(粉体力学)3粉体静力学单元操作装置设计
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应力圆 或 莫尔圆
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
? 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o (2q 2q0 )] R sin(2q 2q0 )
(R cos 2q0 )sin 2q (Rsin 2q0 ) cos 2q
➢ 粉体层的抗拉和抗压能力明显不同，粉体力学 中引入莫尔圆的概念。
➢ 粉体层受力小时，外观基本无变化，这是由于 颗粒间的摩擦力相对于作用力的大小产生了克 服它的应力，二力保持平衡。当作用力达到某 一极限时，粉体层将突然崩坏，崩坏前后的状 态称为极限应力状态，这一状态由一对压应力 和剪应力组成。
➢ 粉体层任意面上施加垂直压应力，并逐 渐增加该层面的剪应力，结果会怎样？
tq
半径？—
R
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
B0 C
0 B
sy
sx
A
A0 sq
二、应力圆的画法
第一种画法
（1）在sq轴上作出A0(sx,0), B0(sy,0)
（2） A0, B0的中点为圆心C
（3）过A0垂直向上取txy 得A， tq
CA为半径
（4）以C 为圆心、CA为半径 画圆
B0 C
0
B
sy
sx
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
t
OE OC EC
tq
n D( sq , tq
x
sx
sy
2
R cos[180o
(2q
➢ 最大伸长线应变理论（第二强度理论）：最大伸 长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素。双向 压缩似乎与单向压缩时应力状态不同，但混凝土 等材料的强度在双向压缩时并无明显差别。
➢ 最大剪应力理论（第三强度理论）：最大剪应力 是引起流动破坏的主要因素。机械工程中应用广 泛，很好地解释了塑性材料出现塑性变形的现象。 忽略了中间主应力的影响。
➢ 形状改变比能理论（第四强度理论）：形状改 变比能是引起材料流动破坏的主要原因。存储 在微元体内的变形能称为应变能，单位体积中 积蓄的应变能称为应变比能。纯剪切情况下， 比第三强度理论的结果大15%
➢ 莫尔强度理论：有些材料的抗拉和抗压强度并 不相等，说明材料的强度与拉伸正应力或者压 缩正应力有关，而不仅仅取决于最大剪应力。 极限应力圆
A
A0 sq
sy
n
sq
q
sx
tq txy
y
Ox
tq n D( sq , tq
2q
C O
B(sy ,-txy)
x
A(sx ,txy) sq
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A(s x，txy) B (sy，-tyx) （2） AB与sq 轴的
交点C是圆心 （3） 以 C 为圆心
以AC为半径 画 圆 ——
tq lc s xla sinq s ylb cosq
t xyla cosq t xylb sinq
s xlc sinq cosq s ylc sinq cosq
t xylc cos2 q sin2 q
tq
sx
sy
2
sin 2q
t xy cos 2q
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
平方和相加---关键的一步
sq
sx
s
2
y
2
t
2 q
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
一、斜截面应力
圆心？—
s
(
x
s
y
,0)
2
sq
sx
s
2
y
2
tBaidu Nhomakorabea
2 q
sx
s y
2
2
t
2 xy
在sq tq 坐标系中，sq
落在一个圆上
与tq
应力圆 或 莫尔圆
单元操作 装置设计 储存 给料 输送 混合 造粒 分级
力学行为
流动特性
应力状态 分析一点处的应力状态，研究粉粒体受力后， 通过该点的各个截面上的应力变化情况，用以判 断粉粒体颗粒群在什么地方、什么方向容易混合 或者崩坏
➢ 主平面：微元体中剪应力等于零的面（3个互 相垂直的主平面）
➢ 主应力：主平面上的正应力 （每点3个）
➢ 剪应力达到某值时，粉体层将沿此面滑 移，内摩擦角可以表示极限应力状态下剪 应力与垂直应力的关系，用莫尔圆及其包 络线来描述。
Mohr 应力圆
Mohr’s Stresses Circle
应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
t xy sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
一、斜截面应力
sy
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy
sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy
一、斜截面应力 Fn 0 :
sq ssxx coss22q s yy sin22q 22ttxxyyssiinnqqccoossqq
1 2
sx
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin 2
q
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin 2
q
1s
2
y
sin 2
q
1s
2
y
cos2
q
1s
2
y
1 2
s
y
sin 2
来由: 一点无穷多个微元上的应力能否在一
张图上表示？
或者说，
把q 看成参数，能否找到sq 与tq 的函数关系？
一、斜截面应力 二、应力圆的画法 三、单元体与应力圆的对应关系 四、应力极值 五、平面应力状态的分析方法 六、莫尔圆与粉体层的对应关系 七、莫尔圆的图解法
一、斜截面应力
sy
Fn 0 :
q
1 2
s
y
cos2
q
1 2
sx sy
cos2 q sin2 q
sq
sx sy
2
s x s y cos 2q
2
t xy sin 2q
sq
sx
sy
2
sx
sy
2
cos 2q
t xy sin 2q
一、斜截面应力
sy
Ft 0 :
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
y
sx
txy
sq lc s xla cosq s ylb sinq t xyla sinq t xylb cosq
s xlc cos2 q s ylc sin2 q
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
+2t xylc sinq cosq
sq s x cos2 q s y sin2 q 2t xy sinq cosq
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
? 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o (2q 2q0 )] R sin(2q 2q0 )
(R cos 2q0 )sin 2q (Rsin 2q0 ) cos 2q
➢ 粉体层的抗拉和抗压能力明显不同，粉体力学 中引入莫尔圆的概念。
➢ 粉体层受力小时，外观基本无变化，这是由于 颗粒间的摩擦力相对于作用力的大小产生了克 服它的应力，二力保持平衡。当作用力达到某 一极限时，粉体层将突然崩坏，崩坏前后的状 态称为极限应力状态，这一状态由一对压应力 和剪应力组成。
