2 f (x, y)dx
D
D
(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：
∫∫ (1 + x2 + y 2 )dσ ， D = {(x, y) 9x2 + 16 y2 ≤ 144} ．
D
解 ： 先 求 出 目 标 函 数 f (x, y) = x2 + y 2 + 1 在 区 域
D
=
⎨⎧(x,
⎩
y
)
x2 16
+
y2 9
⎫ ≤ 1⎬ 上的最小值和最大值，