弦振动地误差分析报告方案设计

弦振动中误差的研究

实验目的：

（1）研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的；

（2）研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误差。

实验原理：

如图（1）实验时在①和⑥间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮⑩结上砝码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是半波长倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状态（弦振动面与磁场方向完全垂直），使弦线形成明显的驻波。此时我们认为磁

波。

到适合位置．弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。

设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成

驻波用粗实线表示。由图可见，

这可从波

动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

Y1＝Acos2 (ft－x/ )

Y2＝Acos[2 (ft＋x/λ)+ ]

式中A为简谐波的振幅，f为频率， 为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

Y1＋Y2＝2Acos[2 （x/ ）+ /2]Acos2 ft ……………①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2 （x/ ）+ /2] |，与时间无关t，只与质点的位置x 有关。

由于波节处振幅为零，即：｜cos[2 （x/ ）+ /2] |＝0

2 （x/ ）+ /2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. …)

可得波节的位置为：

x＝k /2 ……………②

而相邻两波节之间的距离为：

x k＋1－x k ＝(k＋1) /2－k / 2＝ / 2 ……………③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2 （x/ ）+ /2] | =1

2 （x/ ）+ /2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. )

可得波腹的位置为：

x＝(2k-1) /4 ……………④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：

L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. …)

由此可得沿弦线传播的横波波长为：

＝2L / n ……………⑤

式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。

根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝ f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度：

V＝2Lf/n ……………⑥另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：

V＝(T/ρ)1/2 ……………⑦式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

再由⑥⑦式可得

f =（T/ρ）1/2（n/2L ）

得

2

2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛=n l f F T ρ

由⑧式可知，当给定T 、ρ、L ，频率f 只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。

实验步骤

1、 连接实验装置。

2、

测量弦线线密度ρ。测出弦线的质量及其长度。根据l m =ρ，计算弦线

密度。 3、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。 4、

观测频率和绳子张力T F 之间的关系

（1）取质量为50g 的砝码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。分别测量波节N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。当频率大于130Hz 时，取N=1，N=3，N=5. （2）改变频率f 从80Hz 到150Hz,砝码质量不变，重复上述步骤（1），并记录数据。

5、 观测砝码质量mg 与张力T F 之间的关系

调节频率为100Hz ，，砝码质量从10g 到200g 时调节劈尖的位置得到稳定的驻波，测量当N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。注：当砝码质量为15g 时，取N=2，N=3，N=4. 6、 整理数据并处理

实验数据及处理

（一）

砝码质量对绳子张力和密度的影响：

1、ρ的测量

弦线

l cm 1=

质量g m 4.0=

ρ=l

m =0.433

-10

m kg ⨯

2、弦振动实验装置圆柱的半径

直径

如下表:表中M 为砝码的质量，N 为波节数目，l 为波节长度，λ为波长的平均值，ρ为绳子的密度，T F 为绳子拉力的平均值，

100Hz =ν 绳子密度2

2λ

νρF

=

绳子张力22λρν=F

注：仅当M=15g 时，波节数目为特殊情况。 其图像如下所示：（见下页）

（二）振动频率对绳子密度和张力的影响：

N mg G 49.08.910503

-=⨯⨯==