➢ 粉体层任意面上施加垂直压应力，并逐 渐增加该层面的剪应力，结果会怎样？
tq
半径？—
R
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
B0 C
0 B
sy
sx
A
A0 sq
二、应力圆的画法
第一种画法
（1）在sq轴上作出A0(sx,0), B0(sy,0)
（2） A0, B0的中点为圆心C
（3）过A0垂直向上取txy 得A， tq
CA为半径
（4）以C 为圆心、CA为半径 画圆
B0 C
0
B
sy
sx
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
t
OE OC EC
tq
n D( sq , tq
x
sx
sy
2
R cos[180o
(2q
➢ 最大伸长线应变理论（第二强度理论）：最大伸 长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素。双向 压缩似乎与单向压缩时应力状态不同，但混凝土 等材料的强度在双向压缩时并无明显差别。
➢ 最大剪应力理论（第三强度理论）：最大剪应力 是引起流动破坏的主要因素。机械工程中应用广 泛，很好地解释了塑性材料出现塑性变形的现象。 忽略了中间主应力的影响。
➢ 形状改变比能理论（第四强度理论）：形状改 变比能是引起材料流动破坏的主要原因。存储 在微元体内的变形能称为应变能，单位体积中 积蓄的应变能称为应变比能。纯剪切情况下， 比第三强度理论的结果大15%
➢ 莫尔强度理论：有些材料的抗拉和抗压强度并 不相等，说明材料的强度与拉伸正应力或者压 缩正应力有关，而不仅仅取决于最大剪应力。 极限应力圆
A
A0 sq
sy
n
sq
q
sx
tq txy
y
Ox
tq n D( sq , tq
2q
C O
B(sy ,-txy)
x
A(sx ,txy) sq
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A(s x，txy) B (sy，-tyx) （2） AB与sq 轴的
交点C是圆心 （3） 以 C 为圆心
以AC为半径 画 圆 ——
tq lc s xla sinq s ylb cosq
t xyla cosq t xylb sinq
s xlc sinq cosq s ylc sinq cosq
t xylc cos2 q sin2 q
tq
sx
sy
2
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sq
sx
sy
2
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s y
2
cos 2q
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tq
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s y
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cos 2q
平方和相加---关键的一步
sq
sx
s
2
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2
t
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s
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s
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y
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一、斜截面应力
圆心？—
s
(
x
s
y
,0)
2
sq
sx
s
2
y
2
tBaidu Nhomakorabea
2 q
sx
s y
2
2
t
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在sq tq 坐标系中，sq
落在一个圆上
与tq
应力圆 或 莫尔圆
单元操作 装置设计 储存 给料 输送 混合 造粒 分级
力学行为
流动特性
应力状态 分析一点处的应力状态，研究粉粒体受力后， 通过该点的各个截面上的应力变化情况，用以判 断粉粒体颗粒群在什么地方、什么方向容易混合 或者崩坏
➢ 主平面：微元体中剪应力等于零的面（3个互 相垂直的主平面）
➢ 主应力：主平面上的正应力 （每点3个）
➢ 剪应力达到某值时，粉体层将沿此面滑 移，内摩擦角可以表示极限应力状态下剪 应力与垂直应力的关系，用莫尔圆及其包 络线来描述。
Mohr 应力圆
Mohr’s Stresses Circle
应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
t xy sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
一、斜截面应力
sy
sx
y
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Ox
sq
q
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y
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sx
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2
sx
s y
2
cos 2q
t xy
一、斜截面应力 Fn 0 :
sq ssxx coss22q s yy sin22q 22ttxxyyssiinnqqccoossqq
1 2
sx
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin 2
q
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
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q
1s
2
y
sin 2
q
1s
2
y
cos2
q
1s
2
y
1 2
s
y
sin 2
来由: 一点无穷多个微元上的应力能否在一
张图上表示？
或者说，
把q 看成参数，能否找到sq 与tq 的函数关系？
一、斜截面应力 二、应力圆的画法 三、单元体与应力圆的对应关系 四、应力极值 五、平面应力状态的分析方法 六、莫尔圆与粉体层的对应关系 七、莫尔圆的图解法
一、斜截面应力
sy
Fn 0 :
q
1 2
s
y
cos2
q
1 2
sx sy
cos2 q sin2 q
sq
sx sy
2
s x s y cos 2q
2
t xy sin 2q
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sx
sy
2
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2
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一、斜截面应力
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n
0x
abc
+2t xylc sinq cosq
sq s x cos2 q s y sin2 q 2t xy sinq cosq